二項式定理的七方面應用

1111二式理七面用一、利二項式定理展開式某一項或指項的系例1

(x

)

的展開式中，含的正整數(shù)次冪的項共有（A．4項

B．3項

C．2項

D．項策略：本題主要考查二項展開式的通項公式的有關(guān)知識．解：

(x)

的展開式的通項公式為

r

r()

(3)rrx

r

rx

r

，當

r

時，含x的項的冪指數(shù)為正整數(shù)．故選擇答案B．點評利用二項式定理求展開式的某一項或指定項的系數(shù)實際上就是對二項展開式的通項公式的考查，此類問題是高考考查的重點．二、利二項式定理展開式系數(shù)和例2

若

)

x

R

，則

(a)a)a)

)

_________數(shù)字作答）策略：本題考查賦值法在求解二項展開式的系數(shù)和中的應用．解：令

(xx)

，則

f(0)

，

f(1)

，即

(a)a)a)a

)2003a

)2004

．點評賦值法是解決二項展開式的系數(shù)和的有效方法通過對二項展開式中的字母或代數(shù)式賦予允許值，以達到解題目的．三、利二項式定理冪指數(shù)n例3

若2x展開式中含項的系數(shù)與含項的系數(shù)之比，xx等于（）A．4．6C．8D．10策略：要求n的值，只需據(jù)題目條件建立一個關(guān)于的方程即可．解：

1

x)

(x

，1

由題意，得由題意，得，令

，則

2

．r

C

r

1

r令

r，r所r

．C2CCrr2Cr

2

r

．r

，∴

化簡得

2(kk

，解k4．

．故選擇答案B．點評：利用二項式定理求冪指數(shù)n主要是體現(xiàn)了方程思想在二項展開式中的應用，我們只要根據(jù)題目條件建立關(guān)于的方程，即可獲解．四、利二項式定理明整除題例4

求證3

nnN

能被64除．策略：把

拆成與8倍數(shù)有關(guān)的和式．證明：

3

n

n

C

8

n8

，C

都是自然數(shù)，∴上式各項均為的倍數(shù)，3

nnN

能被64除．點評：利用二項式定理證明整除（或求余數(shù)）問題，通常把底數(shù)拆成與除數(shù)的倍數(shù)有關(guān)的和式．五、利二項式定理近似值例

的近似值，使誤差小于0．001．策略：因0.9980.002)

，所以可以用二項式定理來計算．解：

(10.002)

0.002)0.002)

，2

∵

0.002)0.001

．即第3以后的項的絕對值都小于0.001，∴從第3項起，以后的項可以忽略不計，即

0.998

．點評：由

)Cxxx

知，當x的絕對值與相比很小且足夠大時，

，

，…，

等項的絕對值就會更小，因此在精確度允許的范圍之內(nèi)可以忽略不計．因此可以使用近似計算公式

)

nx

．在使用這個公式時，要注意按問題對精確度的要求，來確定對展開式中各項的取舍．六、利二項式定理明組合問題例6

求證：

)

)

)

)

(2!)!n!

．策略：觀察等式

(2)!!n!

的特點，想到構(gòu)造等式

)x))

，利用同一項的系數(shù)相等進行證明．證明：已知x

)

x)

C

C

)(

C

，由于

的系數(shù)為第一個因式中xr

的系數(shù)與第二個因式中x

的系數(shù)的乘積的和，即

(

C

C

（這是因為

r

的系數(shù)

r

與

的系數(shù)

相等）而在

(1

的展開式中的系數(shù)C，因此原等式恒成立．點評對于本題的解決，基于對等式的認真觀察分析基礎(chǔ)之上，充分利用展開式系數(shù)的特點，進行合理構(gòu)造．七、利二項式定理明不等例7求證：

12

3(nN

≥策略：因為

1n

11nn

1n

，所以我們可以借助放縮法來3

1n211n21證明．證明：

1n

11nnn

，因為各項均是正數(shù)，N所以去掉第二項以后的各項得

；1n

11nn

(n1(·2!3!n!n12!3!!

11