蘇北四市2022屆高三第二學(xué)期開學(xué)模擬考試數(shù)學(xué)（解析板）

蘇北四市2022屆高三第二學(xué)期開學(xué)模擬考試數(shù)學(xué)I一、填空題：本大題共14個(gè)小題,每小題5分,共70分.1．已知集合，，則__．答案：解析：由題意得，所以。2．復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)為__．答案：解析：由題意得，所以共軛復(fù)數(shù)為。開始輸入xx≤0y←log2開始輸入xx≤0y←log2x輸出y結(jié)束y←2xNY（第5題圖）答案：2000解析：由題意得乙生產(chǎn)線生產(chǎn)了件產(chǎn)品。4．已知函數(shù)是奇函數(shù)，則的值為__．答案：-2解析：由于為奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，由題意得=5．閱讀右面的流程圖.若輸入x的值為8，則輸出y的值為__．答案：3解析：由題意得，若輸入x的值為8，走的是右側(cè)分支，所以輸出y的值為3。6．若x,y滿足條件的最大值等于．答案：25解析：提示，根據(jù)二次規(guī)劃，在直角坐標(biāo)系中畫圖得出x,y的取值區(qū)域，令，得出使得一次函數(shù)在y軸截距最大的點(diǎn)，代入求得。7．已知，，且，則=__．答案：解析：由題意得8．先后投擲一顆質(zhì)地均勻的骰子兩次，得到其向上的點(diǎn)數(shù)分別為，，設(shè)向量，則滿足的概率為__．答案：解析：，所以的取值共有13種，分別為所以滿足條件的概率為9．已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，若，則的最大值__．答案：25解析：因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以。10．已知，為正實(shí)數(shù)，函數(shù)在上的最大值為，則在上的最小值為__．答案：解析：11．設(shè)是實(shí)數(shù)．若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，但不是偶函數(shù)，則函數(shù)的遞增區(qū)間為__．答案：解析：由題意得f（-x）=-f（x），即：|-x+a|-|-x-1|=-|x+a|+|x-1|，∴a=1或-1．

a=-1，f（x）=0是偶函數(shù)不對，a=1時(shí)，分情況討論可得，，所以函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為12.設(shè)SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0為過點(diǎn)SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0的傾斜角,若當(dāng)SKIPIF1<0最大時(shí),直線SKIPIF1<0恰好與圓SKIPIF1<0相切,則SKIPIF1<0.答案：解析：當(dāng)同向時(shí)，取最大值，所以，所以直線的方程為，直線SKIPIF1<0恰好與圓SKIPIF1<0相切，所以。13．已知函數(shù)，，若函數(shù)有6個(gè)不同的零點(diǎn)。則實(shí)數(shù)的范圍是.答案：解析：畫出函數(shù)的函數(shù)圖象，可以知道必須有兩個(gè)解才能使有6個(gè)不同的零點(diǎn)，且的兩個(gè)解必須滿足，所以有，解得。14．已知且滿足，則的最小值為.答案：解析：將上述等式寫成兩個(gè)函數(shù)為，目標(biāo)函數(shù)的物理含義就是兩個(gè)函數(shù)的最短距離，找出函數(shù)的切線與直線平行那個(gè)點(diǎn)為（3，3+3ln3）,該點(diǎn)到直線的距離為則的最小值為二、解答題：本大題共6小題，共90分.15．（本小題滿分14分）在斜三角形中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c（1）若，求的值；（2）若，求的值.解：（1）由正弦定理，得．從而可化為．………………3分由余弦定理，得．整理得，即.………7分（2）在斜三角形中，，所以可化為，即．…………10分故．整理，得，………………12分因?yàn)椤鰽BC是斜三角形，所以sinAcosAcosC，所以．…………14分16．（本小題滿分14分）A（第16題）BCDD1C1BA（第16題）BCDD1C1B1A1M（1）；（2）.證明：（1）取線段的中點(diǎn)，連結(jié)、，因?yàn)?，，所以，．…………?分又，平面，所以平面．而平面，所以.…………7分（2）因?yàn)?，平面，平面，所以平面．………………?分又平面，平面平面，…………11分所以．同理得，A（第16題）BCA（第16題）BCDD1C1B1A1M17．（本小題滿分14分）如圖，現(xiàn)有一個(gè)以為圓心角、湖岸與為半徑的扇形湖面.現(xiàn)欲在弧上取不同于的點(diǎn)，用漁網(wǎng)沿著弧(弧在扇形的弧上)、半徑和線段(其中)，在該扇形湖面內(nèi)隔出兩個(gè)養(yǎng)殖區(qū)域——養(yǎng)殖區(qū)域Ⅰ和養(yǎng)殖區(qū)域Ⅱ.若.（1）用表示的長度；（2）求所需漁網(wǎng)長度(即圖中弧、半徑和線段長度之和)的取值范圍．解：(1)由CD∥OA，∠AOB＝eq\f(π,3)，∠AOC＝θ，得∠OCD＝θ，∠ODC＝eq\f(2π,3)，∠COD＝eq\f(π,3)－θ.在△OCD中，由正弦定理，得CD＝eq\f(2,\r(3))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－θ))，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))6分(2)設(shè)漁網(wǎng)的長度為f(θ)．由(1)可知，f(θ)＝θ＋1＋eq\f(2,\r(3))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－θ))…8分所以f′(θ)＝1－eq\f(2,\r(3))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－θ))，因?yàn)棣取蔱q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))，所以eq\f(π,3)－θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))，令f′(θ)＝0，得coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－θ))＝eq\f(\r(3),2)，所以eq\f(π,3)－θ＝eq\f(π,6)，所以θ＝eq\f(π,6).θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))eq\f(π,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))f′(θ)＋0－f(θ)極大值所以f(θ)∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(2，\f(π＋6＋2\r(3),6))).故所需漁網(wǎng)長度的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(2，\f(π＋6＋2\r(3),6)))…14分18．（本小題滿分16分）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)與橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線相互垂直. （1）求橢圓的方程； （2）過點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn),設(shè)點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，，求證：為定值.解:（1）依題意，由已知得，，由已知易得,解得.…………………3分則橢圓的方程為.…………………4分(2)=1\*GB3①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由解得.設(shè)，，則為定值……………6分=2\*GB3②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：.將代入整理化簡，得……7分依題意，直線與橢圓必相交于兩點(diǎn)，設(shè)，，則，.………9分又，， 所以…………………10分…………………15分綜上得為常數(shù)2.………16分19．（本小題滿分16分）已知函數(shù)，并設(shè)，（1）若圖像在處的切線方程為，求、的值；（2）若函數(shù)是上單調(diào)遞減，則①當(dāng)時(shí)，試判斷與的大小關(guān)系，并證明之；②對滿足題設(shè)條件的任意、，不等式恒成立，求的取值范圍．解：（1）因?yàn)椋?，………?分又因?yàn)閳D像在處的切線方程為，所以，即，解得，．…………4分（2）①因?yàn)槭巧系膯握{(diào)遞減函數(shù)，所以恒成立，即對任意的恒成立，…………6分所以，所以，即且，令，由，知是減函數(shù)，故在內(nèi)取得最小值，又，所以時(shí)，，即．…………10分②由①知，，當(dāng)時(shí)，或，因?yàn)?，即，解得，或，所以，而，所以或?不等式等價(jià)于，變?yōu)榛蚝愠闪?，，………………?2分當(dāng)時(shí)，，即，所以不等式恒成立等價(jià)于恒成立，等價(jià)于，……………14分而，因?yàn)?，，所以，所以，所以，所以，所以．……?6分20．(本小題滿分16分)數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，它的前項(xiàng)和記為，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，它的前項(xiàng)和記為．若，且存在不小于的正整數(shù)，使．（1）若，，，，求．（2）若，，試比較與的大小，并說明理由；（3）若，是否存在整數(shù)，使，若存在，求出的值；若不存在，說明理由．解：（1），即，，．………3分（2）依題意，，且，顯然．又，所以，………6分設(shè)，它是關(guān)于的二次函數(shù)，它的圖象的開口向上，它的對稱軸方程，故是上的增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，即，所以．………9分（3）依題意：，由得：，即，，………12分所以，因?yàn)?，故，且，且為奇?shù)則其中時(shí)，是整數(shù)，故，且．………16分第Ⅱ卷（附加題共40分）21.【選做題】在A，B，C，D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計(jì)20分。B．選修4—2矩陣與變換已知二階矩陣A有特征值及對應(yīng)的一個(gè)特征向量和特征值及對應(yīng)的一個(gè)特征向量，試求矩陣A．解：設(shè)矩陣，這里，因?yàn)槭蔷仃嘇的屬于的特征向量，則有①，………4分又因?yàn)槭蔷仃嘇的屬于的特征向量，則有②，………6分根據(jù)①②，則有…………………8分從而因此，………………10分C．選修4—4參數(shù)方程與極坐標(biāo)在極坐標(biāo)系中，設(shè)直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，求線段中點(diǎn)的極坐標(biāo)．解：（方法1）將直線化為普通方程得，，將曲線化為普通方程得，,……4分聯(lián)立并消去得，，解得，，所以AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，……8分化為極坐標(biāo)為．……10分（方法2）聯(lián)立直線與曲線的方程組……2分消去，得，解得，，……6分所以線段中點(diǎn)的極坐標(biāo)為，即．……10分（注：將線段中點(diǎn)的極坐標(biāo)寫成的不扣分．）D．選修4—5不等式證明選講已知正數(shù)，，滿足，求證：．證明：…………4分（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立）．…………10分

22．（本題滿分10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，在拋物線上．（1）求，的值；（2）過點(diǎn)作垂直于軸，為垂足，直線與拋物線的另一交點(diǎn)為，點(diǎn)在直線B（第22題）yxOACPM上．若，，的斜率分別為，，，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)．B（第22題）yxOACPM解：（1）將點(diǎn)代入，得，……2分將點(diǎn)代入，得，因?yàn)?，所以．…?分（2）依題意，的坐標(biāo)為，直線的方程為，聯(lián)立并解得，……6分所以，代入得，，……8分從而直線的方程為，聯(lián)立并解得．……10分23．（本題滿分10分）設(shè)，在集合的所有元素個(gè)數(shù)為2的子集中，把每個(gè)子集的較大元素相加，和記為，較小元素之和記為．（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）求證：對任意的，