數(shù)模 數(shù)學規(guī)劃模型

數(shù)模數(shù)學規(guī)劃模型第一頁，共八十五頁，2022年，8月28日數(shù)學規(guī)劃模型

實際問題中的優(yōu)化模型x~決策變量f(x)~目標函數(shù)gi(x)0~約束條件多元函數(shù)條件極值決策變量個數(shù)n和約束條件個數(shù)m較大最優(yōu)解在可行域的邊界上取得數(shù)學規(guī)劃線性規(guī)劃非線性規(guī)劃整數(shù)規(guī)劃重點在模型的建立和結(jié)果的分析第二頁，共八十五頁，2022年，8月28日企業(yè)生產(chǎn)計劃4.1奶制品的生產(chǎn)與銷售

空間層次工廠級：根據(jù)外部需求和內(nèi)部設(shè)備、人力、原料等條件，以最大利潤為目標制訂產(chǎn)品生產(chǎn)計劃；車間級：根據(jù)生產(chǎn)計劃、工藝流程、資源約束及費用參數(shù)等，以最小成本為目標制訂生產(chǎn)批量計劃。時間層次若短時間內(nèi)外部需求和內(nèi)部資源等不隨時間變化，可制訂單階段生產(chǎn)計劃，否則應制訂多階段生產(chǎn)計劃。本節(jié)課題第三頁，共八十五頁，2022年，8月28日例1加工奶制品的生產(chǎn)計劃1桶牛奶3公斤A1

12小時8小時4公斤A2

或獲利24元/公斤獲利16元/公斤50桶牛奶時間480小時至多加工100公斤A1

制訂生產(chǎn)計劃，使每天獲利最大

35元可買到1桶牛奶，買嗎？若買，每天最多買多少?可聘用臨時工人，付出的工資最多是每小時幾元?

A1的獲利增加到30元/公斤，應否改變生產(chǎn)計劃？每天：第四頁，共八十五頁，2022年，8月28日1桶牛奶3公斤A1

12小時8小時4公斤A2

或獲利24元/公斤獲利16元/公斤x1桶牛奶生產(chǎn)A1

x2桶牛奶生產(chǎn)A2

獲利24×3x1

獲利16×4x2

原料供應

勞動時間

加工能力

決策變量

目標函數(shù)

每天獲利約束條件非負約束

線性規(guī)劃模型(LP)時間480小時至多加工100公斤A1

50桶牛奶每天第五頁，共八十五頁，2022年，8月28日模型分析與假設(shè)

比例性可加性連續(xù)性xi對目標函數(shù)的“貢獻”與xi取值成正比xi對約束條件的“貢獻”與xi取值成正比xi對目標函數(shù)的“貢獻”與xj取值無關(guān)xi對約束條件的“貢獻”與xj取值無關(guān)xi取值連續(xù)A1,A2每公斤的獲利是與各自產(chǎn)量無關(guān)的常數(shù)每桶牛奶加工出A1,A2的數(shù)量和時間是與各自產(chǎn)量無關(guān)的常數(shù)A1,A2每公斤的獲利是與相互產(chǎn)量無關(guān)的常數(shù)每桶牛奶加工出A1,A2的數(shù)量和時間是與相互產(chǎn)量無關(guān)的常數(shù)加工A1,A2的牛奶桶數(shù)是實數(shù)線性規(guī)劃模型第六頁，共八十五頁，2022年，8月28日模型求解

圖解法

x1x20ABCDl1l2l3l4l5約束條件目標函數(shù)

Z=0Z=2400Z=3600z=c(常數(shù))~等值線c在B(20,30)點得到最優(yōu)解目標函數(shù)和約束條件是線性函數(shù)可行域為直線段圍成的凸多邊形目標函數(shù)的等值線為直線最優(yōu)解一定在凸多邊形的某個頂點取得。第七頁，共八十五頁，2022年，8月28日模型求解

軟件實現(xiàn)

LINDO6.1max72x1+64x2st2）x1+x2<503）12x1+8x2<4804）3x1<100end

OBJECTIVEFUNCTIONVALUE

1)3360.000

VARIABLEVALUEREDUCEDCOST

X120.0000000.000000

X230.0000000.000000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.00000048.0000003)0.0000002.0000004)40.0000000.000000NO.ITERATIONS=2DORANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS?No20桶牛奶生產(chǎn)A1,30桶生產(chǎn)A2，利潤3360元。第八頁，共八十五頁，2022年，8月28日結(jié)果解釋

OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)3360.000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX120.0000000.000000X230.0000000.000000

ROW

SLACKORSURPLUSDUALPRICES

2)0.00000048.000000

3)0.0000002.0000004)40.0000000.000000NO.ITERATIONS=2原料無剩余時間無剩余加工能力剩余40max72x1+64x2st2）x1+x2<503）12x1+8x2<4804）3x1<100end三種資源“資源”剩余為零的約束為緊約束（有效約束）第九頁，共八十五頁，2022年，8月28日結(jié)果解釋

OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)3360.000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX120.0000000.000000X230.0000000.000000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES

2)0.00000048.000000

3)0.0000002.000000

4)40.0000000.000000NO.ITERATIONS=2最優(yōu)解下“資源”增加1單位時“效益”的增量原料增加1單位,利潤增長48時間增加1單位,利潤增長2加工能力增長不影響利潤影子價格

35元可買到1桶牛奶，要買嗎？35<48,應該買！聘用臨時工人付出的工資最多每小時幾元？2元！第十頁，共八十五頁，2022年，8月28日RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED:

OBJCOEFFICIENTRANGES

VARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLECOEFINCREASEDECREASE

X172.00000024.0000008.000000X264.0000008.00000016.000000RIGHTHANDSIDERANGESROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLERHSINCREASEDECREASE250.00000010.0000006.6666673480.00000053.33333280.0000004100.000000INFINITY40.000000最優(yōu)解不變時目標函數(shù)系數(shù)允許變化范圍DORANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS?

Yesx1系數(shù)范圍(64,96)

x2系數(shù)范圍(48,72)

A1獲利增加到30元/千克，應否改變生產(chǎn)計劃x1系數(shù)由243=72增加為303=90，在允許范圍內(nèi)不變！(約束條件不變)第十一頁，共八十五頁，2022年，8月28日結(jié)果解釋

RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED:OBJCOEFFICIENTRANGESVARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLECOEFINCREASEDECREASEX172.00000024.0000008.000000X264.0000008.00000016.000000

RIGHTHANDSIDERANGESROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLERHSINCREASEDECREASE250.00000010.0000006.6666673480.00000053.33333280.0000004100.000000INFINITY40.000000影子價格有意義時約束右端的允許變化范圍原料最多增加10時間最多增加53

35元可買到1桶牛奶，每天最多買多少？最多買10桶!(目標函數(shù)不變)第十二頁，共八十五頁，2022年，8月28日例2奶制品的生產(chǎn)銷售計劃

在例1基礎(chǔ)上深加工1桶牛奶3千克A1

12小時8小時4公斤A2

或獲利24元/公斤獲利16元/公斤0.8千克B12小時,3元1千克獲利44元/千克0.75千克B22小時,3元1千克獲利32元/千克制訂生產(chǎn)計劃，使每天凈利潤最大

30元可增加1桶牛奶，3元可增加1小時時間，應否投資？現(xiàn)投資150元，可賺回多少？50桶牛奶,480小時至多100公斤A1

B1，B2的獲利經(jīng)常有10%的波動，對計劃有無影響？第十三頁，共八十五頁，2022年，8月28日1桶牛奶

3千克A1

12小時8小時4千克A2

或獲利24元/千克獲利16元/kg

0.8千克

B12小時,3元1千克獲利44元/千克0.75千克B22小時,3元1千克獲利32元/千克出售x1千克A1,

x2千克A2，

X3千克B1,x4千克B2原料供應

勞動時間

加工能力

決策變量

目標函數(shù)

利潤約束條件非負約束

x5千克A1加工B1，x6千克A2加工B2附加約束

第十四頁，共八十五頁，2022年，8月28日模型求解

軟件實現(xiàn)

LINDO6.1

OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)3460.800VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX10.0000001.680000X2168.0000000.000000X319.2000010.000000X40.0000000.000000X524.0000000.000000X60.0000001.520000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.0000003.1600003)0.0000003.2600004)76.0000000.0000005)0.00000044.0000006)0.00000032.000000NO.ITERATIONS=2DORANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS?No第十五頁，共八十五頁，2022年，8月28日

OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)3460.800

VARIABLEVALUEREDUCEDCOST

X10.0000001.680000

X2168.0000000.000000

X319.2000010.000000

X40.0000000.000000

X524.0000000.000000

X60.0000001.520000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.0000003.1600003)0.0000003.2600004)76.0000000.0000005)0.00000044.0000006)0.00000032.000000NO.ITERATIONS=2結(jié)果解釋每天銷售168千克A2和19.2千克B1，利潤3460.8（元）8桶牛奶加工成A1，42桶牛奶加工成A2，將得到的24千克A1全部加工成B1

除加工能力外均為緊約束第十六頁，共八十五頁，2022年，8月28日結(jié)果解釋

OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)3460.800VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX10.0000001.680000X2168.0000000.000000X319.2000010.000000X40.0000000.000000X524.0000000.000000X60.0000001.520000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.0000003.1600003)0.0000003.2600004)76.0000000.0000005)0.00000044.0000006)0.00000032.000000增加1桶牛奶使利潤增長3.16×12=37.92增加1小時時間使利潤增長3.2630元可增加1桶牛奶，3元可增加1小時時間，應否投資？現(xiàn)投資150元，可賺回多少？投資150元增加5桶牛奶，可賺回189.6元。（大于增加時間的利潤增長）第十七頁，共八十五頁，2022年，8月28日結(jié)果解釋B1,B2的獲利有10%的波動，對計劃有無影響

RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED:OBJCOEFFICIENTRANGESVARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLECOEFINCREASEDECREASEX124.0000001.680000INFINITYX216.0000008.1500002.100000

X344.00000019.7500023.166667X432.0000002.026667INFINITYX5-3.00000015.8000002.533334X6-3.0000001.520000INFINITY

…………DORANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS?YesB1獲利下降10%，超出X3系數(shù)允許范圍B2獲利上升10%，超出X4系數(shù)允許范圍波動對計劃有影響生產(chǎn)計劃應重新制訂：如將x3的系數(shù)改為39.6計算，會發(fā)現(xiàn)結(jié)果有很大變化。第十八頁，共八十五頁，2022年，8月28日4.2

自來水輸送與貨機裝運生產(chǎn)、生活物資從若干供應點運送到一些需求點，怎樣安排輸送方案使運費最小，或利潤最大；運輸問題各種類型的貨物裝箱，由于受體積、重量等限制，如何搭配裝載，使獲利最高，或裝箱數(shù)量最少。第十九頁，共八十五頁，2022年，8月28日其他費用:450元/千噸

應如何分配水庫供水量，公司才能獲利最多？

若水庫供水量都提高一倍，公司利潤可增加到多少？元/千噸甲乙丙丁A160130220170B140130190150C190200230/引水管理費例1

自來水輸送收入：900元/千噸

支出A：50B：60C：50甲：30；50乙：70；70丙：10；20丁：10；40水庫供水量(千噸)小區(qū)基本用水量(千噸)小區(qū)額外用水量(千噸)（以天計）第二十頁，共八十五頁，2022年，8月28日總供水量：160確定送水方案使利潤最大問題分析A：50B：60C：50甲：30；50乙：70；70丙：10；20?。?0；40<總需求量：120+180=300總收入900160=144,000(元)收入：900元/千噸

其他費用:450元/千噸

支出引水管理費其他支出450160=72,000(元)使引水管理費最小第二十一頁，共八十五頁，2022年，8月28日供應限制約束條件需求限制

線性規(guī)劃模型(LP)目標函數(shù)

水庫i向j區(qū)的日供水量為xij（x34=0）決策變量

模型建立確定3個水庫向4個小區(qū)的供水量第二十二頁，共八十五頁，2022年，8月28日模型求解

OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)24400.00VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX110.00000030.000000X1250.0000000.000000X130.00000050.000000X140.00000020.000000X210.00000010.000000

X22

50.0000000.000000X230.00000020.000000X24

10.0000000.000000X31

40.0000000.000000X320.00000010.000000X33

10.0000000.000000利潤=總收入-其它費用-引水管理費=144000-72000-24400=47600（元）

A(50)B(60)C(50)甲(30;50)乙(70;70)丙(10;20)丁(10;40)5050401010引水管理費24400(元)第二十三頁，共八十五頁，2022年，8月28日目標函數(shù)

總供水量(320)>總需求量(300)每個水庫最大供水量都提高一倍利潤=收入(900)–其它費用(450)

–引水管理費利潤(元/千噸)甲乙丙丁A290320230280B310320260300C260250220/供應限制B,C類似處理問題討論

確定送水方案使利潤最大需求約束可以不變第二十四頁，共八十五頁，2022年，8月28日求解

OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)88700.00VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX110.00000020.000000X12100.0000000.000000X130.00000040.000000X140.00000020.000000

X21

30.0000000.000000X2240.0000000.000000

X230.00000010.000000X2450.0000000.000000

X31

50.0000000.000000X320.00000020.000000X33

30.0000000.000000這類問題一般稱為“運輸問題”(TransportationProblem)總利潤88700（元）

A(100)B(120)C(100)甲(30;50)乙(70;70)丙(10;20)丁(10;40)4010050305030第二十五頁，共八十五頁，2022年，8月28日如何裝運，使本次飛行獲利最大？

三個貨艙最大載重(噸),最大容積(米3)

例2貨機裝運

重量（噸）空間(米3/噸）利潤（元/噸）貨物1184803100貨物2156503800貨物3235803500貨物4123902850三個貨艙中實際載重必須與其最大載重成比例

前倉：10；6800中倉：16；8700后倉：8；5300飛機平衡第二十六頁，共八十五頁，2022年，8月28日決策變量

xij--第i種貨物裝入第j個貨艙的重量(噸）i=1,2,3,4,

j=1,2,3(分別代表前、中、后倉)模型假設(shè)每種貨物可以分割到任意??；貨機裝運每種貨物可以在一個或多個貨艙中任意分布；多種貨物可以混裝，并保證不留空隙；模型建立第二十七頁，共八十五頁，2022年，8月28日貨艙容積

目標函數(shù)(利潤)約束條件貨機裝運模型建立貨艙重量

10；680016；87008；5300xij--第i種貨物裝入第j個貨艙的重量第二十八頁，共八十五頁，2022年，8月28日約束條件平衡要求

貨物供應

貨機裝運模型建立10；680016；87008；5300xij--第i種貨物裝入第j個貨艙的重量第二十九頁，共八十五頁，2022年，8月28日

OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)121515.8VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX110.000000400.000000X120.00000057.894737X130.000000400.000000X2110.0000000.000000X220.000000239.473679X235.0000000.000000X310.0000000.000000

X32

12.9473690.000000X33

3.0000000.000000X410.000000650.000000

X423.0526320.000000X430.000000650.000000貨物2：前倉10,后倉5；

貨物3:中倉13,后倉3；貨物4:中倉3。貨機裝運模型求解最大利潤約121516元貨物~供應點貨艙~需求點平衡要求運輸問題運輸問題的擴展第三十頁，共八十五頁，2022年，8月28日如果生產(chǎn)某一類型汽車，則至少要生產(chǎn)80輛，那么最優(yōu)的生產(chǎn)計劃應作何改變？例1汽車廠生產(chǎn)計劃汽車廠生產(chǎn)三種類型的汽車，已知各類型每輛車對鋼材、勞動時間的需求，利潤及工廠每月的現(xiàn)有量。小型中型大型現(xiàn)有量鋼材（噸）1.535600勞動時間（小時）28025040060000利潤（萬元）234制訂月生產(chǎn)計劃，使工廠的利潤最大。4.3

汽車生產(chǎn)與原油采購第三十一頁，共八十五頁，2022年，8月28日設(shè)每月生產(chǎn)小、中、大型汽車的數(shù)量分別為x1,x2,x3汽車廠生產(chǎn)計劃模型建立

小型中型大型現(xiàn)有量鋼材1.535600時間28025040060000利潤234線性規(guī)劃模型(LP)第三十二頁，共八十五頁，2022年，8月28日模型求解

3）

模型中增加條件：x1,x2,x3

均為整數(shù)，重新求解。

OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)632.2581VARIABLEVALUEREDUCEDCOST

X164.5161290.000000

X2167.7419280.000000X30.0000000.946237ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.0000000.7311833)0.0000000.003226結(jié)果為小數(shù)，怎么辦？1）舍去小數(shù)：取x1=64，x2=167，算出目標函數(shù)值z=629，與LP最優(yōu)值632.2581相差不大。2）試探：如取x1=65，x2=167；x1=64，x2=168等，計算函數(shù)值z，通過比較可能得到更優(yōu)的解。但必須檢驗它們是否滿足約束條件。為什么？第三十三頁，共八十五頁，2022年，8月28日IP可用LINDO直接求解整數(shù)規(guī)劃(IntegerProgramming,簡記IP)“gin3”表示“前3個變量為整數(shù)”，等價于：ginx1ginx2ginx3IP的最優(yōu)解x1=64，x2=168，x3=0，最優(yōu)值z=632max2x1+3x2+4x3st1.5x1+3x2+5x3<600280x1+250x2+400x3<60000endgin3OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)632.0000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX164.000000-2.000000X2168.000000-3.000000X30.000000-4.000000模型求解

IP結(jié)果輸出第三十四頁，共八十五頁，2022年，8月28日其中3個子模型應去掉，然后逐一求解，比較目標函數(shù)值，再加上整數(shù)約束，得最優(yōu)解：方法1：分解為8個LP子模型汽車廠生產(chǎn)計劃若生產(chǎn)某類汽車，則至少生產(chǎn)80輛，求生產(chǎn)計劃。x1,x2,,x3=0或80x1=80，x2=150，x3=0，最優(yōu)值z=610第三十五頁，共八十五頁，2022年，8月28日LINDO中對0-1變量的限定：inty1inty2inty3方法2：引入0-1變量，化為整數(shù)規(guī)劃

M為大的正數(shù)，可取1000OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)610.0000VARIABLEVALUEREDUCEDCOST

X180.000000-2.000000

X2150.000000-3.000000

X30.000000-4.000000Y11.0000000.000000Y21.0000000.000000Y30.0000000.000000若生產(chǎn)某類汽車，則至少生產(chǎn)80輛，求生產(chǎn)計劃。x1=0或

80x2=0或

80x3=0或

80最優(yōu)解同前

第三十六頁，共八十五頁，2022年，8月28日NLP雖然可用現(xiàn)成的數(shù)學軟件求解(如LINGO,MATLAB)，但是其結(jié)果常依賴于初值的選擇。方法3：化為非線性規(guī)劃

非線性規(guī)劃（Non-LinearProgramming，簡記NLP）

實踐表明，本例僅當初值非常接近上面方法算出的最優(yōu)解時，才能得到正確的結(jié)果。

若生產(chǎn)某類汽車，則至少生產(chǎn)80輛，求生產(chǎn)計劃。x1=0或

80x2=0或

80x3=0或

80第三十七頁，共八十五頁，2022年，8月28日應如何安排原油的采購和加工

？

例2原油采購與加工市場上可買到不超過1500噸的原油A：購買量不超過500噸時的單價為10000元/噸；購買量超過500噸但不超過1000噸時，超過500噸的部分8000元/噸；購買量超過1000噸時，超過1000噸的部分6000元/噸。售價4800元/噸售價5600元/噸庫存500噸庫存1000噸汽油甲(A50%)原油A原油B汽油乙(A60%)第三十八頁，共八十五頁，2022年，8月28日決策變量

目標函數(shù)問題分析利潤：銷售汽油的收入-購買原油A的支出難點：原油A的購價與購買量的關(guān)系較復雜甲(A50%)AB乙(A60%)購買xx11x12x21x224.8千元/噸5.6千元/噸原油A的購買量,原油A,B生產(chǎn)汽油甲,乙的數(shù)量c(x)~購買原油A的支出利潤(千元)c(x)如何表述？第三十九頁，共八十五頁，2022年，8月28日原油供應

約束條件

x

500噸單價為10千元/噸；

500噸x1000噸，超過500噸的8千元/噸；1000噸x1500噸，超過1000噸的6千元/噸。目標函數(shù)購買xABx11x12x21x22庫存500噸庫存1000噸第四十頁，共八十五頁，2022年，8月28日目標函數(shù)中c(x)不是線性函數(shù)，是非線性規(guī)劃；對于用分段函數(shù)定義的c(x)，一般的非線性規(guī)劃軟件也難以輸入和求解；想辦法將模型化簡，用現(xiàn)成的軟件求解。

汽油含原油A的比例限制約束條件甲(A50%)AB乙(A60%)x11x12x21x22第四十一頁，共八十五頁，2022年，8月28日x1,x2,x3~以價格10,8,6(千元/噸)采購A的噸數(shù)目標函數(shù)

只有當以10千元/噸的價格購買x1=500(噸)時，才能以8千元/噸的價格購買x2方法1

非線性規(guī)劃模型，可以用LINGO求解模型求解x=x1+x2+x3,c(x)=10x1+8x2+6x3

500噸

x1000噸，超過500噸的8千元/噸增加約束x=x1+x2+x3,c(x)=10x1+8x2+6x3

第四十二頁，共八十五頁，2022年，8月28日方法1：LINGO求解Model:Max=4.8*x11+4.8*x21+5.6*x12+5.6*x22-10*x1-8*x2-6*x3;x11+x12<x+500;x21+x22<1000;x11-x21>0;2*x12-3*x22>0;x=x1+x2+x3;(x1-500)*x2=0;(x2-500)*x3=0;x1<500;x2<500;x3<500;x>0;x11>0;x12>0;x21>0;x22>0;x1>0;x2>0;x3>0;endObjectivevalue:4800.000VariableValueReducedCostX11500.00000.0000000E+00X21500.00000.0000000E+00X120.0000000E+000.0000000E+00X220.0000000E+000.0000000E+00X10.1021405E-1310.00000X20.0000000E+008.000000X30.0000000E+006.000000X0.0000000E+000.0000000E+00LINGO得到的是局部最優(yōu)解，還能得到更好的解嗎？

用庫存的500噸原油A、500噸原油B生產(chǎn)汽油甲，不購買新的原油A，利潤為4,800千元。

第四十三頁，共八十五頁，2022年，8月28日y1,y2,y3=1~以價格10,8,6(千元/噸)采購A增加約束方法2

0-1線性規(guī)劃模型，可用LINDO求解y1,y2,y3=0或1OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)5000.000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTY11.0000000.000000Y21.0000002200.000000Y31.0000001200.000000X110.0000000.800000X210.0000000.800000X121500.0000000.000000X221000.0000000.000000X1500.0000000.000000X2500.0000000.000000X30.0000000.400000X1000.0000000.000000購買1000噸原油A，與庫存的500噸原油A和1000噸原油B一起，生產(chǎn)汽油乙，利潤為5,000千元。x1,x2,x3~以價格10,8,6(千元/噸)采購A的噸數(shù)y=0x=0x>0y=1優(yōu)于方法1的結(jié)果第四十四頁，共八十五頁，2022年，8月28日b1b2

b3

b4方法3

b1

xb2，x=z1b1+z2b2，z1+z2=1，z1,z20,c(x)=z1c(b1)+z2c(b2).c(x)x1200090005000050010001500b2

xb3，x=z2b2+z3b3，z2+z3=1，z2,z3

0,c(x)=z2c(b2)+z3c(b3).b3

xb4，x=z3b3+z4b4，z3+z4=1，z3,z4

0,c(x)=z3c(b3)+z4c(b4).直接處理處理分段線性函數(shù)c(x)第四十五頁，共八十五頁，2022年，8月28日IP模型，LINDO求解，得到的結(jié)果與方法2相同.處理分段線性函數(shù)，方法3更具一般性bkxbk+1yk=1,否則,yk=0方法3

bkxbk+1,x=zkbk+zk+1bk+1zk+zk+1=1，zk,zk+10,c(x)=zkc(bk)+zk+1c(bk+1).c(x)x1200090005000050010001500b1b2

b3

b4對于k=1,2,3第四十六頁，共八十五頁，2022年，8月28日分派問題4.4

接力隊選拔和選課策略若干項任務分給一些候選人來完成，每人的專長不同，完成每項任務取得的效益或需要的資源就不同，如何分派任務使獲得的總效益最大，或付出的總資源最少。若干種策略供選擇，不同的策略得到的收益或付出的成本不同，各個策略之間有相互制約關(guān)系，如何在滿足一定條件下作出決擇，使得收益最大或成本最小。第四十七頁，共八十五頁，2022年，8月28日丁的蛙泳成績退步到1’15”2；戊的自由泳成績進步到57”5,組成接力隊的方案是否應該調(diào)整？如何選拔隊員組成4100米混合泳接力隊?例1混合泳接力隊的選拔

甲乙丙丁戊蝶泳1’06”857”21’18”1’10”1’07”4仰泳1’15”61’06”1’07”81’14”21’11”蛙泳1’27”1’06”41’24”61’09”61’23”8自由泳58”653”59”457”21’02”45名候選人的百米成績窮舉法：組成接力隊的方案共有5!=120種。第四十八頁，共八十五頁，2022年，8月28日目標函數(shù)若選擇隊員i參加泳姿j的比賽，記xij=1,否則記xij=0

0-1規(guī)劃模型

cij(秒)~隊員i

第j種泳姿的百米成績約束條件每人最多入選泳姿之一

ciji=1i=2i=3i=4i=5j=166.857.2787067.4j=275.66667.874.271j=38766.484.669.683.8j=458.65359.457.262.4每種泳姿有且只有1人第四十九頁，共八十五頁，2022年，8月28日模型求解

最優(yōu)解：x14=x21=x32=x43=1,其它變量為0;成績?yōu)?53.2(秒)=4’13”2MIN66.8x11+75.6x12+87x13+58.6x14+……+67.4x51+71x52+83.8x53+62.4x54SUBJECTTOx11+x12+x13+x14<=1

……x41+x42+x43+x44<=1x11+x21+x31+x41+x51=1

……x14+x24+x34+x44+x54=1ENDINT20

輸入LINDO求解

甲乙丙丁戊蝶泳1’06”857”21’18”1’10”1’07”4仰泳1’15”61’06”1’07”81’14”21’11”蛙泳1’27”1’06”41’24”61’09”61’23”8自由泳58”653”59”457”21’02”4甲~自由泳、乙~蝶泳、丙~仰泳、丁~蛙泳.第五十頁，共八十五頁，2022年，8月28日丁蛙泳c43

=69.675.2，戊自由泳c54=62.4

57.5,方案是否調(diào)整？敏感性分析？乙~蝶泳、丙~仰泳、丁~蛙泳、戊~自由泳IP規(guī)劃一般沒有與LP規(guī)劃相類似的理論，LINDO輸出的敏感性分析結(jié)果通常是沒有意義的。最優(yōu)解：x21=x32=x43=x51=1,成績?yōu)?’17”7c43,c54

的新數(shù)據(jù)重新輸入模型，用LINDO求解指派(Assignment)問題：每項任務有且只有一人承擔，每人只能承擔一項，效益不同，怎樣分派使總效益最大.討論甲~自由泳、乙~蝶泳、丙~仰泳、丁~蛙泳.原方案第五十一頁，共八十五頁，2022年，8月28日為了選修課程門數(shù)最少，應學習哪些課程？

例2選課策略要求至少選兩門數(shù)學課、三門運籌學課和兩門計算機課課號課名學分所屬類別先修課要求1微積分5數(shù)學

2線性代數(shù)4數(shù)學

3最優(yōu)化方法4數(shù)學；運籌學微積分；線性代數(shù)4數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)3數(shù)學；計算機計算機編程5應用統(tǒng)計4數(shù)學；運籌學微積分；線性代數(shù)6計算機模擬3計算機；運籌學計算機編程7計算機編程2計算機

8預測理論2運籌學應用統(tǒng)計9數(shù)學實驗3運籌學；計算機微積分；線性代數(shù)選修課程最少，且學分盡量多，應學習哪些課程？

第五十二頁，共八十五頁，2022年，8月28日0-1規(guī)劃模型

決策變量

目標函數(shù)

xi=1~選修課號i的課程（xi=0~不選）

選修課程總數(shù)最少約束條件最少2門數(shù)學課，3門運籌學課，2門計算機課。

課號課名所屬類別1微積分數(shù)學2線性代數(shù)數(shù)學3最優(yōu)化方法數(shù)學；運籌學4數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)數(shù)學；計算機5應用統(tǒng)計數(shù)學；運籌學6計算機模擬計算機；運籌學7計算機編程計算機8預測理論運籌學9數(shù)學實驗運籌學；計算機第五十三頁，共八十五頁，2022年，8月28日先修課程要求最優(yōu)解：

x1=x2=x3=x6=x7=x9=1,其它為0；6門課程，總學分210-1規(guī)劃模型

約束條件x3=1必有x1=x2=1模型求解（LINDO）課號課名先修課要求1微積分

2線性代數(shù)

3最優(yōu)化方法微積分；線性代數(shù)4數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)計算機編程5應用統(tǒng)計微積分；線性代數(shù)6計算機模擬計算機編程7計算機編程

8預測理論應用統(tǒng)計9數(shù)學實驗微積分；線性代數(shù)第五十四頁，共八十五頁，2022年，8月28日學分最多多目標優(yōu)化的處理方法：化成單目標優(yōu)化。兩目標(多目標)規(guī)劃

討論：選修課程最少，學分盡量多，應學習哪些課程？課程最少以學分最多為目標，不管課程多少。以課程最少為目標，不管學分多少。最優(yōu)解如上，6門課程，總學分21。最優(yōu)解顯然是選修所有9門課程。第五十五頁，共八十五頁，2022年，8月28日多目標規(guī)劃

在課程最少的前提下以學分最多為目標。最優(yōu)解：

x1=x2=x3=x5=x7=x9=1,其它為0；總學分由21增至22。注意：最優(yōu)解不唯一！課號課名學分1微積分52線性代數(shù)43最優(yōu)化方法44數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)35應用統(tǒng)計46計算機模擬37計算機編程28預測理論29數(shù)學實驗3LINDO無法告訴優(yōu)化問題的解是否唯一。可將x9=1易為x6=1增加約束，以學分最多為目標求解。第五十六頁，共八十五頁，2022年，8月28日多目標規(guī)劃

對學分數(shù)和課程數(shù)加權(quán)形成一個目標，如三七開。最優(yōu)解：

x1=x2=x3=x4=x5=x6=x7=x9=1，其它為0；總學分28。課號課名學分1微積分52線性代數(shù)43最優(yōu)化方法44數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)35應用統(tǒng)計46計算機模擬37計算機編程28預測理論29數(shù)學實驗3第五十七頁，共八十五頁，2022年，8月28日討論與思考最優(yōu)解與1=0，2=1的結(jié)果相同——學分最多多目標規(guī)劃

最優(yōu)解與1=1，2=0的結(jié)果相同——課程最少第五十八頁，共八十五頁，2022年，8月28日4.5

飲料廠的生產(chǎn)與檢修單階段生產(chǎn)計劃多階段生產(chǎn)計劃生產(chǎn)批量問題企業(yè)生產(chǎn)計劃考慮與產(chǎn)量無關(guān)的固定費用給優(yōu)化模型求解帶來新的困難外部需求和內(nèi)部資源隨時間變化第五十九頁，共八十五頁，2022年，8月28日安排生產(chǎn)計劃,滿足每周的需求,使4周總費用最小。存貯費:每周每千箱飲料0.2千元。例1

飲料廠的生產(chǎn)與檢修計劃在4周內(nèi)安排一次設(shè)備檢修，占用當周15千箱生產(chǎn)能力，能使檢修后每周增產(chǎn)5千箱，檢修應排在哪一周?

周次需求量(千箱)生產(chǎn)能力(千箱)成本(千元/千箱)115305.0225405.1335455.4425205.5合計100135

某種飲料4周的需求量、生產(chǎn)能力和成本第六十頁，共八十五頁，2022年，8月28日問題分析除第4周外每周的生產(chǎn)能力超過每周的需求；生產(chǎn)成本逐周上升；前幾周應多生產(chǎn)一些。周次需求能力11530225403354542520合計100135成本5.05.15.45.5

飲料廠在第1周開始時沒有庫存；從費用最小考慮,第4周末不能有庫存；周末有庫存時需支出一周的存貯費；每周末的庫存量等于下周初的庫存量。模型假設(shè)

第六十一頁，共八十五頁，2022年，8月28日目標函數(shù)約束條件產(chǎn)量、庫存與需求平衡決策變量

能力限制非負限制模型建立x1~x4：第1~4周的生產(chǎn)量y1~y3：第1~3周末庫存量周次需求能力11530225403354542520成本5.05.15.45.5存貯費:0.2(千元/周?千箱)第六十二頁，共八十五頁，2022年，8月28日模型求解

4周生產(chǎn)計劃的總費用為528(千元)最優(yōu)解：x1~x4：15，40，25，20；

y1~y3：

0，15，5.周次需求能力11530225403354542520成本5.05.15.45.5產(chǎn)量15402520庫存01550LINDO求解第六十三頁，共八十五頁，2022年，8月28日檢修計劃0-1變量wt

：wt=1~檢修安排在第t周(t=1,2,3,4）在4周內(nèi)安排一次設(shè)備檢修，占用當周15千箱生產(chǎn)能力，能使檢修后每周增產(chǎn)5千箱，檢修應排在哪一周?

檢修安排在任一周均可周次需求能力11530225403354542520成本5.05.15.45.5約束條件能力限制產(chǎn)量、庫存與需求平衡條件不變第六十四頁，共八十五頁，2022年，8月28日增加約束條件：檢修1次檢修計劃目標函數(shù)不變0-1變量wt

：wt=1~檢修安排在第t周(t=1,2,3,4）LINDO求解總費用由528千元降為527千元檢修所導致的生產(chǎn)能力提高的作用,需要更長的時間才能得到充分體現(xiàn)。最優(yōu)解：w1=1,w2,w3,

w4=0;x1~x4：15,45,15,25；

y1~y3：0,20,0.第六十五頁，共八十五頁，2022年，8月28日例2飲料的生產(chǎn)批量問題安排生產(chǎn)計劃,滿足每周的需求,使4周總費用最小。存貯費:每周每千箱飲料0.2千元。飲料廠使用同一條生產(chǎn)線輪流生產(chǎn)多種飲料。若某周開工生產(chǎn)某種飲料,需支出生產(chǎn)準備費8千元。

某種飲料4周的需求量、生產(chǎn)能力和成本周次需求量(千箱)生產(chǎn)能力(千箱)成本(千元/千箱)115305.0225405.1335455.4425205.5合計100135

第六十六頁，共八十五頁，2022年，8月28日生產(chǎn)批量問題的一般提法ct~時段t生產(chǎn)費用(元/件)；ht~時段t(末)庫存費(元/件)；st~時段t生產(chǎn)準備費(元)；dt~時段t市場需求(件)；Mt~時段t生產(chǎn)能力(件)。假設(shè)初始庫存為0制訂生產(chǎn)計劃,滿足需求,并使T個時段的總費用最小。決策變量

xt~時段t生產(chǎn)量；yt~時段t(末)庫存量；wt=1~時段t開工生產(chǎn)(wt=0~不開工)。目標約束第六十七頁，共八十五頁，2022年，8月28日混合0-1規(guī)劃模型

最優(yōu)解：x1~x4：15，40，45，0；總費用：554.0(千元)生產(chǎn)批量問題的一般提法將所給參數(shù)代入模型，用LINDO求解第六十八頁，共八十五頁，2022年，8月28日生產(chǎn)中通過切割、剪裁、沖壓等手段，將原材料加工成所需大小§6鋼管和易拉罐下料原料下料問題按照工藝要求，確定下料方案，使所用材料最省，或利潤最大第六十九頁，共八十五頁，2022年，8月28日問題1.如何下料最節(jié)省?例1

鋼管下料問題2.客戶增加需求：原料鋼管:每根19米4米50根6米20根8米15根客戶需求節(jié)省的標準是什么？由于采用不同切割模式太多，會增加生產(chǎn)和管理成本，規(guī)定切割模式不能超過3種。如何下料最節(jié)??？5米10根第七十頁，共八十五頁，2022年，8月28日按照客戶需要在一根原料鋼管上安排切割的一種組合。

切割模式余料1米4米1根6米1根8米1根余料3米4米1根6米1根6米1根合理切割模式的余料應小于客戶需要鋼管的最小尺寸余料3米8米1根8米1根鋼管下料第七十一頁，共八十五頁，2022年，8月28日為滿足客戶需要，按照哪些種合理模式，每種模式切割多少根原料鋼管，最為節(jié)??？合理切割模式2.所用原料鋼管總根數(shù)最少模式

4米鋼管根數(shù)6米鋼管根數(shù)8米鋼管根數(shù)余料(米)14003231013201341203511116030170023鋼管下料問題1兩種標準1.原料鋼管剩余總余量最小第七十二頁，共八十五頁，2022年，8月28日xi~按第i種模式切割的原料鋼管根數(shù)(i=1,2,…7)約束滿足需求決策變量

目標1（總余量）按模式2切割12根,按模式5切割15根，余料27米

模式4米根數(shù)6米根數(shù)8米根數(shù)余料14003231013201341203511116030170023需求502015最優(yōu)解：x2=12,x5=15,

其余為0；最優(yōu)值：27。整數(shù)約束：xi為整數(shù)第七十三頁，共八十五頁，2022年，8月28日當余料沒有用處時，通常以總根數(shù)最少為目標目標2（總根數(shù)）鋼管下料問題1約束條件不變最優(yōu)解：x2=15,x5=5,x7=5,其余為0；最優(yōu)值：