高考 正弦定理與余弦定理 詳解

PAGE正弦定理與余弦定理A組基礎(chǔ)必做1．已知△ABC，sinA∶sinB∶sinC＝1∶1∶eq\r(2)，則此三角形的最大內(nèi)角的度數(shù)是()A．60° B．90°C．120° D．135°解析依題意和正弦定理知，a∶b∶c＝1∶1∶eq\r(2)，且c最大。設(shè)a＝k，b＝k，c＝eq\r(2)k(k>0)，由余弦定理得，cosC＝eq\f(k2＋k2－\r(2)k2,2k2)＝0，又0°<C<180°，所以C＝90°。答案B2．(2016·石家莊模擬)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c。sinA，sinB，sinC成等比數(shù)列，且c＝2a，則cosBA.eq\f(1,4) B.eq\f(3,4)C.eq\f(\r(2),4) D.eq\f(\r(2),3)解析因?yàn)閟inA，sinB，sinC成等比數(shù)列，所以sin2B＝sinAsinC，由正弦定理得b2＝ac，又c＝2a，故cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋4a2－2a2,4a2)＝eq\f(3,4)。答案B3．(2016·唐山模擬)在△ABC中，若b＝2，∠A＝120°，三角形的面積S＝eq\r(3)，則三角形外接圓的半徑為()A.eq\r(3) B．2C．2eq\r(3) D．4解析由面積公式，得S＝eq\f(1,2)bcsinA，代入得c＝2，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝22＋22－2×2×2cos120°＝12，故a＝2eq\r(3)，由正弦定理，得2R＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(2\r(3),\f(\r(3),2))，解得R＝2，故選B。答案B4．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且acosC＋eq\f(1,2)c＝b，則∠A＝()A.eq\f(3π,4) B.eq\f(2π,3)C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,3)解析由正弦定理得sinAcosC＋eq\f(1,2)sinC＝sinB。因?yàn)閟inB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，所以eq\f(1,2)sinC＝cosAsinC。又sinC≠0，所以cosA＝eq\f(1,2)，因?yàn)?<∠A<π，所以∠A＝eq\f(π,3)。故選D。答案D5．在△ABC中，AB＝eq\r(3)，AC＝1，B＝30°，則△ABC的面積等于()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(3),2)或eq\r(3) D.eq\f(\r(3),2)或eq\f(\r(3),4)解析由已知及正弦定理得eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)，sinC＝eq\f(AB·sinB,AC)＝eq\f(\r(3),2)，C＝60°或C＝120°。當(dāng)C＝60°時(shí)，A＝90°，△ABC的面積等于eq\f(1,2)AB·AC＝eq\f(\r(3),2)；當(dāng)C＝120°時(shí)，A＝30°，△ABC的面積等于eq\f(1,2)AB·AC·sinA＝eq\f(\r(3),4)。因此，△ABC的面積等于eq\f(\r(3),2)或eq\f(\r(3),4)。答案D6．在△ABC中，若sinB·sinC＝cos2eq\f(A,2)，且sin2B＋sin2C＝sin2A，則△ABC是()A．等邊三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形解析因?yàn)閟inBsinC＝cos2eq\f(A,2)＝eq\f(1＋cosA,2)。所以2sinBsinC＝1＋cos[π－(B＋C)]＝1－cos(B＋C)＝1－cosBcosC＋sinBsinC，即cosBcosC＋sinBsinC＝1，所以cos(B－C)＝1。因?yàn)锽，C是△ABC的內(nèi)角，所以B－C＝0，即B＝C。又因?yàn)閟in2B＋sin2C＝sin2A，即b2＋c2＝a所以A＝90°。故△ABC為等腰直角三角形。答案D7．(2015·北京卷)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，則eq\f(sin2A,sinC)＝________。解析在△ABC中，由正弦定理知，eq\f(sin2A,sinC)＝eq\f(2sinAcosA,sinC)＝2cosA·eq\f(a,c)＝2cosA×eq\f(4,6)＝eq\f(4,3)cosA，再根據(jù)余弦定理，得cosA＝eq\f(36＋25－16,2×6×5)＝eq\f(3,4)，所以eq\f(sin2A,sinC)＝eq\f(4,3)×eq\f(3,4)＝1。答案18．(2015·福建卷)若銳角△ABC的面積為10eq\r(3)，且AB＝5，AC＝8，則BC等于________。解析由S△ABC＝eq\f(1,2)|AB|·|AC|·sinA＝eq\f(1,2)×5×8·sinA＝10eq\r(3)，得sinA＝eq\f(\r(3),2)?！摺鰽BC為銳角三角形，∴A＝60°。由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2·AB·AC·cos60°＝25＋64－2×5×8×eq\f(1,2)＝49，∴BC＝7。答案79．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知bcosC＋ccosB＝2b，則eq\f(a,b)＝________。解析因?yàn)閎cosC＋ccosB＝2b，所以由正弦定理可得sinBcosC＋sinCcosB＝2sinB，即sin(B＋C)＝2sinB，所以sin(π－A)＝2sinB，即sinA＝2sinB。于是a＝2b，即eq\f(a,b)＝2。答案210．(2015·天津卷)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c。已知△ABC的面積為3eq\r(15)，b－c＝2，cosA＝－eq\f(1,4)。(1)求a和sinC的值；(2)求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A＋\f(π,6)))的值。解(1)在△ABC中，由cosA＝－eq\f(1,4)，可得sinA＝eq\f(\r(15),4)。由S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝3eq\r(15)，得bc＝24，又由b－c＝2，解得b＝6，c＝4。由a2＝b2＋c2－2bccosA，可得a＝8。由eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，得sinC＝eq\f(\r(15),8)。(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A＋\f(π,6)))＝cos2A·coseq\f(π,6)－sin2A·sineq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2)(2cos2A－1)－eq\f(1,2)×2sinA·cosA＝eq\f(\r(15)－7\r(3),16)。11．(2015·湖南卷)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a＝btanA，且B為鈍角。(1)證明：B－A＝eq\f(π,2)；(2)求sinA＋sinC的取值范圍。解(1)證明：由a＝btanA及正弦定理，得eq\f(sinA,cosA)＝eq\f(a,b)＝eq\f(sinA,sinB)，所以sinB＝cosA，即sinB＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋A))。又B為鈍角，因此eq\f(π,2)＋A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，故B＝eq\f(π,2)＋A，即B－A＝eq\f(π,2)。(2)由(1)知，C＝π－(A＋B)＝π－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A＋\f(π,2)))＝eq\f(π,2)－2A>0，所以A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，于是sinA＋sinC＝sinA＋sineq\f(π,2)－2A＝sinA＋cos2A＝－2sin2A＋sinA＋1＝－2sinA－eq\f(1,4)2＋eq\f(9,8)。因?yàn)?<A<eq\f(π,4)，所以0<sinA<eq\f(\r(2),2)，因此eq\f(\r(2),2)<－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinA－\f(1,4)))2＋eq\f(9,8)≤eq\f(9,8)。由此可知sinA＋sinC的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(9,8)))。B組培優(yōu)演練1．(2016·太原模擬)在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，已知a，b，c成等比數(shù)列，且a2－c2＝ac－bc，則eq\f(c,bsinB)的值為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(2\r(3),3) D.eq\r(3)解析由題意知b2＝ac，又a2－c2＝ac－bc，∴b2＋c2－a2＝bc。在△ABC中，由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(bc,2bc)＝eq\f(1,2)，∴∠A＝60°。由正弦定理得sinB＝eq\f(bsinA,a)，又b2＝ac，∴eq\f(c,bsinB)＝eq\f(ac,b2sin60°)＝eq\f(1,sin60°)＝eq\f(2\r(3),3)。答案C2．在三角形ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，且a>b>c，a2<b2＋c2，則角A的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))解析因?yàn)閍2<b2＋c2，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)>0，所以A為銳角，又因?yàn)閍>b>c，所以A為最大角，所以角A的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))。答案C3．(2015·溫嶺中學(xué)模擬)在銳角△ABC中，若BC＝2，sinA＝eq\f(2\r(2),3)，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))的最大值為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(4,5)C．1 D．3解析設(shè)BC＝a，AC＝b，AB＝c，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc×eq\f(1,3)＝4，由基本不等式可得4≥eq\f(4,3)bc，即bc≤3，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝bccosA＝eq\f(1,3)bc≤1。答案C4．在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，試判斷△ABC的形狀。解(1)由已知，根據(jù)正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b即a2＝b