振動力學基礎

振動力學基礎1第一頁，共三十七頁，2022年，8月28日§1簡諧振動動力學一、簡諧振動的特征2第二頁，共三十七頁，2022年，8月28日二、簡諧運動的運動方程3第三頁，共三十七頁，2022年，8月28日3.簡諧振動的x-t,v-t,a-t圖4第四頁，共三十七頁，2022年，8月28日三、簡諧振動的能量我們以彈簧振子為例來討論簡諧運動的能量問題。設振動物體在任一時刻t的位移為x，速度為v，于是它所具有的動能EK和勢能EP

分別為5第五頁，共三十七頁，2022年，8月28日§2簡諧振動運動學簡諧運動的運動方程：6第六頁，共三十七頁，2022年，8月28日（2）頻率與圓頻率

7第七頁，共三十七頁，2022年，8月28日3、相位和初相8第八頁，共三十七頁，2022年，8月28日例題在一輕彈簧下端懸掛m0=100克砝碼時，彈簧伸長8厘米，現(xiàn)在這根彈簧下懸掛m=250克的物體。將物體從平衡位置向下拉動4厘米并給予向上的21厘米/秒的初速度。選X軸向下，求振動的表達式。9第九頁，共三十七頁，2022年，8月28日例題一個輕彈簧在60N的拉力作用下可伸長30cm?，F(xiàn)將一物體懸掛在彈簧的下端并在它上面放一小物體，他們的總質(zhì)量為4kg。待其靜止后再把物體向下拉10cm，然后無初速釋放。問（1）此小物體是停在振動物體上面還是離開它？（2）若使放在振動物體上的小物體與振動物體分離，則振幅A須滿足何條件？二者在何位置開始分離？解：10第十頁，共三十七頁，2022年，8月28日4、簡諧運動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法為了直觀地表明簡諧運動的三個特征量的物理意義，可以用一個旋轉(zhuǎn)矢量來表示簡諧運動。（1）旋轉(zhuǎn)矢量的長度等于11第十一頁，共三十七頁，2022年，8月28日旋轉(zhuǎn)矢量與諧振動的對應關系A諧振動旋轉(zhuǎn)矢量t+T振幅初相相位圓頻率諧振動周期半徑初始角坐標角坐標角速度園周運動周期(4）比較兩個諧振動的相位差Φ2－φ1＝2kπ稱同相Φ2－φ1＝（2k+1）π稱反相π>Φ2－φ1>0稱2超前π>φ1－Φ2>0稱1超前12第十二頁，共三十七頁，2022年，8月28日旋轉(zhuǎn)矢量確定初位相13第十三頁，共三十七頁，2022年，8月28日例題：由諧振子能量推出振幅公式。解：結論：例題：1.A由系統(tǒng)能量決定；2.t=0的含義；3.x0、v0含義。14第十四頁，共三十七頁，2022年，8月28日5、彈簧的串并聯(lián)思考1：等分n段，每段k0=?思考2：n段串聯(lián)，等效k0=?K0=nkK0=k/n15第十五頁，共三十七頁，2022年，8月28日例題

一質(zhì)點在X軸上作簡諧振動，振幅A=4cm，周期T=2s,其平衡位置取坐標原點。若t=0時刻質(zhì)點第一次通過x=-2cm處，且向X軸負方向運動，則質(zhì)點第二次通過x=-2cm處的時刻為（A）1s（B）（2/3）s（C）（3/4）s（D）2s例題

一長度為l的倔強系數(shù)為k的輕彈簧分割成l1和l2的兩部分，且l1=nl2則相應的倔強系數(shù)k1和k2為16第十六頁，共三十七頁，2022年，8月28日§3微振動的簡諧近似1.單擺在角位移很小的時候，單擺的振動是簡諧振動。角頻率,振動的周期分別為：單擺結論當時17第十七頁，共三十七頁，2022年，8月28日2.復擺（物理擺）為m繞O點轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量。總結：復擺的諧振動方程：

當時振動的角頻率、周期完全由振動系統(tǒng)本身來決定。

18第十八頁，共三十七頁，2022年，8月28日§4平行簡諧振動的合成一、同方向、同頻率的簡諧振動的合成

結論：仍然是同頻率的簡諧振動19第十九頁，共三十七頁，2022年，8月28日討論一：合振幅最大。稱為干涉相長討論二：稱為干涉相消。討論三：一般情況：A1=A2

時，A=020第二十頁，共三十七頁，2022年，8月28日例題三個諧振動方程分別為畫出它們的旋轉(zhuǎn)矢量圖。并在同一x-t坐標上畫出振動曲線。寫出合振動方程。合振動方程X=021第二十一頁，共三十七頁，2022年，8月28日二、同方向的N個同頻率簡諧振動的合成設它們的振幅相等，初相位依次差一個恒量。其表達式為：在OCP中：22第二十二頁，共三十七頁，2022年，8月28日所以，合振動的表達式上兩式相除得23第二十三頁，共三十七頁，2022年，8月28日討論1：即各分振動同相位時，合振動的振幅最大。當討論2：這時各分振動矢量依次相接，構成閉合的正多邊形，合振動的振幅為零。以上討論的多個分振動的合成在說明光的干涉和衍射規(guī)律時有重要的應用。當且24第二十四頁，共三十七頁，2022年，8月28日三、同方向、不同頻率的簡諧振動的合成利用：合成振動表達式：當都很大，且相差甚微時，可將視為振幅變化部分，合成振動是以為角頻率的諧振動。其振幅變化的周期由振幅絕對值變化來決定，即振動忽強忽弱，所以它是近似的諧振動。這種合振動忽強忽弱的現(xiàn)象稱為拍。25第二十五頁，共三十七頁，2022年，8月28日單位時間內(nèi)振動加強或減弱的次數(shù)叫拍頻顯然，拍頻是振動的頻率的兩倍。26第二十六頁，共三十七頁，2022年，8月28日§5垂直簡諧振動的合成設一個質(zhì)點同時參與了兩個振動方向相互垂直的同頻率簡諧振動，即上式是個橢圓方程，具體形狀由相位差決定。質(zhì)點的運動方向與有關。當時，質(zhì)點沿順時針方向運動；當時，質(zhì)點沿逆時針方向運動。當時，橢圓退化為圓。一、同頻率垂直簡諧振動的合成27第二十七頁，共三十七頁，2022年，8月28日上式的推導：X=A1cos(ωt+φ1)Y=A2cos(ωt+φ2)變換：Y=A2cos(ωt+φ2)=A2cos(ωt+φ1+φ2-φ1)令α=ωt+φ1β=φ2-φ1則有：X=A1cosαY=A2cos(α＋β）得：Y=A2[cosαcosβ-sinαsinβ]改寫為：兩邊平方，利用cosα=X/A128第二十八頁，共三十七頁，2022年，8月28日討論1所以是在直線上的振動。討論2所以是在直線上的振動。29第二十九頁，共三十七頁，2022年，8月28日討論3

所以是在X軸半軸長為，

Y軸半軸長為的橢圓方程，且順時針旋轉(zhuǎn)。討論4所以是在X軸半軸長為，

Y軸半軸長為的橢圓方程，且逆時針旋轉(zhuǎn)。X和Y方向的相位差決定旋轉(zhuǎn)方向。質(zhì)點的軌道是圓。質(zhì)點的軌道是圓。30第三十頁，共三十七頁，2022年，8月28日討論5則為任一橢圓方程。綜上所述：兩個頻率相同的互相垂直的簡諧振動合成后，合振動在一直線上或者在橢圓上進行（直線是退化了的橢圓）。31第三十一頁，共三十七頁，2022年，8月28日二、垂直方向、不同頻率簡諧振動的合成一般是復雜的運動軌道不是封閉曲線，即合成運動不是周期性的運動。當時是順時針轉(zhuǎn)；時是逆時針轉(zhuǎn)。如果兩個互相垂直的振動頻率成整數(shù)比，合成運動的軌道是封閉曲線，運動也具有周期。這種運動軌跡的圖形稱為李薩如圖形。P128圖。用李薩如圖形在無線電技術中可以測量頻率：在示波器上，垂直方向與水平方向同時輸入兩個振動，已知其中一個頻率，則可根據(jù)所成圖形與已知標準的李薩如圖形去比較，就可得知另一個未知的頻率。32第三十二頁，共三十七頁，2022年，8月28日§6、7阻尼振動、受迫振動、共振一.阻尼振動阻尼振動微分方程令為阻尼因子通解33第三十三頁，共三十七頁，2022年，8月28日1.欠阻尼振動------阻尼很小通解txo2.過阻尼振動------阻尼很大通解不能往復運動。如單擺放在粘滯的油筒中擺到平衡位置須很長時間。34第三十四頁，共三十七頁，2022年，8月28日3.臨界阻尼振動通解衰減函數(shù)臨界阻尼達到平衡位置的時間最短，但仍不能超過平衡位置。過阻尼臨界阻尼三種阻尼振動比較欠阻尼35第三十五頁，共三十七頁，2022年，8月28日二.受迫振動