數(shù)學(xué)面積體積公式

數(shù)學(xué)面積體積公式第一頁，共二十五頁，2022年，8月28日正方形、正方體

一、正方形1、邊：兩組對邊分別平行；四條邊都相等；相鄰邊互相垂直。2、內(nèi)角：四個角都是90°。3、對角線：對角線互相垂直；對角線相等且互相平分；每條對角線平分一組對角。4、對稱性：既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形（有四條對稱軸）。5、正方形具有平行四邊形、菱形、矩形的一切性質(zhì)。6、特殊性質(zhì)：正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形，對角線與邊的夾角是45°；正方形的兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形。7、在正方形里面畫一個最大的圓，該圓的面積約是正方形面積的78.5%；正方形外接圓面積大約是正方形面積的157%。8、正方形是特殊的矩形。9、正方形也是矩形的一種。S正=邊長×邊長=a2=a×a5cm（）×（）=（）cm，周長是邊長×45525第二頁，共二十五頁，2022年，8月28日二、正方體因為6個面全部相等，所以正方體的表面積=底面積×6=棱長×棱長×6正方體的體積(或叫做正方體的容積）=棱長×棱長×棱長；設(shè)一個正方體的棱長為a，則它的體積為：V=a×a×a=V正=棱長×棱長×棱長=Sh=底面積×棱長（）棱長9cm，體積是（）×（）×（）=cm39999729第三頁，共二十五頁，2022年，8月28日平行四邊形（矩形(長方形)、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形。）性質(zhì)：（1）如果一個四邊形是平行四邊形，那么這個四邊形的兩組對邊分別相等。（簡述為“平行四邊形的兩組對邊分別相等”）（2）如果一個四邊形是平行四邊形，那么這個四邊形的兩組對角分別相等。（簡述為“平行四邊形的兩組對角分別相等”）（3）如果一個四邊形是平行四邊形，那么這個四邊形的鄰角互補(bǔ)（簡述為“平行四邊形的鄰角互補(bǔ)”）（4）夾在兩條平行線間的平行的高相等。（平行線間的高距離處處相等）第四頁，共二十五頁，2022年，8月28日

（5）如果一個四邊形是平行四邊形，那么這個四邊形的兩條對角線互相平分。

（簡述為“平行四邊形的對角線互相平分”）

（6）連接任意四邊形各邊的中點所得圖形是平行四邊形。(推論）

（7）平行四邊形的面積等于底和高的積。（可視為矩形）.

（8）過平行四邊形對角線交點的直線，將平行四邊形分成全等的兩部分圖形。

（9）平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心是兩對角線的交點.

（10）平行四邊形不是軸對稱圖形，但平行四邊形是中心對稱圖形。矩形和菱形是軸對稱圖形。注：正方形，矩形以及菱形也是一種特殊的平行四邊形，三者具有平行四邊形的性質(zhì)。

第五頁，共二十五頁，2022年，8月28日

平行四邊形（11）平行四邊形ABCD中（如圖）E為AB的中點，則AC和DE互相三等分，一般地，若E為AB上靠近A的n等分點，則AC和DE互相(n+1)等分。（12）平行四邊形ABCD中，AC、BD是平行四邊形ABCD的對角線，則各四邊的平方和等于對角線的平方和。（13）平行四邊形對角線把平行四邊形面積分成四等份。（14）平行四邊形中，兩條在不同對邊上的高所組成的夾角，較小的角等于平行四邊形中較小的角，較大的角等于平行四邊形中較大的角。（15）平行四邊形中,一個角的頂點向他對角的兩邊所做的高，與這個角的兩邊組成的夾角相等。平行四邊形的對邊平行且相等平行四邊形的對角相等,鄰角互補(bǔ)平行四邊形的對角線互相平分平行四邊形的對角線的平方和等于四邊的平方和平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心是兩條對角線的交點平行四邊形的內(nèi)角和是外角和的四分之一。周長：底加高再×2第六頁，共二十五頁，2022年，8月28日

平行四邊形面積公式是S平=底×高=ah一個平行四邊形底5cm，高5cm，面積是多少（）×（）=cm5525第七頁，共二十五頁，2022年，8月28日長方形定義四個角都是直角的平行四邊形叫做長方形。又叫矩形。長方形長與寬的定義：第一種意見：長方形較長的那條邊叫長，較短的那條邊叫寬。第二種意見：和水平面同方向的叫做長，反之就叫做寬。長方形的長和寬是相對的，不能絕對的說“長比寬長”，但習(xí)慣地講，長的為長，短的為寬。①兩條對角線相等；②兩條對角線互相平分；③兩組對邊分別平行；④兩組對邊分別相等；⑤四個角都是直角；⑥有2條對稱軸（正方形有4條）。正方形是特殊的長方形周長是長加寬再×2第八頁，共二十五頁，2022年，8月28日長方形長9cm，寬6cm，面積多少？正方形面積=長乘寬=ab（）×（）=cm29654第九頁，共二十五頁，2022年，8月28日長方體(1〕長方體有6個面。有三組相對的面完全相同。一般情況下六個面都是長方形，特殊情況時有兩個面是正方形，其他四個面都是長方形，并且這四個面完全相同?！?〕長方體有12條棱，相對的四條棱長度相等。按長度可分為三組，每一組有4條棱?！?〕長方體有8個頂點。每個頂點連接三條棱。三條棱分別叫做長方體的長，寬，高。(4)長方體相鄰的兩條棱互相垂直。因為相對的2個面面積相等，所以先算上下兩個面，再算前后兩個面，最后算左右兩個面。設(shè)一個長方體的長、寬、高分別為a、b、h，則它的表面積為S長方體=2×(ab+bh+ah)也等于ah乘2+ab乘2+bc×2；公式：長方體的表面積=長×寬×2+寬×高×2+長×高×2，或：長方體的表面積=（長×寬+寬×高+長×高）×2第十頁，共二十五頁，2022年，8月28日長方體的體積=長×寬×高設(shè)一個長方體的長、寬、高分別為a、b、c，則它的體積V=abc=Sh因為長方體也屬于棱柱的一種，所以棱柱的體積計算公式它也同樣適用。長方體體積=底面積×高，即V=Sh（S是底面積）。聲明：關(guān)于長方體的體積公式，寫成V=abh是正確的。在一般的小學(xué)課本中，都是V=abh,就北京的教材也一樣。長方體的底面積就是長方形的面積S=ab,而將它代入V=Sh就是V=abh。當(dāng)然，也不強(qiáng)求必須用a,b,c或l,w,h來表示長寬高。所以，V=abh,V=abc,V=lwh都是正確的。一個長方體，長9cm，寬28mm，高0.04m，它的體積是多少立方分米？（）×（）×（）=dm20.90.280.40.7072第十一頁，共二十五頁，2022年，8月28日梯形定義：梯形（trapezium)是指只有一組對邊平行的四邊形（叫作梯形）。平行的兩邊叫做梯形的底邊。不平行的兩邊叫腰；兩底之間的公垂線段叫梯形的高。性質(zhì)①梯形的上下兩底平行；②梯形的中位線（兩腰中點相連的線叫做中位線[1]）平行于兩底并且等于上下底和的一半。③等腰梯形對角線相等輔助線1．作高（根據(jù)實際題目確定）；2．平移一腰；3．平移對角線；4．反向延長兩腰交于一點；5．取一腰中點，另一腰兩端點連接并延長；6．取兩底中點，過一底中點做兩腰的平行線。7.取兩腰中點，聯(lián)結(jié)，作中位線。第十二頁，共二十五頁，2022年，8月28日

周長梯形的周長公式：上底+下底+腰+腰，用字母表示：a+b+c+d。[2]等腰梯形的周長公式：上底+下底+2腰，用字母表示：a+b+2c。面積梯形的面積公式：（上底+下底）×高÷2，用字母表示：S=（a+b）×h÷2。[3]變形1：h=2s÷（a+b）；變形2：a=2s÷h-b；變形3：b=2s÷h-a。另一計算梯形的面積公式：中位線×高，用字母表示：L·h。對角線互相垂直的梯形面積為：對角線×對角線÷2。一個高7cm，上底下底一樣是8cm，面積是多少平方毫米？（）+（）=（）×（）=cm2881616787第十三頁，共二十五頁，2022年，8月28日臺體

圓臺的體積公式：V=[S+S'+√(SS')]h÷3=πh(R2+Rr+r2)/3圓臺的表面積公式：S=πr2+πR2+πrl+πRl=π(r2+R2+rl+Rl)r－上底半徑R－下底半徑h－高l—母線棱臺棱臺的體積公式:V臺體=1/3【S+S'+√（S*S'）】*h.S：上底面積S'：下底面積h：高即棱臺體積=1/3*【棱臺底面積+頂面積+開根號（棱臺底面積乘以頂面積）】*棱臺高第十四頁，共二十五頁，2022年，8月28日圓形、橢圓、扇形、球體的體積或面積1.圓的周長C=2πr=或C=πd2.圓的面積S=πr23.扇形弧長L=圓心角（弧度制）*r=nπr/180（n為圓心角）4.扇形面積S=nπr2/360=Lr/2（L為扇形的弧長）5.圓的直徑d=2r6.圓錐側(cè)面積S=πrl（l為母線長）7.圓錐底面半徑r=n/360L（L為母線長）（r為底面半徑）圓的周長公式推導(dǎo)（此方面涉及到弧微分）圓周長一半是8cm，半徑是9cm，面積是多少8×9×3.14=226.08第十五頁，共二十五頁，2022年，8月28日扇形扇形面積公式R是扇形半徑，n是弧所對圓心角度數(shù)，π是圓周率，L是扇形對應(yīng)的弧長。也可以用扇形所在圓的面積除以360再乘以扇形圓心角的角度n，如下：（L為弧長，R為扇形半徑）第十六頁，共二十五頁，2022年，8月28日橢圓形S=π(圓周率)×a×b(其中a,b分別是橢圓的長半軸,短半軸的長).或S=π(圓周率)×A×B/4(其中A,B分別是橢圓的長軸,短軸的長).橢圓的周長公式橢圓周長沒有公式，有積分式或無限項展開式。橢圓周長(L)的精確計算要用到積分或無窮級數(shù)的求和。如L=∫[0,π/2]4a*sqrt(1-(e*cost)^2)dt≈2π√((a^2+b^2)/2)[橢圓近似周長],其中a為橢圓長半軸,e為離心率橢圓離心率的定義為橢圓上的點到某焦點的距離和該點到該焦點對應(yīng)的準(zhǔn)線的距離之比，設(shè)橢圓上點P到某焦點距離為PF，到對應(yīng)準(zhǔn)線距離為PL，則e=PF/PL第十七頁，共二十五頁，2022年，8月28日球體數(shù)學(xué)中的球體球體基本概念半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所成的曲面叫做球面。球面所圍成的幾何體叫做球體，簡稱球。半圓的圓心叫做球心。連結(jié)球心和球面上任意一點的線段叫做球的半徑。連結(jié)球面上兩點并且經(jīng)過球心的線段叫做球的直徑。球體性質(zhì)用一個平面去截一個球，截面是圓面。球的截面有以下性質(zhì)：1球心和截面圓心的連線垂直于截面。2球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r有下面的關(guān)系：r^2=R^2-d^2球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做大圓，被不經(jīng)過球心的截面截得的圓叫做小圓。在球面上，兩點之間的最短連線的長度，就是經(jīng)過這兩點的大圓在這兩點間的一段劣弧的長度，我們把這個弧長叫做兩點的球面距離。球體函數(shù)半徑為r的球的函數(shù)為：r^2=x^2+y^2+z^2第十八頁，共二十五頁，2022年，8月28日

球體的計算公式半徑是R的球的體積計算公式是：V=（4/3）πR^3(三分之四乘以π乘以半徑的三次方)V=（1/6）πd^3(六分之一乘以π乘以直徑的三次方)半徑是R的球的表面積計算公式是：S=4πR^2（4倍的π乘以R的二次方）圖1圖1證明：證：V球=4/3×π×r^3欲證V球=4/3π×r^3，可證V半球=2/3π×r^3做一個半球h=r,做一個圓柱h=r(如圖1)∵V柱-V錐=π×r^3-π×r^3/3=2/3π×r^3∴若猜想成立，則V柱-V錐=V半球∵根據(jù)卡瓦列利原理，夾在兩個平行平面之間的兩個立體圖形，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果所得的兩個截面面積相等，那么，這兩個立體圖形的體積相等。∴若猜想成立，兩個平面：S1(圓)=S2(環(huán))1.從半球高h(yuǎn)點截一個平面根據(jù)公式可知此面積為π×(r^2-h^2)^0.5^2=π×(r^2-h^2)2.從圓柱做一個與其等底等高的圓錐：V錐根據(jù)公式可知其右側(cè)環(huán)形的面積為π×r^2-π×r×h/r=π×(r^2-h^2)∵π×(r^2-h^2)=π×(r^2-h^2)∴V柱-V錐=V半球∵V柱-V錐=π×r^3-π×r^3/3=2/3π×r^3∴V半球=2/3π×r^3由V半球可推出V球=2×V半球=4/3×πr^3證畢當(dāng)然，求球體體積的方法很多，較容易讓人理解的是用重積分的方法解：積分區(qū)域如圖積分區(qū)域積分區(qū)域，圓的半徑為r第十九頁，共二十五頁，2022年，8月28日

圓柱1、以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)360°形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫作圓柱(circularcylinder)，即AG矩形的一條邊為軸，旋轉(zhuǎn)360°所得的幾何體就是圓柱。其中AG叫做圓柱的軸，AG的長度叫做圓柱的高，所有平行于AG的線段叫做圓柱的母線，DA和D'G旋轉(zhuǎn)形成的兩個圓叫做圓柱的底面，DD'旋轉(zhuǎn)形成的曲面叫做圓柱的側(cè)面。2、在同一個平面內(nèi)有一條定直線和一條動線，當(dāng)這個平面繞著這條定直線旋轉(zhuǎn)一周時，這條動線所成的面叫做旋轉(zhuǎn)面，這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)面的軸，這條動線叫做旋轉(zhuǎn)面的母線。如果母線是和軸平行的一條直線，那么所生成的旋轉(zhuǎn)面叫做圓柱面。如果用垂直于軸的兩個平面去截圓柱面，那么兩個截面和圓柱面所圍成的幾何體叫做直圓柱，簡稱圓柱。圓柱所占空間的大小，叫做這個圓柱體的體積．求圓柱的體積跟求長方體、正方體一樣，都是底面積×高：設(shè)一個圓柱底面半徑為r，高為h，則體積V=πr*rh如S為底面積，高為h，體積為V：V=Sh，也可以是V=πr*rh第二十頁，共二十五頁，2022年，8月28日

圓柱的側(cè)面積=底面的周長×高。[2]S側(cè)=Ch（C表示底面的周長，h表示圓柱的高）圓柱的底面積=πr*r;圓柱的表面積圓柱的表面積=側(cè)面積+兩個底面積S表=2πr*r+2πrhs側(cè)=πdhs底=2πr*s表=s側(cè)+s底角錐：V=rS×h÷3【角錐體積=底面積×高÷3】柱體：V=sh(柱體體積=底面積×高）第二十一頁，共二十五頁，2022年，8月28日球缺球冠的面積=2πRH（不包括截面的面積）球缺體積公式=(π/3)(3R-H)*H^2（R是球的半徑,H是球缺的高)球缺質(zhì)心：勻質(zhì)球缺的質(zhì)心位于它的中軸線上，并且與底面的距離為：

c=(4R-H)H/(12R-4H)=(d^2+2H^2)H/(3d^2+4H^2