大一上畫法幾何課件2直線的投影

直線的投影第三章直線的投影§3.1直線的投影一、直線的投影特征

●形成：將直線上所有點(diǎn)線投影面投影，投影點(diǎn)的集合稱為直線的投影●畫法：將直線的端點(diǎn)向投影面投影，將得到的投影點(diǎn)連成線段，該線段即為直線的投影直線的投影線段用粗實(shí)線畫●投影特征：直線的投影為直線或點(diǎn)平行于投影面的直線其投影反映真長分段成比例AB12CDEFabcdefⅠⅡOVHZYHWYWX直線的投影圖二、直線的三面投影●作直線的三面投影圖VHXOZYWABa’b’a”b”ababa’b’a”b”●表示方法：

用小寫字母表示端點(diǎn)●特殊位置直線投影面平行線（平行線）投影面垂直線（垂直線）VHXOZYWc’d’cdc”d”DCVHXOZYWe’f’efFEf”e”dd’d”cc’c”f’e”efe’f”PS直線的相對(duì)位置§3.2直線的相對(duì)位置一、一般位置直線VHXOZYWABa’b’a”b”ab●直線與平面的夾角（線面角）：過直線作已知平面的垂直面，該面與已知平面的交線同已知直線的夾角，為直線與平面的夾角。ABabB0α●直線對(duì)投影面的傾角：直線與投影面的夾角。對(duì)H面:α;對(duì)V面:β;對(duì)W面:γA0αA’0βγA”0XOZYHYWaba’b’a”b”直線真長與傾角的圖解

●

三角形法：利用兩面投影的長度關(guān)系，作直角三角形，得到直線的真長和對(duì)某一投影面的傾角。直線的真長與傾角●輔助記憶：根據(jù)一面投影反映的兩個(gè)空間坐標(biāo)差；添加缺失的第三個(gè)坐標(biāo)差，滿足真長計(jì)算公式:L=(xA-xB)2+(yA-yB)2+(zA-zB)2VHXOZYWABa’b’a”b”abA0αA’0βαΔzA0ΔzΔyB0βΔxA”0γA”0γΔzΔzΔyΔyΔxΔxΔyΔx三角形法三角形法作圖●求直線的真長●求對(duì)投影面的傾角

H面上，對(duì)應(yīng)求αV面上，對(duì)應(yīng)求βW面上，對(duì)應(yīng)求γ

●兩種應(yīng)用[例]已知直線AB的兩面投影，作直線AB的真長及對(duì)投影面的傾角α、β及γ。aba’b’OXΔzαΔzA0ΔyYHYWZa”b”ΔxΔxβΔyA’0γΔxA”0a”b”γ真長真長Δya’b’βXOa’a三角形法作圖三角形法作圖（2）[例]直線AB長27mm，對(duì)投影面的傾角α=45、β=30，已知前方左下端A點(diǎn)的投影，作AB的兩面投影。[解題步驟]1.由真長、傾角作兩個(gè)三角形，分別得到ab、Δz和a’b’、Δy的長度；2.根據(jù)A的方位確定B點(diǎn)在A點(diǎn)的右側(cè)、后面、上方；3.分別作圓弧、平行線，得到相應(yīng)交點(diǎn)即為B點(diǎn)的兩面投影；[思考]如果B點(diǎn)的方位未知，可能的解有多少個(gè)？aΔzbΔya’b’β=30°27α=45°27bb’ΔzΔy圖解思考問題三角形法作圖（續(xù)）ABB4B1B5B2B6B3B7XOa’abb’b’2b3b2b1b’1b’3投影面平行線二、投影面平行線●特征：在平行的投影面上的投影反映真長，與投影軸的夾角為直線與另外兩個(gè)投影面的傾角；另兩個(gè)面的投影平行投影軸●水平線γβaba”b”a’b’Lab=LABab∧OX=βab∧OYH=γa’b’∥OXa”b”∥OYWLa’b’=LABa’b’∧OX=αa’b’∧OZ=γab∥OXa”b”∥OZ●正平線γaba”b”a’b’αLa”b”=LABa”b”∧OZ=βa”b”∧OYW=αa’b’∥OZab∥OYH●側(cè)平線βaba”b”a’b’α●鉛垂線aba”b”a’b’投影面垂直線三、投影面垂直線●特征：在垂直的投影面上的投影集聚為一點(diǎn)；直線在另兩個(gè)面的投影平行于相應(yīng)投影軸，且等于直線長度。La’b’=La”b”=LABα=90°;β=γ=0°a’b’∥a”b”∥OZ;a’b’⊥OXa”b”⊥OYW●正垂線aba”b”a’b’Lab=La”b”=LABβ=90°;α=γ=0°ab∥OYH;a”b”∥OYW

ab⊥OX;a”b”⊥OZLa’b’=Lab=LABγ=90°;β=α=0°a’b’∥ab∥OXa’b’⊥OZab⊥OYH

●側(cè)垂線aba”b”b”a’b’直線上的點(diǎn)§3.3直線上的點(diǎn)一、直線上的點(diǎn)●直線上點(diǎn)的投影必然落在直線的同名投影上●點(diǎn)分直線所成的比例與其投影分直線所成的比例相等aVHXZYWa’a”b”bOABb’cc’c”CXOZYHYWaba’b’a”b”cc”c’[例]已知直線EF和點(diǎn)S、P的投影；判斷點(diǎn)S、P是否在直線EF上。ee’ff’ss’pp’OX圖解直線上的點(diǎn)（1）圖解直線上的點(diǎn)（1）●在直線上作點(diǎn)的投影[例]已知C、D為直線AB上的點(diǎn)；AC=20mm；AD:DB=3:2；作C、D的投影。OXb’ba’ad’dcc’C020ΔyA0Δy●判斷點(diǎn)與直線的位置e”f”s”p”f’0p’0s’0[例]已知直線CD的兩面投影，求作直線上兩點(diǎn)E、F，使得CE:ED=1:3；F為V、W的等距點(diǎn)。c’d’c”d”[例]已知直線AB通過原點(diǎn)，且對(duì)V面的傾角β=30°，補(bǔ)全直線AB的三面投影。abOXZYHYW圖解直線上的點(diǎn)（2）圖解直線上的點(diǎn)（2）a’b’a”b”o’a’β=30°ΔyOAcde’e”fOc”0d”0f’f”XOaba’b’VHXO直線的跡點(diǎn)二、直線的跡點(diǎn)●跡點(diǎn)：直線與投影面的交點(diǎn)●表示：與H面：M；與V面：N；與W面：S●投影特性：M、N、S均為投影面上的點(diǎn)aa’bABb’n’mm’nNMm’Mmnn’N兩直線的相對(duì)位置§3.4兩直線的相對(duì)位置一、兩直線的相對(duì)位置●相互平行

投影特征：若空間兩直線相互平行，則兩直線的同名投影也平行

應(yīng)用：作已知直線的平行線；判斷兩條直線是否平行XOZYHYWaba’b’a”b”dcc’d’c”d”b’0cc’dd’l’1l1l’2l2l’3l3l’4l4l”1l”2l”3l”420O[例]已知直線AB和點(diǎn)C的投影，過C點(diǎn)作直線CD平行于AB，使CD=20mm,且與AB反向。[例]已知L1、L2、L3、L4四條直線的兩面投影，判斷四條直線的相對(duì)位置關(guān)系。XOcdd’c’aba’b’e’兩直線相交

●兩直線相交

投影特征：兩條直線投影的交點(diǎn)為直線焦點(diǎn)的投影，即直線投影的交點(diǎn)應(yīng)為同一個(gè)點(diǎn)的交點(diǎn)。VHXOaba’b’BAcdd’c’DCEe’eabb’a’cdd’c’ee’[例]過E點(diǎn)作水平線，與AB、CD都相交，交點(diǎn)分別為G、F。egfg’f’兩交叉直線

●兩交叉直線VHXO

交叉直線：既不平行又不相交的兩條直線

投影特征：直線在某一面上投影的交點(diǎn)不是直線的交點(diǎn)，而是兩直線對(duì)該投影面上的重影點(diǎn)的投影。aba’b’BAcdc’DCd’XOaba’b’cc’dd’1(2)1’2’34(3’)4’1(2)1’2’ⅠⅡⅢ43(3’)4’Ⅳ[例]作兩條交叉直線EF、GH的重影點(diǎn)。XZYHYWOee’ff’gg’hh’[例]作兩條交叉直線AB、CD的重影點(diǎn)。cdd’c’XZYHYWOaba’b’交叉直線的重影點(diǎn)

●交叉直線的重影點(diǎn)a”b”d”c”1’2’1”2”(1)23(4)3”4”345’6’565”(6”)Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ為AB上的點(diǎn)；Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ為CD上的點(diǎn)。Ⅰ、Ⅱ是對(duì)H面的重影點(diǎn)；Ⅲ、Ⅳ對(duì)V面，Ⅴ、Ⅵ對(duì)W面。Ⅰ、Ⅲ為EF上的點(diǎn)，Ⅱ、Ⅳ為CD上的點(diǎn)。Ⅰ、Ⅱ是對(duì)H面的重影點(diǎn)，Ⅲ、Ⅳ對(duì)V面，Ⅰ、Ⅳ對(duì)W面。e”f”g”h”1”

(4”)2”1(2)1’2’3’(4’)343”兩條直線垂直二、兩直線垂直，且一邊平行于投影面●兩直線垂直相交VHXOCBAabca’b’c’[原理]已知AB⊥BC，且AB∥H面，那么AB、BC的投影之間有何關(guān)系？[證明]作AB、CB的投影，得到ab、cb、a’b’、c’b’；則：Bb⊥H面；又：AB∥H面；則：AB⊥Bb;已知：AB⊥BC；則：AB⊥面BCcb；已知：AB∥H面；∴AB∥ab；∴ab⊥面BCcb因此：

ab⊥cb

[結(jié)論]兩直線相交成直角，當(dāng)一邊平行于某一投影面時(shí)，該直角在該投影面上的投影仍然為直角。[例]已知等腰三角形BC為正平線，頂點(diǎn)A在直線EF上，作△ABC的投影。

[分析]

等腰△底邊上的高垂直平分

底邊。OXff’be’ecc’b’[例]已知矩形ABCD的邊AB、AD的部分投影；補(bǔ)全ABCD的投影。

[作圖]AB∥W面AB⊥AD∴a”b”與a”d”垂直特殊直角投影特殊直角投影圖AB⊥BC；AB∥V面，則：a’b’⊥b’c’DE⊥EF；DE∥W面；則：d”e”⊥e”f”aa’bb’cc’OXOZe’e”f’d’d”f”c’c”d”a”a’b”b’d’OZd’a’a[例]求作點(diǎn)A到正平線BC的距離。

[分析]過點(diǎn)作直線垂直相交的直線，點(diǎn)到垂足的距離為點(diǎn)到直線的距離。

[作圖]過a’作b’c’的垂線，交點(diǎn)為d’；相應(yīng)作ad；作AD直線的真長

特殊直線的距離特殊直角投影應(yīng)用[例]求作兩直線AB、CD的距離。[分析]兩條交叉直線的距離是指與兩直線都垂直相交的線段的長度。圖中已知CD為正垂線，則與之垂直的直線為正平線，正平線又與AB垂直，則該正平線在正面的投影應(yīng)與a’b’垂直。OXaa’bcb’c’dd’△y△yLADOXaa’bb’cdc’d’efe’f’LEFVHXOCDBA交叉垂直直線●兩直線垂直交叉A0a