2023年上海高考數(shù)學(xué)滿分復(fù)習(xí)攻略第10講 數(shù)學(xué)歸納法與數(shù)列綜合應(yīng)用(含詳解)

第10講數(shù)學(xué)歸納法與數(shù)列綜合應(yīng)用

【考點1】數(shù)學(xué)“納法

【考點2】數(shù)列綜合應(yīng)用

數(shù)學(xué)歸納法與數(shù)列綜合應(yīng)用

——［考點3］數(shù)列新定義

——【考點4】數(shù)列Lj不等式

【考點梳理】

一、數(shù)學(xué)歸納法

一般地，證明一個與正整數(shù)"有關(guān)的命題，可按下列步驟進行：

（1）（歸納蔗基）證明當(dāng)〃取第一個值m時命題成立:

（2）（歸納遞推）假設(shè)/7=在（4與小，衣GN'）時命題成立，證明當(dāng)力=4+1時命題也成立.

只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從m開始的所有正整數(shù)〃都成立.

注意：①應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法要運用“歸納假設(shè)”，沒有運用“歸納假設(shè)”的證明不是數(shù)學(xué)歸納法。

②由★到k+1的證明，實際問題中由4到上1的變化規(guī)律是數(shù)學(xué)歸納法的難點，突破難點的關(guān)鍵是掌

握由4到公1的推論方法，在運用歸納假設(shè)時，應(yīng)分析P（A）與PGH1）的差異及聯(lián)系。利用拆、添、并、

放、縮等手段，或從歸納假設(shè)出發(fā)；或從尸（在+1）從分離出P（心,再進行局部調(diào)整；也可考慮尋求二者的

“結(jié)合點”，以便順利過渡。

3、用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的等式，常采用從一邊開始并以另一邊為目標(biāo)進行推證的辦法；用數(shù)

學(xué)歸納法證明整除性問題，常采用配湊的辦法；用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的不等式時，常常需要運

用不等式的性質(zhì)以及比較法、放縮法、分析法、綜合法等基本方法；用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的幾

何問題，常常要運用幾何圖形的性質(zhì)。

二、歸納一一猜想——論證

“歸納、猜想、證明”就是運用“檢驗有限個”的值，尋找一定規(guī)律，猜想一個結(jié)論，然后用數(shù)學(xué)歸

納法證明所猜想的結(jié)論正確”的解題方法.

理解一個完整的思維過程，往往是既要發(fā)現(xiàn)結(jié)論，又要證明結(jié)論的正確性.這就需要掌握運用由特殊

到一般的思維方法，也就是通過觀察、歸納，提出猜想，探求結(jié)論，且運用嚴(yán)密的邏輯推理，即數(shù)學(xué)歸納

法證明結(jié)論（猜想）的正確.領(lǐng)會“歸納、猜想、證明”的思想方法，非常有助于提高觀察分析能力.

三、數(shù)列應(yīng)用題常見模型

（1）等差模型：如果后一個量比前一個量增加（或減少）的是同一個固定值，該模型是等差模型，增加（或

減少）的量就是公差.

（2）等比模型：如果后一個量與前一個量的比是同一個固定的非零常數(shù)，該模型是等比模型，這個固定

的數(shù)就是公比.

（3）遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項之間的關(guān)系不固定，隨項的變化而變化，應(yīng)考慮a,,與a,#

“或者相鄰三項等）之間的遞推關(guān)系，或者$與或者相鄰三項等）之間的遞推關(guān)系.

卸【解題方法和技巧】

1.數(shù)列的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是通過找到圖形之間的關(guān)系，得到等比數(shù)列，求數(shù)列通項公式常用的方法：

（1）由與與5“的關(guān)系求通項公式；（2）累加法；（3）累乘法；（4）兩邊取到數(shù)，構(gòu)造新數(shù)列法.

2.等差、等比數(shù)列的綜合問題的分析，應(yīng)重點分析等差、等比數(shù)列的通項及前〃項和；分析等差、等比數(shù)

列項之間的關(guān)系.往往用到轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法.

3.數(shù)列與函數(shù)常常以函數(shù)的解析式為載體，轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題，常用的數(shù)學(xué)思想方法有“函數(shù)與方程”“等

價轉(zhuǎn)化”等.

4.數(shù)列與不等式問題要抓住一個中心——函數(shù)，兩個密切聯(lián)系：一是數(shù)列和函數(shù)之間的密切聯(lián)系，數(shù)列的

通項公式是數(shù)列問題的核心，函數(shù)的解析式是研究函數(shù)問題的基礎(chǔ)；二是方程、不等式與函數(shù)的聯(lián)系，利

用它們之間的對應(yīng)關(guān)系進行靈活的處理.

5."新定義"型問題是指在問題中定義了初中數(shù)學(xué)中沒有學(xué)過的一些概念、新運算、新符號，要求學(xué)生讀

懂題意并結(jié)合已有知識進行理解，而后根據(jù)新定義進行運算、推理、遷移的一種題型.它一般分為三種類

型：（1）定義新運算；（2）定義初、高中知識銜接"新知識"；（3）定義新概念.這類試題考查考生對"

新定義”的理解和認(rèn)識，以及靈活運用知識的能力，解題時需要將"新定義"的知識與已學(xué)知識聯(lián)系起

來，利用己有的知識經(jīng)驗來解決問題.

6.數(shù)列與函數(shù)、不等式綜合問題的求解策略：

1、已知數(shù)列的條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一把要利用數(shù)列的通項公式，前〃項和公式，求和方法

等對于式子化簡變形，注意數(shù)列與函數(shù)的不同，數(shù)列只能看作是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)，在解決問題

時要注意這一特殊性；2、解決數(shù)列與不等式的綜合問題時，若是證明題中，則要靈活選擇不等式的證明

方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法等，若是含參數(shù)的不等式恒成立問題，則可分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為

研究最值問題來解決.

【考點剖析】

【考點1】數(shù)學(xué)歸納法

一、單選題

1.（2022?上海?高三專題練習(xí)）利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式l+g+g+…+“<〃（?>2,〃eN*）的

過程中，由〃=上到〃=左+1時，左邊增加了（）

A.1項B.A項C.2*-1項D.2,項

2.（2021?上海奉賢區(qū)致遠高級中學(xué)高三期中）用數(shù)學(xué)歸納法證明1+:+：+…

232—1

時，第一步應(yīng)驗證不等式（

A.1+-<2B.1+-+-<2

223

C.1H--1—<3IC).,1H--1F-1F—1<3C

23234

二、多選題

3.（2022?上海?高三專題練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明>羔對任意〃2AGN*)都成立，則以下滿

足條件的k的值為（)

A.1B.2C.3D.4

三、填空題

則

4.（2022?上海?高三階段練習(xí)）已知正整數(shù)數(shù)列｛%｝滿足：4=1，。的

a?+n,an<n

a2O22=____________

5.（2020?上海?高三專題練習(xí)）已知”為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明

1-：+：-J+…+—一二+—二+…+時，若已假設(shè)”=%（k.2次為偶數(shù)）時命題為真,

則還需要用歸納假設(shè)再證n=時等式成立.

四、解答題

6.（2020?上海?高三專題練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+1+：+9+…

2342,,-1

【考點2】數(shù)列綜合應(yīng)用

一、解答題

1.(2022?上海?高三階段練習(xí))治理垃圾是S市改善環(huán)境的重要舉措.去年S市產(chǎn)生的垃圾量為200萬

噸，通過擴大宣傳、環(huán)保處理等一系列措施，預(yù)計從今年開始，連續(xù)5年，每年的垃圾排放量比上一年減

少20萬噸，從第6年開始，每年的垃圾排放量為上一年的75%.

(1)寫出S市從今年開始的年垃圾排放量與治理年數(shù)〃(〃eN*)的表達式；

(2)設(shè)4為從今年開始〃年內(nèi)的年平均垃圾排放量.如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趨勢，則認(rèn)為現(xiàn)有

的治理措施是有效的；否則，認(rèn)為無效，試判斷現(xiàn)有的治理措施是否有效，并說明理由.

2.(2021?上海崇明?一模)保障性租賃住房，是政府為緩解新市民、青年人住房困難，作出的重要決策

部署.2021年7月，國務(wù)院辦公廳發(fā)布《關(guān)于加快發(fā)展保障性租賃住房的意見》后，國內(nèi)多個城市陸續(xù)發(fā)

布了保障性租賃住房相關(guān)政策或征求意見稿.為了響應(yīng)國家號召，某地區(qū)計劃2021年新建住房40萬平方

米，其中有25萬平方米是保障性租賃住房.預(yù)計在今后的若干年內(nèi)，該市每年新建住房面積平均比上一

年增長8%,另外，每年新建住房中，保障性租賃住房的面積均比上一年增加5萬平方米.

(1)到哪一年底，該市歷年所建保障性租賃住房的累計面積(以2021年為累計的第一年)將首次不少于475

萬平方米？

(2)到哪一年底，當(dāng)年建造的保障性租賃住房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%?

3.(2021?上海市徐匯中學(xué)高三期中)某市2013年發(fā)放汽車牌照12萬張，其中燃油型汽車牌照10萬

張，電動型汽車2萬張，為了節(jié)能減排和控制總量，從2013年開始，每年電動型汽車牌照按50%增長，而

燃油型汽車牌照每一年比上一年減少0.5萬張，同時規(guī)定一旦某年發(fā)放的牌照超過15萬張，以后每一年

發(fā)放的電動車的牌照的數(shù)量維持在這一年的水平不變.(1)記2013年為第一年，每年發(fā)放的燃油型汽車牌

照數(shù)量構(gòu)成數(shù)列｛4｝，每年發(fā)放電動型汽車牌照數(shù)為構(gòu)成數(shù)列｛〃,｝,完成下列表格，并寫出這兩個數(shù)列的

通項公式；

4=10aa

a2=9.53=4=

4=2Z>2=34=________.瓦=

(2)從2013年算起，累計各年發(fā)放的牌照數(shù)，哪一年開始超過200萬張？

4.(2021?上海?曹楊二中高三期中)從社會效益和經(jīng)濟效益出發(fā)，某地投入資金進行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并

以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè).根據(jù)規(guī)劃，2021年投入資金1000萬元，以后每年投入比上年減少10%.預(yù)測顯示，

2021年當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入為300萬元，以后每年旅游業(yè)收入比上年增加20萬元.根據(jù)預(yù)測，解答以下問題：

(1)從2021年至2030年，該地十年的旅游業(yè)收入共計多少萬元？

(2)從哪一年起該地的旅游業(yè)總收入將首次超過總投入？

5.(2021?上海?閔行中學(xué)高三開學(xué)考試)某企業(yè)2021年第一季度的營業(yè)額為1.1億，以后每個季度的營

業(yè)額比上個季度增加0.05億；該企業(yè)第一季度的利潤為0.16億，以后每季度比前一季度增長4%.

(1)求2021年起前20季度營業(yè)額的總和；

(2)請問哪一季度的利潤首次超過該季度營業(yè)額的18%.

6.(2022?上海?模擬預(yù)測)流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道傳染病.某市去年11月份曾發(fā)生

流感，據(jù)統(tǒng)計，11月1日該市的新感染者有30人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人.

由于該市醫(yī)療部門采取措施，使該種病毒的傳播得到控制，從11月％+l(94%429,ZeN*)日起每天的新

感染者比前一天的新感染者減少20人.

(1)若k=9,求11月1日至11月10日新感染者總?cè)藬?shù)；

(2)若到11月30日止，該市在這30天內(nèi)的新感染者總?cè)藬?shù)為11940人，問11月幾日，該市新感染者

人數(shù)最多？并求這一天的新感染者人數(shù).

【考點3】數(shù)列新定義

一、解答題

1.(2022?上海浦東新?二模)已知數(shù)列優(yōu)｝.若存在BeR,使得｛氏-郵為遞減數(shù)列，則優(yōu)｝稱為

“B型數(shù)列”.(1)是否存在BeR使得有窮數(shù)列1,石，2為B型數(shù)列？若是，寫出B的一個值；否則，說

明理由；

(2)已知2022項的數(shù)列｛叫中,??=(-1)"-(2022-/1)(ne,l<n<2022).求使得｛““｝為B型數(shù)列的

實數(shù)B的取值范圍；

⑶己知存在唯一的BeR,使得無窮數(shù)列｛&,｝是8型數(shù)列.證明：存在遞增的無窮正整數(shù)列

n]<n2<...<nk<...,使得｛%“_,｝為遞增數(shù)列，｛4』為遞減數(shù)列.

2.(2022?上海徐匯?三模)記實數(shù)”、匕中較小者為min｛〃,/?｝,例如min｛l,2｝=1,min｛l,l｝=l,對于無

窮數(shù)列｛q｝,記為二而虱⑸中旬｝.若對任意"N"均有也</如，則稱數(shù)列｛%｝為“趨向遞增數(shù)列”.

⑴己知數(shù)列｛《,｝、他｝的通項公式分別為4,=cos/,，判斷數(shù)列｛%｝、｛2｝是否為“趨向遞

增數(shù)列”？并說明理由；

(2)已知首項為1,公比為4的等比數(shù)列｛%｝是''趨向遞增數(shù)列”，求公比4的取值范圍；

⑶若數(shù)列｛4｝滿足4、4為正實數(shù)，且4,=14+2-41，求證：數(shù)列｛4｝為“趨向遞增數(shù)列”的必要非

充分條件是｛4,｝中沒有o.

3.(2022?上海市光明中學(xué)模擬預(yù)測)己知數(shù)列｛q｝，｛2｝滿足：存在&eN*,對于任意的〃eN*,使得

%=4+%+?則稱數(shù)列出｝與｛叫成“女級關(guān)聯(lián)”.記也｝與｛4｝的前〃項和分別為圖5”.

⑴己知=2”,b?=2n,neN\判斷也｝與｛6,｝是否成“4級關(guān)聯(lián)”，并說明理由；(2)若數(shù)列也｝與

｛4｝成“2級關(guān)聯(lián)”,其中％=cos￡+l,neN*,且有4=1,4=2,求因??一號周的值；

⑶若數(shù)列｛〃｝與｛%｝成“女級關(guān)聯(lián)”且有4=2022,求證：｛S,｝為遞增數(shù)列當(dāng)且僅當(dāng)％的，…，a2co.

4.(2022?上海交大附中模擬預(yù)測)設(shè)有數(shù)列｛%｝,若存在唯一的正整數(shù)％住22),使得《<4」則稱

｛4｝為“上墜點數(shù)列”.記｛4｝的前"項和為s”.

⑴判斷：??=(-2,b?=\.c,是否為“左墜點數(shù)列”，并說明理由；

[2fn>2

c

⑵已知"｝滿足4=1，|4M-a“|=a+l,且是“5墜點數(shù)列"，若四親=3,求。的值；

(3)設(shè)數(shù)列共有2022項且q>0.已知4-4-+47=s，a2+ai+...+a2O22=t.若｛a,,｝為“P墜點數(shù)

列”且⑸｝為"q里點數(shù)列”，試用s,t表示s2g.

5.(2022?上海市實驗學(xué)校模擬預(yù)測)設(shè)滿足條件尸：4+%+222a向(〃wN*)的數(shù)列組成的集合為A,而滿

足條件Q:a?+an+2<2a,“〃6N*)的數(shù)列組成的集合為B.

3

⑴判斷數(shù)列｛a,,｝:q=1-2〃和數(shù)列色｝:bn=1-2"是否為集合A或8中的元素？⑵已知數(shù)列a?=(n-k),

研究｛《J是否為集合A或8中的元素；若是，求出實數(shù)人的取值范圍；若不是，請說明理由.

;

⑶已知a?=31(-l)-log2〃(ieZ,〃eN*)(其中i為常數(shù))，若｛”為集合B中的元素，求滿足不等式

<60的?的值組成的集合.

【考點4】數(shù)列與不等式

一、填空題

1.(2022?上海奉賢?二模)設(shè)項數(shù)為4的數(shù)列｛氏｝滿足：e｛-1,0,1),衣工2,3,4｝且對任意

\<k<l<4,IwNJwN,都有|%+%M+…+4<1,則這樣的數(shù)列｛《,｝共有個.

2.（2022?上海市七寶中學(xué)高三期中）已知函數(shù)f（x）=j2x2+_L,正數(shù)數(shù)列｛4｝滿足4M=/3"），若對

V16

任意正整數(shù)〃，不等式|為+2一%+」4川。,向一。"|都成立，則實數(shù)，的最小值為

二、解答題

3.（2022?上海市市北中學(xué)高三期中）對于數(shù)列｛4｝,若存在正數(shù)。，使得4川4?？蓪θ我狻眅N*都成

立，則稱數(shù)列｛%｝為“擬等比數(shù)列”.（1）已知a>0,b>0,且a>b,若數(shù)列｛4｝和｛〃｝滿足：

①若4=1,求乙的取值范圍；

②求證：數(shù)列｛%-d｝（〃eN.）是“擬等比數(shù)列”；

（2）已知等差數(shù)列匕｝的首項為。，公差為d,前”項和為S?,若J>0,S4043>0,S4044<0,且匕｝是

“擬等比數(shù)列”，求。的取值范圍（請用。、d表示）.

4.（2022?上海市奉賢中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝的前〃項和S,滿足條件35,,+4=4%,其中〃eN*.

（1）求｛%｝的通項公式；

⑵設(shè)數(shù)列也｝滿足“=log”,4,又結(jié)3+好4+—,+/>也+2<用對一切〃eN*恒成立，求知的取值范圍.

5.（2022?上海市建平中學(xué)高三階段練習(xí)）已知實數(shù)列｛4｝滿足：q=r,點（（4,,。川）在曲線

2x+/w/八,

y=——-（x^-4）±.

x+4'/

⑴當(dāng)f=2且機=-1時，求實數(shù)列｛4“｝的通項公式；（2）在（1）的條件下，若已表示不超過實數(shù)t的最大

整數(shù)，令"=4六］（〃€N*）,S“是數(shù)列也｝的前〃項和，求%N的值；

⑶當(dāng)f=2,q,>0（〃eN.）時，若則可=4存在，且%一<%,”<上對〃eN*恒成立，求證：

k<a2"+2<”2，，（〃eN"）.

6.（2021?上海市建平中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列也｝是首項為1的等差數(shù)列，數(shù)列他,｝是公比不為1

的等比數(shù)列，且滿足％+。2=4，%+03=4，a4+a5=b4.

⑴求數(shù)列也｝、也｝的通項公式;

⑵令q=3,c,M=c“+^2（〃eN*）,求證：對任意的〃w”,都有%>〃+；；

⑶若數(shù)列｛4｝滿足4=1,d“n,記北=++｝+3+…+*,是否存在整數(shù)4,使得對任意的

〃eN*都有14兀，-+<2成立？若存在，求出4的值，若不存在，說明理由.

區(qū),

7.（2022?上海?高三專題練習(xí)）科學(xué)數(shù)據(jù)證明，當(dāng)前嚴(yán)重威脅人類生存與發(fā)展的氣候變化主要是工業(yè)革

命以來人類活動造成的二氧化碳排放所致.應(yīng)對氣候變化的關(guān)鍵在于“控碳”，其必由之路是先實現(xiàn)碳達

峰，而后實現(xiàn)碳中和.2020年第七十五屆聯(lián)合國大會上，我國向世界鄭重承諾力爭在2030年前實現(xiàn)碳達

峰，努力爭取在2060年前實現(xiàn)碳中和.2021年全國兩會的政府工作報告明確提出要扎實做好碳達峰和碳

中和的各項工作，某地為響應(yīng)國家號召，大力發(fā)展清潔電能，根據(jù)規(guī)劃，2021年度火電發(fā)電量為8億千瓦

時，以后每年比上一年減少20%,2021年度清潔電能發(fā)電量為4億千瓦時，以后每年比上一年增長25%.

（1）設(shè)從2021年開始的年內(nèi)火電發(fā)電總量為S.億千瓦時，清潔電能總發(fā)電量為7,億千瓦時，求

S“,T?（約定〃=1時為2021年）；

（2）從哪一年開始，清潔電能總發(fā)電量將會超過火電發(fā)電總量？

”【真題模擬題專練】

1.（2020?上海高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列｛4｝中％=d=l,2=tana,jtana“+1（〃eN，）,則數(shù)列

｛4｝的前〃項和5“=_.

2.（2020?上海高三專題練習(xí)）設(shè)S“為數(shù)列｛4｝的前〃項和，其中S”=切2+p〃,〃wN*,是常

數(shù).

（1）求證：數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列；

（2）若p=l且對于任意的〃?eN*,冊,成等比數(shù)列，求左的值；

（3）設(shè)k=l,p=Q,T?=-al+a2-ai+L+,若對一切正數(shù)〃，不等式

肛,<向+?2"T恒成立，求實數(shù)A的取值范圍?

3.（2017?上海?高考真題）根據(jù)預(yù)測，某地第個月共享單車的投放量和損失量分別為?！昂汀?/p>

（單位：輛），

15/+15l<n<3

其中4=s；“一一J3+5,第〃個月底的共享單車的保有量是前〃個月的累計投放量與累計

-10n+470,n>4

損失量的差.(1)求該地區(qū)第4個月底的共享單車的保有量；

(2)己知該地共享單車停放點第〃個月底的單車容納量S“=-4(〃-46)2+8800(單位：輛).設(shè)在某月

底，共享單車保有量達到最大，問該保有量是否超出了此時停放點的單車容納量？

4.(2021?上海靜安?一模)對于數(shù)列｛4｝：若存在正整數(shù)使得當(dāng)“2小時，勺恒為常數(shù)，則稱數(shù)列

｛4｝是準(zhǔn)常數(shù)數(shù)列.現(xiàn)已知數(shù)列｛4｝的首項4=〃，且。，用

(1)若a=],試判斷數(shù)列｛《,｝是否是準(zhǔn)常數(shù)數(shù)列；

(2)當(dāng)a與〃。滿足什么條件時，數(shù)列｛。,,｝是準(zhǔn)常數(shù)數(shù)列？寫出符合條件的a與，%的關(guān)系；

(3)若ae(Z,%+D(k€N*),求｛叫的前3&項的和S“(結(jié)果用朵a表示).

5.(2021?上海楊浦?一模)為了防止某種新冠病毒感染，某地居民需服用一種藥物預(yù)防.規(guī)定每人每天

定時服用一次，每次服用疝毫克.已知人的腎臟每24小時可以從體內(nèi)濾除這種藥物的80%,設(shè)第n次服藥

后(濾除之前)這種藥物在人體內(nèi)的含量是”,毫克，(即4=機).

⑴己知m=12,求生、。3；

(2)該藥物在人體的含量超過25毫克會產(chǎn)生毒副作用，若人需要長期服用這種藥物，求卬的最大值.

6.(2021?上海黃浦?一模)某地區(qū)2020年產(chǎn)生的生活垃圾為20萬噸，其中6萬噸垃圾以環(huán)保方式處

理，剩余14萬噸垃圾以填埋方式處理，預(yù)測顯示：在以2020年為第一年的未來十年內(nèi)，該地區(qū)每年產(chǎn)生

的生活垃圾量比上一年增長5%,同時，通過環(huán)保方式處理的垃圾量比上一年增加1.5萬噸，剩余的垃圾以

填埋方式處理.根據(jù)預(yù)測，解答下列問題：

(1)求2021年至2023年，該地區(qū)三年通過填埋方式處理的垃圾共計多少萬噸？(結(jié)果精確到0.1萬噸)

(2)該地區(qū)在哪一年通過環(huán)保方式處理的垃圾量首次超過這一年產(chǎn)生生活垃圾量的50%?

7.(2021?上海長寧?一模)隨著人們生活水平的提高，很多家庭都購買了家用汽車，使用汽車共需支出

三筆費用；購置費、燃油費、養(yǎng)護保險費，某種型號汽車，購置費共20萬元；購買后第1年燃油費共2萬

元，以后每一年都比前一年增加。2萬元.

(1)若每年養(yǎng)護保險費均為1萬元，設(shè)購買該種型號汽車年后共支出費用為S“萬元，求S“的表達

式：

(2)若購買汽車后的前6年，每年養(yǎng)護保險費均為1萬元，由于部件老化和事故多發(fā)，第7年起，每一年的

養(yǎng)護保險費都比前一年增加10%,設(shè)使用〃(〃eN*)年后養(yǎng)護保險年平均費用為C“，當(dāng)〃=%時，C,,最

小，請你列出〃>6時C”的表達式，并利用計算器確定時的值(只需寫出%的值)

8.(2021?上海浦東新?一模)已知數(shù)列｛%｝,若存在AiR使得數(shù)列M，-卻是遞減數(shù)列,則稱數(shù)列｛%｝

是“A型數(shù)列”.

⑴判斷數(shù)列兀，-6,-1［是否為“0型數(shù)列”；

⑵若等比數(shù)列｛4｝的通項公式為(〃eN,),4>0,其前〃項和為S,,,且｛S,,｝是“A型數(shù)列”，

求A的值和<7的取值范圍；

⑶已知Q0,數(shù)列｛《,｝滿足4=0,=k\an\-1(neN,),若存在AiR,使得｛叫是“A型數(shù)列”，

求女的取值范圍，并求出所有滿足條件的A(用&表示).

9.(2021?上海閔行?一模)將有窮數(shù)列｛4｝中部分項按原順序構(gòu)成的新數(shù)列也｝稱為｛%｝的一個“子

列”，剩余項按原順序構(gòu)成“子列”｛%｝.若｛加｝各項的和與匕｝各項的和相等，則稱也｝和｛&｝為數(shù)列

｛%｝的一對“完美互補子列”.

(1)若數(shù)列｛4｝為2,3,5,6,8,9,請問｛4｝是否存在“完美互補子列”？并說明理由；

(2)已知共100項的等比數(shù)列｛q｝為遞減數(shù)列，且4>0,公比為g.若｛q｝存在“完美互補子列”，求證：

g<"l；

⑶數(shù)列｛4｝滿足a?=",1釉也〃eN”.設(shè)｛??｝共有，(㈤對“完美互補子列”，求證：當(dāng)機=4%和

機=4%+3,￡1<)時，｛為｝都存在“完美互補子列”且/(4*+3)..3/(4%).

xx+x

10.(2019?上海?華師大二附中三模)若無窮數(shù)列｛%｝滿足3="2"對所有正整數(shù)“22成立,則

XnXn+\+Xn-1

稱優(yōu)｝為“Q數(shù)歹『，現(xiàn)已知數(shù)列｛叫是“。數(shù)列”.

(1)若q=2嗎=3,4=18,求。3的值；

(2)若%>0對所有"N*成立，且存在此M使得%=1,%=2,%2=3,求女的所有可能值，并求出相

應(yīng)的｛《,｝的通項公式；

(3)數(shù)列｛%｝滿足%=%4讓1),證明：色｝是等比數(shù)列當(dāng)且僅當(dāng)｛公｝是等差數(shù)列.

11.(2019?上海?復(fù)旦附中三模)定義：若數(shù)列｛〃〃｝滿足，存在實數(shù)對任意〃￡N*,都有勺WM,

則稱數(shù)列｛《,｝有上界，M是數(shù)列｛4｝的一個上界，已知定理：單調(diào)遞增有上界的數(shù)列收斂（即極限存在）.

（1）數(shù)列｛cos（sin券）｝是否存在上界？若存在，試求其所有上界中的最小值；若不存在，請說明理由；

⑵若非負(fù)數(shù)列｛叫滿足’4=°,吭+4+C（“eN.）,求證：1是非負(fù)數(shù)列｛%｝的一個上界，且

數(shù)列｛“，』的極限存在，并求其極限；（3）若正項遞增數(shù)列伍/無上界，證明：存在左eN*,當(dāng)"〉&時，恒

幺+生+…+—<"-2019

有a2a3an

第10講數(shù)學(xué)歸納法與數(shù)列綜合應(yīng)用

【考點1】數(shù)學(xué)！H納法

【考點2】數(shù)列綜公應(yīng)用

數(shù)學(xué)歸納法與數(shù)列綜合應(yīng)用

——［考點3］數(shù)列新定義

——【考點4】數(shù)列與不等式

【考點梳理】

一、數(shù)學(xué)歸納法

一般地，證明一個與正整數(shù)〃有關(guān)的命題，可按下列步驟進行：

（1）（歸納奠基）證明當(dāng)〃取第一個值m（mcM）時命題成立:

（2）（歸納遞推）假設(shè)〃AeN*）時命題成立，證明當(dāng)〃=A+1時命題也成立.

只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從而開始的所有正整數(shù)〃都成立.

注意：①應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法要運用“歸納假設(shè)”，沒有運用“歸納假設(shè)”的證明不是數(shù)學(xué)歸納法。

②由衣到A+1的證明，實際問題中由A到A+1的變化規(guī)律是數(shù)學(xué)歸納法的難點，突破難點的關(guān)鍵是掌

握由4到旌1的推論方法，在運用歸納假設(shè)時，應(yīng)分析26）與PGHD的差異及聯(lián)系。利用拆、添、并、

放、縮等手段，或從歸納假設(shè)出發(fā)；或從戶（介1）從分離出m）,再進行局部調(diào)整；也可考慮尋求二者的

“結(jié)合點”，以便順利過渡。

3、用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的等式，常采用從一邊開始并以另一邊為目標(biāo)進行推證的辦法；用數(shù)

學(xué)歸納法證明整除性問題，常采用配湊的辦法；用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的不等式時，常常需要運

用不等式的性質(zhì)以及比較法、放縮法、分析法、綜合法等基本方法；用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的幾

何問題，常常要運用幾何圖形的性質(zhì)。

二、歸納一一猜想——論證

“歸納、猜想、證明”就是運用“檢驗有限個〃的值，尋找一定規(guī)律，猜想一個結(jié)論，然后用數(shù)學(xué)歸

納法證明所猜想的結(jié)論正確”的解題方法.

理解一個完整的思維過程，往往是既要發(fā)現(xiàn)結(jié)論，又要證明結(jié)論的正確性.這就需要掌握運用由特殊

到一般的思維方法，也就是通過觀察、歸納，提出猜想，探求結(jié)論，且運用嚴(yán)密的邏輯推理，即數(shù)學(xué)歸納

法證明結(jié)論（猜想）的正確.領(lǐng)會“歸納、猜想、證明”的思想方法，非常有助于提高觀察分析能力.

三、數(shù)列應(yīng)用題常見模型

（1）等差模型：如果后一個量比前一個量增加（或減少）的是同一個固定值，該模型是等差模型，增加（或

減少）的量就是公差.

（2）等比模型：如果后一個量與前一個量的比是同一個固定的非零常數(shù)，該模型是等比模型，這個固定

的數(shù)就是公比.

（3）遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項之間的關(guān)系不固定，隨項的變化而變化，應(yīng)考慮a與a+

“或者相鄰三項等）之間的遞推關(guān)系，或者S與S,+“或者相鄰三項等）之間的遞推關(guān)系.

W【解題方法和技巧】

1.數(shù)列的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是通過找到圖形之間的關(guān)系，得到等比數(shù)列，求數(shù)列通項公式常用的方法：

（1）由a“與S”的關(guān)系求通項公式；（2）累加法；（3）累乘法；（4）兩邊取到數(shù)，構(gòu)造新數(shù)列法.

2.等差、等比數(shù)列的綜合問題的分析，應(yīng)重點分析等差、等比數(shù)列的通項及前〃項和；分析等差、等比數(shù)

列項之間的關(guān)系.往往用到轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法.

3.數(shù)列與函數(shù)常常以函數(shù)的解析式為載體，轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題，常用的數(shù)學(xué)思想方法有“函數(shù)與方程”“等

價轉(zhuǎn)化”等.

4.數(shù)列與不等式問題要抓住一個中心一一函數(shù)，兩個密切聯(lián)系：一是數(shù)列和函數(shù)之間的密切聯(lián)系，數(shù)列的

通項公式是數(shù)列問題的核心，函數(shù)的解析式是研究函數(shù)問題的基礎(chǔ)；二是方程、不等式與函數(shù)的聯(lián)系，利

用它們之間的對應(yīng)關(guān)系進行靈活的處理.

5."新定義"型問題是指在問題中定義了初中數(shù)學(xué)中沒有學(xué)過的一些概念、新運算、新符號，要求學(xué)生讀

懂題意并結(jié)合已有知識進行理解，而后根據(jù)新定義進行運算、推理、遷移的一種題型.它一般分為三種類

型：（1）定義新運算；（2）定義初、高中知識銜接"新知識"；（3）定義新概念.這類試題考查考生對"

新定義”的理解和認(rèn)識，以及靈活運用知識的能力，解題時需要將"新定義"的知識與已學(xué)知識聯(lián)系起

來，利用已有的知識經(jīng)驗來解決問題.

6.數(shù)列與函數(shù)、不等式綜合問題的求解策略：

1、已知數(shù)列的條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一把要利用數(shù)列的通項公式，前〃項和公式，求和方法

等對于式子化簡變形，注意數(shù)列與函數(shù)的不同，數(shù)列只能看作是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)，在解決問題

時要注意這一特殊性；2、解決數(shù)列與不等式的綜合問題時，若是證明題中，則要靈活選擇不等式的證明

方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法等，若是含參數(shù)的不等式恒成立問題，則可分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為

研究最值問題來解決.

一i

【考點剖析】

【考點1】數(shù)學(xué)歸納法

一、單選題

1.（2022?上海?高三專題練習(xí)）利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1+:+:+…（n>2,neN*）的

232—1

過程中，由"=%到"=%+1時，左邊增加了（）

A.1項B.〃項C.2"-1項D.2.項

【答案】D

【分析】得〃=%和〃=左+1時對應(yīng)的不等式左邊的最后一項，再由變化規(guī)律可得增加的項數(shù).

【詳解】當(dāng)〃=上時，不等式左邊的最后一項為，，而當(dāng)"=%+1時，最后一項為|心

并且不等式左邊分式每一項分母的變化規(guī)律是每?項比前一項加1，所以增加了2"項.

故選：D

用數(shù)學(xué)歸納法證明1+:+：+…+六

2.（2021?上海奉賢區(qū)致遠高級中學(xué)高三期中）

232-1

時，第一步應(yīng)驗證不等式（)

A.1+-<2B.1+-+-<2

223

C.1H--1—<3D.1+-+-+-<3

23234

【答案】B

【分析】取〃=2即可得到第一步應(yīng)驗證不等式.

【詳解】由題意得，當(dāng)〃=2時，不等式為l+g+；<2.

故選：B.

二、多選題

3.（2022?上海?高三專題練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明弓三>含對任意〃都成立，則以下滿

足條件的k的值為（）

A.1B.2C.3D.4

2"-1n2"-1"

【答案】CD【分析】驗證當(dāng)”=1、2時，不等式~^>/一不成立，當(dāng)〃=3、4時;不等式‘^>/一

2"+]n+\2"+1n+1

成立，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明出當(dāng)“23時，占2”」一1＞，n一成立，即可得出合適的選項.

2”+1〃+1

2"—11n12Z,-1

【詳解】取〃=1,則〉」一不成立;

2"+1-3'〃+2〃+1n+\

2"-13n22”一1

取〃=2,WlJ-—-=->不成立;

2〃+15?+7-3,2"+1〃+1

2〃一17n32Z,-1

取〃=3,則---二一，>—^―成立;

2〃+19M+142〃+1〃+1

T-\15n4X

取〃=4,則>——成立.

2”+117n+152"+1n+1

下證：當(dāng)〃之3時，-2"~—~!I■＞」n一成立.

2"+1〃+1

2"—1n

（i）當(dāng)〃=3時，----＞----成土：

2+1n+1

（ii）假設(shè)當(dāng)〃=M/AN3、）B寸，篇-1〉忘k成立,

2*-1

t+13x+1

2-12?+1

則當(dāng)〃=左+1時，有^^~

2*-1

+3

2,+1

2*-12?“_]3/+1.8

令，=ijii]-——-----=3------

2*+121+1/+3/+3

L2

因為且函數(shù)y=3一號在（°，+8）上為增函數(shù)，

2"'-184k+1

所以2?“+1>_―_k~4Z+3-

-----bJ

k+l

4左+1/+12k-1八,2*+|-1k+1k+l

因為我+3-壬=（4無+3）（?+2）,°'所以2"”+]＞不=化+1）+]，

所以當(dāng)〃=4+1時，不等式也成立，

根據(jù)⑴和（ii）可知，『＞」一對任意的〃N3（〃eN"）都成立.

故選：CD.

三、填空題

,、一atl＞n

4.（2022?上海?高三階段練習(xí)）已知正整數(shù)數(shù)列｛4｝滿足：a,=l,a?+l=[:則

2022-

【答案】630【分析】根據(jù)已知條件，易得到數(shù)列的初值，根據(jù)初值，可以進行歸納，得到4=1中項數(shù)滿

足的遞推關(guān)系，然后使用數(shù)列M納法進行推導(dǎo)論證，得到+1=3（24+1）的遞推公式，然后通過構(gòu)造等

比數(shù)列求解出nk的表達式，結(jié)合2022所滿足的關(guān)系代入合適的關(guān)系式求解即可.

““一"，風(fēng)>

【詳解】由4=1,4向,可得:

a?+n,a?<n

n1234567891011121314

%1241510411312213114

我們可以看到%*=1的下標(biāo)：勺=i,?2=4,%=13,…,

它們滿足的遞推關(guān)系：=34+1,A=1,2,3①,

對人歸納：々=1,2時已經(jīng)成立，設(shè)已有4=1,則由條件,

%=〃*+1，%2=2%+2,小=%,%4=2%+3,歸納易得:

%*+2MT=4+2-m，根=1,2,3,…，4+1,a?k+2m=2nk+1+見根=1,2,3,…，4,②

于是，當(dāng)相=4+1時，4M=4+2-(4+1)=1,

因此，4T=34+1,伏=1,2,3,…）即①式成立,

根據(jù)①式，2n,+1+l=3(2n,+l),

令2〃*+1=4，所以x?+|=34，占=3,所以x*=3?,

因此a=—,A=L2,3,…，

37-138-1

而%=—-—=1093?4=~~~=3280,

則巧〈2022〈4，2022=^+2.465-1,故由②式可得，a2022=^+2-465=1093+2-465=630

故答案為：630.

5.（2020?上海?高三專題練習(xí)）已知〃為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明

1—4+…—5—?+—二+…+；］時，若已假設(shè)n=%（乙2,女為偶數(shù)）時命題為真,

234n-\n\n+2n+42n）

則還需要用歸納假設(shè)再證〃=時等式成立.

【答案】k+2【分析】由數(shù)學(xué)歸納法的證明過程可得答案，注意在〃為正偶數(shù)即可.

【詳解】假設(shè)當(dāng)〃=Z（&±2且k為偶數(shù)）時，命題成立，

皿11111個

[!J1-----1---------F,*?H------------=2L+成立

234k-\klc+2k+42k)

由于是對所有正偶數(shù)命題成立，則歸納推廣時，應(yīng)該是再證明取下一個偶數(shù)時，命題也成立.

所以應(yīng)證明當(dāng)〃=4+2時，等式也成立

故答案為：k+2

【點睛】本題考查數(shù)學(xué)歸納法的證明過程，屬于基礎(chǔ)題.

四、解答題

6.(2020?上海?高三專題練習(xí))用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+1+!+!+…+=一4〃.

2342"-1

【分析】直接利用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的步驟證明.

【詳解】(1)當(dāng)〃=1時，左邊=1,右邊=1,不等式成立.

(2)假設(shè)當(dāng)〃ZwN*時，不等式成立，即有1+(+?+!+…+J74M

2342-1

貝！]當(dāng)〃=2+1時，左邊=1+,+、+!+…+J+!+J[+…+-7

2342人一12人2人+12八|一1

,111

WZH:--1；------F...H：~~：,

2k2*+12**-1

ill117

義―7--1；-----P...H~~：<T~?2=?1

2k2"+12*+,-12?

,1111111,,

即Hn1H11----1-…H—T------1—rH—;------1-…H——<+1,

2342—2"2，+12*+|-1

即當(dāng)“=%+1時，不等式也成立.

綜上可得，對于任意〃wN*,l+|+|+7+-+Tr—

2342"-1

【點睛】本題考行了用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，還考查了放縮法，弄清從〃=A到〃=左+1不等式左右增加

的式子是解決問題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

【考點2】數(shù)列綜合應(yīng)用

一、解答題

1.(2022?上海?高三階段練習(xí))治理垃圾是S市改善環(huán)境的重要舉措.去年S市產(chǎn)生的垃圾量為200萬

噸，通過擴大宣傳、環(huán)保處理等一系列措施，預(yù)計從今年開始，連續(xù)5年，每年的垃圾排放量比上一年減

少20萬噸，從第6年開始，每年的垃圾排放量為上一年的75%.

(1)寫出S市從今年開始的年垃圾排放量與治理年數(shù)〃(〃eN*)的表達式;

(2)設(shè)4為從今年開始〃年內(nèi)的年平均垃圾排放量.如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趨勢，則認(rèn)為現(xiàn)有

的治理措施是有效的；否則，認(rèn)為無效，試判斷現(xiàn)有的治理措施是否有效，并說明理由.

200—20幾K

【答案】⑴咤「心6

（2）有效，理由見詳解

【分析】（1）分別求出當(dāng)“45時和”26時的通項公式，即可得到年垃圾排放量的表達式：

（2）先根據(jù)4=｝,利用作差法，可證明數(shù)列｛4｝為遞減數(shù)列，即年平均垃圾排放量呈逐年下降趨勢

（1）設(shè)治理〃年后，S市的年垃圾排放量構(gòu)成數(shù)列｛%｝.

當(dāng)"45時，｛%｝是首項為《=200-20=180,公差為-20的等差數(shù)列,

所以4=q+(〃-l)d=180-20(〃-1)=200-20"；

3

當(dāng)"之5時，數(shù)列｛4｝是以%為首項，公比為彳的等比數(shù)列,

所以50T=100x(1],

所以，治理〃年后，S市的年垃圾排放量的表達式為

200-20?,1<z?<5

100x(2)""“>6⑵設(shè)S,為數(shù)列｛4｝的前〃項和，

則4,=1

n

Ss“二”S向一(〃+1)5“

由于心一4二瑞

n+

〃(S“+a〃+i)-5+l)S“=叫+i-S〃=(％-q)+(a〃+i-出)+…+(?！?1

由（1）知，時,

++n(n+l)

%=200-20〃，所以｛〃"｝為遞減數(shù)列，

〃26時，4=100、^][所以｛《,｝為遞減數(shù)列,

且4<%，

所以｛。,,｝為遞減數(shù)列,

于是%+i一%<0,a?+1-a2<0,...,a?+1-a?<0

因此A+「4<。，

所以數(shù)列｛4｝為遞減數(shù)列，即年平均垃圾排放量呈逐年下降趨勢，故認(rèn)為現(xiàn)有的治理措施是有效的

2.(2021?上海崇