斜拋與圓周運(yùn)動(dòng)

斜拋與圓周運(yùn)動(dòng)第一頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日例4（第13屆預(yù)賽第7題）.從離地面高度為h的固定點(diǎn)A將甲球以速度v0拋出，拋射角為α，且0<α<π/2。若在A點(diǎn)前方適當(dāng)?shù)牡胤椒乓毁|(zhì)量非常大的平板OG，讓甲球與平板做完全彈性碰撞，并使碰撞點(diǎn)與A點(diǎn)等高，如圖所示。則當(dāng)平板傾角θ為恰當(dāng)值時(shí)(0<θ<π/2)，甲球恰好能回到A點(diǎn)。另有一小球乙，在甲球自A點(diǎn)拋出的同時(shí)，從A點(diǎn)自由落下，與地面做完全彈性碰撞。試討論v0、α、θ應(yīng)滿足怎樣的一些條件，才能使乙球與地面碰撞一次后與甲球同時(shí)回到A點(diǎn)。第二頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日hv0AOGθαv0v0α'OG第三頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日解：甲球從A點(diǎn)拋出時(shí)的拋射角為α，速度為v0，因?yàn)榕鲎颤c(diǎn)與A點(diǎn)等高，球與板的碰撞是彈性的，板的質(zhì)量又很大，根據(jù)機(jī)械能守恒定律可知，球與板碰撞前的速度與碰撞后的速度大小都等于v0，設(shè)碰撞后甲球從板彈回時(shí)的拋射角為α'，如圖所示。A點(diǎn)與碰撞點(diǎn)之間的距離即為射程L，若甲球又回到A點(diǎn)，則有或由此得⑴⑵⑶第四頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日若，表示甲球射到平板時(shí)速度方向與它從平板反彈回時(shí)速度的方向相反，故甲球必沿板的法線方向射向平板，反彈后，甲球沿原來的路徑返回A點(diǎn)，因此有即若，表示甲球沿與平板的法線成某一角度的方向射向平板，沿位于法線另一側(cè)與法線成相同角度的方向彈出，然后甲球沿另一條路徑回到A點(diǎn)，由圖中的幾何關(guān)系可知⑷第五頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日得下面分別討論以上兩種情況下，甲球乙球同時(shí)回到A點(diǎn)應(yīng)滿足的條件。(1)α′=α，θ=π/2-α，即甲球沿原路回到A點(diǎn)的情形。⑸⑹第六頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)甲球從A點(diǎn)拋出、與OG板碰撞，到沿原路徑回到A點(diǎn)共經(jīng)歷時(shí)間為t1，則有設(shè)乙球從A點(diǎn)自由落下，與地面發(fā)生一次碰撞、再回到A點(diǎn)共經(jīng)歷時(shí)間為t2，則有⑺⑻第七頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日兩球在A點(diǎn)相遇，要求t1=t2，則即⑼⑽第八頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日因sinα<1，有⑾綜上所述可知，滿足⑾式，甲球的拋射角α滿足⑽式，平板的傾角θ滿足⑷式，甲球才能沿原路徑返回A點(diǎn)并與乙球相遇。(2)α′=π/2-α，θ=π/4，即甲球與OG板碰撞后，沿另一條路徑回到A點(diǎn)的情形。設(shè)甲球自A點(diǎn)拋出，經(jīng)與平板碰撞又回到A點(diǎn)經(jīng)歷的總時(shí)間為t1′，則有第九頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日⑿設(shè)乙球自A點(diǎn)下落后回到A點(diǎn)經(jīng)歷的總時(shí)間為t2′，則有⒀第十頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日兩球在A點(diǎn)相遇，要求t1′=t2′，則即⒁⒂第十一頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日因0<α<π/2，故有⒃結(jié)合⒁式，得⒄綜上所述可知，當(dāng)v0滿足⒄式，甲球的拋射角α滿足⒂式，平板的傾角θ滿足⑹式，甲球?qū)⒀亓硪粭l路徑回到A點(diǎn)，同時(shí)與乙球相遇。第十二頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日綜合以上討論，可知：當(dāng)，且甲球沿原路徑返回A點(diǎn)的同時(shí)，乙球也回到A點(diǎn)；當(dāng)，且，，，，第十三頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日甲球還可沿另一條路徑返回A點(diǎn)，乙球也正好回到A點(diǎn)。以上只是競(jìng)賽時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)答案，但僅據(jù)題意，似乎還應(yīng)該有其他一些解。如甲球與平板碰撞后豎直彈起，掉下碰板后沿原路徑再返回A點(diǎn)。第十四頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日鞏固練習(xí)：

1.大炮在山腳直接對(duì)著傾角為α的山坡發(fā)射炮彈，炮彈初速度為v0，要在山坡上達(dá)到盡可能遠(yuǎn)的射程，則大炮的瞄準(zhǔn)角應(yīng)為多少？最遠(yuǎn)射程為多少？

2.最大與地面成什么角度拋出石子，才能使石子在運(yùn)動(dòng)過程中始終遠(yuǎn)離拋擲石子的人？

3.一斜面體兩斜面的傾角分別為θ和φ

，如圖所示。一物體從傾角為θ的斜面底角處做斜上拋運(yùn)動(dòng)。為使物體從斜面體的頂角處切過，并落在傾角為φ的斜面底角處，則物體的拋射角α與傾角θ

、φ

應(yīng)滿足什么關(guān)系？第十五頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日v0αθφOh第十六頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日質(zhì)點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)：做圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻與圓心的間距R恒定，它在某一位置處的速度方向總是沿圓周的切線方向。vAOBvΔvΔv1Δv2設(shè)在時(shí)刻t，質(zhì)點(diǎn)位于A，其速度矢量為v，經(jīng)時(shí)間Δ

t到達(dá)點(diǎn)B，速度矢量變?yōu)関+Δv，如圖所示。通常將Δv分解為兩部分，一部分是速率大小的改變量Δv2，另一部分可以表示出速度的方向改變?chǔ)1，則有第十七頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日其中為法向加速度表征速度方向變化的快慢。對(duì)一般的曲線運(yùn)動(dòng)，向心加速度第十八頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日其中ρ為質(zhì)點(diǎn)所在曲線處的曲率半徑（每一光滑平面曲線中的任何一個(gè)無限小部分均可屬于某一圓，此圓稱為曲線在該部位的曲率圓，其半徑稱為曲率半徑）。aτ為切向加速度，表征速度大小變化的快慢，對(duì)勻速圓周運(yùn)動(dòng)而言，aτ=0。第十九頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日例：一水平放置的圓盤繞豎直固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，在圓盤上沿半徑開有一條寬度為2mm的均勻狹縫.將激光器與傳感器上下對(duì)準(zhǔn)，使二者間連線與轉(zhuǎn)軸平行，分別置于圓盤的上下兩側(cè)，且可以同步地沿圓盤半徑方向勻速移動(dòng)，激光器連續(xù)向下發(fā)射激光束.在圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，當(dāng)狹縫經(jīng)過激光器與傳感器之間時(shí)，傳感器接收到一個(gè)激光信號(hào)，并將其輸入計(jì)算機(jī)，經(jīng)處理后畫出相應(yīng)圖線.圖(a)為該裝置示意圖，圖(b)為所接收的光信號(hào)隨時(shí)間變化的圖線，橫坐標(biāo)表示時(shí)間，縱坐標(biāo)表示接收到的激光信號(hào)強(qiáng)度，圖中Δt1=1.0×10-3s，Δt2=0.8×10-3s.(1)利用圖(b)中的數(shù)據(jù)求1s時(shí)圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度；

(2)說明激光器和傳感器沿半徑移動(dòng)的方向；(3)求圖(b)中第三個(gè)激光信號(hào)的寬度Δt3.

第二十頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日第二十一頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日(1)由圖線讀得，轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動(dòng)周期T＝0.8s ①解：角速度(2)激光器和探測(cè)器沿半徑由中心向邊緣移動(dòng)(理由為：由于脈沖寬度在逐漸變窄，表明光信號(hào)能通過狹縫的時(shí)間逐漸減少，即圓盤上對(duì)應(yīng)探測(cè)器所在位置的線速度逐漸增加，因此激光器和探測(cè)器沿半徑由中心向邊緣移動(dòng)).(3)設(shè)狹縫寬度為d，探測(cè)器接收到第i個(gè)脈沖時(shí)距轉(zhuǎn)軸的距離為ri，第i個(gè)脈沖的寬度為△ti，激光器和探測(cè)器沿半徑的運(yùn)動(dòng)速度