數(shù)值分析數(shù)值積分

數(shù)值分析數(shù)值積分第一頁，共四十六頁，2022年，8月28日數(shù)值積分引言計算定積分微積分基本公式：(2)f(x)

表達(dá)式未知，只有通過測量或?qū)嶒灥脕淼臄?shù)據(jù)表。但是在許多實際計算問題中(1)f(x)

表達(dá)式較復(fù)雜，原函數(shù)難求！甚至有時不能用初等函數(shù)表示。如此時需要利用數(shù)值方法來近似計算定積分。第二頁，共四十六頁，2022年，8月28日數(shù)值積分的幾何意義第三頁，共四十六頁，2022年，8月28日數(shù)值求積的基本思想依據(jù)積分中值定理，對于連續(xù)函數(shù)

f（x），在［a，b］內(nèi)存在一點(diǎn)ξ，成立

就是說，底為b-a而高為f（ξ）的矩形面積恰等于所求曲邊梯形的面積I.問題在于點(diǎn)ξ的具體位置一般是不知道的，因而難以準(zhǔn)確地算出f（ξ）的值.我們稱f（ξ）為區(qū)間［a，b］上的平均高度.這樣，只要對平均高度f（ξ）提供一種算法，相應(yīng)地便獲得一種數(shù)值求積方法.第四頁，共四十六頁，2022年，8月28日數(shù)值求積的基本思想分別用f(a)，f(b)和近似f()可得左矩形公式右矩形公式中矩形公式第五頁，共四十六頁，2022年，8月28日求積公式的基本思想若用f(a)和f(b)的算術(shù)平均值近似f()，則可得梯形公式若用f(a),f([a+b]/2)和f(b)的加權(quán)平均值近似f()，則可得辛甫生公式第六頁，共四十六頁，2022年，8月28日一般求積公式

更一般地，可以用f(x)在

[a,b]

上的一些離散點(diǎn)上的值加權(quán)平均作為f()的近似值，從而構(gòu)造出求積節(jié)點(diǎn)求積系數(shù)機(jī)械求積法：求積系數(shù)僅僅與結(jié)點(diǎn)xk的選取有關(guān)，而不依賴于被積函數(shù)f(x)的具體形式第七頁，共四十六頁，2022年，8月28日機(jī)械求積的問題描述已知n+1個x以及在這些x上的函數(shù)值求解此函數(shù)在某個區(qū)間的積分值如何衡量這個公式的好壞？第八頁，共四十六頁，2022年，8月28日代數(shù)精度定義如果對于所有次數(shù)不超過m的多項式f(x)，公式精確成立，但對于某一次數(shù)為m+1

的多項式不精確成立，則稱該求積公式的代數(shù)精度為m次。要驗證一個求積公式具有m次代數(shù)精度，只需驗證對f(x)＝1,x,x2,…,xm精確成立，但對f(x)＝xm+1不精確成立即可，即：(k=0,1,…,m)第九頁，共四十六頁，2022年，8月28日已知：求積公式對于xk（k=0，1，…，m）均能準(zhǔn)確成立求證：求積公式對于對于次數(shù)不超過m的多項式均能準(zhǔn)確成立證明：由已知條件知（k=0，1，…，m）證明兩種說法的等價性第十頁，共四十六頁，2022年，8月28日則即：求積公式對于對于次數(shù)不超過m的多項式均能準(zhǔn)確成立第十一頁，共四十六頁，2022年，8月28日舉例（一）例：試確定系數(shù)i，使得下面的求積公式具有盡可能高的代數(shù)精度，并求出此求積公式的代數(shù)精度。解：將f(x)＝1,x,x2代入求積公式，使其精確成立得解得0=1/3,1=4/3,2=1/3，所以求積公式為易驗證該公式對f(x)＝x3也精確成立，但對f(x)＝x4不精確成立，所以此求積公式具有3次代數(shù)精度。第十二頁，共四十六頁，2022年，8月28日矩形和梯形公式的代數(shù)精度容易驗證：左矩形公式和右矩形公式具有零次代數(shù)精度中矩形公式和梯形公式具有一次代數(shù)精度特別地，具有m(0)

次代數(shù)精度的求積公式滿足：辛甫生公式具有三次代數(shù)精度第十三頁，共四十六頁，2022年，8月28日如何求解求積公式我們可以用代數(shù)精度作為標(biāo)準(zhǔn)來構(gòu)造求積公式.譬如兩點(diǎn)公式式中含有兩個待定參數(shù)A0，A1，令它對于f（x）=1，f（x）=x準(zhǔn)確成立，有第十四頁，共四十六頁，2022年，8月28日解之得A0=A1=（b-a）/2.這說明，形如（5）且具有一次代數(shù)精度的求積公式必為梯形公式（1）.這一論斷從幾何角度來看是十分明顯的.如何求解求積公式第十五頁，共四十六頁，2022年，8月28日如何求解求積公式第十六頁，共四十六頁，2022年，8月28日如果求積節(jié)點(diǎn)并沒有確定，則待定參數(shù)有幾個？有2n+2個能夠達(dá)到的代數(shù)精度是多少？2n+1個此時的方程為非線性方程思考題第十七頁，共四十六頁，2022年，8月28日插值型求積公式基本思想由已知的n+1個點(diǎn)以及在這n+1個點(diǎn)上的函數(shù)值，作拉格朗日插值，得到pn(x)則第十八頁，共四十六頁，2022年，8月28日插值型求積公式設(shè)f(x)在節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值為f(xi)，作n次拉格朗日插值多項式于是有其中。插值型求積公式誤差：第十九頁，共四十六頁，2022年，8月28日插值型求積公式由于n次拉格朗日插值對f(x)＝1,x,x2,…,xn精確成立，所以n次插值型求積公式的代數(shù)精度至少為n次。代數(shù)精度：反之，如果求積公式的代數(shù)精度至少為n次，則它必定是插值型的。簡證：求積公式對拉格朗日插值基函數(shù)lk

(x)精確成立，即有定理求積公式至少具有n次代數(shù)精度的充要條件是：它是插值型的。第二十頁，共四十六頁，2022年，8月28日結(jié)論定理1形如（4）的求積公式至少具有n次代數(shù)精度的充分必要條件是，它是插值型的.問題：（1）如何判定一個求積公式是插值型的？（2）如何求作一個插值型的求積公式？第二十一頁，共四十六頁，2022年，8月28日例題1試檢查下列求積公式的代數(shù)精度：

解直接檢查易知，原式對于準(zhǔn)確成立，但當(dāng)時其左端=1/5，而右端=左右兩端不相等，故所給求積公式僅有三階精度。第二十二頁，共四十六頁，2022年，8月28日例題2試構(gòu)造下列求積公式，使其代數(shù)精度盡量高，并證明所構(gòu)造出的求積公式是插值型的：第二十三頁，共四十六頁，2022年，8月28日例題2第二十四頁，共四十六頁，2022年，8月28日第二十五頁，共四十六頁，2022年，8月28日例題3構(gòu)造下列形式的插值型求積公式，并指明該求積公式所具有的代數(shù)精度：

第二十六頁，共四十六頁，2022年，8月28日第二十七頁，共四十六頁，2022年，8月28日第二十八頁，共四十六頁，2022年，8月28日求積公式的設(shè)計

試設(shè)計求積公式

第二十九頁，共四十六頁，2022年，8月28日第三十頁，共四十六頁，2022年，8月28日第三十一頁，共四十六頁，2022年，8月28日第三十二頁，共四十六頁，2022年，8月28日例題2第三十三頁，共四十六頁，2022年，8月28日第三十四頁，共四十六頁，2022年，8月28日第三十五頁，共四十六頁，2022年，8月28日例題3

試設(shè)計求積公式第三十六頁，共四十六頁，2022年，8月28日第三十七頁，共四十六頁，2022年，8月28日第三十八頁，共四十六頁，2022年，8月28日例題4試設(shè)計求積公式第三十九頁，共四十六頁，20