2020年高考數(shù)學一輪復習專題2.4函數(shù)的周期性、對稱性練習

＋f(1)＋

＋f(2)＋

＝________.【答案】2－1【解析】依題意知：函數(shù)為函數(shù)且周期為，則f(1)＋－＝，－＝f(1)，即f(1)0.∴＝＝

135＋＋111＋2111＋＝

1

＋f(0)＝22－＋－＝2－1.

11133111133112.已知函數(shù)f(x)的定義域為R.x<0時＝x－1≤≤時＝－f(x)x>時2

2＝A.－

.則＝)B.－1C.0D.2【答案】111【解析】當x>時由f(x＋)f(x－，得f(x)f(x1)∴f(6)＝f(1)，222又由題意知f(1)＝－－，－1)＝－＝－2.此f(6)＝－－1)＝答D3定義在R上函數(shù)f(x)滿f(x6)＝f(x)當3≤－1時f(x)＝－(x＋當－1≤x<3時f(x)＝x.則f(1)＋f(2)＋＋＋f(2018)等于)A．B．C．D．【答案】B【解析】∵＋＝f(x)，函數(shù)f(x)周期T＝6.∵當－≤－時，f(x)＝－(x2)；當－1≤x<3時，f(x)＝，∴＝，f(2)＝，f(3)＝－3)＝－，f(4)f(＝，f(5)＝f(－＝1，f(6)＝＝0，∴＋＋＋f(6)＝2016∴＋＋f(3)＋＋＋＝×＝336.6又f(2017)＝＝，f(2018)＝f(2)＝，∴＋＋f(3)＋＋＝339.故選B.1，－≤x<0，4.設f(x)是定義在R上周期為2的數(shù)，在區(qū)－11]上f(x)＝，≤≤，1

其中ab∈R.若f

f

，則a＋3b的為_______．【答案】－【解析】因f(x)是定義在R上且周期為2的數(shù)，所以f

2

且f(－1)＝，1b＋21故f＝－＋1，即3a＋2b＝2.12＋2b＋2由f(－＝f(1)，得－＋＝，＝2a.2由①②得a＝，＝4，從而a3b＝10.

考二對性【例21已定義在上函數(shù)

滿足,且

為偶函數(shù)若

在

內(nèi)單調(diào)遞減，則下面結論正確的是（）A．BC．D（2）已函數(shù)

滿足，當∞，則的大小關系是（）

時，數(shù)

單調(diào)遞減，設A．B．．D（3）知函數(shù)

是偶函數(shù)，且函數(shù)

的圖象關于點

成中心對稱，當

時，，則A．B．C．0．2【答案】（）（）（）【解析】（），可得，又

為偶函數(shù)，

的圖像關于

對稱，所以，.又.故選B.

在

內(nèi)單調(diào)遞減（）據(jù)題意，函數(shù)

滿足，函

關于直線

對稱，又由當∞

時，函數(shù)

單調(diào)遞減，則函數(shù)在∞上單遞增，又由，，，則有，選B.（）據(jù)題意，函數(shù)

是偶函數(shù)，則函數(shù)

的對稱軸為，有，又由函數(shù)

的圖象關于點，

成中心對稱，則，則有，即變形可得，函是周期為8的周期函數(shù)，；故選D．

【路結一．對稱軸常見類型1.

f(x)f()fx)圖像關于直線x

對稱2.

f(ax)f(a)yf()

的圖象關于直線

x

對稱3.

f())y(x

的圖象關于直線

x

對稱4.

f(fyf(x

的圖象關于直線

x

對稱二．對稱中心常見類型1.(x)+f()=2cy()圖像關于(

,c)對稱2.

f((a)2bf()

的圖象關于點

(a)

對稱3.

f(x)f)bf()

的圖象關于點

(a)

對稱4.

f(f(2a)2yf(x

的圖象關于點

(,)

對稱三．周期與對稱性的區(qū)分若若

f(x)()，則f(x)f(a)(b)，fx

具有周期性；具有對稱性：“內(nèi)表周性內(nèi)表示稱”【舉一反三】1．設函數(shù)

的定義域為，

在

上單調(diào)遞減，且

為偶函數(shù)，則下列結論正確的是A．B．C．D．【答案】【解析】

為偶函數(shù)，則，函數(shù)圖像關于直線

對稱，在

上單調(diào)遞減，則

在

上單調(diào)遞增，由對稱性可得，于，故，.題選擇C選2．定義在上函數(shù)

滿足以下三個條件：①對于任意的，有；

②函數(shù)

的圖象關于軸稱；③對于任意的，有則、、A．C．

從小到大的關系是（）B．D．【答案】【解析】①對于任意的，有,以函數(shù)的周期為T=2;②函數(shù)

的圖象關于軸稱所函數(shù)f(x)于直線x=1對；③對于任意的，有，所以函數(shù)在（0,1）單調(diào)遞增，因為f(3)=f(1),f()=f(),f(2)=f(0),1＞0所以，故選：D3．已知（）定義域為-∞+∞）的奇函數(shù)，滿足（1-x=f（1+x）（），（-1+f（）=（）A．4

B．0C．．【答案】【解析】根據(jù)題意，（）定域為（－∞+）的奇函數(shù)，且f（），則f（－）－（）－，又由f（）滿足（－）（），則函數(shù)（）的對稱軸為x=1，則f（）=f（－）－（）－，（1）+f3）－；故：．4．已知定義在上函數(shù)，

滿足，函數(shù)

的圖象關于（）A．直線

對稱B．直線

對稱

C．原點對稱D．軸對【答案】【解析】設函數(shù),所有定義域為，以函數(shù)

是上偶函數(shù)，圖象關于軸稱，也就是關于直線因此函數(shù)

對稱.而的圖象關于直線

的圖象是由函數(shù)對稱，故本題選B.

向右平移一個單位長度得到的。π5已知函數(shù)

的圖象上關于軸稱的點至少3則數(shù)的取值范且圍是（）

，所以，即，所以，即A．B．C．D【答案】【解析】若，，因為

時，

ππ

π

，所以若則有設

π

π關于軸稱，π，畫出函數(shù)的圖像：

，要使

π

與

的圖像至少有3個點，則

且滿足，，解得，故選?？既瘮?shù)基性的合運【例3】設是定義在R上周期4的函數(shù)，若在區(qū)間[－2,0)∪(0,2]上，＝≤x<0，≤，

則f(2021)＝________.（）知f(x)是義域為－∞＋∞的奇函數(shù)，滿足f(1x)＝f(1＋．f(1)＝，f(1)f(2)＋＋＋f(50)＝________.（知數(shù)

滿足：

時，

∞

若不等式

恒成立，則實數(shù)的值范圍是。1【答案】（）－（）（）2

【解析】（）0<x≤，則－≤－x<0f(－x)－ax＋b.因為f(x)是定義在R上期為4的奇函數(shù)，所以f(－x)－f(x)＝－ax＋＝－＋，以b＝1.f(12)＝f(－＋4)＝f(2)，以－2a＝2a－，解得a，211所以f(2021)＝f(1)＝×－＝.22

（）f(x)是函數(shù)，f(－x)－f(x)∴f(1x)＝－－．∵f(1－＝f(1＋，∴－－1)＝f(x＋，∴＋＝－f(x)，∴＋＝－f(x＋＝－[－f(x)]＝f(x)，∴函數(shù)f(x)是周期為4的周函數(shù)．由f(x)為函數(shù)且定義域為R得f(0)，又∵－x)＝f(1＋，∴f(x)圖象關于直線＝1稱，∴f(2)＝f(0)＝，∴－＝又f(1)＝，∴f(－1)＝－2，∴f(1)＋＋f(3)＋f(4)f(1)＋f(2)＋－＋＝＋－＋＝，∴＋＋f(3)＋＋＋f(49)f(50)×12＋f(49)＋f(50)＝＋f(2)＝＋＝（），知函數(shù)

圖像關于直線

對稱，作出函數(shù)

示意圖，如圖所示.顯然，當

時，，

′

，由題意，切線斜率為所以，得

所以在切點

的切線方程為，，由

恒成立，可得

圖像與

的圖像相切或恒在

圖像的上方，故所求的圍為

【舉一反三】1.已知定義在上的函數(shù)f(x)足f(x－4)－f(x)且在區(qū)間0,2]上增函數(shù)，則－25)，，f(80)的小關系________．【答案】f(－25)<f(80)<f(11)【解析】因f(x)滿足f(x－4)＝f(x)，所以f(x－＝f(x)，以函數(shù)f(x)是以8為期的周期函數(shù)，則－25)＝－f(80)＝f(0)f(11)＝．由f(x)是義在R上奇函數(shù)且滿足f(x－4)－f(x)得f(11)＝＝f(－1)＝f(1)．因為f(x)在區(qū)間0,2]上增函數(shù)f(x)R上奇函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間－2,2]上增數(shù)，所以f(1)<f(0)<f(1)．所以f(－25)<f(80)<f(11)．2.已知函數(shù)g(x)是R上奇函數(shù)，且當x<0時g(x)＝－ln(1－，數(shù)＝x，實數(shù)x的值范圍________

若f(6－

【答案】(－3,2)【解析】∵g(x)是函數(shù)，∴當時，x<0g(x)＝－g(－＝ln(1＋，易知f(x)在R上是增函數(shù)，由f(6x)>f(x)可得－>x，即x＋－，－3.若函數(shù)f(x)是義在R上偶函數(shù)，且在區(qū)[，＋)上是單調(diào)增函數(shù)．如果實數(shù)t滿足f(lnt)f1

≤2f(1)，么t的值范圍________．1【答案】e【解析】f(ln＋

1

＝＋－lnt)＝2f(lnt)2f(|ln，于是f(lnt)＋

1

1≤2f(1)，以f(|ln≤，所以lnt|1，所以1≤lnt≤1，所以≤e≤e.1－44.已知函數(shù)f(x)＝x－＋，則關于不等式f(1x)＋f(5x－的集為________2【答案】(2,3)1－4－【解析】因f(－x)＝sin(－x)＋＋＝－sinxx＋＝f(x)，221所以f(x)為奇函數(shù)．又因為f(x)＝sin－＋－，2所以易判斷f(x)在R上調(diào)遞減，所以f(1x)＋f(5x－7)<0即f(1－x)<f(7－5x)，所以1－>7－5x即－5x6<0解得2<x<3.【運用路】紙上得來終覺絕知事要躬1．若函數(shù)

的圖像與函數(shù)

的圖像關于直線

對稱，則（）A．10B．C．D．-2【答案】【解析】

與

關于

對稱

為

的反函數(shù)本題正確選項：2．已知函數(shù)f（）（x∈）足fx）（2-x，且對任意的x，∈-∞，1]（≠）（-x）（（）（）＜．（）A．C．【答案】

B．D．

π時，f（）＝x+sinxπ時，f（）＝x+sinx是增函數(shù)，以π【解析】∵當x，∈-∞，1]（x時有（-x（f（）-f（x）＜，∴（）（∞1]上單調(diào)遞，∵（）=f（2-x）∴函f）的圖象關于對稱，則（）∈1，+∞）上單調(diào)遞增∴（）=f（）（）＞f（）即f（-1）＞（2）f（）故選B．3數(shù)

滿足

為偶函數(shù)在∞上為增數(shù)若

與的大小關系是A．C．【答案】【解析據(jù)意數(shù)

滿足

B．D．不能確定為偶函數(shù)函

的對稱軸為則有，又由

在∞上為增函數(shù)，則

在∞

上為減函數(shù)，若，，由，則，則有，由，，選A．4．已知函數(shù)f(x)=fπ

),且當

π

π

時，f(x)=x+sinx,設(1),b=f(2),c=f(3),則A．a(chǎn)<b<c【答案】

B．b<c<a

C．c<b<aD．c<a<b【解析】由f（）f（π﹣），（）圖象關于x

對稱，又當

π

ππ

，（）減函數(shù)，又f（）＝f（π﹣）＜＜π﹣＜，由單調(diào)性可得（）＞（π﹣）＞f（），即b＞＞．選D．5．已知函數(shù)，則不等式

的解集為（）A．B．（）．∞∞D(zhuǎn)．【答案】【解析】不等式f（）﹣f（）＜價為f（x+1＜f（），∵（）＝x

+log|x|，∴f（x）＝（﹣x）+log﹣x|x

+log|x|＝（）則函數(shù)（）偶函數(shù)，且當x0時，（）＝+log為增函數(shù)，則不等式f（x+1）＜f（）價為f|x+1|＜（2），∴|x+1|＜且x+1≠，即﹣＜＜≠1，

則﹣3＜＜且x≠﹣，不等式的解集為（，﹣）（1，1），故選：．6函

關于直線

對稱

在∞上調(diào)遞增，，，，則，，的小關系是（）A．B．C．【答案】【解析】因為

關于直線

對稱所以

關于y軸稱因為

在∞上單遞增所以

在∞，上調(diào)遞減因為>,<0根函數(shù)對稱性及單調(diào)性可知

所選7．已知函數(shù)

為偶函數(shù)，且函數(shù)

與

的圖象關于直線

對稱，若，A．B．．D．【答案】【解析】∵（）g（）圖象關于直線y=x對，且g（2）=3,∴（）∵（）偶函數(shù)∴（3）（）=2故答案為B.8．已知定義在上函數(shù)

在∞上調(diào)遞減，且

是偶函數(shù)，不等式

對任意的

恒成立，則實數(shù)的值范圍是（）A．B．C．∞∞．∞∞【答案】【解析】

是偶函數(shù)∴，∴

的圖像關于

對稱，由

得，∴，得，故選．9．設函數(shù)f(x)定在實數(shù)集上f(2x)＝，且當≥1時，＝lnx，有A．B．C．D．【答案】【解析】函數(shù)滿足f(2－＝，則：，，當x≥時，f(x)＝lnx，函數(shù)在區(qū)間∞單調(diào)遞增，

由函數(shù)的單調(diào)性可得：，故本題選擇C選項10．已知函數(shù)

的定義域為的函數(shù)，當

時，，，，則A．B．C．D．【答案】【解析】因為，以函數(shù)圖像關于

對稱因為

的定義域為的函數(shù)，所以函數(shù)的周期為T=4以因為函數(shù)圖像關于

對稱所以

所以選B11數(shù)

的圖象關于直線

對稱圖所示方程

的所有根之和）A．8

B．6C．4D2【答案】【解析】因為，所以f(x)=2或，由函數(shù)

的圖象得f(x)=2有兩個根，，且兩個根關于直線對稱，所以×，同理f(x)=3的兩個根的和為，所以方程選：A

的所有根之和為4+4=8故12．定義在上的函數(shù)

滿足，當

時，，函數(shù)，則

與

的圖象所有交點的橫坐標之和為（）A．3

B．4C．5D6【答案】【解析】由偶函數(shù)f（）足（）＝1﹣）可得（x）的圖象關于直線x＝1對且關于軸對稱，函數(shù)g（）＝e

（1＜x＜）圖象也關于直線＝對，

函數(shù)y＝（）圖象與函數(shù)g）＝e

（﹣1＜x＜）圖象的位置關系如圖所示，可知兩個圖象有四個交點，且兩兩關于直線x＝1對稱則f（）（）圖象所有交點的橫坐標之和為4故選：．【點睛】13．已知函數(shù)

的圖象關于

對稱，則

的解集為（）A．C．∞【答案】

B．D．∞【解析意函數(shù)

的圖象關于

對稱.解得所以

即.整理得到

解得

.故答案為：A.14．已知定義域的奇數(shù)

的圖像關于直線

對,且

時,則（）A．B．C．D．【答案】【解析】∵（）奇函數(shù)，且象關于＝稱；f2﹣）＝f（）又0≤≤時，（）＝x

；∴．故選：．15．已知函數(shù)

在∞上單遞減，且

是偶函數(shù)，則，，

的大小關系是（）A．【答案】【解析】由

B．C．．是偶函數(shù)可得其圖象的對稱軸為，所以函數(shù)又函數(shù)

的圖象關于直線對稱．在∞上調(diào)遞減，所以函

在∞

上單調(diào)遞增．

因為，以，即．選D．16．若函數(shù)

的圖象上各點的縱坐標保持不變，橫坐標變?yōu)樵瓉恙?/p>

倍，所得函數(shù)的圖象與函數(shù)A．【答案】

圖象上存在關于原點對稱的點，且的小值為，則實λB．2C．3D

()【解析】∵函數(shù)

的圖象上各點的縱坐標保持不變，橫坐標變?yōu)樵瓉?/p>

倍，∴所得圖象的對應函數(shù)解析式為

，即

λ.因為曲線，所以當曲線

λ關于原點對稱的曲線為λ與線

有交點時，滿足題意，故方程

λ

有解，即令

λ有，λ（）可知直線

與

的圖象有交點.又′，令′，得，（舍去），故當

時，′，

單調(diào)遞減；當故

時，′，

單調(diào)遞增，λ，故

λ，以的小值為

λ，，故選A.又的小值為，解得λ

λ

，17．已知函數(shù)

滿足，A．【答案】

B．C．

D．【解析】函是函數(shù)

滿足，的對稱軸，是偶函數(shù)，圖象關于y軸軸，

向右平移兩個單位，得到，，，．選B18．已知函數(shù)A．2B．C．D．【答案】

滿足，則【解析】由于，所以

是

圖象的對稱軸又將所以

是偶函數(shù)，其圖象關于y軸對稱的圖象向右平移1個位，可得則有

的圖象，則故選：19函

是定義域為R的偶數(shù)

在∞上調(diào)遞減等的解集為（）A．∞B．C．D【答案】【解析】因為函數(shù)

是定義域為的偶數(shù)，所以函數(shù)

關于軸稱，即函數(shù)

關于

對稱，因為函數(shù)

在，∞上調(diào)遞減，所以函數(shù)

在∞，上調(diào)遞增，因為，所以

到對稱軸的距離小于

到對稱軸的距離，即，，化簡可得，，解得，選D。20．已知函數(shù)

是∞∞上奇函數(shù)，且

的圖象關于

對稱，當

時，，則

的值為A．B．C．0D1【答案】【解析】根據(jù)題意，函數(shù)

的圖象關于

對稱，則，由函數(shù)

是∞∞上奇函數(shù)，則，有，變形可得，函數(shù)是周期