多邊形的內(nèi)角和與外角和典型熱點考題

多邊形的內(nèi)角和與外角和型熱考題例已：四邊形的四個外角度數(shù)比為1∶2∶∶，各外角的度數(shù)？點：查四邊形外角和定理四形外角定理和各外角之間的比例關(guān)系很容易求出各角．解設(shè)四邊形的最小外角°，則其他三角分別為2x3x°4x°，根據(jù)四邊形外角和定理：°2x°3x°＋4x=360°．∴x°=36°2x°°°=108°，4x=144°．∴四形各外角度數(shù)分別為36°，72°，108°，144°點：例應(yīng)用了設(shè)參數(shù)x的代方法求出四形四個外角的度數(shù)少的幾何線段的計算，角的計算以及證明題，如果應(yīng)用代數(shù)方法求解，可使過程簡潔，清晰，特別是已知條件中如果出現(xiàn)比例關(guān)系時用參數(shù)法是最常見的解題思路過設(shè)參數(shù)合幾何知識，把問題轉(zhuǎn)化為解方程，學生一定要掌握這種技巧．例多形的內(nèi)角和與某一個外角的度數(shù)總和為1350°，求多邊形的邊數(shù)？解法一邊為n這個外角為x度＜＜180題意有(n-2)180＋x=1350，∴

n

1350x90x180180

.又∵O＜x＜，∴＜90-x＜，∴n=9.解法二∵＜＜；∴1350-180＜1350-x＜；即1170＜1350-x＜，又∵(n-2)·180=1350-x，∴1170＜(n-2)·180＜1350.∴8.5＜＜9.5；∵n的數(shù)必為整數(shù)，∴n=9.注此類題都隱含著邊數(shù)為正整這個條件法一是利用整數(shù)方程來解的法二是利用不等式確定邊數(shù)范圍然后通過邊數(shù)為整數(shù)來解的．

例如4-39，已知在四邊形ABCD中AB=3，，CD=13AD=12∠B=90°求：四邊形的積．點：∠B=90°AB=3BC=4，想到連接AC，利用勾股定理題得AC=5又AD=12CD=13由股定理的逆定理有為直角，從而

四形BCD

.解連結(jié)AC．eq\o\ac(△,Rt)ABC中有AC

2

2

2

3

2

2

∴AC=5.∵CD=13，AD=12，有

1222即

2

2

2

.∴△ACD是直三角形，∠DAC=90°，∴

四形BCD

==

AD21點：題目中有線段長度時般用勾股理的逆定理判定某三角形是否為直角三角形形題通常轉(zhuǎn)化為三形問題來解決造三角形時必須同已知條件結(jié)合起來，不要隨意連線．

例

一個n邊每個內(nèi)角都是150°則這個多邊形的內(nèi)角和是多少？點：于這個n邊每個內(nèi)角都是°所以可推知它的每個外角都為30而任意多邊形的外角和都為360°從而可以知道這個n邊形的邊數(shù)，再利用多邊形內(nèi)角和定理即可．解方法一∵這邊的每個內(nèi)角都為°∴此n邊的每個外角為30°又∵任多邊形的外角和為360，∴n=360°÷°=12.∴此n邊的內(nèi)角和為180°(n-2)=180°×10=1800°方法二設(shè)個多邊形的邊數(shù)為，由題意得：150°·°(n-2)．解這個方程，得n=12．此多邊形的內(nèi)角和為180(n-2)=180°×°．點（索邊形內(nèi)和如圖，n邊內(nèi)部取一點，連接O與個頂點的線段，把n邊形分成n個角形，因為這個角形的內(nèi)角和等于n·180，以為公頂點的n個的和是360°，即2×180°所以n邊的內(nèi)角和是·°-2×180°=(n-2)×180°．我們還可以這樣求n邊內(nèi)角和如圖4-41示，作經(jīng)過n形某一個頂點的所有對角線，把n邊分(n-2)個角形，則邊的內(nèi)角和即(n-2)個三角形的內(nèi)角和．即(n-2)·°

例已一個多邊形的每個內(nèi)角都為鈍角這的邊形有多少個？邊數(shù)最少的一個是幾邊形？點：題首先要利用多邊形內(nèi)角和定理表示出每一個內(nèi)角，然后出不等式．解設(shè)多邊形是n邊，由題意得

90

(n2)n

180即

2)(n

18090

解得

0,∴＞∴內(nèi)角都為鈍角的多邊形有無數(shù)個．又∵n＞4，為整，∴n的小值為5，即邊數(shù)最的一個是五邊形．注對于此題的最后一個問題際上是對不等式附加某些條件然后可求出具體未知數(shù)，但要注意的是，五個角都是鈍角的五邊形是存在的，但五四形不一定五個角