2022年中考數(shù)學(xué)壓軸題押題及答案解析

2022年中考數(shù)學(xué)壓軸題

1.如圖，以y軸上正半軸上一點(diǎn)Oi為圓心的圓分別交x軸于/、4兩點(diǎn)，交y軸于/(O,

2+四)、G(0,V2-2).

(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo).

(2)N(Q,b)為OOi上第二象限內(nèi)一點(diǎn)，且Q,b為方程/+(2)]-24=0的兩根,

PG—PF

且P是布上一點(diǎn)，F(xiàn)T-的值是否為定值？若為定值，求出此值；若不是定值，求出其

NP

變化的范圍.

(3)點(diǎn)C是弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)/、8重合)，O\DLBC,O\ELAC,垂足分別

為D、E.設(shè)BD=t,△OOiE的面積為S,求S關(guān)于，的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的自變量

取值范圍.

VF(0,2+近)、G(0,V2-2),

：.FG=(2+V2)-(V2-2)=4.

.?.OI/=OIF=OIG=2.

：.O\O=OF-O\F^(2+V2)-2=V2.

在RtZXZOOi中，

40=JAOI2-OiO2=V2.

點(diǎn)/的坐標(biāo)為(一&,0).

(2)r^一是定值，等于應(yīng).

NP

理由如下：

過(guò)點(diǎn)N作NQLNP交尸G于點(diǎn)0,連接NF、NOi、NG,如圖2.

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解關(guān)于X的方程f+(2-k)12k=0得：

xi=-2,x?=k.

,:N(a,b)在第二象限,且a,b為方程x2+(2-k)x-2k=0的兩根,

'.a=-2,b=k,即點(diǎn)N的坐標(biāo)為(-2,k),

...點(diǎn)N到y(tǒng)軸的距離等于2,等于。。1的半徑.

?.?點(diǎn)N在。Oi上，：.NO}LFG.

.'.NF=NG.：.NF=NG.

是。。?的直徑，：.ZFNG=90°.

1

■:PN工NQ,即NPNQ=90°,ZNPG=^ZNOiG=45°,

AZPQN=90°-45°=45°=ZNPQ.

：.NP=NQ.

：.PQ=V2PN,

■:/FNG=90°,NPNQ=90°,

:./PNF=90°-ZFNQ=ZGNQ.

在△PNF和△0NG中，

NP=NQ

乙PNF=^QNG.

、NF=NG

:APNF94QNG.

：.PF=QG,

.PG-PFPG-QGPQr-

NPNPPNv

(3)連接。。，過(guò)點(diǎn)8作8RJ_O。交。。的延長(zhǎng)線于R,

過(guò)點(diǎn)。作DS_LO8于S,連接OM、018,如圖3.

'：O\G±AB,：.OA^OB=y/2.

:.AB=2a.

?.?。1/2+0山2=8=/82,

.?.4015=90°.

二廂的度數(shù)為90°.

后方的度數(shù)為270°.

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AZACB=\35°.

VO1D1BC,O\ELAC.

：.BD=CD=t,AE=CE,

V2,ED//AB.

：.ZOiHD=ZO\OB=90°.

?；OB=OA,BD=DC,

：.OD//AC.

：.ZODB=ZACB=135°.

：.ZBDR=45°.

在RtZSBR。中，

BR=BD?sh\NBDR=樂

DR=BDs/BDR=罩.

在中，

OR=一BR2=3f=

OD=OR-DR=’87?_李

,:SA€>DB=^OD'BR=W（）B?DS,

.coODBRH8-2t2一同2

..DS=-TTD—=-------彳-------.

H8-2榨一夜/

：.OH=DS=

tV8-2亡2—4\/^+川8—2/2—

：?OiH=OiO+OH=a+

榜-士

；.S=^ED'O\H=|xV2x45/2+tV8—2t2—/214+tV4-2

?.?點(diǎn)C是弧N8上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)/、8重合），

：.0<BC<AB.

.\0<2z<2V2.

：.0<t<>/2.

.??S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為S=4+t海丁Y,自變量/的取值范圍為o〈t<節(jié)..

q

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2.已知，如圖：Oi為x軸上一點(diǎn)，以。i為圓心作OOi交x軸于C、。兩點(diǎn)，交＞軸于"、

N兩點(diǎn)，的外角平分線交于點(diǎn)E,4B是弦,且N8〃CD,直線。加的解析

式為y=3x+3.

(1)如圖1,求。Oi半徑及點(diǎn)￡的坐標(biāo).

(2)如圖2,過(guò)E作E尸，8c于尸，若/、8為弧CND上兩動(dòng)點(diǎn)且弦48〃8,試問(wèn)：

8F+C尸與4C之間是否存在某種等量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的結(jié)論，并證明.

(3)在(2)的條件下，EF交。Oi于點(diǎn)G,問(wèn)弦BG的長(zhǎng)度是否變化？若不變直接寫出

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8G的長(zhǎng)（不寫過(guò)程），若變化自畫圖說(shuō)明理由.

解：（1）連接皮）、EC、EOi、MOi，如圖1,

〈ME平分NSWC,

???/SME=NEMC.

ZSME=ZECDf/EMC=/EDC,

：.ZECD=ZEDC.

:./EOiD=/EOC

???NEOiZMNEOiC=180°,

AZEO\D=ZEO\C=90°.

???直線DM的解析式為y=3x+3,

???點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0,3）,點(diǎn)。的坐標(biāo)為（-1,0）.

：.OD=\fOM=3.

設(shè)。。1的半徑為八則MOi=QOi=八

在中，

（r-1）2+32—r1.

解得：尸=5.

AOOi=4,EOi=5.

???OQ半徑為5,點(diǎn)￡的坐標(biāo)為（4,5）.

（2）BF+CF=AC.

證明：過(guò)點(diǎn)5作OiPLEG于P,過(guò)點(diǎn)。1作。1。,5c于0,連接EOi、DB,如圖2.

■:AB〃DC,：.ZDCA=ZBAC.

：.AD=BC.

：.BD=AC.

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：.BD=AC.

9：O\PLEG,O\QLBC.EFLBF,

：.ZOiPF=ZPFQ=ZO\QF=90°.

???四邊形OPF0是矩形.

：.O\P=FQ,NPOi0=9O°.

???NEOiP=90°-ZPO\C=ZCO}Q.

在△EPOi和△CQOi中，

"0/="OiQ

乙

EPOi=Z.CQO1.

、0]E=01C

：.^XEPO\^/\CQO\.

：.PO\=QO\,

：.FQ=QO\.

V0O11BC,：.BQ=CQ.

???COi=QOi，：.O\Q=^BD.

：.FQ=*BD.

BF+CF=FQ+BQ+CF=FQ+CQ+CF=2FQ,

：.BF+CF=BD=AC.

(3)連接EOi，ED,EB,BG,如圖3.

???QC是OOi的直徑，：.ZDBC=9O0.

:,NDBC+NEFB=1800.

：.EF//BD.

:./GEB=/EBD.

：.BG=ED.

:.BG=DE.

9

：DO\=EO\=5fEO\±DO[f

：.DE=5y[2.

：.BG=5y[2.

???弦8G的長(zhǎng)度不變，等于5夜.

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圖2

3.如圖，在中，41cB=90°,以斜邊48上的中線。為直徑作。。，與BC交

于點(diǎn)M,與48的另一個(gè)交點(diǎn)為E,過(guò)M作垂足為N.

(1)求證：MN是。。的切線；

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【解答】(1)證明：連接0M,如圖1,

'：OC=OM,

J.ZOCM^AOMC,

在RtZ\/8C中，CD是斜邊上的中線,

：.CD=^AB=BD,

：.NDCB=NDBC,

NOMC=ZDBC,

C.OM//BD,

■:MNLBD,

：.OMLMN,

,.,。歷過(guò)O,

是。。的切線;

(2)解：連接。M,CE,

；8是。。的直徑,

.".ZCED=90°,ZDMC=90°,

即ZW_L8C,CErAB,

由（1）知：BD=CD=5,

為BC的中點(diǎn)，

3

VsinB=引

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/.cos5=引

在Rt△員3中，BM=BDsB=4,

:?BC=2BM=8,

在RtACEB中，BE=BC?cosB=考，

327

：.ED=BE-BD=節(jié)-5=g

4.已知NMPN的兩邊分別與。。相切于點(diǎn)4B,。0的半徑為八

（1）如圖1,點(diǎn)C在點(diǎn)48之間的優(yōu)弧上，ZMPN=80°,求N/CB的度數(shù)；

（2）如圖2,點(diǎn)C在圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)尸C最大時(shí)，要使四邊形/P8C為菱形，NZP5的度

數(shù)應(yīng)為多少？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）若尸C交。。于點(diǎn)。，求第（2）問(wèn)中對(duì)應(yīng)的陰影部分的周長(zhǎng)（用含，?的式子表示）.

【解答】解：（I）如圖1,連接。Z,08,

圖1

'：PA,P8為。。的切線，

：.ZPAO^ZPBO=90Q,

VZAPB+ZPAO+ZPBO+ZAOB^360,1,

：.ZAPB+ZAOB=ISO°,

VZAPB=iO°,

AZAOS=100°,

AZACB=50°；

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(2)如圖2,當(dāng)//尸8=60°時(shí)，四邊形/P8C是菱形,

連接。4,OB,

由(1)可知，N/O8+N/P8=180°,

VZAPB=60°,

AZAOB=120°,

AZACB=60°=/APB,

?.?點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到PC距離最大，

經(jīng)過(guò)圓心，

,：PA,尸8為。。的切線，

:.PA=PB,NAPC=NBPC=30°,

又?：PC=PC,

:.△APgtXBPC(SAS),

：.ZACP=ZBCP=30°,AC=BC,

...N/PC=N4CP=30°,

:.AP=AC,

：.AP=AC=PB=BC,

四邊形/P8C是菱形；

(3);?。的半徑為r,

'.OA—r,OP—2r,

：.AP=V3r,PD=r,

VZJOP=90°-ZAPO=60a,

而的長(zhǎng)度==^r,

...陰影部分的周長(zhǎng)=以+尸。+崩=倔廿+$=(V3+1+1)r.

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5.如圖，44為。。的切線，尸為。。的割線，力。J_。。于點(diǎn)。，△4DC的外接圓與5C

U：OAA.AP,ADA,OP,

，由射影定理可得：PA2=PD,PO,4D2=PD?OD…（5分）

又由切割線定理可得我2=P3?PC,

:?PB?PC=PD*PO,

:.D、B、C、。四點(diǎn)共圓，…（10分）

AZPDB=ZPCO=ZOBC=AODC,/PBD=/COD,

.,.△PSD^ACOP,

PDBD八

:.—=—,…（15分）

CDOD

:?BD?CD=PD，OD=AN,

.BDAD

?布-CD,

又NBDA=/BDP+90。=NOOC+90°=ZADC,

:.ABDAs4ADC,

：./BAD=/ACD,

：.AB是△ZQC的外接圓的切線,

：.ZBAE=ZACB.

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6.如圖，點(diǎn)/為夕軸正半軸上一點(diǎn),48兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，過(guò)點(diǎn)/任作直線交拋物線y=#

于P,0兩點(diǎn).

（1）求證：NABP=2ABQ；

（2）若點(diǎn)4的坐標(biāo)為（0,1）,且NP80=6O°,試求所有滿足條件的直線尸。的函數(shù)

解析式.

【解答】（1）證明：如圖，分別過(guò)點(diǎn)P,。作y軸的垂線，垂足分別為C,D.

設(shè)點(diǎn)/的坐標(biāo)為（0,/）,則點(diǎn)8的坐標(biāo)為（0,-Z）.

設(shè)直線P0的函數(shù)解析式為歹=h十八并設(shè)尸，0的坐標(biāo)分別為（xp,yp）,（x。，J0）.由

'y=kx+t

y=lx2

x2—kx—t=0,

于是%P%Q=_|t,即t=—^xPxQ.

BCy+t|%p2+t|%p2一|xp%Q|xp(xp-%Q)

PXp

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