2023年高考數(shù)學總復(fù)習選修4－4坐標系與參數(shù)方程第二節(jié)參數(shù)方程

第二節(jié)參數(shù)方程

,最新考綱，

1.了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義.

2.能選擇恰當?shù)膮?shù)寫出直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程.

?考向預(yù)測?

考情分析：參數(shù)方程與普通方程互化，參數(shù)方程的應(yīng)用，參數(shù)方程與極坐標方程的綜合

應(yīng)用將是高考考查的熱點，題型仍將是解答題.

學科素養(yǎng)：通過參數(shù)方程的應(yīng)用考查數(shù)學建模、數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

積累必備知識——基礎(chǔ)落實贏得良好開端

一、必記4個知識點

1.參數(shù)方程的概念

一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線上________的坐標x,y都是某個變數(shù)f的函

數(shù)：I'=f(t)，并且對于t的每一個允許值，由方程組所確定的點M(x,y)都在________,

ly=g(t).

那么方程叫做這條曲線的參數(shù)方程，r叫做參變數(shù)，簡稱.相對于參數(shù)方程而言，

直接給出點的坐標間關(guān)系的方程叫做.

2.直線的參數(shù)方程

過定點Po(式,州)且傾斜角為a的直線的參數(shù)方程為(，為參數(shù))，則

參數(shù)t的幾何意義是.

3.圓的參數(shù)方程

圓心為3,b),半徑為r,以圓心為頂點且與x軸同向的射線，按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圓

上一點所在半徑成的角a為參數(shù)的圓的參數(shù)方程為aG[O,2兀).

4.橢圓的參數(shù)方程

以橢圓的離心角。為參數(shù)，橢圓弓=1伍＞6＞。)的參數(shù)方程為He。

2兀).

二、必明1個常用結(jié)論

直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義

經(jīng)過點P(xo，yo),傾斜角為。的直線/的參數(shù)方程為卜=X。+tcosa’"為參數(shù)).若人，

(y=y。+tsina

8為直線/上兩點，其對應(yīng)的參數(shù)分別為八，f2,線段A8的中點為M,點M所對應(yīng)的參數(shù)

為好則以下結(jié)論在解題中經(jīng)常用到：

(Dk詈;

(2)|PM|=|fo|=|丐T；

(3)|A5|=|Z2—Z1I;

(4)|網(wǎng)儼8|=回機

提升關(guān)鍵能力——考點突破掌握類題通法

考點一參數(shù)方程與普通方程的互化［基礎(chǔ)性］

1.把下列參數(shù)方程化為普通方程.

x=l+：t,

(f為參數(shù)).

⑴,y=5+梟

(2)卜=$1嗎’(@為參數(shù)，0eIO)2無)).

(y=cos/0

2.如圖，以過原點的直線的傾斜角。為參數(shù).求圓片+產(chǎn)一》=0的參數(shù)方程.

反思感悟消去參數(shù)的三種方法：

(1)利用解方程的技巧求出參數(shù)的表示式，然后代人消去參數(shù)；

(2)利用三角恒等式消去參數(shù)；

(3)根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征，靈活的選用一些方法從整體上消去參數(shù).

將參數(shù)方程化為普通方程時，要注意防止變量x和)，取值范圍的擴大或縮小，必須根據(jù)

參數(shù)的取值范圍，確定函數(shù)大。和g⑺的值域，即x和y的取值范圍.

考點二參數(shù)方程的應(yīng)用［綜合性J

角度1直線參數(shù)方程的應(yīng)用

［例1］［2022?深圳市統(tǒng)一測試］在平面直角坐標系X。)，中，直線C,的參數(shù)方程為

卜=-2百+tcosa'。為參數(shù)，a為傾斜角)，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建

(y=tsina

立極坐標系，曲線Ci的極坐標方程為p=4sin0.

(1)求曲線C2的直角坐標方程；

(2)直線G與曲線C2相交于E,尸兩個不同的點，點尸的極坐標為(2次，兀)，若2［11

=|PE|+|PP，求直線G的普通方程.

聽課筆記:

反思感悟(1)直線的參數(shù)方程有多種形式，只有標準形式中的參數(shù)才具有幾何意義，

即參數(shù)t的絕對值表示對應(yīng)的點到定點的距離.

(2)根據(jù)直線的參數(shù)方程的標準形式中r的幾何意義，有如下常用結(jié)論：

①若直線與圓錐曲線相交，交點對應(yīng)的參數(shù)分別為人，仇則弦長/=|八一目：

②若定點M)(標準形式中的定點)是線段MI“2(點M,此對應(yīng)的參數(shù)分別為人，及，下

同)的中點，則力+。2=0；

③設(shè)線段的中點為M,則點例對應(yīng)的參數(shù)為tM=~2'.

角度2圓與橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用

［例2J［2022.福建省質(zhì)量檢測］在直角坐標系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為

卜=cosa'g為參數(shù))，以原點。為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的

(y=sma

極坐標方程為〃="篇

(1)求曲線。的普通方程和曲線C2的直角坐標方程；

(2)若直線/與曲線C1相切于第二象限的點P,與曲線C2交于A,B兩點，且I以|.|PB|

=p求直線/的傾斜角.

反思感悟橢圓的參數(shù)方程實質(zhì)是三角代換，有關(guān)橢圓上的動點距離的最大值、最小值

以及取值范圍的問題，通常利用橢圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最大值、最小值求解.

【對點訓練】

1.［2022.四省八校雙教研聯(lián)考］在平面直角坐標系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為

jx=-2+t,為參數(shù)以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2

Iy=-2+t

的極坐標方程為p=4cos0.

(1)求Ci的普通方程和C2的直角坐標方程；

(2)若Ci,C2交于A,8兩點，點P的極坐標為(2魚，一?)，求亳+亳的值.

4|FA|

2.［2022?石家莊市重點高中高三摸底考試］已知曲線C的參數(shù)方程為為參數(shù)),

A(2,0),P為曲線C上的一個動點.

(1)求動點P對應(yīng)的參數(shù)從g變動到日時，線段AP所掃過的圖形的面積；

(2)若直線AP與曲線C的另一個交點為Q,是否存在點P,使得P為線段4Q的中點？

若存在，求出點P的直角坐標；若不存在，請說明理由.

考點三極坐標與參數(shù)方程的綜合問題［綜合性］

［例3］［2020?全國卷I］在直角坐標系必中，曲線Ci的參數(shù)方程為案上；

。為參數(shù)).以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方

程為40cos16psin6+3=0.

(1)當％=1時，G是什么曲線？

(2)當％=4時，求G與Ci的公共點的直角坐標.

聽課筆記:

反思感悟極坐標方程與參數(shù)方程綜合問題的解題策略

(1)求交點坐標、距離、線段長.可先求出直角坐標方程，然后求解.

(2)判斷位置關(guān)系.先轉(zhuǎn)化為平面直角坐標方程，然后再作出判斷.

(3)求參數(shù)方程與極坐標方程綜合的問題.一般是先將方程化為直角坐標方程，利用直

角坐標方程來研究問題.

【對點訓練】

[2022?惠州市高三調(diào)研考試]在直角坐標系xOy中，曲線C,的參數(shù)方程為§：g：9為

參數(shù)).在以坐標原點。為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2的極坐標方程為

p=4cos0.

(1)寫出G的普通方程和C2的直角坐標方程；

(2)若Ci與C2相交于A,B兩點,求△OAB的面積.

第二節(jié)參數(shù)方程

積累必備知識

1.任意一點這條曲線上參數(shù)普通方程

2.卜=&+'COS*有向線段P°P的數(shù)量

Iy=%+tsina

3(x=a4-rcosa,

Iy=b+rsina

4fx=acos0,

[y=bsin0

提升關(guān)鍵能力

考點一

1.解析：⑴由已知得f=2x-2,代入)，=5+當1中得丫=5+日(2》-2).

即它的普通方程為8x—y+5—8=0.

(2)因為sin20+cos20=1,所以f+y=l,

即y=1—/.又因為卜由。|W1,

所以其普通方程為y=l—RWIWI).

2.解析：圓的半徑為右

記圓心為C(1,0),連接CP,

則NPCx=2仇

故xp=j+|cos20=cos20,y『=gsin2e=sin9cos

所以圓的參數(shù)方程為｛晨：s：g為參Q

考點二

例1解析：(1)由題意得，曲線C2的極坐標方程為p=4s%9,所以p2=4ps%0,又x2

+y2=p2,y—psin0,

代入上式化簡可得，X2+y2-4y=0,

所以曲線C2的直角坐標方程為x2+(y—2)2=4.

（2）易得點P的直角坐標為（一2次，0）,

將卜=-28+叱°5?！?。為參數(shù)），代入曲線C2的直角坐標方程，可得t2—（4gcosa

Iy=tsina

+45ma）t+12=0,

A=（4gcosa+4si〃a）2—48=18sin（a+；）］—48>0,解得sin+或

（a+%一率不難知道a必為銳角，故si"（a+§考，所以、+9季即0?哼設(shè)這

個方程的兩個實數(shù)根分別為ti,t2,則ti+t2=4Hcosa+4si〃a,ti-t2=12,所以t,與t2同號,

由參數(shù)t的幾何意義可得，|PE|+|PF|=|ti|+|t2|=|t,+12|=8|sin（a+^）|,|EF|=|ti-t2|=

V(ti+t2)2-41^2=4^4sin2(a+^)-3,

所以2X4/sin?(a+―3

=8卜in(a+U，兩邊平方化簡可解得si〃(a+g)=l,所以a=3+2k?r,kez,因為

x=-2v5+--t,

0<aU，所以a=［所以直線G的參數(shù)方程為12(f為參數(shù))消去參數(shù)f,可

36

y，t,

得直線Ci的普通方程為x-V3.y+2V3=0.

例2解析：（1）因為曲線Ci的參數(shù)方程為卜=c°sa'm為參數(shù)），所以曲線G的普通

（y=sina

方程為f+）a=l.

因為曲線C2的極坐標方程/>2=3+：：29,P2—xz+y2,psinO—y,

所以曲線C2的直角坐標方程為*+9=L

（2）如圖，設(shè)直線/的傾斜角為￡,依題意內(nèi)e（0,J）,

則/在曲線Ci中的參數(shù)a=,+］,故尸（一siny?,cos夕），所以可設(shè)直線/的參數(shù)方程為

x=-sinp4-tcosp,

（t為參數(shù)）.

y=cosp4-tsinp

把直線/的參數(shù)方程代入。+4=1.

43

得(sin%+3)產(chǎn)+2(sin^cosp)t+cos?。一9=0,

設(shè)48對應(yīng)的參數(shù)分別為mm則32=靠?

則必"為=|"加黑箱=瑞券又附—|PB|W，所以辭唱所以sin

故吟,即直線/的傾斜角為最

對點訓練

1.解析：（1）G的普通方程為x-y=0,C2的直角坐標方程為（X-2）2+V=4.

x=-2+￥已

（2）G的參數(shù)方程化為標準參數(shù)方程為《2（「為參數(shù)），P的直角坐標為（一2,

"-2+.，

-2）,將G的標準參數(shù)方程代入C2的直角坐標方程得產(chǎn)一6立尸+16=0,設(shè)4,8對應(yīng)的

,

參數(shù)分別為t'i,t'2,則t'i+/=6誼,t'i-t2=16,

所以向+1|PA|+|PB|t\+t^3V2

f

|PB||PA||PB|t\t28

2.解析：（1）設(shè)時對應(yīng)的點為M,時對應(yīng)的點為M。為坐標原點,

線段AP掃過的圖形的面積=SZ\AMN+S弓形=S4OMN+S弓形=S扇形OMN=1XI2X==H

236

(2)設(shè)P(cossin。)，

???尸為線段AQ的中點,A2(2cos0-2,2sin0),

???Q在曲線。上，曲線。的普通方程為好+產(chǎn)=1,

???(2cos0—2)2+(2sin0)2=1,

8cos0=7,cos0=-.

8

此時點p的直角坐標為《，士