2023年數學高考一輪復習真題演練(2021-2022年高考真題)19 數列的綜合應用(含詳解)

專題19數列的綜合應用

【題型歸納目錄】

題型一：數列在數學文化與實際問題中的應用

題型二：數列中的新定義問題

題型三：數列與函數、不等式的綜合問題

題型四：數列在實際問題中的應用

題型五：數列不等式的證明

題型六：公共項問題

題型七：插項問題

題型八：蛛網圖問題

題型九：整數的存在性問題（不定方程）

題型十：數列與函數的交匯問題

題型十一：數列與導數的交匯問題

題型十二：數列與概率的交匯問題

題型十三：數列與幾何的交匯問題

【典型例題】

題型一：數列在數學文化與實際問題中的應用

例1.（2023?全國?高三專題練習）歷史上數列的發(fā)展，折射出許多有價值的數學思想方法，對時代的進步起

了重要的作用，比如意大利數學家列昂納多斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數列”：1,1,2,3,5,8,

13,21,34,55,89,……即尸⑴="（2）=1,尸⑺=尸（N-1）+尸（"2乂〃W3,〃eN*）,此數列在現(xiàn)代物理、

準晶體結構及化學等領域有著廣泛的應用，若此數列被4整除后的余數構成一個新的數列{4},則

&+&+%+…+&022的值為（）

A.2696B.2697C.2698D.2700

例2.（2022?新疆喀什?高三期末（文））70周年國慶閱兵活動向全世界展示了我軍威武文明之師的良好形象,

展示了科技強軍的偉大成就以及維護世界和平的堅定決心，在閱兵活動的訓練工作中，不僅使用了北斗導

航、電子沙盤、仿真系統(tǒng)、激光測距機、邁速表和高清攝像頭等新技術裝備，還通過管理中心對每天產生

的大數據進行存儲、分析，有效保證了閱兵活動的順利進行，假如訓練過程中第一天產生的數據量為a,其

后福天產生的數據量都是前一天的4（?>1）倍，那么訓練〃天產生的總數據量為（）

例3.（2023?全國?高三專題練習）大衍數列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數五十”的推論，主要用于解

釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經經歷過的兩儀數量總

和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏的世界數學史上第一道數列題.其前10項依次是0、2、4、8、12、18、24、32、

40、50,則此數列的第21項是（）

A.200B.210C.220D.242

例4.（2022?全國?模擬預測（理））《孫子算經》是中國古代重要的數學著作，上面記載了一道有名的“孫子

問題”，后來南宋數學家秦九韶在《算書九章?大衍求一術》中將此問題系統(tǒng)解決.“大衍求一術''屬現(xiàn)代數論

中的一次同余式組問題，后傳入西方，被稱為“中國剩余定理”.現(xiàn)有一道同余式組問題：將正整數中，被3

除余2且被5除余1的數，按由小到大的順序排成一列數，則281是第幾個數（）

A.18B.19C.20D.21

例5.（2022?山西太原?三模（理））斐波那契數列，又稱黃金分割數列，該數列在現(xiàn)代物理、準晶體結構、

化學等領域有著非常廣泛的應用，在數學上，斐波那契數列是用如下遞推方法定義的：％=%=1，

%=3+4“-2（心3,〃€”）.已知備+%+：.+…+4；是該數歹［J的第100項，貝、加一（）

A.98B.99

C.100D.101

【方法技巧與總結】

（1）解決數列與數學文化相交匯問題的關鍵

讀懂題意H一套腸去藪學支正的酉■「俵?？悼?...!

再盤和」一由施疊:而連尊寶藪疥最辱百藪的晟遑森；

-------二關系式的模型

0二二二二二二二二二二二二二二二

港磯」利用所學知識求解數列的相關信息，如求1

-----推定項工遐項公式或期2項利的公區(qū)-一」（2）解答數列應用題需過好“四關”

審題關|~4存畫而凌君科「認商包薜窗看：

0隔百而豕稱曲每瓶藪孕語音「蔣耍標同窗；

建模關H轉化成數列問題,并分清數列是等差數列;

.n.；還是等比數列_______________題型二：數列中的新定義問題

求解關H求解該數列問題

0

還原關I雨而隸的結臬這原薊實標M至審

例6.（2022?陜西?長安一中模擬預測（理））意大利數學家列昂納多?斐波那契是第一個研究了印度和阿拉伯

數學理論的歐洲人，斐波那契數列被譽為是最美的數列，斐波那契數列｛%｝滿足卬=1,%=1，

a"=a,T+a“-2（〃N3,〃eN）若將數列的每一項按照下圖方法放進格子里，每一小格子的邊長為1,記前〃

項所占的格子的面積之和為S“，每段螺旋線與其所在的正方形所圍成的扇形面積為％,則其中不正確結論

的是（）

c.at+a｝+a5+---+a2n^=a2n-lD.4（c?-c?_.）=^a?-2＞3）

例7.（2022?全國?高三專題練習）意大利數學家列昂那多?斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數列”（斐波

那契數列）：1，1,2,3,5,8,13,21,34,55,...?在實際生活中，很多花朵（如梅花，飛燕草等）的

瓣數恰是斐波那契數列中的數，斐波那契數列在物理及化學等領域也有著廣泛的應用.已知斐波那契數列

｛%｝滿足:%=1,a2=l,4+2=+。“，若%+牝+/+。9=%-。2，則左等于（）

A.12B.13C.89D.144

例8.（2022?全國?高三專題練習）高斯函數丁=1］也稱為取整函數，其中［月表示不超過x的最大整數，例

如［3.4］=3.已知數列｛叫滿足q=1,%=｛+4,設數列］備，的前〃項和為E,,則區(qū)。2］=.

例9.（2022?陜西西安?二模（理））“0,1數列”在通信技術中有著重要應用，它是指各項的值都等于0或1

的數列.設n是一個有限“0,1數列”，/（/）表示把4中每個0都變?yōu)?,0,1,每個1都變?yōu)?,1,0,

所得到的新的“0,1數列“，例如力=｛1,0｝,則/"）=｛0,1,0,1,0,1｝.設4是一個有限“0,1數列“，定義

4—12,3....若有限“0,1數列“4=｛0,1,0｝,則數列4儂的所有項之和為.

例10.（2022?甘肅張掖?高三階段練習（文））已知數列｛4｝滿足%=1籌2（一）.給出定義：使數列｛4｝的

〃+1

前k項和為正整數的€N+）叫做“好數”，則在［1,2022］內的所有“好數”的和為

例11.（2022?山東濰坊?模擬預測）對于項數為皿〃左3）的有窮數列｛凡｝,若存在項數為機+1的等比數列也｝,

使得“＜做＜如，其中2,m,則稱數列抄“｝為｛。,,｝的“等比分割數列”.已知數列7,14,38,60,

則該數列的一個“等比分割數列”可以是.（寫出滿足條件的一個各項為整數的數列即可）

例12.（2022?全國?高三專題練習）已知「x］表示不小于x的最小整數，1x」表示不大于x的最大整數，如

「1.6］=2,艮1」=3,數列｛%｝滿足4=；,且對有4用=1|\］+。,」+6，若｛《,｝為遞增數列，則

整數b的最小值為.

例13.（2022?江蘇南通?高三期末）數列｛“,｝：1,1,2,3,5,8,稱為斐波那契數列，該數列是由意

大利數學家菜昂納多?斐波那契從觀察兔子繁殖而引入，故又稱為“兔子數列”.數學上,

該數列可表述為6=%=1，a“+2=a“+i+《,（〃eN*）.對此數列有很多研究成果，如：該數列項的個位數是

以60為周期變化的，通項公式?！?等.借助數學家對人類的此項貢獻，我們不難

得到=?！?|（?！?2-?！埃?，從而易得a；+W+裙+…+境6值的個位數為

例14.（2022?全國?高三專題練習）在數列｛《｝中，nwN"，若"廣廳=4（左為常數），則稱｛《,｝為“等差

比數列“，下列是對“等差比數列”的判斷：

①人不可能為0;

②等差數列一定是“等差比數列”；

③等比數列一定是“等差比數列”；

④“等差比數列”中可以有無數項為0.

其中所有正確的序號是.

例15.（2022?全國?高三階段練習（文））任取一個正整數，若是奇數，就將該數乘3再加上1；若是偶數，

就將該數除以2.反復進行上述兩種運算，經過有限步驟后，必進入循環(huán)圈1-4-271.這就是數學史上著

名的“冰雹猜想''（又稱"角谷猜想''等）.如取正整數機=6,根據上述運算法則得出

6-3-10-5-16-8-4-2-1,至少需經過8個步驟變成1（簡稱為8步“雹程”）.一般地，一個正整數

“首次變成1需經過〃個步驟（簡稱為〃步“雹程”）.現(xiàn)給出冰雹猜想的遞推，關系如下：已知數列｛%｝滿足

an當a為偶數時

4="7（加為正整數），。,田=萬"，若4。=1，即9步“雹程”對應的胴的所有可能取值的中位

3a“+1,當a“為奇數時

數為.

【方法技巧與總結】

（1）新定義數列問題的特點

通過給出一個新的數列的概念，或約定一種新運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設全新的問題情景，要求

考生在閱讀理解的基礎上，依據題目提供的信息，聯(lián)系所學的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移，達到靈活解

題的目的.

（2）新定義問題的解題思路

遇到新定義問題，應耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質，按新定義的要求，“照章辦事”,

逐條分析、運算、驗證，使問題得以解決.

題型三：數列與函數、不等式的綜合問題

例16.（2022?山西呂梁?二模（文））已知｛《,｝是各項均為正數的等比數列，4=；，/=[，且

+〃2+。3---卜?！?lt;上，則人的最小值是.

例17.（2022?山東煙臺?三模）已知數列出｝的前〃項和為S“，q=g,當〃22時，S；=anS?-a?.

⑴求S,；

（2）設數列的前〃項和為7；,若2（4〃2+9）2恒成立，求力的取值范圍.

例18.（2022?全國?高三專題練習）設等差數列｛4｝的前〃項和為S“，S35<0,邑6>0.若對任意的正整數〃，

都有S“2耳，則整數k=（）

A.34B.35C.18D.19

例19.（2022?四川省瀘縣第二中學模擬預測（文））已知等差數列｛4｝的前〃項和為S〃，S4=2S2+8,々=3.

若對任意〃￡N+且〃22,總有7二十4…+不=二丸恒成立，則實數力的最小值為（）

?-133T3〃T

321

A.1B.-C.-D.-

433

例20.（2022?河南?模擬預測（理））已知數列｛叫中，?,=1,則滿足%>人的〃的最

4a?+2an+in+11000

大值為（）

A.3B.5C.7D.9

例21.（2022?四川?樹德中學高三開學考試（理））已知數列｛〃,｝的首項q=1,且滿足“向-勺=（〃eN'）,

則存在正整數〃，使得（?！?4（?！?1+/1）<0成立的實數/1組成的集合為（）

人?卜,-￡HK）B.朋c?切D.（—IMK）

例22.（2022?寧夏?銀川一中三模（文））已知數列｛可｝滿足a,=2,a?=a^+（；）（〃22且〃eN，）,若?！?lt;〃

恒成立，則"的最小值是（）

95

A.2B."C.-D.3

42

例23.（2022?浙江?高三專題練習）數列包｝的前〃項和為E,,且q+3生+…+3"%,=〃3’，若對任意〃eN*,

S.2（-1）"〃久恒成立，則實數4的取值范圍為（）

A.[-3,4]B.卜2四,20]

C.[-5,5]D.[-272-2,272+2]

例24.(2022?全國?高三專題練習)已知數列｛"“｝的通項公式為4,=丁二；，前〃項和為S,,若實數4滿足

n(n+2)

(T)葭<3+(一1)，”5對任意正整數〃恒成立，則實數2的取值范圍是()

10,9?10.99,109.10

AA-4B--T<2<4C--4<4TD--^<A<T

例25.(2022?全國?高三專題練習)已知數列｛4｝中，a,=2,n(a?+1-a?)=a?+1,若對于任意的〃eN*,

不等式也〈/恒成立，貝打的最小值是()

〃+1

A.2B.3C.4D.5

【方法技巧與總結】

(1)數列與函數綜合問題的主要類型及求解策略

①已知函數條件，解決數列問題，此類問題一般利用函數的性質、圖象研究數列問題.

②已知數列條件，解決函數問題，解決此類問題一般要利用數列的通項公式、前〃項和公式、求和方

法等對式子化簡變形.

注意數列與函數的不同，數列只能看作是自變量為正整數的一類函數，在解決問題時要注意這一特殊

性.

(2)數列與不等式綜合問題的求解策略

解決數列與不等式的綜合問題時，若是證明題，則要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、

分析法、放縮法等；若是含參數的不等式恒成立問題，則可分離參數，轉化為研究最值問題來解決.

利用等價轉化思想將其轉化為最值問題.

a>尸(〃)恒成立=4>尸；

a<F(〃)恒成立oa<F(n)min.

題型四：數列在實際問題中的應用

例26.(2022?上海長寧?二模)甲、乙兩人同時分別入職48兩家公司，兩家公司的基礎工資標準分別為：A

公司第一年月基礎工資數為370()元，以后每年月基礎工資比上一年月基礎工資增加300元；B公司第一年

月基礎工資數為4000元，以后每年月基礎工資都是上一年的月基礎工資的1.05倍.

(1)分別求甲、乙兩人工作滿10年的基礎工資收入總量(精確到1元)

(2)設甲、乙兩人入職第〃年的月基礎工資分別為b”元,記c.=%-b”,討論數列｛%｝的單調性，指出哪

年起到哪年止相同年份甲的月基礎工資高于乙的月基礎工資，并說明理由.

例27.(2022?全國?高三專題練習)保障性租賃住房，是政府為緩解新市民、青年人住房困難，作出的重要

決策部署.2021年7月，國務院辦公廳發(fā)布《關于加快發(fā)展保障性租賃住房的意見》后，國內多個城市陸

續(xù)發(fā)布了保障性租賃住房相關政策或征求意見稿.為了響應國家號召，某地區(qū)計劃2021年新建住房40萬

平方米，其中有25萬平方米是保障性租賃住房.預計在今后的若干年內，該市每年新建住房面積平均比上

一年增長8%,另外，每年新建住房中，保障性租賃住房的面積均比上一年增加5萬平方米.

（1）到哪一年底，該市歷年所建保障性租賃住房的累計面積（以2021年為累計的第一年）將首次不少于475萬

平方米？

（2）到哪一年底，當年建造的保障性租賃住房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%?

例28.（2022?內蒙古?海拉爾第二中學高三期中（理））某高校2021屆畢業(yè)生春季大型招聘會上，/,8兩家

公司的工資標準分別是：/公司許諾第一年的月工資為3000元，以后每年月工資比上一年月工資增加300

元；8公司許諾第一年月工資為3500元，以后每年月工資在上一年的月工資基礎上增加5%.若某人被4B

兩家公司同時錄取，試問：

（1）若此人分別在N公司或8公司連續(xù)工作年，則他在第〃年的月工資收入分別是多少？

（2）此人打算連續(xù)在一家公司工作10年，僅從工資總收入作為應聘的標準，此人應該選擇哪家公司？

參考數據：1.05晨1.629.

例29.（2022?全國?高三專題練習）商學院為推進后勤社會化改革，與桃園新區(qū)商定：由該區(qū)向建設銀行貸

款500萬元在桃園新區(qū)為學院建一棟可容納一千人的學生公寓，工程于2002年初動工，年底竣工并交付使

用，公寓管理處采用收費償還建行貸款形式（年利率5%,按復利計算），公寓所收費用除去物業(yè)管理費和

水電費18萬元.其余部分全部在年底還建行貸款.

（1）若公寓收費標準定為每生每年800元，問到哪一年可償還建行全部貸款；

（2）若公寓管理處要在2010年底把貸款全部還清，則每生每年的最低收費標準是多少元（精確到元）？

（參考數據：Igl.7343=0.2391,lgl.05=0.0212,1.058=1.4774）

例30.（2022?全國?高三專題練習）在如圖所示的數陣中，從任意一個數開始依次從左下方選出來的數可組

成等差數列，如：2,4,6,8,...；依次選出來的數可組成等比數列，如：2,4,8,16,....

1

22

344

,,?記第〃行第加個數為/（〃,加）,

4ooo

58121616

（I）若〃23,寫出〃〃,2）,〃〃,3）的表達式，并歸納出了（〃，加）的表達式；

（II）求第10行所有數的和

例31.（2022?全國?模擬預測（文））某企業(yè)年初在一個項目上投資2千萬元，據市場調查，每年獲得的利潤

為投資的50%,為了企業(yè)長遠發(fā)展，每年底需要從利潤中取出500萬元進行科研、技術改造，其余繼續(xù)投入

該項目.設經過〃（〃eN*）年后，該項目的資金為萬元.

（1）求證：數列｛%-1000｝為等比數列；

（2）若該項目的資金達到翻一番，至少經過幾年？（lg3?0.5,lg2?0.3）

例32.（2022?遼寧實驗中學模擬預測）冠狀病毒是一個大型病毒家族，已知可引起感冒以及中東呼吸綜合

征（MERV）和嚴重急性呼吸綜合征（S4?5）等較嚴重疾病.新型冠狀病毒是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新

毒株，人感染了冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀、發(fā)熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等.日前正在世界范圍內廣泛

傳播，并對人類生命構成了巨大威脅.針對病毒對人類的危害，科研人員正在不斷研發(fā)冠狀病毒的抑制劑.某

種病毒抑制劑的有效率為60%,現(xiàn)設計針對此抑制劑的療效試驗：每次對病毒使用此抑制劑，如病毒被抑

制，得分為2分，如抑制劑無效，得分1分，持續(xù)進行試驗.設得分為〃時的概率為

（1）進行兩次試驗后，總得分為隨機變量X,求X的分布列和數學期望；

（2）求證：

例33.（2022?全國?高三專題練習（理））足球運動被譽為“世界第一運動”.深受青少年的喜愛.

（I）為推廣足球運動，某學校成立了足球社團，由于報名人數較多，需對報名者進行“點球測試”來決定是

否錄取，規(guī)則如下：踢點球一次，若踢進，則被錄?。蝗魶]踢進，則繼續(xù)踢，直到踢進為止，但是每人最

多踢點球3次.

下表是某同學6次的訓練數據，以這150個點球中的進球頻率代表其單次點球踢進的概率.為加入足球社

團，該同學進行了“點球測試”，每次點球是否踢進相互獨立，他在測試中所踢的點球次數記為求J的分

布列及數學期望；

點球數203030252025

進球數101720161314

的甲、乙、丙三名成員將進行傳球訓練，從甲開始隨機地將球傳給其他兩人中的任意一人，接球者再隨機

地將球傳給其他兩人中的任意一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到.記開始傳球的人為

第1次觸球者，第〃次觸球者是甲的概率記為匕，即8=1.

（力求，鳥（直接寫出結果即可）；

（"）證明：數列｛匕為等比數列，并判斷第19次還是第20次觸球者是甲的概率大.

【方法技巧與總結】

現(xiàn)實生活中涉及銀行利率、企業(yè)股金、產品利潤、人口增長、產品產量等問題，常?？紤]用數列的知

識去解決.

（1）數列實際應用中的常見模型

①等差模型：如果增加（或減少）的量是一個固定的數，則該模型是等差模型，這個固定的數就是公差；

②等比模型：如果后一個量與前一個量的比是一個固定的數，則該模型是等比模型，這個固定的數就

是公比；

③遞推數列模型：如果題目中給出的前后兩項之間的關系不固定，隨項的變化而變化，則應考慮是第〃

項可與第〃+1項a?+1的遞推關系還是前〃項和S.與前〃+1項和S?+1之間的遞推關系.

在實際問題中建立數列模型時，一般有兩種途徑：一是從特例入手，歸納猜想，再推廣到一般結論；

二是從一般入手，找到遞推關系，再進行求解.一般地，涉及遞增率或遞減率要用等比數列，涉及依次增

加或減少要用等差數列，有的問題需通過轉化得到等差或等比數列，在解決問題時要往這些方面聯(lián)系.

(2)解決數列實際應用題的3個關鍵點

①根據題意，正確確定數列模型；

②利用數列知識準確求解模型；

③問題作答，不要忽視問題的實際意義.題型五：數列不等式的證明

例34.(2022?浙江?模擬預測)己知正項數列｛4｝滿足%=0,。：“-a；=2(〃+1),〃eN.

⑴求證：—<—；

%%

1I1,

(2)求證：—+—+???+—<lnn.

%%a?

例35.(2022秋?邛珠市月考)已知函數f(x)=x/〃(l+x)-a(x+l)(x>0),其中a為實常數.

(1)若函數g(x)=/'(x)-二土...0定義域內恒成立，求a的取值范圍；

1+X

(2)證明：當a=0時，卒,，1;

X

(3)求證：-+-+<bi(l++-+-+.

23/7+123n

例36.(2022?廣州二模)已知數列｛%｝和｛"｝滿足q=々，且對任意〃eM都有可+也,=1,曲=—：.

M1-%

(1)求數列｛”“｝和｛“｝的通項公式；

(2)證明："+&+二+...+&</〃(1+〃)〈幺+”+2+

A仇b4b,l+lb｝b2b3b?

例37.(2022秋?泰山區(qū)校級月考)設函數=+其中6"

(1)討論函數/(x)的單調性；

(2)當〃cN+且比2時證明不等式：打［弓+1)(；+1)?一(：+1)］+*+*+…—土.

例38.(2021?山東?嘉祥縣第一中學高三期中)已知函數/(x)=lnx-x+1,xe(0,+oo),g(x)=sinx-ar(oeR).

(1)求/(x)的最大值;

(2)若對VXI?0,+8),總存在々e(0，$，使得/(xj<g(x2)成立，求實數。的取值范圍；

(3)證明不等式sin仕］+sin⑶+…⑶<—(其中e是自然對數的底數).

\nJ\nj\nJe-1

例39.(2021?四川?射洪中學高三月考(文))已知函數/(x)=lnx-x+l,xe(0,+oo),g(x)=ex-ax.

(1)求/(X)的最大值；

(2)若對立1￡(0,+8),總存在工2￡［1，2］使得/(再)”(占)成立，求。的取值范圍；

(3)證明不等式：

nnne-\

例40.(2021?全國?高三專題練習)已知正項數列｛可｝的前〃項和為S,,,且S,,=”+D.

(1)計算6、%、%，猜想數列｛0“｝的通項公式；

(2)用數學歸納法證明數列｛”“｝的通項公式；

(3)證明不等式3+；+；+???+［<］對任意〃wN,恒成立.

a\a2an今

例41.(2021?全國?高二單元測試)設數列｛q｝的前〃項和為S”，已知2S“=%M—2"“+l(〃eN.),且g=5.

(1)證明］表+1｝為等比數列，并求數列｛為｝的通項公式；

(2)設々=k>g3(a“+2"),且>=*■+，■+“?+(,證明北<2；

(3)在(2)的條件下，若對于任意的“eN,不等式“(1+〃)-2〃(4+2)-6<0恒成立，求實數2的取值范

圍.

例42.(2021?全國?高三月考(理))設函數/(x)=f+bln(x+l),其中bwO.

(1)當b=2時，求函數y=/(x)的圖象在點(0,0)處的切線方程；

(2)討論函數/(x)的單調性；

⑶當〃wN*，且n22時，證明不等式In&+屜+l>"d+1)+=+7^+…+4月...

23nJZJn2n+I

【方法技巧與總結】

(1)構造輔助函數(數列)證明不等式

(2)放縮法證明不等式

在證明不等式時，有時把不等式的一邊適當放大或縮小，利用不等式的傳遞性來證明，我們稱這種方

法為放縮法.

放縮時常采用的方法有：舍去一些正項或負項、在和或積中放大或縮小某些項、擴大(或縮小)分式

的分子(或分母).放縮法證不等式的理論依據是：A>B,B>CnA>C；A<B,B〈C=A<C.

放縮法是一種重要的證題技巧，要想用好它，必須有目標，目標可從要證的結論中去查找.

方法1：對進行放縮，然后求和.

當既不關于”單調，也不可直接求和，右邊又是常數時，就應考慮對可進行放縮，使目標變成可

k=l

求和的情形，通常變?yōu)榭闪秧椣嘞驂嚎s等比的數列.證明時要注意對照求證的結論，調整與控制放縮的度.

方法2：添舍放縮

方法3：對于一邊是和或者積的數列不等式，可以把另外一邊的含n的式子看作是一個數列的前n項的

和或者積，求出該數列通項后再左、右兩邊一對一地比較大小，這種思路非常有效，還可以分析出放縮法

證明的操作方法，易于掌握.需要指出的是，如果另外一邊不是含有71的式子，而是常數，則需要尋找目標

不等式的加強不等式，再予以證明.

方法4：單調放縮

題型六：公共項問題

例43.（2022?全國?高二課時練習）已知兩個等差數列5,8,11,…，302與3,7,11,399,則它們所

有公共項的個數為（）

A.23B.24C.25D.26

例44.（多選題）（2022?全國?高三專題練習）已知將數列｛4〃+1｝與數列6｝的公共項從小到大

排列得到數列｛6｝,則（）

A.a?=5nB.an=5"

C.｛?！埃那啊椇虳.｛%｝的前〃項和為"25"7）

424

例45.（2022?江蘇?蘇州市蘇州高新區(qū)第一中學高二開學考試）已知兩個等差數列｛“"｝：5,8,11,…與｛"｝：

3,7,11,它們的公共項組成數列｛q,｝,則數列｛g｝的通項公式q,=；若數列｛%｝和｛"｝的

項數均為100,則｛%｝的項數是.

例46.（2022?北京昌平?高二期末）數列｛4｝：［,a2,L,%,L.也｝:々，b2,L,",L,定義數列

a?&b?:at,a2,b3,a4,as,bh,%,L.

-為奇數

①設%=2=1，1<M<29,則數列a“&6”的所有項的和等于

2,〃為偶數

②設%=5"，bn=4n-\,14〃429,則數列與"&a"有個公共項.

例47.（2022?江蘇?高二單元測試）將數列｛2"｝與｛2〃｝的公共項從小到大排列得到數列｛劭｝,則｛服｝的前10

項和為________

例48.（2022?江西?南昌市八一中學高一月考）將數列｛4〃-3｝與｛3〃-1｝的公共項從小到大排列得到數列僅“｝,

則｛%｝的前n項和為.

例49.（2022?河南商丘?高三月考（理））將數列｛2"｝與｛3〃+1｝的公共項從小到大排列得到數列｛對｝,則其

通項.

題型七：插項問題

例50.（2022?全國?高三專題練習（文））若在數列的每相鄰兩項之間插入此兩項的和，形成新的數列，再把

所得數列按照同樣的方法不斷構造出新的數列.現(xiàn)將數列1,2進行構造，第1次得到數列1,3,2；第2次

得到數列1,4,3,5,2；依次構造，第）次得到數列1,七,々，不，…，置，2；記4=1+再+x?+…+%+2,

若a?>2022成立，則〃的最小值為.

例51,（2022?全國?高二課時練習）在-9和3之間插入〃個數，使這〃+2個數組成和為-21的等差數列，則

〃=（）

A.4B.5C.6D.7

例52.（2022?全國?高二專題練習）已知數列｛%｝的通項公式為?！?2",在q和生之間插入1個數孫，使

q,X”，4成等差數列；在。2和。3之間插入2個數》21,》22,使。2戶21，工22，。3成等差數列；…在4和4+1之間插

入〃個數X,,.,使%,4,%,%…,3.成等差數列.這樣得到一個新數列也｝:

“”孫,出,—。3，X31?32戶33，。4…，記數列｛"｝的前項和為S,，有下列結論：①X”+/+...+匕.=3〃?2"”②

③%=3072④$55=14337其中，所有正確結論的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

例53.（2022?全國?高二課時練習）已知數列｛叫滿足在可，。““之間插入〃個1,構成數列也｝:

卬，1,a2,1,1,%，1,1，1，/，…，則數列｛4｝的前100項的和為（）

A.211B.232C.247D.256

例54.（2022?全國?高二專題練習）在a,6中插入〃個數，使它們和。力組成等差數列a,%,十,,則

tz,+a2+---+an=（）A.n（a+b）B.'）

（、（"+l）（"+b）D（〃+2）（a+6）

'2'T'

例55.（2022?全國?高二課時練習）等比數列｛%｝的通項公式為a“=2?i,現(xiàn)把每相鄰兩項之間都插入兩個

數，構成一個新的數列｛4｝,那么162是新數列也,｝的

A.第5項B.第12項C.第13項D.第6項

例56.（多選題）（2022?吉林松原?高三月考）在數學課堂上，為提高學生探究分析問題的能力，教師引導學

生構造新數列：現(xiàn)有一個每項都為1的常數列，在此數列的第〃（〃eN*）項與第”+1項之間插入首項為2,

公比為2,的等比數列的前“項，從而形成新的數列｛q｝,數列｛對｝的前〃項和為S“，則（）

56

A.a2O2l=2B.a202l=2

64

C.邑必=3x26?+59D.S2021=2-3

例57.（多選題）（2022?湖南?永州市第一中學高三月考）在數學課堂上，教師引導學生構造新數列：在數列

的每相鄰兩項之間插入此兩項的和，形成新的數列，再把所得數列按照同樣的方法不斷構造出新的數列.將

數列1,2進行構造，第I次得到數列1,3,2；第2次得到數列1,4,3,5,2；…；第"（〃eN）次得到數列1,

X”X2，X3,…，xk,2；…記4,=1+匹+%+…+演+2,數列｛““｝的前〃項為S,,則（）

,,+l

A.k+\=2"B.fl?+[=3a?-3C.an+3n）D.Sn=-|（3+2,?-3）

題型八：蛛網圖問題

例58.（2022秋?虹口區(qū)校級期中）已知數列｛a,J滿足：4=0,%”=/〃（*+eN*）,前〃項和為S.，

則下列選項錯誤的是（）（參考數據：Ini-0.693,1.099）

/.是單調遞增數列，｛%“｝是單調遞減數列

an+a?+1?/?3

C,S2020<670

D-a2n-^a2n

例59.（2022?浙江模擬）數列｛4,｝滿足q>0,an+l=a^-an+\,nwN*，S,,表示數列［-i-1前〃項和，

MJ

則下列選項中錯誤的是（）4若0<%<|,則%<1

B.若:<%<1,則｛%｝遞減

C.若4=,，則S,>4（-1--2）

2%

2

D.若q=2,則￡ooo>-

例60.（2022?浙江模擬）已知數列｛a“｝滿足：q=0,a,,=加（浮+1）_%（〃€>*）,前〃項和為S,,（參考數

據：0.693,M3?1.099）,則下列選項中錯誤的是（）

/?｛用._｝是單調遞增數列，｛%」是單調遞減數列

B.a?+a?+1?ln3

C?S?o2o<666

D.。2"-1<a2n

例61.（2022?下城區(qū)校級模擬）已知數列｛q｝滿足：a?>0,且屋=3匕「2《川（〃eN*）,下列說法正確的

是（）

A.若則B.若％=2,則l+（|yT

C.4+%,2%D.|an+2-a?+1|...y-|a?tl-a?|

a

例62.（多選題）（2022秋?9月份月考）已知數列｛%｝滿足：%=0,a?+l-ln｛e"+1）-an（neN*）,

前N項和為S,（參考數據：/”2ao.693,比3a1.099）,則下列選項正確的是（）

4｛%"一』是單調遞增數列，｛的」是單調遞減數列

B-a?+a?+l?/?3

C$2020<670

D?a2n

題型九：整數的存在性問題(不定方程)

例63.(2022?全國?高三專題練習)已知數列｛4｝的前〃項和為，，4=2,2〃?3=(〃+l>S,[€N，).

(1)求數列｛4｝的通項公式；(2)判斷數列13”-高為｝中是否存在成等差數列的三項，并證明你的結論.

例64.(2022?福建省福州格致中學模擬預測)在①@=(〃+2)%,②邑=卓。“這兩個條件中任選一個

Tnn3

補充在下面問題中，并解答下列題目.

設首項為2的數列｛4｝的前〃項和為S.,前n項積為T?,且.

(1)求數列｛七｝的通項公式；

(2)在數列｛""｝中是否存在連續(xù)三項構成等比數列，若存在，請舉例說明，若不存在，請說明理由.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

例65.(2022?天津?耀華中學一模)設數列｛q,｝(〃eN*)是公差不為零的等差數列，滿足的+6=%，

%+短=6a,.數列｛〃｝(〃eN*)的前〃項和為S,,且滿足4S,,+26,=3.

⑴求數列m｝和也｝的通項公式；

(2)在4和仇之間插入1個數為，使仄,孫，打成等差數列；在仇和4之間插入2個數孫，心，使打，孫,

X22，4成等差數列；；在“和2+I之間插入〃個數Xn2,Xnn,使“，X?,,Xn2,Xlm,4+1

成等差數列.

(i)求],=如+?1+》22)+(/+X32+》33)+L+(xn,+Xn2+L+Xnll);

(ii)是否存在正整數〃?，〃，使(,=羅成立？若存在，求出所有的正整數對(也〃)；若不存在，請說明

理由.

例66.(2022?江蘇南通?模擬預測)已知等差數列｛〃〃｝滿足。產16,“7=22,正項等比數列｛加｝的前〃項和為

Sn,滿足S6=5S,一4s2,且b=。八

(1)求｛“〃｝和｛加｝的通項公式；

(2)是否存在〃使得｝eZ,若存在，求出所有〃的值；若不存在，請說明理由.

例67.(2022?江蘇?模擬預測)已知正項數列｛4｝的前〃項和為S,,,現(xiàn)在有以下三個條件：

①數列｛碼的前n項和為T”=籠?；

②％=1,%+|=J叱L"；③4=1,。2=夜，當"23時，(”“+%)(S“-2S,”|+S“_J=1.

從上述三個條件中任選一個，完成以下問題:

(1)求數列｛4｝的通項公式；

(2)設數列也｝滿足&=1也=an-an_\n>2),試問他,｝中是否存在連續(xù)三項4也+|也十?，使得，，gL，，~構

成等差數列？請說明理由.

例68.(2022?遼寧遼陽?二模)①｛27,,｝為等差數列，且?=］；②為等比數列，且生=(.從①②兩

個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答.

在數列｛%｝中，卬=；，.

(1)求｛叫的通項公式；

(2)已知｛4｝的前八項和為S"，試問是否存在正整數p,q,r,使得5,=。-照““？若存在，求p,q,廠的值;

若不存在，說明理由.

例69.(2022?全國?高三專題練習(理))等差數列｛%｝(〃€/*)中，卬叼牝分別是如表所示第一、二、三

行中的某一個數，且其中的任意兩個數不在表格的同一列.

第一列第二列第三列

第一行582

第二行4312

第三行1669

(1)請選擇一個可能的H，%，%｝組合，并求數列｛4｝的通項公式.

(2)記(1)中您選擇的｛勺｝的前〃項和為S〃，判斷是否存在正整數4,使得卬4，耳,2成等比數列?若存在,

請求出％的值;若不存在，請說明理由.

例70.(2022?天津?耀華中學模擬預測)己知數列｛助｝的奇數項是首項為1的等差數列，偶數項是首項為2

的等比數列.數列｛汨前〃項和為S",且滿足Sj=a“03+05=2+04

(1)求數列｛〃〃｝的通項公式；

(2)求數列｛a〃｝前2人項和S公

(3)在數列｛“〃｝中，是否存在連續(xù)的三項〃〃?，am.,,am+2,按原來的順序成等差數列？若存在，求出所有滿

足條件的正整數的值；若不存在，說明理由.

例71.(2022?浙江?舟山市田家炳中學高三開學考試)已知數列｛4｝是公差大于0的等差數列，其前〃項和

為5“，且%”3=15,品$2，5成等比數列.

(1)求數列｛氏｝的通項公式；

2

(2)設2=〃eN*),其前"項和為則是否存在正整數見〃(加H〃)，使得％七二成等差數列？若

un""+1

存在，求出機，〃的值；若不存在，請說明理由.

例72.(2022?河南?南陽中學模擬預測(文))已知等差數列｛%｝的前〃項和為￡,公差4*0,4+%=8,

且小是q與生的等比中項.

(1)求｛叫的通項公式；

(2)設"=工，是否存在一個非零常數，，使得數列也,｝也為等差數列？若存在，求出，的值；若不存在，

n+t

請說明理由.

題型十：數列與函數的交匯問題

例73.(2022?龍泉驛區(qū)校級一模)已知定義在H上的函數/(x)是奇函數且滿足/g-x)=/(x),/(-2)=-3,

數列｛勺｝是等差數列,若。2=3，%=13,則./(%)+/(%)+/(%)+???+/(。2015)=()

A.-2B.-3C.2D.3

例74.(2022?日照模擬)已知數列｛”"｝的通項公式%=〃+"Q，則-。21+1。2-d31+…+1。99-《001=(

n

)

A.150B.162C.180D.210

例75.(2022?新鄭市校級模擬)已知等差數列也｝的前〃項和為S〃，若(生-爐+2010(%-1)=1，

(出財-+2010(a2009-1)=-1

,下列為真命題的序號為()

①§2009=2009；②S2010=2010；③“2009<a2；④*^2009<^2,

A.①②B.②③C.②④D.③④

例76.(2022秋?仁壽縣月考)設等差數列｛%｝的前〃項和為S“，已知(%-1)3+2012(%-1)=1，

(。2009-I),+2012(%)09—1)=-1，則卜列結論中正確的是()

A.5,20|2=2012，。2009<“4B**5*2012=2012