因素模型與套利定價(jià)理論

因素模型與套利定價(jià)理論第一頁，共四十六頁，2022年，8月28日第一節(jié)因素模型一、單因素模型的起因

假定公司收益的不確定性只有以上兩種來源，即對所有公司都有影響的宏觀經(jīng)濟(jì)因素和單個(gè)公司特有的因素，這樣就可以把公司的持有期收益率寫成如下形式：

（6-1）

其中，為該證券在持有期期初時(shí)的期望收益率，為持有期間非預(yù)期的宏觀經(jīng)濟(jì)事件對證券收益率的影響，為非預(yù)期的公司特有事件對證券收益率的影響。2第二頁，共四十六頁，2022年，8月28日將非預(yù)期的宏觀經(jīng)濟(jì)因素記為F，并假設(shè)不同公司對該因素有不同的敏感度，記為βi

，上式演變成：

（6-2）公司收益率的方差為：

（6-3）不同公司收益率之間的協(xié)方差為：

（6-4）第三頁，共四十六頁，2022年，8月28日二、單指數(shù)模型Sharpe用股票指數(shù)的收益率代替了單因素模型中的宏觀影響因素，稱為單指數(shù)模型：

（6-5）

寫成風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)或者超額收益的形式，可以得到：

（6-6）

或者寫成

（6-7）4第四頁，共四十六頁，2022年，8月28日求出股票i的收益和市場指數(shù)收益之間的協(xié)方差為

（6-8）如果對（6-8）兩邊取期望，我們可以得到

（6-9）第五頁，共四十六頁，2022年，8月28日三、多因素模型兩因素模型為例，假設(shè)宏觀經(jīng)濟(jì)風(fēng)險(xiǎn)主要來源于經(jīng)濟(jì)周期和利率的變化。這樣以來，我們就能用GDP的增長率和利率水平來衡量系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)。任何股票的收益率將同時(shí)受到這兩個(gè)因素以及公司自身特有因素的影響，可以將其寫成:

（6-10）其中，為因子載荷。第六頁，共四十六頁，2022年，8月28日例：使用多因素模型來進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)評估以東北航空公司為例，其兩因素模型估計(jì)結(jié)果如下：r=0.133+1.2GDP-0.3IR+ei

這說明基于現(xiàn)有的信息，東北航空公司的期望收益率為13.3%，但如果在預(yù)期的基礎(chǔ)上GDP每增加一個(gè)百分點(diǎn)，股票的收益率將增加1.2%，但是對于非預(yù)期的利率每增加一個(gè)百分點(diǎn)，股票收益率將降低0.3%。第七頁，共四十六頁，2022年，8月28日多因素證券市場線

多因素模型僅是用來描述影響證券收益的因素。可是，E(r)從哪兒來？

在兩因素經(jīng)濟(jì)中，風(fēng)險(xiǎn)能夠用式（6-10）衡量，證券的期望收益率是以下三項(xiàng)之和：1

)無風(fēng)險(xiǎn)收益率；2)對GDP風(fēng)險(xiǎn)的敏感度乘以GDP風(fēng)險(xiǎn)的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)；3)對利率IR風(fēng)險(xiǎn)的敏感度乘以IR風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)。

根據(jù)資本資產(chǎn)定價(jià)模型：

第八頁，共四十六頁，2022年，8月28日多因素證券市場線

E(r)=rf+β[E(rM)-rf]（6-11）

若以RPM來表示市場組合的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)，那么式（6-11）可以變換為：

E(r)=rf+βRPM(6-12)

(6-13)式中βGDP表示證券收益對不可預(yù)測的GDP增長的敏感度，RPGDP指和GDP相關(guān)的一個(gè)單位風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)。顯然，多因素模型提供了一個(gè)比單指數(shù)模型或CAMP更豐富多彩的方法來處理風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償。第九頁，共四十六頁，2022年，8月28日例：多因素證券市場線上例中，東北航空公司GDP的β為1.2，利率的β為-0.3，假設(shè)GDP單位風(fēng)險(xiǎn)的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)為6%，利率單位風(fēng)險(xiǎn)的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)為-7%，假設(shè)無風(fēng)險(xiǎn)利率為4%，公司股票的收益率β是多少呢？4.0%無風(fēng)險(xiǎn)利率+1.2*6%+GDP風(fēng)險(xiǎn)的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)+(-.3)*(-7%)+利率風(fēng)險(xiǎn)的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)總計(jì)：13.3%總收益

用（10-5）式計(jì)算的結(jié)果：E(r)=4%+1.2*6%+(-0.3)*(-7%)=13.3%第十頁，共四十六頁，2022年，8月28日例題假定F1與F2為兩個(gè)獨(dú)立的經(jīng)濟(jì)因素。無風(fēng)險(xiǎn)利率為6%，并且，所有的股票都有獨(dú)立的企業(yè)特有(風(fēng)險(xiǎn))因素，其標(biāo)準(zhǔn)差為45%。下面是優(yōu)化的資產(chǎn)組合。資產(chǎn)組合F1的貝塔值F2的貝塔值期望收益率A1.52.031

B

2.2

-0.2

27在這個(gè)經(jīng)濟(jì)體系中，試計(jì)算期望收益-貝塔的關(guān)系如何？第十一頁，共四十六頁，2022年，8月28日第十二頁，共四十六頁，2022年，8月28日套利，利用證券定價(jià)之間的不一致進(jìn)行資金轉(zhuǎn)移，從中賺取無風(fēng)險(xiǎn)利潤的行為稱為套利。粗略地講就是指投資者以零投資，在不承擔(dān)任何風(fēng)險(xiǎn)的情況下，獲取正收益的投資行為。套利過程中所構(gòu)造的投資組合就被稱為套利組合。具體來說，套利機(jī)會可以分為兩類，第一類套利我們又稱為強(qiáng)套利（StrongArbitrage），它是指投資組合在期初有嚴(yán)格負(fù)的價(jià)格，但是卻能在未來提供非負(fù)的收益。第二類套利是指投資組合在期初的價(jià)格為零，但是在未來卻能獲得非負(fù)且不等于零的收益。第二節(jié)套利與套利組合第十三頁，共四十六頁，2022年，8月28日套利的特點(diǎn)是：1）無投資需要,投資者可建立大的頭寸來獲取高利潤；2）在有效市場內(nèi),有利的套利機(jī)會會很快消失。套利定價(jià)理論的三個(gè)基本假設(shè)：1）因素模型能描述證券收益；2）市場有足夠多的證券來分散非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)；3）完善的證券市場不允許有持續(xù)性的套利機(jī)會。14第十四頁，共四十六頁，2022年，8月28日套利定價(jià)理論簡介

羅斯（Ross，1976）給出了一個(gè)以無風(fēng)險(xiǎn)套利定價(jià)為基礎(chǔ)的多因素資產(chǎn)定價(jià)模型，也稱套利定價(jià)理論模型（ArbitragePricingTheory，APT）。該模型由一個(gè)多因素收益生成函數(shù)推導(dǎo)而出，其理論基礎(chǔ)為一價(jià)定律（TheLawofOnePrice），即兩種風(fēng)險(xiǎn)－收益性質(zhì)相同的資產(chǎn)不能按不同價(jià)格出售。該模型推導(dǎo)出的資產(chǎn)收益率決定于一系列影響資產(chǎn)收益的因素，而不完全依賴于市場資產(chǎn)組合，而套利活動則保證了市場均衡的實(shí)現(xiàn)。同時(shí)，APT對CAPM中的投資者風(fēng)險(xiǎn)厭惡的假設(shè)條件作了放松，從而較CAPM具有更強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)解釋能力。第十五頁，共四十六頁，2022年，8月28日套利與均衡套利與風(fēng)險(xiǎn)收益的支配性觀點(diǎn)相比較，兩者在支持均衡價(jià)格關(guān)系上存在重要區(qū)別：一個(gè)支配性的觀點(diǎn)認(rèn)為，當(dāng)均衡關(guān)系被打破時(shí)，許多投資者將改變他們的組合，雖然每一個(gè)投資者將根據(jù)其風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度只進(jìn)行有限的改變，但這許多有限的資產(chǎn)組合改變的集合將引起大規(guī)模的買賣活動以使均衡價(jià)格得到恢復(fù)；APT理論認(rèn)為：當(dāng)套利機(jī)會存在時(shí)，每一個(gè)投資者總想盡可能地?fù)碛休^多頭寸，因此無需很多的投資者參與就可以帶來足夠的價(jià)格壓力使其恢復(fù)均衡。第十六頁，共四十六頁，2022年，8月28日套利組合套利組合：與CAPM相比，APT的假設(shè)條件少，使用比較方便。一個(gè)套利組合只要滿足三個(gè)條件：①套利組合要求投資者不追加資金。用Xi表示持有證券i的金額和權(quán)重的變化，Xi可正可負(fù)。即X1+X2+X3+….+Xn=0；②套利組合對任何因素的敏感度為零，即套利組合沒有因素風(fēng)險(xiǎn)；β1X1+β2X2+β3X3+….+βnXn=0③套利組合的預(yù)期收益率大于零。r1X1+r2X2+r3X3+….+rnXn>0第十七頁，共四十六頁，2022年，8月28日例6—1假設(shè)經(jīng)濟(jì)中有A、B、C、D四只股票，每個(gè)股票在一期時(shí)的收益受到一期時(shí)的通貨膨脹率和利率水平的影響。下面給出了各股票在不同經(jīng)濟(jì)形勢下的收益狀況：假設(shè)每種經(jīng)濟(jì)形勢發(fā)生的概率都等于25％，而且在零期每種股票的價(jià)格都等于1元，那么在這種價(jià)格水平下，市場是否存在套利組合？（p115)第十八頁，共四十六頁，2022年，8月28日二、套利的幾何意義圖6-1在陰影區(qū)域的投資組合價(jià)格為負(fù)第十九頁，共四十六頁，2022年，8月28日圖6-2兩個(gè)證券在不同狀態(tài)下的收益狀況第二十頁，共四十六頁，2022年，8月28日圖6-3不存在套利機(jī)會的情況第二十一頁，共四十六頁，2022年，8月28日圖6-4存在第二類套利機(jī)會的市場第二十二頁，共四十六頁，2022年，8月28日圖6-5存在強(qiáng)套利機(jī)會的市場第二十三頁，共四十六頁，2022年，8月28日例題（構(gòu)建套利組合）第二十四頁，共四十六頁，2022年，8月28日第二十五頁，共四十六頁，2022年，8月28日三、一價(jià)定律、價(jià)格的正定性與無套利一價(jià)定律（LawofOnePrice）是指對于任意兩個(gè)投資組合，如果它們在未來每種狀態(tài)下的收益都是相同的，那么這兩個(gè)投資組合在當(dāng)前的價(jià)格也應(yīng)該相等。一價(jià)定律意味著零收益的證券其價(jià)格也必定等于零。當(dāng)市場中不存在套利機(jī)會時(shí)，一價(jià)定律必然得到滿足，否則可以通過賣空高價(jià)證券然后買入低價(jià)且有相同收益的證券進(jìn)行套利。無套利成立所需的另外一個(gè)條件是所有在未來每種狀態(tài)下都有正收益的投資組合其價(jià)格都要大于零。第二十六頁，共四十六頁，2022年，8月28日定理6—1當(dāng)價(jià)格函數(shù)同時(shí)滿足一價(jià)定律和嚴(yán)格正定性的時(shí)候，市場是無套利的，反之亦然。第一，套利行為是使市場達(dá)到有效的一個(gè)重要手段。第二，套利限制（LimitofArbitrage）基本面風(fēng)險(xiǎn)（FundamentalRisk）噪音交易者風(fēng)險(xiǎn)（NoiseTraderRisk）某些套利的執(zhí)行成本過高（ImplementationCost）第二十七頁，共四十六頁，2022年，8月28日假設(shè)投資者擁有1、２、３三種證券，投資者擁有的可用來投資的資產(chǎn)價(jià)值為120萬元。每個(gè)投資者都認(rèn)為這三種證券的期望收益率和因素敏感性為：

iriβi證券１１５％０.9證券２２１％３.0證券３１２％１.8現(xiàn)在要問：這三種證券達(dá)到均衡了嗎？假如沒有達(dá)到均衡，為了達(dá)到均衡，證券的價(jià)格和期望收益率會發(fā)生什么樣的變化呢？例題第二十八頁，共四十六頁，2022年，8月28日要回答上述問題，必須先了解一下套利組合這個(gè)概念。如果存在一個(gè)證券組合無須外加資金、風(fēng)險(xiǎn)為零，而收益率大于零，則稱這種證券組合為套利證券組合。如果上面三種證券能形成套利證券組合，說明還有套利機(jī)會，市場還未達(dá)到均衡。第二十九頁，共四十六頁，2022年，8月28日設(shè)Xi代表持有第i種證券的改變量（占投資者原有資產(chǎn)價(jià)值的百分比），則根據(jù)我們對套利證券組合的定義，套利證券組合必須符合以下三個(gè)條件：第三十頁，共四十六頁，2022年，8月28日僅僅滿足等式(1)，（2）的解有無窮多個(gè)，我們?nèi)我饬頧1=0.1，可解得X2=0.075，X3=-0.175，再代入（3）式得：15%×0.1+21%×0.075+12%×(-0.175)=0.975%>0

可見存在套利機(jī)會。如果投資者用賣掉證券3的資金

120×0.175=21萬去買入證券1、2各為

120ⅹ0.1=12萬和120×0.075=9萬就可以在無須外加資金又不冒任何風(fēng)險(xiǎn)（設(shè)非因素風(fēng)險(xiǎn)足夠小，可以忽略）的情況下獲利，提高其證券組合的期望收益率。APT認(rèn)為所有投資者都會利用這樣的機(jī)會去套利，賣掉證券3去買入證券1和2。因此，此時(shí)證券3的供給大于需求，而證券1和2的供給小于需求，市場未達(dá)到均衡。第三十一頁，共四十六頁，2022年，8月28日那么，ri和βi之間呈什么關(guān)系時(shí)市場才是均衡的呢？只有在所有證券的ri和βi之間呈直線關(guān)系時(shí)，市場才能達(dá)到均衡。這可以通過圖形來說明。圖6-6第三十二頁，共四十六頁，2022年，8月28日如果所有的ri和βi之間不是呈直線關(guān)系，就必然存在套利機(jī)會，市場就未達(dá)到均衡。如圖6-6，當(dāng)分別代表1、2、3三種證券的ABC三點(diǎn)不在一條直線上時(shí)，總是存在通過賣出證券3（C點(diǎn)），來購買D點(diǎn)所代表的由證券1、2組成的證券組合的套利機(jī)會。由于大家都愿意賣掉3來買入1、2進(jìn)行套利，這樣對證券1、2的需求就會上升，需求大于供給，結(jié)果導(dǎo)致證券1、2的價(jià)格上升，而因?yàn)榇蠹叶假u掉證券3，使它的需求小于供給，從而價(jià)格下跌。根據(jù)：第三十三頁，共四十六頁，2022年，8月28日若Pi0變小，則會使ri增大，若Pi0增大，則ri將變小。所以，大家都賣掉證券3，買入證券1、2的結(jié)果是證券1、2的價(jià)格越來越高，使得r1、r2越來越小，而證券3的價(jià)格越來越低，從而r3越來越大直到（3）式最終等于零，不再有套利機(jī)會為止。其結(jié)果是證券3的期望收益率有所上升，而證券1、2的期望收益率有所下降，最后三者在同一條直線上。第三十四頁，共四十六頁，2022年，8月28日進(jìn)一步地，如圖6-7，若有N個(gè)點(diǎn)，其中N-1個(gè)點(diǎn)在一條直線上。如果第N點(diǎn)位于N-1個(gè)點(diǎn)所在的直線之下，則因?yàn)榇嬖谫u掉第N種股票去買入與其因素風(fēng)險(xiǎn)相同（由N-1種證券構(gòu)成）的證券組合M的套利機(jī)會，圖6-7第三十五頁，共四十六頁，2022年，8月28日所以大家都會去賣掉第N種股票買入M，使得第N種股票的價(jià)格下跌，期望收益率不斷上升，而其他N-1種股票的價(jià)格不斷上升，期望收益率不斷下降，直到所有股票的期望收益率和因素敏感系數(shù)呈直線關(guān)系時(shí)，套利活動才會停止。此時(shí)，新的直線比原來的位置相比，往下移了一點(diǎn)。如果第N種證券位于直線之上，則存在賣掉其他證券去買第N種證券的套利機(jī)會。其過程與位于直線之下時(shí)的情形非常類似，但新直線比原來的直線的位置相對往上移了。當(dāng)然，所有證券的ri和bi在均衡時(shí)嚴(yán)格處于一條直線上只有在沒有交易費(fèi)用的時(shí)候才成立，如果考慮交易費(fèi)用，則它們將分布在理想情況下的直線周圍。第三十六頁，共四十六頁，2022年，8月28日第三節(jié)套利定價(jià)理論及其檢驗(yàn)一、APT的推導(dǎo)Ross（1976）提出了套利定價(jià)理論（ArbitragePricingTheory，APT）：假定：1、市場中所有參與者對資產(chǎn)收益率有相同的信念，且都能用上式的因素模型來表示。2、市場中風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的個(gè)數(shù)n遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)的種類數(shù)k。3、市場中不存在套利機(jī)會。37第三十七頁，共四十六頁，2022年，8月28日

表示投資在第i種資產(chǎn)上的資金在總財(cái)富中的比例通過

的選擇可以使投資組合滿足：（1）每個(gè)資產(chǎn)上的投資金額在總財(cái)富中的比例都很小，即；（2）投資組合中包含足夠多的資產(chǎn)，即n足夠大；（3）

的取值能夠使投資組合對所有系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)的敏感度都等于零。第三十八頁，共四十六頁，2022年，8月28日第三十九頁，共四十六頁，2022年，8月28日第四十頁，共四十六頁，2022年，8月28日二、“純因素”組合的構(gòu)造假定市場中有足夠多的證券，由于可以利用分散化的方法構(gòu)造出一些只受系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)影響的投資組合，因此，下面的例子中就不考慮風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)。

例6—2假設(shè)經(jīng)濟(jì)中有兩種系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)F1和F2。證券A和B對這兩種風(fēng)險(xiǎn)的敏感度如下表所示：第四十一頁，共四十六頁，2022年，8月28日三、套利定價(jià)理論與資本資產(chǎn)定價(jià)模型的比較

相同點(diǎn)：（1）二者在理念上很相似，都主張?jiān)谑袌鲞_(dá)到均衡時(shí)，個(gè)別證券的預(yù)期報(bào)酬率可由無風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬率加上風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)來決定。（2）二者都說明了風(fēng)險(xiǎn)與報(bào)酬之間的理性原則——更多的系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)，更高的預(yù)期報(bào)酬。（3）當(dāng)只有一個(gè)共同因素（如市場收益率）能影響證券的收益時(shí)，兩個(gè)理論是一致的。第四十二頁，共四十六頁，2022年，8月28日不同點(diǎn)：（1）APT對資產(chǎn)回報(bào)率的分布不需要