概率統(tǒng)計學(xué)-隨機(jī)過程引論

第十一章：隨機(jī)過程引論研究對象：隨機(jī)過程是研究隨機(jī)現(xiàn)象隨時間演變應(yīng)用于：它廣泛應(yīng)用于雷達(dá)與電子通信，動態(tài)可過程的概率規(guī)律的一門學(xué)科。靠性，設(shè)備更新，地質(zhì)勘探，天文與氣象,核技術(shù),隨機(jī)振動，控制，生物學(xué)，管理科學(xué)等許多領(lǐng)域。隨著尖端科學(xué)和高技術(shù)的發(fā)展，隨機(jī)過程的應(yīng)用日益廣泛和深入。第一節(jié)：隨機(jī)過程的定義及分類一.隨機(jī)過程的概念概率論復(fù)習(xí)：隨機(jī)試驗,樣本空間.二維隨機(jī)變量，聯(lián)合分布函數(shù)維隨機(jī)變量，聯(lián)合分布函數(shù)隨機(jī)變量,分布函數(shù)；為了研究隨機(jī)現(xiàn)象,引入了上述這些概念工具.但這些還不夠用,還有一些隨機(jī)現(xiàn)象,上述工具無法描述.例如以表示某電話交換臺在時段內(nèi)接到的呼叫次數(shù),那么,對于固定的,是一個隨機(jī)變量.對于一切,是一個隨機(jī)變量族.它的個數(shù)比可列個還要多,就不屬于前面概率論的研究范圍,具有新的特點.稱是一個隨機(jī)過程.定義1

設(shè)隨機(jī)試驗的樣本空間,稱為參數(shù)集.是非空集合,.如果對于每個,對應(yīng)有參數(shù)的函數(shù),,那么,對于所有的,得到一族的函數(shù)稱為隨機(jī)過程,簡稱過程.簡記為或.由定義得函數(shù),稱為隨機(jī)過程的樣本函數(shù),它是隨機(jī)過程的

一次物理實現(xiàn)或?qū)?yīng)于的軌道.

(1)對于中的每一,是僅依賴于的

(2)對任意給定的,是一個隨機(jī)變量,稱為隨機(jī)過程在時的狀態(tài)變量,簡稱狀態(tài).對于所有,隨機(jī)過程是一族隨機(jī)變量,于是得到另一種定義方式.定義2

給定參數(shù)集,如果對于每個,對應(yīng)有隨機(jī)變量,則稱隨機(jī)變量族為隨機(jī)過程.函數(shù)值集合稱為隨機(jī)過的狀態(tài)空間.它是二元函數(shù)的值域,記為.幾個例子：例1在一條自動生產(chǎn)線上檢驗產(chǎn)品質(zhì)量,每次檢驗一個,區(qū)分正品或次品.那么,整個檢驗的樣本空間

,正品或次品,

為了描述檢驗的全過程,引入二元函數(shù)則二元函數(shù)就是一個隨機(jī)過程.二：隨機(jī)過程的分類

通常有兩種分類法.一種是按隨機(jī)過程的參數(shù)集和狀態(tài)空間來分類;另一種是按隨機(jī)過程的概率結(jié)構(gòu)來分類.參數(shù)集可能為離散集或連續(xù)集,狀態(tài)空間可能為離散集或連續(xù)集.(1)離散,離散;(2)離散,連續(xù);(3)連續(xù),離散;(4)連續(xù),連續(xù).離散參數(shù)隨機(jī)過程就是隨機(jī)變量序列,簡稱隨機(jī)序列.一般地記,于是按隨機(jī)過程的概率結(jié)構(gòu)來分,隨機(jī)過程的種類很多.

這里列舉幾個重要類型:二階矩過程.包括正態(tài)過程,平穩(wěn)過程等;馬爾可夫過程,包括馬爾可夫鏈,泊松(Poisson)過程,維納(Wiener)過程,擴(kuò)散過程等;更新過程;鞅.第二節(jié)：隨機(jī)過程的概率分布一維分布函數(shù);二維分布函數(shù)。設(shè)是一隨機(jī)過程,對于參數(shù)集中的任意

個元素:,過程的個狀態(tài):

(個隨機(jī)變量)的聯(lián)合分布

稱為隨機(jī)過程的維分布函數(shù),如果存在非負(fù)函數(shù),使得成立,則稱為隨機(jī)過程的n維概率密度,n=1,2...一般來說,分布函數(shù)族或概率密度族可以完全地確定了隨機(jī)過程的統(tǒng)計特征.特殊地,如果對于任何正整數(shù)n,隨機(jī)過程的任意n個狀態(tài)都是相互獨立的,則稱此過程為獨立過程.例1在第一節(jié)例1中,設(shè)各次檢驗相互獨立地進(jìn)行,每次檢驗的次品率為,求隨機(jī)過程在時的二維分布函數(shù).例2設(shè)隨機(jī)過程,,式中X與Y是相互獨立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量.試求此過程的一維概率密度.兩個隨機(jī)過程有限維聯(lián)合分布及獨立性：組成m+n維隨機(jī)向量.其分布函數(shù)稱為隨機(jī)過程X(t)和Y(t)的m+n維聯(lián)合分布函數(shù).如果對于任何正整數(shù)m和n,對于T1中的任意數(shù)組以及T2中的任意數(shù)組,關(guān)系式都成立,則稱兩個隨機(jī)過程相互獨立.第三節(jié)隨機(jī)過程的數(shù)字特征隨機(jī)變量數(shù)字特征復(fù)習(xí):為隨機(jī)變量,聯(lián)合概率密度邊沿概率密度數(shù)學(xué)期望(均值)二階原點矩方差二階原點混合矩協(xié)方差相關(guān)系數(shù)如果,則稱與不相關(guān);隨機(jī)過程的數(shù)字特征是參數(shù)集,隨機(jī)變量族是一個隨機(jī)過程,對于任意給定,過程在t狀態(tài)是一個隨機(jī)變量,一維概率密度對于一切是的函數(shù),稱為隨機(jī)過程的均值函數(shù),簡稱均值;（1）過程在的狀態(tài)的數(shù)學(xué)期望(11.1)（2）過程在的狀態(tài)的二階原點矩(11.2)稱為隨機(jī)過程 的均方值函數(shù),簡稱均方值;（3）二階中心矩(11.3)稱為隨機(jī)過程的方差函數(shù),簡稱方差,均方差;任選,狀態(tài)是兩個隨機(jī)變量,二維概率密度（4）隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù),簡稱相關(guān)函數(shù),(11.4)（5）隨機(jī)過程的自協(xié)方差函數(shù),簡稱協(xié)方差函數(shù),(11.5)均值、均方值、方差和均方差是刻劃隨機(jī)過程在各個狀態(tài)的統(tǒng)計特性的,而自相關(guān)函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)是刻劃隨機(jī)過程的任何兩個不同狀態(tài)的統(tǒng)計特性的.這五個數(shù)字特征之間,具有如下關(guān)系.

通過以下例子,就可以看出隨機(jī)過程的用處和實際意義.例1設(shè)隨機(jī)相位正弦波式中是常數(shù),是在區(qū)間上服從均勻分布的隨機(jī)變量.求:的均值函數(shù)、方差函數(shù)、自相關(guān)函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù).

解:依題意的概率密度為(1)均值函數(shù)(2)自相關(guān)函數(shù)(3)自協(xié)方差函數(shù)(4)方差函數(shù)例2:設(shè)隨機(jī)過程,式中服從,服從,且與的相關(guān)系數(shù),求:的自相關(guān)函數(shù).對于兩個隨機(jī)過程和,任選,對應(yīng)有過程在的狀態(tài)和過程在的狀態(tài).和的二階原點混合矩(11.7)稱為隨機(jī)過程和的互相關(guān)函數(shù);和的二階中心混合矩(11.8)稱為隨機(jī)過程和的互協(xié)方差函數(shù);并且有(11.9)定義:如果對任意,都有