飛越北極-數(shù)學(xué)建模

PAGE10PAGE10數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)軟件綜合訓(xùn)練《數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)軟件綜合訓(xùn)練》論文訓(xùn)練題目：飛越北極學(xué)生學(xué)號(hào)：姓名：計(jì)通院信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)指導(dǎo)教師：（理學(xué)院）

目錄TOC\o"1-6"\h\z\u一前言 2二飛越北極 31論文摘要 32問題重述與分析 33假設(shè)與模型 43.1模型的假設(shè) 43.2數(shù)據(jù)的說明 43.3模型的建立與求解 54模型評(píng)價(jià)與推廣 7三總結(jié) 8四參考文獻(xiàn) 9五附錄 9一前言極地航路是指穿越極地區(qū)域的飛行，東航在中美之間的直飛，便選取北極上空的航路，常規(guī)的中美間跨太平洋上空的航路基本是通過一定弧度、圍繞地球的同緯度飛行，而極地航路則是沿經(jīng)線的豎直方向飛行，因此可以避免由此引起的中間經(jīng)停。近幾年中美之間航空客、貨運(yùn)市場(chǎng)的不斷增大，穿越北極上空的極地航路成為解決這一問題最經(jīng)濟(jì)、最有效的方法。據(jù)東航有關(guān)負(fù)責(zé)人透露，東航不久將開通上海直飛紐約、芝加哥、西雅圖的航班。美西北航空公司負(fù)責(zé)人表示，“我們目前每周有四班到底特律的航班都是跨越極地飛行，使用的是波音747。如今這條航線確實(shí)特別具有市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力，使得我們每班飛機(jī)的乘坐率上升了不少?！倍疫x擇這條航線不僅能為乘客節(jié)約旅途時(shí)間，不用經(jīng)受途中經(jīng)停之苦，而且對(duì)普通乘客來說，從極地經(jīng)過，還可以欣賞極地別具一格的景色，是趟不錯(cuò)的“極地之旅”。要完成極地航路飛行，航空公司必須具備相當(dāng)?shù)膶?shí)力。因?yàn)闃O地航路具有一些常規(guī)航路所沒有的困難：磁場(chǎng)強(qiáng)烈，對(duì)航空器通訊導(dǎo)航設(shè)施有一定影響；常年低溫使上空大氣層溫度達(dá)到零下60—70攝氏度，比常規(guī)航路上的大氣溫度低10—20攝氏度，使用普通航空燃油也可能造成一定影響。極地磁場(chǎng)的變化、地面導(dǎo)航設(shè)備的稀少也會(huì)對(duì)通訊造成干擾越北極開通北京—紐約—北京的往返直飛航班，在我國(guó)航空公司還是首次。20年前國(guó)航就開通了北京飛紐約的航班，1998年國(guó)航與美西北航實(shí)行代碼共享后，航線由美西北航執(zhí)行。從9月27日起，由國(guó)航繼續(xù)飛這條航線。這對(duì)于國(guó)航連接北美、包括加拿大有關(guān)地區(qū)到中國(guó)北京的航路，為廣大中外旅客提供方便快捷的空中通道，具有十分重要的意義。經(jīng)北極航路直飛紐約，為旅客提供了多方面的便利。1981年1月，國(guó)航開通的跨太平洋經(jīng)停舊金山到紐約航線，以及后來經(jīng)停安克雷奇到紐約的航班，旅途都長(zhǎng)達(dá)17個(gè)小時(shí)。此次國(guó)航將要開通的北極航線，北京—紐約，紐約至北京，單程僅需13小時(shí)，比過去減少了3個(gè)多小時(shí)的飛行時(shí)間。由于北京至紐約航線是直飛，免除了過去中途經(jīng)停的諸多不便，減輕了旅客旅途的勞頓，給人以一登飛機(jī)，就將要到家的感覺。北極上空氣流平緩，顛簸較少，也提高了旅客乘機(jī)的舒適度。另外，這條航線飛機(jī)較少，不存在其他航路空中通道擁擠的狀況，同時(shí)也為航空公司節(jié)省了燃油，降低了飛行成本。國(guó)航經(jīng)由北極航路執(zhí)行正式航班，在國(guó)內(nèi)航空公司中還屬首家。北緯78度以北為北極飛行區(qū)域，由于氣候寒冷，過去曾被視為飛行禁區(qū)。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，現(xiàn)在飛越北極已不再危險(xiǎn)，目前世界上有20多家航空公司經(jīng)營(yíng)著北極航線，每周有40有多個(gè)航班在北極上空穿梭。這條航路，多年來已經(jīng)成為連接歐亞、美亞大陸的快捷空中通道。國(guó)航北極航路直飛紐約驗(yàn)證飛行的成功，表明國(guó)航有能力完成由北極航路直航紐約的飛行任務(wù)，展示了國(guó)航在飛行技術(shù)、運(yùn)行管理、安全保障等方面的新水平，對(duì)國(guó)航成長(zhǎng)和發(fā)展來說是一個(gè)重要的里程碑。北京航空航天大學(xué)飛行力學(xué)專家方振平教授認(rèn)為：從經(jīng)濟(jì)角度講，因?yàn)槌杀镜慕档秃秃骄€的選擇有直接關(guān)系，極地飛行縮短了航程，節(jié)約燃油費(fèi)用和起降費(fèi)用，大大提高了效益降低了成本。將來每位乘客的機(jī)票價(jià)都可能降下來，對(duì)航空公司來說，極地航線的開辟，將提高中國(guó)民航在國(guó)際上的價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)力。從安全角度講，航程的縮短應(yīng)該能提高安全系數(shù)，過去去美國(guó)我們要跨越太平洋，一方面是遠(yuǎn)，另一方面氣流也大，而極地飛行與之相比應(yīng)該更安全，因?yàn)闃O地飛行能減少高空風(fēng)的影響。從技術(shù)角度講，極地飛行克服了北極強(qiáng)烈地磁影響，跨越了一個(gè)技術(shù)門檻，是中國(guó)民航史上的一個(gè)里程碑。最后還要指出，這條航線因?yàn)槭侵憋w，不必轉(zhuǎn)機(jī)，比過去方便了不少。應(yīng)該說當(dāng)極地飛行成為中國(guó)民航的普通航線后，中美之間有了一條既安全又便捷又經(jīng)濟(jì)的通道。二飛越北極1論文摘要本文將“飛行時(shí)間節(jié)約4小時(shí)”的問題，在飛行速度恒定的條件下，轉(zhuǎn)化為計(jì)算飛機(jī)航程的問題。通過采用計(jì)算機(jī)模型繪出的飛機(jī)飛行航線，建立了兩個(gè)數(shù)學(xué)模型;并且通過對(duì)模型的分析，采用MATLAB編程計(jì)算球面距離。對(duì)于模型1，采用立體幾何知識(shí)求球面距離的方法，得出從北京直接到底特律的時(shí)間為10.18734h，而按飛機(jī)的原航線則至少需14.17793h，所以至少節(jié)省時(shí)間為3.19059h。對(duì)于模型2，采用參數(shù)方程得出緯度與經(jīng)度之間的函數(shù)關(guān)系，然后用積分方法求得球面距離，最后求出節(jié)省時(shí)間為4.12891h。因此，通過對(duì)飛行航線和球體的分析可證明“飛越北極，可節(jié)省時(shí)間為4小時(shí)”的命題。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)模型；球面距離；時(shí)間2問題重述與分析2000年6月，揚(yáng)子晚報(bào)發(fā)布消息："中美航線下月可飛越北極，北京至底特律可節(jié)省4小時(shí)"，摘要如下：7月1日起，加拿大和俄羅斯將允許民航班機(jī)飛越北極，此改變可大幅度縮短北美與亞洲間的飛行時(shí)間，旅客可直接從休斯敦，丹佛及明尼阿波利斯直飛北京等地。據(jù)加拿大空中交通管制局估計(jì)，如飛越北極，底特律至北京的飛行時(shí)間可節(jié)省4個(gè)小時(shí)。由于不需中途降落加油，實(shí)際節(jié)省的時(shí)間不止此數(shù)。假設(shè)：飛機(jī)飛行高度約為10公里，飛行速度約為每小時(shí)980公里；從北京至底特律原來的航線飛經(jīng)以下10處：A1(北緯31度，東經(jīng)122度)； A2(北緯36度，東經(jīng)140度)；A3(北緯53度，西經(jīng)165度)； A4(北緯62度，西經(jīng)150度);A5(北緯59度，西經(jīng)140度)； A6(北緯55度，西經(jīng)135度)；A7(北緯50度，西經(jīng)130度)； A8(北緯47度，西經(jīng)125度)；A8(北緯47度，西經(jīng)122度)； A10(北緯42度，西經(jīng)87度)。請(qǐng)對(duì)"北京至底特律的飛行時(shí)間可節(jié)省4小時(shí)"從數(shù)學(xué)上作出一個(gè)合理的解釋，分兩種情況討論：（1）設(shè)地球是半徑為6371千米的球體；（2）設(shè)地球是一旋轉(zhuǎn)橢球體，赤道半徑為6378千米，子午線短半軸為6357千米。分析：根據(jù)飛行時(shí)間(T)=，V是已知恒定的，所以T主要取決于S，于是問題的關(guān)鍵在于如何求得S。飛機(jī)飛行的最優(yōu)弧我們可以理解為就是兩點(diǎn)之間的球面距離，所以原航線的路程就是每?jī)蓚€(gè)路經(jīng)之地的球面距離之和，新航線的路程就是北京與底特律的球面距離。3假設(shè)與模型3.1模型的假設(shè)1.不考慮地球的自傳。2.飛機(jī)每經(jīng)相鄰兩地的航程，均以曲面上兩點(diǎn)間最短距離進(jìn)行計(jì)算。3.飛機(jī)飛行中途不需降落加油，同時(shí)忽略升降時(shí)間。4.開辟新航線后，飛機(jī)由北京經(jīng)過北極上空直飛底特律。5.在整個(gè)飛行途中飛機(jī)未遭遇到任何障礙物，各地的天氣情況均良好且穩(wěn)定，空氣氣流對(duì)飛機(jī)的阻力不變。6.飛機(jī)飛行的高度和速度大小相對(duì)于地球表面始終不變。7.飛機(jī)的航向是正對(duì)目的地的，重力對(duì)飛機(jī)的影響處處相同。8.飛機(jī)是直上直下的，按兩地間的最優(yōu)弧飛行。3.2數(shù)據(jù)的說明在以下計(jì)算中，北京是坐標(biāo)用A0(400，1160)，底特律的坐標(biāo)用A11(430，830)，飛機(jī)原航線途中符號(hào)約定如下表所示。α—緯度β—經(jīng)度α1—圓O1所在平面的緯度，即∠OBO1r1—O1緯度圓的半徑α2—圓O2所在平面的緯度，即∠OAO2r2—O2緯度圓的半徑θ—A、B兩地的經(jīng)度差，即∠BO1CL—A、D對(duì)應(yīng)的球面距離γ—A、B對(duì)應(yīng)的圓心角V—飛機(jī)的飛行速度T—飛機(jī)飛行L所需時(shí)間t—飛機(jī)飛越北極至底特律所需時(shí)間t′—飛機(jī)按原來航線至底特律所需時(shí)間Δt—飛行節(jié)省時(shí)間R—飛機(jī)到地心的距離表一3.3模型的建立與求解模型Ⅰ：地球是半徑為6371千米的球體。具體模型如圖１所示。由已知條件可知，根據(jù)飛行時(shí)間(T)=，V是已知恒定的，所以T主要取決于S，于是問題的關(guān)鍵在于如何求得S。飛機(jī)飛行的最優(yōu)弧我們可以理解為就是兩點(diǎn)之間的球面距離，所以原航線的路程就是每?jī)蓚€(gè)路經(jīng)之地的球面距離之和，新航線的路程就是北京與底特律的球面距離。當(dāng)?shù)厍蚴且话霃綖?371km的球體時(shí)，球面上任意兩點(diǎn)之間的球面距離L可以根據(jù)公式L=來計(jì)算，所以必須知道兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)γ與飛機(jī)到地心的距離R。R的計(jì)算飛機(jī)到地心的距離由地球半徑與飛行高度兩部組成，即R=6371+10=6381(km)（2）γ的計(jì)算利用立體幾何知識(shí)求γ圖1模型1－球體作點(diǎn)A到圓O1上的射影點(diǎn)C在△BO1C中用余弦定理可得：|BC|2=r21+r22-2r1r2在△ABC中用勾股定理可得：|AB|2=r21+r22-2r1r2cosβ+R2(sinα2-sinα1)2在△AOB中用余弦定理可得：|AB|2=2R2(1-cosγ)其中r1=Rcosα1，r2=Rcosα2，最后求得：γ=arccos(sinα1sinα2+cosα1cosα2cosθ)（3）T的計(jì)算T=（1）式（4）t與t′的計(jì)算把已知條件代入(1)中，可得：用MATLAB語言編程得到了t′=14.7793(h)〈見附錄1〉(5)可節(jié)省的時(shí)間計(jì)算Δt=t′-t=3.9059(h)模型Ⅱ：地球是一旋轉(zhuǎn)橢球體，赤道半徑為6378千米，子午線短半軸為6357千米。具體模型如圖２所示。解法Ⅰ：當(dāng)?shù)厍蚴且恍D(zhuǎn)橢球體時(shí)，設(shè)球心O到球面上任意一點(diǎn)的長(zhǎng)度為ρ，則這一點(diǎn)的參數(shù)方程可表示為：與橢球體方程聯(lián)立得：（a=6388，b=6367）設(shè)A1、A2的坐標(biāo)為(x1，y1，z1)、(x2，y2，z2)，記過A1、A2，O的平面方程為：Ax+By+z=0(2)將A1、A2的坐標(biāo)代入(2)式得：利用MATLAB軟件計(jì)算得：Ai，Bi(見附錄)。由曲線方程L：可得α與β的關(guān)系A(chǔ)cosαsinβ+Bcosαcosβ=－sinα，利用MATLAB軟件進(jìn)一步計(jì)算得α與β的關(guān)系，所以L的長(zhǎng)度為：即可節(jié)省時(shí)間為：Δt=(L-L1)/V通過計(jì)算機(jī)模擬，可以求出Δt=4.12891h〈見附錄2、3〉。同時(shí)，根據(jù)各所經(jīng)的地點(diǎn)的空間坐標(biāo)繪出飛機(jī)航線。〈見附錄4〉4模型評(píng)價(jià)與推廣上述模型的建立與求解依據(jù)立體幾何、參數(shù)方程和定積分的原理和方法，MATLAB算法科學(xué)，符合實(shí)際，結(jié)果精確合理，模型的參數(shù)作適當(dāng)?shù)男薷暮?，可用于航空控制系統(tǒng)。模型1中因地球是一球體，所以優(yōu)點(diǎn)顯而易見，計(jì)算步驟少，方法簡(jiǎn)單。相比之下，模型2的計(jì)算過程就繁瑣復(fù)雜得多了，但模型2卻比模型1更切合實(shí)際。由于在模型1、模型2中，均不考慮地球自轉(zhuǎn)等多種因素對(duì)飛機(jī)的影響，所以結(jié)果會(huì)產(chǎn)生一定誤差，建模中引進(jìn)了參數(shù)方程的定積分求解比較精確地求出了時(shí)間T。三總結(jié)從7月3號(hào)開始，我全身心地投入學(xué)習(xí)、備戰(zhàn)數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)軟件綜合訓(xùn)練。學(xué)習(xí)的地點(diǎn)主要是在B館機(jī)房中，整個(gè)過程下來，我最大的幾點(diǎn)體會(huì)：合作意識(shí)，相互協(xié)作，互補(bǔ)不足；友情是良好合作的催化劑；學(xué)習(xí)的能力，個(gè)人的成長(zhǎng)；合理的時(shí)間安排；正確的論文格式；算法的設(shè)計(jì)。我的題目是：飛越北極。在前期的準(zhǔn)備中，我一頭扎進(jìn)了圖書館，一連看了好幾本關(guān)于數(shù)學(xué)建模的書，通過網(wǎng)絡(luò)，從互聯(lián)網(wǎng)上獲得了很多很多優(yōu)秀的數(shù)學(xué)模型。短短兩周里，我的學(xué)習(xí)態(tài)度有了很大的轉(zhuǎn)變，初中過后，很少這樣有激情地學(xué)過東西，這是第一次。我從理論數(shù)學(xué)看到應(yīng)用數(shù)學(xué)，從優(yōu)化問題看到模糊理論，更在老師，同學(xué)的幫助下，看懂了那篇matlab的程序，終于明白了模擬飛越北極節(jié)省時(shí)間的核心思想。

數(shù)學(xué)建模是把現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際問題加以提煉，抽象為數(shù)學(xué)模型，求出模型的解，驗(yàn)證模型的合理性．并用該數(shù)學(xué)模型所提供的解答來解釋現(xiàn)實(shí)問題，它是一門將數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用到實(shí)際中解決實(shí)際問題的學(xué)科。建立模型就是對(duì)于現(xiàn)實(shí)中的原型．為了某個(gè)特定目的，作出一些必要的簡(jiǎn)化和假設(shè)。運(yùn)后適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、它或者能解釋特定現(xiàn)象的現(xiàn)實(shí)狀態(tài)，或者能預(yù)測(cè)到對(duì)象的未來狀況，或者能提供處理對(duì)象的最優(yōu)決策或控制?，F(xiàn)實(shí)生活中處處都有數(shù)學(xué)，處處都存在著數(shù)模的思想，關(guān)鍵是我們?nèi)狈σ浑p發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的眼睛，缺乏實(shí)踐操作的動(dòng)手能力。數(shù)學(xué)建模課程雖開設(shè)的時(shí)間較少，然而其主要思想都已通過王教授那生動(dòng)的講述深入我的腦海，加上二次的親自動(dòng)手建模，那種用數(shù)學(xué)的眼光看待問題，分析問題、提出問題、查找資料和自學(xué)等各方面的能力都有了長(zhǎng)足的提高。通過這次有意義建?；顒?dòng)，使我對(duì)學(xué)習(xí)，創(chuàng)新和研究有了新的理解和認(rèn)識(shí)。這是我第一次感受到數(shù)學(xué)的無處不在，無所不能。我覺得數(shù)學(xué)建模能為學(xué)生提供自主學(xué)習(xí)、自主探索、自主提出問題、自主解決問題的機(jī)會(huì)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)觀念、科學(xué)態(tài)度和合作精神，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真求實(shí)、崇尚真理、追求完美、講究效益、聯(lián)系實(shí)際的學(xué)習(xí)態(tài)度和學(xué)習(xí)習(xí)慣。它能提高學(xué)生應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，從過去強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)的“有用、可用”，到使學(xué)生所學(xué)知識(shí)的“想用、能用和會(huì)用”，讓學(xué)生更多自主的實(shí)踐，把學(xué)習(xí)知識(shí)、應(yīng)用知識(shí)、探索發(fā)現(xiàn)、使用計(jì)算機(jī)、培養(yǎng)良好的科學(xué)態(tài)度與思維品質(zhì)更好地結(jié)合起來，使學(xué)生在問題解決的過程中得到學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的實(shí)際體驗(yàn)，加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解。最大的感悟就是，當(dāng)時(shí)的學(xué)習(xí)不再是被動(dòng)了，不再是為了應(yīng)付那無聊的考試了，我是為了解決問題而學(xué)習(xí)的（而且是自己非常想弄清楚的問題）。在我看來，這才叫真正的學(xué)習(xí)?！耙淮谓?，終生受益”。我衷心感謝數(shù)學(xué)建模課程，更由衷感謝老師的諄諄教導(dǎo)。四參考文獻(xiàn)[1]梁國(guó)業(yè)，數(shù)學(xué)建模，北京市：冶金工業(yè)出版社，2004年。[2]廖健平，MATLAB實(shí)用教程，北京：中國(guó)水利水電出版社，2008年。[3]包曄，江慧宏，周華莎，“飛越北極”的時(shí)間節(jié)省模型，第13卷第4期：200１年。[4]鐘紹軍，駱風(fēng)銀，飛越北極的數(shù)學(xué)模型，，2010-7-2。[5]羅萬成，大學(xué)生數(shù)學(xué)建模案例精選，/matrix/，2007年。[6]葉其孝，大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽輔導(dǎo)教材4，/matrix/2009/0806,2001年。五附錄附錄1a=[40.25531365362595550474742]a=a*pi/180b=[3136536259555047474242]b=b*pi/180c=[5.54185515105553353]c=c*pi/180s=0fori=1:11x(i)=sin(a(i))*sin(b(i));y(i)=cos(a(i))*cos(b(i))*cos(c(i));t(i)=acos(x(i)+y(i))*6381/980;s=s+t(i)end附錄2functionz(n1,c1,c2)t2=[5840153040455055589396]*pi/180;t1=[63.5458401530404550555893]*pi/180;c1=[40.25531365362595550474742]*pi/180;c2=[3136536259555047474242]*pi/180;w=cos(c1)*cos(c2)*sin(t1)-cos(c1)*sin(t2)*cos(c2)*cos(t1);q1=sin(c2)*cos(c1)*cos(t1)-sin(c1)*cos(c2)*cos(t2);q2=sin(c2)*cos(c1)sin(t1)-sin(c1)*cos(c2)*sin(t2);A=q1/wB=q2/wsymsn1n2ps2=solve('p^2*(cos(n1)/6388)^2+(sin(n1)/(6367)^2)=1','p');s1=solve('A*cos(n1)*sin(n2)+B*cos(n2)*cos(n1)=-sin(n1)','n2');symsxyzxxyyzzx=p*cos(n1)*sin(s1);y=p*cos(s1)*cos(n1);z=p*sin(n1);xx=diff(x,'n1');y