高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題練習(xí)：立體幾何

4.立體幾何自主學(xué)習(xí)1、如圖，在三棱柱中，分別是的中點(diǎn).（Ⅰ）證明:平面；（Ⅱ）若這個(gè)三棱柱的底面是等邊三角形，側(cè)面都是正方形，求二面角的余弦值.解：（Ⅰ）證明:取的中點(diǎn)為,連接.∵分別為的中點(diǎn)，∴且………∵為的中點(diǎn)∴.∴∴為平行四邊形，∴.∵平面,平面，∴.（Ⅱ）解:設(shè)的中點(diǎn)為，連接，∵為等邊三角形，∴∵側(cè)面都是正方形，∴，∵且，∴，∵，∴，∵∴.取中點(diǎn)為,連接，則.以為原點(diǎn)，以、、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.設(shè),則，∴.設(shè)平面的法向量為，則令，得，取平面的法向量為.則，故所求二面角的余弦值為.2.如圖，在直三棱柱中，分別為，的中點(diǎn)，，.（1）求證：；（2）若直線和平面所成角的正弦值等于，求二面角的正弦值.解：（1）在直三棱柱中，平面,，又，且，平面，，∴平面，又∵平面，∴.（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為軸，軸，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，，，，，，，，直線的方向向量，平面的法向量，可知，∴，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，∴取，設(shè)平面的一個(gè)法向量，∴取，記二面角的平面角為，，∴，3.如圖，多面體為正三棱柱沿平面切除部分所得，M為的中點(diǎn)，且.（1）若D中點(diǎn)，求證平面；（2）若二面角大小為，求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）取中點(diǎn)N，連接MN，則MN為的中位線，,，又MN=AD,，，，。(2)由可得二面角平面角，由二面角大小為可得，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，,,設(shè)平面的法向量為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.4.如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，，，，，為側(cè)棱（包含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn).（1）當(dāng)時(shí)，求證：平面；（2）當(dāng)直線與平面所成角的正弦值為時(shí)，求二面角的余弦值.解：（1）連結(jié)AC交BD于O，連結(jié)OE；由題意，，；因?yàn)?，所以所以因?yàn)槠矫鍭DE，平面BDE所以平面BDE．（2）過(guò)A作于F，則在中，，，；以A為原點(diǎn)，分別以、、的方向?yàn)閤軸、y軸和z軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)．則，，，，；，，，；設(shè)向量為平面CDE的一個(gè)法向量，則由且，有，令，得；記直線BE與平面CDE所成的角為，則，，此時(shí)，；設(shè)向量為平面BDE的一個(gè)法向量，則由且，有，令，得；所以二面角的余弦值為．4.立體幾何自主學(xué)習(xí)名?；仡櫍ǘ?.四棱錐中，底面為菱形，,為等邊三角形（1）求證：;（2）若，求二面角余弦值.解：（1）證明：取中點(diǎn)，連結(jié)，∵為菱形，∴為等邊三角形∴∵為等邊三角形∴∵∴∵∴(2)∵為等邊三角形，邊長(zhǎng)為2∴∵∴∴∵∴如圖，以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系則設(shè)平面的法向量為，則,取，則設(shè)平面法向量為,取，則設(shè)二面角的平面角為∴，則二面角的余弦值等于02.如圖，四面體中，是的中點(diǎn)，和均為等邊三角形，，．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．解析：（1）證明：連結(jié)．∵為等邊三角形，為的中點(diǎn)，∴．∵和為等邊三角形，為的中點(diǎn)，，∴．在中，∵,∴，即．∵，∴平面．（2）以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC，OA為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)平面ACD法向量為由，可得，令，可得又∴∴直線與平面所成角的正弦值為3.如圖，已知，，，平面平面，，，為中點(diǎn).（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的余弦值.解析：（Ⅰ）證明：設(shè)中點(diǎn)為，連∵為中點(diǎn)，∴又由題意，∴，且∴四邊形為平等四邊形，∴∵∴，又∵平面平面，平面平面，平面，∴平面.又平面，∴，∴又∴∴∵，平面，平面，∴平面.（Ⅱ）以點(diǎn)為原點(diǎn)，以方向?yàn)檩S，以方向?yàn)檩S，以方向?yàn)檩S，建立如圖所示坐標(biāo)系，，，，，設(shè)平面的法向量，則∴取，∴設(shè)直