初中數學函數知識點總結

初

中

函

數

知

識

點

總

結知點、面角標1面直角坐標系在平面內畫兩條互相垂直且有公原點的數軸，就組成了平面直角坐標系。其中，水平的數軸叫做x或軸，取向右為正方向；鉛直的數軸叫做y軸或縱軸，取向上為正方向；兩軸的交點（公的點叫直坐系點；建立了直角坐標系的平面，叫做坐標平面。為了便于描述坐標平面內點的位，把坐標平面被x軸和y割而成的四個部分，分別叫做第一象限、第二象限、三象限、第四象限。注意：x和y軸點，不屬任何象限。2的坐標的概念點的坐標用ab示，其順是橫坐標在前，縱坐標在后，中間有“縱坐標的位置不能顛倒。平面內的坐標是有序實數對，當是兩個不同點的坐標。知點、同置點坐的征1各內點的坐標的特征y點P(x,y)第一象限x0,0點P(x,y)第二象限x0,點P(x,y)第三象限y0點P(x,y)第四象限2標軸上的點的特征

b

時b（ba點P(x,y)x軸點P(x,y)y軸

y0

，x任意實數，y為意實數點P(x,y)在x上，又在y上xy同時零即P坐標003條坐標軸夾角平分線上點坐標的特征點P(x,y)第一、三象限夾角平線x與y相點P(x,y)第二、四象限夾角平線x與y互反數4坐標軸平行的直線上點的標的特征位于平行于x的直線上的各點縱坐標相同。位于平行于y軸的上的各點橫坐標相同、關于x軸y軸遠點對稱的點的坐標的特征點P與點p于x軸橫相等，縱坐標互為相反數點P與點p’于y軸對縱相，橫坐標互為相反數點P與點p’于對稱6到坐標軸及原點的距離

橫、縱坐標均互為相反數點P(x,y)坐標軸及原點的距離點P(x,y)x軸距于點P(x,y)y軸離等于

（3P(x,y)點的距離等知點、數其關念1量與常量

x在某一變化過程中，可以取不同值的量叫做變量，數值保持不變的量叫做常量。一般地，在某一變化過程中有兩變量x與，如果對于一個值y都有確定的值與它對應，那么就說x是量yx數。2數解析式用來表示函數關系的數學式子叫函數解析式或函數關系式。使函數有意義的自變量的取值的體，叫做自變量的取值范圍。3數的三種表示法及其優(yōu)缺（1析法兩個變量間的函數關系，有時可用一個含有這兩個變量及數字運算符號的等式表示，這種表示法叫做解析法。（2表法把自變量x一系列值和函數y對應值列成一個表來表示函數關系，這種表示法叫做列表法。（3像法用圖像表示函數關系的方法叫做像法。4函數解析式畫其圖像的一步驟列表：列表給出自變量與函數的些對應值描點：以表中每對對應值為坐標在坐標平面內描出相應的點連線：按照自變量由小到大的順，把所描各點用平滑的曲線連接起來。知點、比函和次數1比例函數和一次函數的概一般地，如果

ykx

（kb是數ky叫x的函數。特別地，當一次函數

y

中的b為0時

ykx

（k為常k

0y叫做x的比例函數。2次函數的圖像所有一次數的圖像都是一條直線3次函數、正比例函數圖像主要特征：一次函數

y

的圖像是經過點0b的正比例函數

ykx

的圖像是經過原點00的。k符號k>0k<0

b的號b>0b<0b>0

函數圖像y0xy0xy0x

圖像特征圖像經過一、二、三象限，yx的增大而增大。圖像經過一、三、四象限，yx的增大而增大。圖像經過一、二、四象限，yx的增大而減小yk<0

b<0

0x

圖像經過二、三、四象限，yx的增大而減小。注：當b=0時一次函數變?yōu)檎瘮担壤瘮凳且淮魏瘮档奶乩?比例函數的性質一般地，正比例函數

ykx

有下列性質：（1k>0時，圖像經過第一三象限yx增大而增大，圖像從左之右上升；（2k<0時，圖像經過第二四象限yx增大而減小，圖像從左之右下降。5次函數的性質一般地，一次函數

ykx

有下列性質：當k>0時y隨x的而增大當k<0時y隨x的而減小當b>0時，直線與y軸交點在y軸軸上（4b<0時，直線與y軸交在y軸半上6比例函數和一次函數解析的確定確定一個正比例函數，就是要確正比例函數定義式

ykx

（k

0的常數k定一個一次函數，需要確定一次數定義式

ykx

（k

0的常數k和b這類問題的一般方法待系法知點、比函1比例函數的概念一般地，函數y

kx

（k是k

0叫比例函數。反比例函的解析式也可以寫成y

或的量x的取范圍是x

0一切實數數的取值范圍是一切非零實數。2比例函數的圖像反比例函數的圖像是雙曲線，它兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限，或第二、四象限，它們關于原點對。由于反比例函數中自變x函y所它的圖像與x軸y都沒有交點即雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸，但永遠達不到坐標軸。3反函數的性質反比例函數

(0)k符號

k>0

k<0y

y圖像

Ox

Ox①x取值范圍是x

0①取值范是x

0性質

y取值范圍是yy值范圍是y②當k>0像的兩個分分別②k<0時，函數圖像的兩個分支分別在第一、三象限。在每個象限內y第二、四象限。在每個象限內y隨x的大而減小。x的大增。4比例函數解析式的確定確定解析式的方法仍是待定系數。由于在反比例函數

中，只有一個待定系數，因此只需要一對對應值或圖像上一個點的坐標，即可求出k的值從而確定其解析式。5比例函數中反比例系數的何意義若過反比例函數y

(

圖像上任一點P作x軸y軸垂PM，PN則得的矩形PMON的積S=PM

PN=

。

kyx

xy

k,

k

。知點、次數概和像1次函數的概念一般地，如果y2(a,b是數叫做x的二數。

0)

，特注a不為零，么yyax

2

bx(a,b,是常a

叫做二次函數的一般式。2次函數的圖像二次函數的圖像是一條關于x

對稱的曲線，這條曲線叫拋物線拋物線的主要特征（也叫拋物線三要素①有開口方向；②有對稱軸；③頂點。3次函數圖像的畫法五點法：（1根據函數解析式，求出點坐標，在平面直角坐標系中描出頂點M并線畫出對稱軸（2拋物線

y2

與坐標軸的交點：當拋物線與x有兩個交點時出這兩個交點拋物線與y軸的C再到點C對稱點D這五個點按左到右的順序連接起來，并向上或向下延伸，就得到二次函數的圖像。當拋物線與x只有一個交點或交點時拋物線與y軸交點C及點D由CMD三粗略地畫出二次數的草圖。如果需要畫出比較精確的圖像，可再描出一對對稱點AB后順次連接五，畫出二次函數的圖像。知點、次數基形1.次函數基本形式：2的：的

開口方向

頂點坐標

對稱軸

性質時隨的而增大時y

向上

y軸的而減?。粫r最小值0．時隨的而減小時y

向下

y軸的而增大；時最大值0．a絕對值越大，拋物線的開口小。2.

性質：二次函數的可由的上下平移得（平移律上下減符號

開口方向

頂點坐標

對稱軸

性質，y隨的而增大，y

向上

y軸的而減??；時y有值c．，y隨的而減小，y

向下

y軸的而增大；時y有值c．3.二次函數

y的可由ax

的圖像左右平移得（移律左加右符號

開口方向

頂點坐標

對稱軸

性質時，y隨x增大而增大

向上

X=h隨的大而減小x時有值0．時，y隨x增大而減小

向下

X=h隨的大而增大時y有大值4.：符號

開口方向向上

頂點坐標

對稱軸X=h

性質時y隨x的而增大時最值最值隨的大小x時有小值．時y隨x的而減小時

向下

X=h隨的大大時有大值k．知點、次數析的示法1.一：y

bx（a，b，c為，a頂點式：(x)（ah，k常數，兩點式：y()(x（，，x拋物線與軸點的橫坐標.注意何函數的解析式都以化成一般式或頂點式非所有的二次函數都可以寫成兩點式，只有拋物線x軸，即ac時拋線解式可用點式表示．二次函數解析式的這種形式可以互.的絕值大拋線的口小知點、次數析的定根據已知條件確定二次函數解析用待定系數法待數法求二次函數的解析式必須根據題目的特點，選適當的形式，才能使解題簡便說如下幾種情況：已知拋物線上三點的坐標，一般用一般式；已知拋物線頂點或對稱軸或最大?。┲?，一般選用頂點式；已知拋物線與的兩個交點的橫坐標一般選用兩點式；已知拋物線上縱坐標相同的兩點常選用頂點式．知點、次數最如果自變量的取值范圍是全體實，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值b4x，。2a4如果自變量的取值范圍是x1

2

，那么，首先要看

b2

是否在自變量取值范圍x

內，若在此范圍內，則x=

a

時，

acy；不在此范圍內，則最值需要考慮函數在xx1

2

范圍內的增減性果此范圍隨大而增大當x

時，

y

大

ax

22

，x21

時，

y

小

2如果在此范圍內，12y隨x增大小則當yaxbx小22

x時y

大

ax當x1

時，知點一二函的質1次函數的性質二次函數函數

yax

bxa,b,c是數a0)a>0

a<0yy圖像0x（1物線開口向上，并向上限延伸；

0x（1拋物線開口向下，并向下限延伸；（2稱軸是x=

b2

，

（2對稱軸是x=

b2

，頂點坐標是（

ac，a4a

頂點坐標是（

ac，a4a（3對稱軸的左側，即當x<

b2

時，

（3在對稱軸的左側，即當x<

b2

時，y隨性質

yx的而減??；在對稱軸右側，

x增大而增大；在對稱軸的右，即當x>

b2

時，y隨x的增大而增大，

即當x>

b2

時，y隨x增大而簡記左減右增；（4物線有最低點，當x=

減小，簡記左增右減；bb時，y最?。⊕佄锞€有高點，當x=22

時，值，y

最小值

ac

2

y有值，

y

最大值

ac

22次函數與一元二次方程的系（二次函數x軸情況一元二次方程ax是次數2bx當數值時特殊情.圖與x軸的點數①當時，圖象與交于兩點x，中是元程ax

bx

的．兩間距離x

2221222212推導過程：若拋物線

y2bx

與

軸兩交點為A11

是方程

2

bx0

的兩個根，故x2

b,xaax1

1

2

1

2

4cbxa當時象與x軸有一個交點；當，圖象與軸有.當a圖象落在x軸方，無論為任何實數都有y；

當a時，圖象落在x軸下方，無論x為實數，都有．記規(guī)：元方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的坐標。因此一元二次方程中的

bac

，在二次函數中表示圖像與x軸有交點。當當

>0時，與x軸有交點當<0時，與x軸沒點。

=0時像與x有一個交點知點二中二函壓題考式必必，理記）、兩間離式當沒有思路的題時，可用此方法拓展思路，尋求解題方法）y如圖：點A坐（xy點B坐標xy）則AB間離，即線段AB的度

x

yy

A、二函圖的移①將拋物解式化頂式

0By確定頂坐②保持拋線

ax

的狀變將頂平到

處具平方如：y=ax向右(>0)或左(h<0)】平移k|個單位()

2

向上(>0【或向下(k<0)平移個單位向右(h>0)【或左(h<0)平移個單位向上(>0)【或下(k<0)平移|k個單位向上(k或下(<0)】平移|個單位

y=axk向右(h>0)【或左(平移個單位(x-h)2+k③移律在有數基上值右，左移k值正移負移．概括八字左右，加減數平移像大致位置規(guī)律（中考試題中，只占3分，掌握這個知識點，對提高答題速有很大幫助，可以大大節(jié)省做題的時間）、線：

tan

y2114

、設兩條直線分別為lkb11

l：

若

l

//l

，則有l(wèi)//l21

且

b

。

若

ll1知點三二函的象各系之的系拋線

yax

2

中ac,

的用（1

a

決定開口方向及開口大小，這與y

2

中的完.

>0，拋物線開口向上；

<0時，線開口向下；

的絕對值越大，開口越?。?

和

a

共同決定拋物線對稱軸的位.拋物線

y2bx的稱直線

b2

，故①b0時，對稱軸為y軸②

ba

0（

a

、

b

同號）時，對稱軸在

軸左側③

ba

0

（即

a

、

b

異號）時，對稱軸在

軸右.口左異（3c的決定拋物線

yaxbx與軸點的位置當

x

時，

y

，∴物

y2