初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽教程及練習(xí)之經(jīng)驗(yàn)歸納法附答案

234233n-12222nnnnnn234233n-12222nnnnnn經(jīng)驗(yàn)歸納法一內(nèi)提．通常我們把“從特殊到一般”的推理方法、研究問題的方法叫做歸納法。通過有限的幾個(gè)特例，觀察其一般規(guī)律出論，它是一種不完全的歸納法，也叫做經(jīng)驗(yàn)歸納法。例如①由(－1)＝）＝1）＝，??歸納出－的次是－，而－1的次冪是1。②由兩位數(shù)從10到99共90個(gè)9×三位數(shù)從100到共個(gè)（9四位數(shù)有9×＝個(gè)（9????歸納出位共有×個(gè))由1+3=2,1+3+5+7=4?

推斷出從開始的個(gè)續(xù)奇數(shù)的和等于n等可以看出經(jīng)驗(yàn)歸納法是獲取新知識(shí)的重要手段，是知識(shí)攀緣前進(jìn)的階梯。經(jīng)驗(yàn)歸納法是通過少數(shù)特例的試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，猜想結(jié)論要使規(guī)律明朗化，必須進(jìn)行足夠次數(shù)的試驗(yàn)。由于觀察產(chǎn)生的片面性猜想的結(jié)論可能是錯(cuò)誤的以肯定或否定猜想的結(jié)論，都必須進(jìn)行嚴(yán)格地證明高，大都是用數(shù)學(xué)歸納法證明）二例平面內(nèi)條直線，每?jī)蓷l直線都相交，問最多有幾個(gè)交點(diǎn)？解：兩條直線只有一個(gè)交點(diǎn)，

2第3條直線和前兩條直線都相交，增加2個(gè)點(diǎn)，得＋23第4條直線和前直線都相交，增加了個(gè)點(diǎn)，得＋2第5條直線和前直線都相交，增加了個(gè)點(diǎn)，得＋2＋4???第n條直線和前－1直線都相交，增加了－個(gè)交點(diǎn)由此斷定條線兩兩相交，最多有交點(diǎn)1＋3?－1（個(gè)這里≥2其和可表示為［1+（

n(即個(gè)點(diǎn)。22例2．符號(hào)！表示正整數(shù)從1到n的乘積，讀作n的乘。例如！＝×2××4×。比較3與（n+1大是整數(shù)）解：當(dāng)＝，＝（＋×2當(dāng)＝＝，（＋1×2×＝6當(dāng)＝＝27,（＋1×2×4當(dāng)＝當(dāng)＝

＝81,（n＋××3××＝120＝（＋?。?20??1

nn3322333232nn332233323232222a猜想其結(jié)論是：當(dāng)＝，2，3時(shí)，3＞n＋＜n＋1例3求合等式x+x+x＋?=xxx?的正整數(shù)解。1232003123分析：這2003個(gè)整數(shù)的和正好與它們的積相等，要確定每一個(gè)正整數(shù)的值，們采用經(jīng)驗(yàn)歸納法從個(gè)，3個(gè)??直到發(fā)現(xiàn)規(guī)律為止。解：x+x=xx的整數(shù)解是x=x=212x+x=xx的整數(shù)解是x=1,x=2,x11313x+x+x=xxxx的正整數(shù)解是x=2,x1421x+x+x+x=xxxxx的整數(shù)解是x=x=1,x=2,x14245135x+x+x+x+x=xxxxxx的整數(shù)解是x=x=x=1,x=614134612345????由此猜想結(jié)論是：適合等式x+x+x＋?=xxx?的正整數(shù)解為x=x=x＝??123200323=xx，x=2003。200120022003三練14．除余1的整數(shù)中，一位數(shù)有＿＿個(gè)，二位數(shù)有＿＿個(gè)，三位數(shù)有＿＿個(gè)n位有＿＿＿＿個(gè)。．十進(jìn)制的兩位數(shù)

12

可記作10a＋,位數(shù)1

12

3

記作100a+a四位數(shù)13,a134

記作＿＿＿＿，數(shù)＿＿＿記＿＿＿＿＿＿．由1＋＝1＋），＋2＋＝1＋＋3，1＋2＋＋＝（＿＿＿）＋＿＿＿＿＿＿＝15，＋＋?=()。．用驗(yàn)歸納法猜下列各數(shù)的結(jié)論（是什么正整數(shù)的平方）①

222＝＿＿＿）；1111－2222101個(gè)2n個(gè)1n

＝（＿）。②111155＝＿＿＿＿）；111155（＿＿＿）位

9位

位

n位．把然數(shù)1一個(gè)地排去????99100①這一個(gè)幾位數(shù)？②這個(gè)數(shù)的各位上的各個(gè)數(shù)字和是多少．計(jì)算

1＋＋＋?＝111213（提示把每個(gè)分?jǐn)?shù)寫成兩個(gè)分?jǐn)?shù)的差）是正整數(shù)，試比較a和(的大?。绨验L(zhǎng)方形的四條邊涂紅色，然后把寬分，把長(zhǎng)分，分成個(gè)小長(zhǎng)方形，那么這個(gè)長(zhǎng)方形中，兩邊涂色的有＿＿個(gè)，一邊涂色的有＿＿個(gè)，四邊都不著色的有＿＿個(gè)。本題如果改為把寬等,長(zhǎng)等分(m,n都大于1的然數(shù)那么這mn個(gè)方形中邊涂色的有＿＿個(gè)，一邊涂色的有＿＿個(gè)，四邊都不著色的有＿＿個(gè)．把表面涂有紅色的正方體的各棱都等，切成個(gè)正方體，那么這64個(gè)中，三面涂色的有＿＿個(gè)兩面涂色的有＿＿個(gè)一面涂色的有＿＿＿個(gè)四面都不涂色的有＿＿＿＿個(gè)。本題如果改為把長(zhǎng)m等,n等分,等m,n,p都大于的然）那么這mnp2

2n-1n-1n-2222n-1n-1n-222a個(gè)正方體中，三面涂色的有＿＿＿個(gè)，兩面涂色的有＿＿個(gè)，一面涂色的有＿＿＿＿個(gè)，四面都不涂色的有＿＿＿＿＿個(gè)。10個(gè)西瓜按橫垂直三個(gè)方向各切三刀共分成＿＿塊中不帶皮的有＿＿塊。．已知兩個(gè)正整數(shù)的積等于，們分別是＿＿＿，＿＿＿。三練參答：3，×10，×a_??+10a+a12n-1n①,

②34，3334

n位①192位②901位