同構(gòu)法解決混合指對數(shù)不等式恒成立問題

同構(gòu)法的妙用一、知識點概括在成立或恒成立命題中，很有一部分題是命題者利用函數(shù)單調(diào)性構(gòu)造出來的，如果我們能找到這個函數(shù)模型（即不等式兩邊對應的同一函數(shù)），無疑大大加快解決問題的速度.找到這個函數(shù)模型的方法，我們就稱為同構(gòu)法。1、針對雙變量，方程組上下同構(gòu)。f(x)-f(x)1、針對雙變量，方程組上下同構(gòu)。f(x)-f(x)-4 x-x>kq<x2)QfQJ-fQJ<kx1-kx2QfQ)-kx<fQ)-kx錯誤!未找到引用源。為增函數(shù)。-4 x-xk<-4 x-xk< xxQ<x)=f(J-fQ)>12k(x-x 1 ‘：xx)kkx2 x1°f(°f(x)+k>f(x)+k1x1Q=f（x）+：為減函數(shù)。種常見變形，如果整理（需要預先設定兩個變量的大含有地位同等的兩個變量錯誤!未找到引用源。，進行分組整理,種常見變形，如果整理（需要預先設定兩個變量的大（即同構(gòu)）后不等式兩邊具有結(jié)構(gòu)的一致性，往往暗示單調(diào)性?。?、指對跨階想同構(gòu)，同左同右取對數(shù)。同構(gòu)基本模式：⑴積型：“e”工blnb（三種同構(gòu)方式）①同右：ealnea<blnb，即：錯誤!未找到引用源。②同左：“ey（lnb）e1nb，即：錯誤!未找到引用源。③取對：a+lna<lnb+lnQnb）。即：錯誤!未找到引用源。。小結(jié)：在對“積型”同構(gòu)時，取對數(shù)是最快的（單調(diào)性容易求解）。Word資料

（2）商型:ea ba<（2）商型:ea ba<標（三種同構(gòu)方式）①同左：eaelnb exa<而，即：f(x)=t。ea b②同右：lnea、lnb，即：f(x)=~^~lnx③取對：a-lna<lnb-lnQnb）,fQ）=x-lnx錯誤!未找到引用源。。（3）和差型：e“土a>b±lnb（兩種同構(gòu)方式）①同左：ea士a>emb士lnb，即：錯誤!未找到引用激。②同右：ea士lnea>b士lnb，即：錯誤!未找到引用源。3、無中生有去同構(gòu)，湊好形式是關(guān)鍵，湊常數(shù)或湊參數(shù)，如有必要湊變量。aeax>lnxnaxeax>xlnx(同時乘x)。后面轉(zhuǎn)化同2.(1)aex-lna+x-lna>ln(--1)+x-1=ln(--1)+ein(x-1)（同時力口》）eaex-lna+x-lna>ln(--1)+x-1=ln(--1)+ein(x-1)（同時力口》）=x-lna>ln(x-1)。ax>logxoexn>^n^-oGlna)exina>xlnx，后面轉(zhuǎn)化同2.(1)4、同構(gòu)放縮需有方，切放同構(gòu)一起上。這個是對同構(gòu)思想方法的一個靈活運用。利用切線放縮，往往需要局部同構(gòu)?！纠们芯€放縮如同用均值不等式，只要取等號的條件成立即可】掌握常見的放縮（注意取等號的條件，以及常見變形）ex>x+1next>xnex>exex x變形：xex=ex+1nx>x+lnx+1,—=ex-1nx>x-lnx+1; =elnx-x>lnx-x+1x2ex=ex+21nx>x+2lnx+1,x2ex=ex+21nx>e(x+2lnx)。Word資料

lnx<x一1nInex<xnInx<xlnx<x一1nInx<ex一2;eInx>1-Lnxlnx>x一1。xex變形：x+lnx=xex,x一lnx=In一。

x小結(jié)：xexe小結(jié)：xexex=ex+lnx, =xx exex-lnx,=elnx-x,x+lnx=lnxex,x一lnx=ln一等這些變形ex x新寵是近年來因為交流的頻繁而流傳開來的。對解決指對混合不等式問題，如恒成立求參數(shù)取值范圍問題，或證明不等式，都帶來極大的便利.當然，在具體使用中，往往要結(jié)合切線放縮,或換元法?？梢哉f掌握了這些變形新寵及常見切線型不等式，就大大降低了這類問題的難度。二、題型賞析例1、對下列不等式或者方程進行同構(gòu)變形，并寫出相應的同構(gòu)函數(shù)。（1）log2x一k-2kx>0e2心—-lnv'x>0九Word資料mx2Inx一mex>0a(a(eax+1)>(1\2x+-InxI xJaInaIn(x-1)+2(x-1)>ax+2ex(6)x+(6)x+alnx+e-x>xa(x>1)Word資料(7)e-x-2x-Inx=0⑻x2ex+Inx=0例2、已知不等式ax>logax（a>0,且a手1）,對xe（0,+8）恒成立，則a的取值范圍是例3、若對任意x>0，恒有a（eax+1）>2fx+11lnx,則實數(shù)a的最小值為Word資料例4、已知函數(shù)fQ)=ex—aln(ax-a)+a(a>0),若關(guān)于x的不等式fQ)>0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是()例5、對任意x>0，不等式2ae2x-1nx+lna>0恒成立，則實數(shù)a的最小值為例6、已知函數(shù)f(x)=mln(x+1)—3x—3，若不等式f(x)>mx—3ex在(0,+8)上恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是( )Word資料例7、已知x0是函數(shù)于Q)二x2ex-2+lnx-2的零點，則e2-xo+lnx0=(則實數(shù)a的最小例8、已知函數(shù)于Q)=xe°x-1-1nx-ax，若fQ)20對任意x>則實數(shù)a的最小值是()例9、已知函數(shù)fQ)=xk2x-a2若f(x)>1+x+lnx,求a的取值范圍。Word資料例10、已知f(x)=xex一ax2,gG)=Inx+x一x2+1――,當a>0例10、h(x)=f(x)-ag(x)>0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。例11、已知a>0,函數(shù)f(x)=e"a一In(x+a)-1(x>0)的最小值為0，則實數(shù)a的取值范圍( )例12、完成下列各小題(1)已知=In#+無一；rgH+L則函數(shù)r(x)的最大值為f2)函數(shù)f(幻=炭—咤1的最小值是：(3)函數(shù)〃切=(工+]11天+1九一一E的最大值是t(4)函數(shù)汽幻二丑三^的最小值是-Word資料例14、綜合題型C1）已知函數(shù)=K那一皿工+也工），若恒成立,則實數(shù)（I的取值范圍是:[21已知函數(shù)網(wǎng)幻二=/—以支+111支41）,若f（幻之。恒成立，則正數(shù)上的取值范圍是；（3）已知函數(shù)人幻=支尸+€—由。+】111+1）,若人玻之曬成立，則正數(shù)上的取值范圍是；■4）已疝不等式睦工―醒支+D3ln支對任意上:數(shù)支恒成立，則型數(shù)ti的取值范周息.t.5）匚知函數(shù)以幻=#，工一（1】11工一父-1（>>L）,其中6>0+若然幻之0恒成立,則實數(shù)d與b的大小關(guān)系是::⑹已知函數(shù)『（工）=或鏟—EX—L