2022年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷含答案解析

2022年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1~6題每題4分，第7~12題每題5分）

1?已知z=2+i（其中i為虛數(shù)單位），貝?。莅恕?

2.已知集合4=（一1,2）,集合8=（1,3）,貝!|40|8=.

3.不等式3<0的解集為—.

X

4.若tana=3,則tan（a+2）=.

4

5.設(shè)函數(shù)/（x）=%3的反函數(shù)為（x）,貝！I（27）=.

6.在（丁+1嚴(yán)的展開式中，則含二項(xiàng)的系數(shù)為—.

XX

2

7.若關(guān)于x,y的方程組卜'*o有無窮多解，則實(shí)數(shù)，〃的值為

?［如+16），=8----

8.已知在AA8C中，ZA=-,AB=2,AC=3,則AA8c的外接圓半徑為

3----

9.用數(shù)字1、2、3、4組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則這些四位數(shù)中比2134大的數(shù)字個(gè)

數(shù)為—.（用數(shù)字作答）

10在AABC中，NA=90。，AB=AC=2點(diǎn)M為邊45的中點(diǎn)點(diǎn)P在邊BC上^MP-CP

的最小值為一.

11.已知勺（王，%）,，%）兩點(diǎn)均在雙曲線「:二-丁=1（4>0）的右支上，若中2>

a~

恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為一.

12.已知函數(shù)y=/（x）為定義域?yàn)??的奇函數(shù)，其圖像關(guān)于x=l對(duì)稱，且當(dāng)XG（0,1］時(shí)，

/（x）=Inx,若將方程/（x）=x+l的正實(shí)數(shù)根從小到大依次記為X1,馬，鼻，…，xn,則

lim（x?+I-x?）=.

ZT-X?

二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分，每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)，考生

應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.

13.下列函數(shù)定義域?yàn)镽的是（）

121

A.y=x^B.y=x~1C.y=x^D.y=x^

14.若則下列不等式恒成立的是（）

A.a+d>b+cB.a+c>b-］-dC.ac>bdD.ad>bc

15.上海海關(guān)大樓的頂部為逐級(jí)收攏的四面鐘樓，如圖，四個(gè)大鐘分布在四棱柱的四個(gè)側(cè)

面，則每天0點(diǎn)至12點(diǎn)（包含。點(diǎn)，不含12點(diǎn)）相鄰兩鐘面上的時(shí)針相互垂直的次數(shù)為（

）

A.0B.2C.4D.12

16.已知等比數(shù)列｛a,,｝的前〃項(xiàng)和為S.，前〃項(xiàng)積為T?,則下列選項(xiàng)判斷正確的是（）

A.若反儂>S?⑶,則數(shù)列是遞增數(shù)列

B?若（舊>%，則數(shù)列僅“｝是遞增數(shù)列

C.若數(shù)列｛$“｝是遞增數(shù)列，則—?

D.若數(shù)列區(qū)｝是遞增數(shù)列，則的四4⑼

三、簡答題（本大題共有5題，滿分76分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必

要的步驟.

17.（14分）如圖，圓柱下底面與上底面的圓心分別為O、C?,,A4,為圓柱的母線，底面

半徑長為1.

（1）若AA=4,M為例的中點(diǎn)，求直線MO,與上底面所成角的大?。唬ńY(jié)果用反三角函

數(shù)值表示）

（2）若圓柱過OO|的截面為正方形，求圓柱的體積與側(cè)面積.

18.（14分）已知在數(shù)列0｝中，4=1，其前〃項(xiàng)和為S,.

（1）若｛%｝是等比數(shù)列，1=3,求nl—i>omoS,,；

（2）若｛4｝是等差數(shù)列，邑”..〃，求其公差4的取值范圍.

19.（14分）為有效塑造城市景觀、提升城市環(huán)境品質(zhì)，上海市正在努力推進(jìn)新一輪架空

線入地工程的建設(shè).如圖是一處要架空線入地的矩形地塊458,AB=30m,49=15m.為

保護(hù)D處的一棵古樹，有關(guān)部門劃定了以D為圓心、DA為半徑的四分之一圓的地塊為歷史

古跡封閉區(qū).若空線入線口為回邊上的點(diǎn)E,出線口為8邊上的點(diǎn)尸，施工要求研與

封閉區(qū)邊界相切，斷右側(cè)的四邊形地塊8C正將作為綠地保護(hù)生態(tài)區(qū).（計(jì)算長度精確到

0.1加,計(jì)算面積精確到0.01”廣）

（1）若ZA￡>E=20。，求斯的長；

（2）當(dāng)入線口￡在川上的什么位置時(shí)，生態(tài)區(qū)的面積最大？最大面積是多少？

20.(16分)已知橢圓「:二+y2=l(a>I),A、3兩點(diǎn)分別為「的左頂點(diǎn)、下頂點(diǎn)，C、

a~

。兩點(diǎn)均在直線/：X=Q上/且。在第一象限.

(1)設(shè)尸是橢圓「的右焦點(diǎn)，且4陽=三，求「的標(biāo)準(zhǔn)方程；

6

(2)若C、D兩點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為2、1,請(qǐng)判斷直線AD與直線BC的交點(diǎn)是否在橢圓V上，

并說明理由；

(3)設(shè)直線AD、BC分別交橢圓「于點(diǎn)P、點(diǎn)Q,若AQ關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求IC。的最

小值.

21.(18分)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,現(xiàn)有兩種對(duì)/(x)變換的操作：e變換：

。變換：,其中,為大于0的常數(shù)?

(1)設(shè)/(x)=2*,t=\,g(x)為/(x)做e變換后的結(jié)果，解方程：g(x)=2；

(2)設(shè)/。)=小,/i(x)為f(x)做0變換后的結(jié)果,解不等式：f(x)../z(x)；

(3)設(shè)/(x)在(9,0)上單調(diào)遞增，f(x)先做9變換后得到“(X),“(X)再做。變換后得到

々(X)；/(X)先做3變換后得到v(x),v(x)再做9變換后得到也(X).若九(》)=似x)恒成立，

證明：函數(shù)/(X)在R上單調(diào)遞增.

2022年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、填空題(本大題共有12題，滿分54分，第1~6題每題4分，第7~12題每題5分)

1?已知z=2+i(其中i為虛數(shù)單位)，則彳=

【思路分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合共輾復(fù)數(shù)的概念，即可求解.

【解析】?/z=2+z,z=2—i.故答案為：2-i.

【試題評(píng)價(jià)】本題主要考查共較復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.

2.已知集合A=(—1,2),集合8=(1,3),貝?。?0|8=_(1,2)_.

【思路分析】利用交集定義直接求解.

【解析】?.?集合A=(-l,2),集合8=(1,3),8=(L2).故答案為：(1,2).

【試題評(píng)價(jià)】本題考查集合的運(yùn)算，考查交集定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)

題.

3.不等式土土＜0的解集為_(0/)_.

X

【思路分析】把分式不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式即可直接求解.

【解析】由題意得x(x-l)v0t解得Ovxvl,故不等式的解集(0,1).故答案為:(0,1).

【試題評(píng)價(jià)】本題主要考查了分式不等式的求解，屬于基礎(chǔ)題.

4.若tana=3,則tan(a+^)=-2.

4一一

【思路分析】由兩角和的正切公式直接求解即可.

71

tana+tan一鼻

【解析】若tana=3,則tan(a+f)=--^-=-^-1=-2.故答案為：-2.

4l-tanatan^—xl

4

【試題評(píng)價(jià)】本題主要考查兩角和的正切公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.設(shè)函數(shù)=/的反函數(shù)為廣匕),貝?。輳V'(27)=2.

【思路分析】直接利用反函數(shù)的定義求出函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)一步求出函數(shù)的值.

【解析】函數(shù)析功=倍的反函數(shù)為尸⑶，整理得尸(%)=吩；所以尸(27)=3.

故答案為：3.

【試題評(píng)價(jià)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：反函數(shù)的定義和性質(zhì)，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)

思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.在(V+’產(chǎn)的展開式中，則含-4項(xiàng)的系數(shù)為66.

XX

【思路分析】求出展開式的通項(xiàng)公式，令X的次數(shù)為T,求出4的值即可.

【解析】展開式的通項(xiàng)公式為4中=G；(V嚴(yán)T(3*=G%36…，由36-4%=-4，得軟=40,

X

得上=10,即6=誓，即含［項(xiàng)的系數(shù)為66,故答案為：66.

【試題評(píng)價(jià)】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，根據(jù)條件求出通項(xiàng)公式，利用'的次數(shù)建立

方程是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

7.若關(guān)于x,y的方程組有無窮多解，則實(shí)數(shù)，〃的值為4.

[mx+loy=8

【思路分析】根據(jù)題意，分析可得直線X+my=2和,nr+16y=8平行，由此求出”?的值,

即可得答案.

【解析】根據(jù)題意，若關(guān)于x,丁的方程組廠+“?：2有無窮多解，

[g+16y=8

貝U直線％+〃2y=2和〃zr+16y=8重合，貝(]有l(wèi)xl6=mxm,即〃，=16，解可得加=±4,

當(dāng)機(jī)=4時(shí)，兩直線重合，方程組有無數(shù)組解，符合題意，

當(dāng)〃?=T時(shí)，兩直線平行，方程組無解，不符合題意，故帆=4.故答案為：4

【試題評(píng)價(jià)】本題考查直線與方程的關(guān)系，注意轉(zhuǎn)化為直線與直線的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

8.已知在AABC中，ZA=-,AB=2,AC=3,則AABC的外接圓半徑為—.

3一3一

【思路分析】直接利用正弦定理余弦定理的應(yīng)用求出結(jié)果.

【解析】在AABC中，ZA=-,AB=2,AC=3,

3

利用余弦定理BC-=AC2+AB2-2AB-ACcosA,整理彳導(dǎo)BC=H,

所以生=2R,解得R=".故答案為：膽.

sinA33

【試題評(píng)價(jià)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：正弦定理和余弦定理，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)

思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.用數(shù)字L2、3、4組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù),則這些四位數(shù)中比2134大的數(shù)字個(gè)

數(shù)為17.(用數(shù)字作答)

【思路分析】根據(jù)題意，按四位數(shù)的千位數(shù)字分2種情況討論，由加法原理計(jì)算可得答案.

【解析】根據(jù)題意，用數(shù)字1、2、3、4組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù),

當(dāng)其千位數(shù)字為3或4時(shí)，有2A；=12種情況,即有12個(gè)符合題意的四位數(shù),

當(dāng)其千位數(shù)字為2時(shí)，有6種情況，其中最小的為2134,則有6-1=5個(gè)比2134大的四

位數(shù)，

故有12+5=17個(gè)比2134大的四位數(shù),故答案為：17.

【試題評(píng)價(jià)】本題考查排列組合的應(yīng)用，注意分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

10在AABC中，/4=90。，AB=AC=2點(diǎn)用為邊鉆的中點(diǎn)點(diǎn)P在邊3c上^MP-CP

的最小值為-2.

—8-

【思路分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出MPCP=2X2-3X,再利用

二次函數(shù)求最值即可.

【解析】建立平面直角坐標(biāo)系如下，則B(2,0),C(0,2),M(l,0),

直線8c的方程為二+上=1,即x+y=2,

22

點(diǎn)戶在直線上，設(shè)P(x,2-x),

A/P=(x-l,2-x),CP=(x,-x),

—?—-、3,99

??.MPCP=XU-1)-X(2-A:)=2X2-3X=2(X--)2,

M戶?c戶的最小值為-2.故答案為：-2

AMBx

【試題評(píng)價(jià)】本題考查了數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了二次函數(shù)求最值，屬于中檔題.

2

11.已知6(占，y),P2(x2,y2)兩點(diǎn)均在雙曲線r:=1伍＞0)的右支上，若X[W＞Xy2

恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為_U,+oo)_.

【思路分析】取鳥的對(duì)稱點(diǎn)鳥(與，-%)，結(jié)合國馬＞乂%，可得o['oR＞o,然后可得漸

近線夾角ZMON”9()。，代入漸近線斜率計(jì)算即可求得.

【解析】設(shè)乙的對(duì)稱點(diǎn)鳥(％,-%)仍在雙曲線右支，由，

彳導(dǎo)%%—乂%＞。，即。+oR＞o恒成立，

?.NROP、恒為銳角，即4MoN,,90°,

.?.其中一條漸近線的斜率L1,

a.A,所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為U,-KO).故答案為：11,+00).

,/P\

*

【試題評(píng)價(jià)】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，是中檔題.

12.已知函數(shù)y=/(x)為定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，其圖像關(guān)于x=l對(duì)稱，且當(dāng)xe(0,1]時(shí)，

/(X)=Inx,若將方程/(x)=x+l的正實(shí)數(shù)根從小到大依次記為X,工2，，…，尤〃，則

lim(x-xJ=_2_.

〃一＞00ZI+I

【思路分析】f(x)是周期為4的周期函數(shù)，作出圖象，X,,)的幾何意義是兩條漸

〃一＞00

近線之間的距離，由此能求出結(jié)果.

【解析】?.?函數(shù)y=/(%)為定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，其圖像關(guān)于x=1對(duì)稱，且當(dāng)xe(0,1J時(shí),

/(x)=Inx,

???/(x)是周期為4的周期函數(shù)，圖象如圖：

將方程/（x）=x+l的正實(shí)數(shù)根從小到大依次記為X,々，了3，…，R〃，

則lim-―乙）的幾何意義是兩條漸近線之間的距離2,

“一>8

，-％）=2.

M-40C

故答案為：2.

【試題評(píng)價(jià)】本題考查極限的求法，考查函數(shù)的周期性、函數(shù)圖象、極限的幾何意義等基礎(chǔ)

知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分，每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)，考生

應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.

13.下列函數(shù)定義域?yàn)镽的是（）

,11?

A.y=x2B.y=x''C.y=x3D.y=后

【思路分析】化分?jǐn)?shù)指數(shù)幕為根式，分別求出四個(gè)選項(xiàng)中函數(shù)的定義域得答案.

..1

【解析】y=x2=-j=,定義域?yàn)閧x|x>0},

y=x-'=-,定義域?yàn)閧xlx/0},

X

y=x3=y/x,定義域?yàn)镽,

2

y=x2=4x，定義域?yàn)閧x|x..O}.

.?.定義域?yàn)锳的是y=）.故選：C.

【試題評(píng)價(jià)】本題考查函數(shù)的定義域及其求法，是基礎(chǔ)題.

14.若a>b>c>d,則下列不等式恒成立的是（）

A.a+d>b+cB.a+c>b+dC.ac>bdD.ad>bc

【思路分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)，以及特殊值法，即可求解.

【解析】對(duì)于A,令。=2,b=\tc=-\,d=-2,滿足，但a+d=〃+c,

故A錯(cuò)誤，

對(duì)于8,\-a>b>c>d,SPa>b,c>d,

..由不等式的可加性可得，a+c>b+d,故3正確，

對(duì)于C,令a=2,b=\.c=-l,d=-2,滿足a>b>c>cl，但ac=bd,故C錯(cuò)誤,

對(duì)于D，令a=2,h=\,c=-l,d=-2,滿足a>h>c>d，但advbc，故。錯(cuò)誤.

故選：B.

【試題評(píng)價(jià)】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，掌握特殊值法是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

15.上海海關(guān)大樓的頂部為逐級(jí)收攏的四面鐘樓，如圖，四個(gè)大鐘分布在四棱柱的四個(gè)側(cè)

面，則每天。點(diǎn)至12點(diǎn)（包含。點(diǎn)，不含12點(diǎn)）相鄰兩鐘面上的時(shí)針相互垂直的次數(shù)為（

）

A.0B.2C.4D.12

【思路分析】3點(diǎn)時(shí)和9點(diǎn)時(shí)相鄰兩鐘面上的時(shí)針相互垂直.

【解析】3點(diǎn)時(shí)和9點(diǎn)時(shí)相鄰兩鐘面上的時(shí)針相互垂直，

,每天0點(diǎn)至12點(diǎn)（包含0點(diǎn)，不含12點(diǎn)），

相鄰兩鐘面上的時(shí)針相互垂直的次數(shù)為2,

故選：B.

【試題評(píng)價(jià)】本題考查兩條異面直線垂直的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)

系，考查推理論證能力，是中檔題.

16.已知等比數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和為5?,前“項(xiàng)積為T?,則下列選項(xiàng)判斷正確的是（）

A.若S2必〉與⑼，則數(shù)列｛《,）是遞增數(shù)列

B.若小2＞加「則數(shù)列｛”,｝是遞增數(shù)列

＜：.若數(shù)列｛5“｝是遞增數(shù)列，則a2022--4021

D.若數(shù)列｛7；｝是遞增數(shù)列，則出*此⑼

【思路分析】反例判斷A；反例判斷8；構(gòu)造等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)判斷C；推

出數(shù)列公比以及數(shù)列項(xiàng)的范圍，即可判斷。.

【解析】如果數(shù)列4=-1,公比為-2,滿足S2022f，但是數(shù)列｛為｝不是遞增數(shù)列，所

以A不正確；

如果數(shù)列q=1,公比為，滿足T2O22＞7一但是數(shù)列｛q｝不是遞增數(shù)列，所以B不正確；

1-（1）n

如果數(shù)列4=1,公比為g,S?=—^-=2（1-^），數(shù)列｛S,,｝是遞增數(shù)列，但是a2Mqm，

2

所以C不正確；

數(shù)列《｝是遞增數(shù)列，可知方＞%,可得4,＞1，所以/」，可得%）22”誣正確，所以D正

確；

故選：D.

【試題評(píng)價(jià)】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題.

三、簡答題（本大題共有5題，滿分76分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必

要的步驟.

17.(14分)如圖，圓柱下底面與上底面的圓心分別為O、。一M為圓柱的母線，底面

半徑長為1.

(1)若伍=4,M為的中點(diǎn)，求直線M()t與上底面所成角的大小；(結(jié)果用反三角函

數(shù)值表示)

(2)若圓柱過。日的截面為正方形，求圓柱的體積與側(cè)面積.

【思路分析】(1)轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題求解；(2)用圓柱體積和側(cè)面積公式求解.

【解析】(1)因?yàn)槟銥閳A柱的母線，所以的垂直于上底面，

所以NMO]A是直線MOt與上底面所成角,tanZMO,4="=2=2,

GA1

所以NMQ4=arctan2.

(2)因?yàn)閳A柱過的截面為正方形，所以44,=2,

所以圓柱的體積為V=7tr2h=乃?F.2=2%，

圓柱的側(cè)面積為S=2zrr/i=27c-1-2=4萬.

【試題評(píng)價(jià)】本題考查了直線與平面成角問題，考查了圓柱的體積與側(cè)面積計(jì)算問題，屬于

中檔題.

18.(14分)已知在數(shù)列｛4｝中，。2=1,其前〃項(xiàng)和為S“.

(1)若｛%｝是等比數(shù)列，邑=3,求limS“；

(2)若｛4｝是等差數(shù)列，S2n..n,求其公差d的取值范圍.

【思路分析】(1)由已知求得等比數(shù)列的公比，再求出前〃項(xiàng)和，求極限得答案；

(2)求出等差數(shù)列的前2〃項(xiàng)和，代入,對(duì)”分類分析得答案.

【解析】(1)在等比數(shù)列｛《,｝中，生=1,$2=3，則4=2,

二公比4，貝!JS.=^^=4(1-：),

Z1一12

limS?=lim4(l--)=4；

H-yxi2"

(2)若例｝是等差數(shù)列,

貝IJ昆“=(皈[、一)?”=242+(2_3d)n..n,

即(3-2〃)d,,l,當(dāng)〃=1時(shí)，4,1;

當(dāng)〃..2時(shí)，d...—'―恒成立，???」一e[-l,0),：.d..O.

3-2〃3-2〃

綜上所述，de[O,1].

【試題評(píng)價(jià)】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列前"項(xiàng)和，考查數(shù)列極限的求法，考查數(shù)列的函

數(shù)特性及應(yīng)用，是中檔題.

19.(14分)為有效塑造城市景觀、提升城市環(huán)境品質(zhì)，上海市正在努力推進(jìn)新一輪架空

線入地工程的建設(shè).如圖是一處要架空線入地的矩形地塊A8C￡>,AS=30m,AD=\5m.為

保護(hù)D處的一棵古樹，有關(guān)部門劃定了以D為圓心、DA為半徑的四分之一圓的地塊為歷史

古跡封閉區(qū).若空線入線口為回邊上的點(diǎn)E,出線口為8邊上的點(diǎn)尸,施工要求砂與

封閉區(qū)邊界相切，斷右側(cè)的四邊形地塊3CFE將作為綠地保護(hù)生態(tài)區(qū).(計(jì)算長度精確到

0.1w,計(jì)算面積精確到0.01m2)

(1)若ZA￡>E=20。，求斯的長；

(2)當(dāng)入線口￡在川上的什么位置時(shí)，生態(tài)區(qū)的面積最大？最大面積是多少？

【思路分析】(1)作。防，然后結(jié)合銳角三角函數(shù)定義表示出所，

(2)設(shè)“)3,結(jié)合銳角三角函數(shù)定義可表示AE,FH,然后表示出面積，結(jié)合同角

基本關(guān)系進(jìn)行化簡，再由基本不等式可求.

【解析】(1)作。"，￡尸,垂足為H,

則EF=EH+HF=15tan200+15tan50°?23.3m；

(2)設(shè)ZADE=6,貝!IAE=15tan6?,切=15tan(90。-26),

S四邊形AOEF=2sl+SNXH=2X1X15X1StanO+gx15x155(90。-20},

=—(30tan。+15cot2。)="(30tan<9+15x1土=—(3tan0+,

222tan6^4tan。3

當(dāng)且僅當(dāng)3lan?=——,即1即。="時(shí)取等號(hào),此時(shí)A石=15tan6=5\/5,最大面積為

tan。3

【試題評(píng)價(jià)】本題主要考查了利用基本不等式在求解最值中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是由實(shí)際問

題抽象出數(shù)學(xué)問題，屬于中檔題.

20.(16分)已知橢圓「:二+丁=15>1),A、8兩點(diǎn)分別為「的左頂點(diǎn)、下頂點(diǎn)，C、

a

。兩點(diǎn)均在直線/：x=4上，且C在第一象限.

(1)設(shè)廠是橢圓「的右焦點(diǎn)，且=5，求「的標(biāo)準(zhǔn)方程；

6

(2)若C、D兩點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為2、1,請(qǐng)判斷直線AD與直線BC的交點(diǎn)是否在橢圓「上，

并說明理由；

(3)設(shè)直線4)、BC分別交橢圓「于點(diǎn)P、點(diǎn)。，若P、Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求|8|的最

小值.

【思路分析】(1)根據(jù)條件可得tanZAFB=l,解出c,利用a2=62+c2,求得。，即可

C

求得答案；

(2)分別表示出此時(shí)直線8C、直線4)的方程，求出其交點(diǎn)，驗(yàn)證即可；

(3)設(shè)/"(acosasin。),Q-acosH-sin。)，表示出直線BP、直線AQ方程，解出C、D

坐標(biāo)，表示出|8|,再利用基本不等式即可求出答案.

【解析】(1)由題可得仇0T),尸(c,0),

因?yàn)?M,所以tanNAFB」」=tan工=3,解得c=6,

6cc63

2

所以a2=l+(G)2=4,故「的標(biāo)準(zhǔn)方程為工+y2=l；

4

(2)直線4)與直線BC的交點(diǎn)在橢圓上，

由題可得此時(shí)A(-a,0),B(O,-1),C(a,2),D(o,l),

，滿足號(hào)+

貝!J直線BC:y=』x-l,^^AD:y=—x+-,交點(diǎn)為(的，—)

a2a255CT

故直線與直線8c的交點(diǎn)在橢圓上；

sin9+1

(3)B(0,-l),P(acos6,sin。),則直線BP:y=x-i,所以cm,包絲—i),

acosOCOSJ

sin。+。)，所以￡)(4,2si："),

A(-a,0),Q-acos。,-sin。)，貝?。葜本€AQ:y=?

acosO-arcos0-1

2si/8s*s加。+儂"人.60

4sin—cos—

所以|C0=獨(dú)四T-當(dāng)辿222222i

T，

COS。cos。一1o0

cos"—sm~—-2sin~—

222

nii

設(shè)tan-=f,則|C0=2(——+-)-2,

21-rt

因?yàn)?，-,所以—^―+L.~--=4,

aba+b\-tt\-t-vt

則IC0..6,即|8|的最小值為6.

【試題評(píng)價(jià)】本題考查直線與橢圓的綜合，涉及橢圓方程的求解，直線交點(diǎn)求解，基本不等

式的應(yīng)用，屬于中檔題.

21.(18分)已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,現(xiàn)有兩種對(duì)/3)變換的操作：9變換：

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