半角模型專題專練

半角模型例題已知，正方形ABCD中，NEAF兩邊分別交線段BC、DC于點(diǎn)E、F,且NEAF=45°結(jié)論1：BE+DF=EF結(jié)論2：1abe+1adf=1aef結(jié)論3：AH=AD結(jié)論4：4CEF的周長=2倍的正方形邊長=2AB結(jié)論5：當(dāng)BE=DF時(shí)，4CEF的面積最小結(jié)論6：BM2+DN2=MN2結(jié)論7：三角形相似，可由三角形相似的傳遞性得到結(jié)論8：EA、FA是4CEF的外角平分線結(jié)論9：四點(diǎn)共圓結(jié)論10：4ANE和4AMF是等腰直角三角形（可通過共圓得到）結(jié)論11：MN=；EF（可由相似得到）結(jié)論12：SAAEF=2SAAMN（可由相似的性質(zhì)得到）結(jié)論5的證明：設(shè)正方形ABCD的邊長為1貝ijsaaef=1-S1-S2-S3.1 1 1-、,，、=1--,x-?y-?(1-x)(1-y)i1=2-XV所以當(dāng)x=y時(shí)，4AEF的面積最小結(jié)論6的證明:將4ADN順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°使AD與AB重合/.DN=BN'易證△AMN^^AMN，/.MN=MN'在Rt^BMN,中，由勾股定理可得：BM2+BN,2=MN‘2即BM2+DN2=MN2結(jié)論7的所有相似三角形：△AMNs^DFN△AMNsMME△AMNs^BAN△AMNs^DMA△AMNs△AFE結(jié)論8的證明：因?yàn)椤鰽MNs^AFE，N3=N2因?yàn)椤鰽MNs^BAN，N3=N4，N2=N4因?yàn)锳B〃CD/.Z1=Z4，N1=N2結(jié)論9的證明:

因?yàn)镹EAN=ZEBN=45.■.AxB、E、N四點(diǎn)共圓（輔圓定理：共邊同側(cè)等頂角）同理可證C、E、N、F四點(diǎn)共圓A、M、F、D四點(diǎn)共圓C、E、M、F四點(diǎn)共圓**必會(huì)結(jié)論 圖形研究正方形半角模型已知：正方形ABCD,E、分分別在邊BCVCD±,且ZEAF=45°,ZEAF=45°,A石、A尸分別交6D于H、G,連石尸.(1)求證：?DF+BE=EF;②DGz+BH2=HG2；③AE平分/BEF,二、相似關(guān)系(2)求證：?CE=42DG；②CF= ；③EF= .(3)求證：④AB2二BGDH;⑤AG2=BG?HG；@—CECF2三、垂直關(guān)系(4)求證：①AGLEG；②AH上FH;③tan/HB=—.BE(5)、和差關(guān)系求證：?BG-DG=41BE；②AD+DF=41DH；③IBE—DFl二折BH—DGI.例1、在正方形ABCD中，已知NMAN=45CB、DC的延長線上移動(dòng),①.試探究線段MN、BM、DN之間的數(shù)量關(guān)系.②.求證：AB=AH.，若M、N分別在邊BE在4ABC中，AB=AC,NBAC=2NDAE=120°,若BD=5,例2、在四邊形ABCD中，NB+ND=180°,AB=AD,若E、F分別在邊BC、CD上，且滿足EF=BE+DF.求證:例3、CE=8,例4、NEAF=；NBAD求DE的長。請(qǐng)閱讀下列材料:A已知:如圖1在RtAABC中,ZBAC=90。，AB=AC,點(diǎn)D、E分別為線段BC上兩動(dòng)點(diǎn)，若ZDAE=45。.探究線段BD、DE、EC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.小明的思路是：把AAEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到AABE'，連結(jié)E'D,使問題得到解決.請(qǐng)你參考小明的思路探究并解決下列問題:（1）猜想BD、DE、EC三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式，并對(duì)你的猜想給予證明;（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E在線段BC上，動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)在線段CB延長線上時(shí)，如圖2,其它條件不變，⑴中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變請(qǐng)說明你的猜想并給予證明.

BD ECDB E圖1 圖2例5、探究：(1)如圖1,在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且NEAF=45°,試判斷BE、DF與EF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出判斷結(jié)果：;(2)如圖2,若把(1)問中的條件變?yōu)椤霸谒倪呅蜛BCD中，AB=AD,NB+ND=180°,E、F分別1是邊BC、CD上的點(diǎn)，且NEAF=±NBAD"，則(1)問中的結(jié)論是否仍然成立若成立，請(qǐng)給出證明,2若不成立，請(qǐng)說明理由；如圖3所不，其它條件不變，則(1)問中的結(jié)論是否發(fā)生變化若變BE C ￡圖1 到練習(xí)鞏固1：如圖，在四邊形ABCD中，NB=ND=90°,AB=AD,若E、F分別在邊BC、CD如圖3所不，其它條件不變，則(1)問中的結(jié)論是否發(fā)生變化若變BE C ￡圖1 到練習(xí)鞏固1：如圖，在四邊形ABCD中，NB=ND=90°,AB=AD,若E、F分別在邊BC、CD上的點(diǎn)，且NEAF=；NBAD.求證：EF=BE+DF.必化，請(qǐng)給出結(jié)論并予以證明..B 圖3月bB FC練習(xí)鞏固2：如圖，在五邊形ABCDE中，AB=BC=CD=DE=EA,1NCAD=2NBAE,求NBAE的度數(shù)練習(xí)鞏固3：已知：正方形ABCD中，/MAN=45。，繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC(或它們的延長線)于點(diǎn)M、N.(1)如圖1,當(dāng)/MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至ljBM=DN時(shí)，有BM+DN=MN.當(dāng)/MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM豐DN時(shí)，如圖2,請(qǐng)問圖1中的結(jié)論還是否成立如果成立，請(qǐng)給予證明，如果不成立，請(qǐng)說明理由；(2)當(dāng)/MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，線段BM,DN和MN之間有怎樣的等量關(guān)系請(qǐng)寫出你的猜想，并證明.⑴如圖，在四邊形ABCD中，⑴如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD,NB=ND=90°,E、F分別是練習(xí)鞏固4邊BC、CD上的點(diǎn)，且NEAF=jNBAD.求證：EF=BE+FD；

,E、F分別是(2)如圖在四邊形ABCD中，AB=AD,NB+ND=180邊BC、,E、F分別是(3)如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD,NB+NADC=180°,E、F分1別是邊BC、CD延長線上的點(diǎn)，且NEAF=『NBAD,(1)中的結(jié)論是否仍然成立若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.(4)如圖①，將邊長為4cm的正方形紙片ABCD沿EF折疊(點(diǎn)E、F分別在邊AB、CD上)，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)M處，點(diǎn)C落在點(diǎn)N處,MN與CD交于點(diǎn)P,連接EP.(1)如圖②，若M為AD邊的中點(diǎn)，①AAEM的周長=cm；②求證：EP=AE+DP；(2)隨著落點(diǎn)M在AD邊上取遍所有的位置(點(diǎn)M不與A、D重合)，△PDM的周長是否發(fā)生變化請(qǐng)說明理由.(5).如圖17,正方形ABCD,E、F分別為BC、CD邊上一點(diǎn).(1)若NEAF=45°.求證：EF=BE+DF.(2)若4AEF繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，保持NEAF=45°,問/CEF的周長是否隨△AEF位置的變化而變化(3)已知正方形ABCD的邊長為1,如果/CEF的周長為2.求NEAF圖17的度數(shù).

圖17練習(xí)鞏固5、如圖，已知在正方形ABCD中，/MAN=45°,連接BD與AM,AN分別交于E、F兩點(diǎn)。求證：(1)MN=MB+DN；(2)點(diǎn)A到MN的距離等于正方形的邊長；.CMN的周長等于正方形ABCD邊長的2倍;(4)S(4)□abcdS△CMN2ABIn-(5)若/MAB=20°,求/2ABIn-(6)若/MAB=aQYaY45°),求/AMN；EF2=EB2+DF2；tAEN與」AFM是等腰三角形;⑼12練習(xí)鞏固6、在等邊AABC的兩邊AB,AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M,N,D為AABC外一點(diǎn)，且/MDN=60。,/BDC=120°,BD=CD，探究：當(dāng)點(diǎn)M,N分別愛直線AB,AC上移動(dòng)時(shí)，BM,BN,MN之間的數(shù)量關(guān)系及NAMN的周長Q與等邊AABC的周長L的關(guān)系.(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)M,N在邊AB,AC上，且DM=DN時(shí)，BM,NC,MN之間的數(shù)量關(guān)系式(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)M,N在邊AB,AC上，且DM豐DN時(shí)，猜想⑴問的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎寫出你的猜想并加以證明；（3）如圖③，當(dāng)點(diǎn)M,N分別在邊A5C的延長線上時(shí)，若AN=%,則Q=（用1,L表示）練習(xí)鞏固7、如圖所示，4ABC是邊長為1的等邊三角形，4BDC是頂角為120°的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°的NMDN,點(diǎn)M,N分別在AB,AC上，求AAMN的周長練習(xí)鞏固8、如圖，在正方形ABCD中，BE=3,EF=5,DF=4,求NBAE+NDCF為多少度。鞏固練習(xí)9、如圖1,Rt△ABCgRt△EDF,NACB=NF=90。，NA=NE=30。?！鱁DF繞著邊AB的中點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，DE,D