熱工控制系統(tǒng)第四章第三講

熱工控制系統(tǒng)第四章第三講第一頁，共三十頁，2022年，8月28日第四節(jié)用根軌跡分析控制系統(tǒng)我們知道，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于閉環(huán)系統(tǒng)的極點分布，其它性能取決于其零極點分布。因此，可以用系統(tǒng)的零極點分布來間接地研究控制系統(tǒng)的性能。W.R.伊文思提出了一種在復平面上由開環(huán)零極點確定閉環(huán)零極點的圖解方法—根軌跡法。將系統(tǒng)的某一個參數(shù)（比如開環(huán)放大系數(shù)）的全部值與閉環(huán)特征根的關系表示在一張圖上。利用根軌跡法，可以：分析系統(tǒng)的性能確定系統(tǒng)的結構和參數(shù)校正裝置的綜合4.1概述第二頁，共三十頁，2022年，8月28日4.2根軌跡概念所謂根軌跡，是指當系統(tǒng)中一個或幾個參量變化時，閉環(huán)特征根在S平面上運動形成的軌跡。例：如圖所示二階系統(tǒng)，-系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：

閉環(huán)傳遞函數(shù)：特征方程為：特征根為：第三頁，共三十頁，2022年，8月28日[討論]：①當K=0時，s1=0,s2=-2,是開環(huán)傳遞函數(shù)的極點②當K=0.32時，s1=-0.4,s2=-1.6③當K=0.5時，s1=-1,s2=-1④當K=1時，s1=-1+j,s2=-1-j⑤當K=5時，s1=-1+3j,s2=-1-3j⑥當K=∞時，s1=-1+∞j,s2=-1-∞j第四頁，共三十頁，2022年，8月28日系統(tǒng)的結構圖如下：-將寫成以下標準型，得：式中：kg為傳遞函數(shù)，或稱為根軌跡增益；Zi，Pj為開環(huán)零極點。閉環(huán)傳遞函數(shù)為:開環(huán)傳遞函數(shù)為：第五頁，共三十頁，2022年，8月28日閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點就是閉環(huán)特征方程：的根。換句話說，滿足或的點就是閉環(huán)系統(tǒng)的極點，就是閉環(huán)特征方程的根

稱或為根軌跡方程。第六頁，共三十頁，2022年，8月28日上述兩式分別稱為滿足根軌跡方程的幅值條件和相角條件。[一些約定]：在根軌跡圖中，“”表示開環(huán)極點，“”表示開環(huán)有限值零點。粗線表示根軌跡，箭頭表示某一參數(shù)增加的方向?！啊北硎靖壽E上的點。我們先以根軌跡增益（當然也可以用其它變量）作為變化量來討論根軌跡。由于是復數(shù)，上式可寫成或=±(2q+1)π

q=0,1,2,…第七頁，共三十頁，2022年，8月28日[例4-1]如圖二階系統(tǒng)，當Kg從0→∞時繪制系統(tǒng)的根軌跡。-[解]閉環(huán)傳遞函數(shù)：特征方程和特征根：[討論]：2341第八頁，共三十頁，2022年，8月28日[總結]當從0變化到時，系統(tǒng)的根軌跡是連續(xù)的。的點稱為起點， 的點稱為終點。本例中有兩個分支，終點都在無窮遠處。這里是用解析法畫出的根軌跡，但對于高階系統(tǒng)，求根困難，需用圖解法畫圖。復平面上滿足相角條件的點應在根軌跡上。上例中，A點在根軌跡上嗎？向量s和s+1的相角分別為根據(jù)相角條件(試探法)：顯然，只有三角形OAB是等腰三角形時，，A點在根軌跡上。點顯然不在根軌跡上。第九頁，共三十頁，2022年，8月28日[定義]：滿足相角條件的點連成的曲線稱為180度等相角根軌跡。同樣，滿足幅值條件的點連成的曲線稱為等增益根軌跡（它是在某一增益的情況下繪制的）。180度等相角根軌跡和等增益根軌跡是正交的，其交點滿足根軌跡方程，每一點對應一個。由于180度等相角根軌跡上的任意一點都可通過幅值條件計算出相應的值，所以直接稱180度等相角根軌跡為根軌跡。在根軌跡上的已知點求該點的值的例子。上例中，若A點的坐標是0.5+j2，則根據(jù)幅值條件：第十頁，共三十頁，2022年，8月28日4.3繪制根軌跡的基本規(guī)則

（伊萬斯）提出了一套繪制根軌跡的規(guī)則。該規(guī)則以根軌跡增益K1為變量。規(guī)則1：根軌跡的分支數(shù)和對稱性。根軌跡的分支數(shù)等于特征方程的階數(shù)n；根軌跡對稱于實軸。

規(guī)則2：根軌跡的起點與終點。

起始點：K1=0時的閉環(huán)極點，即系統(tǒng)的開環(huán)極點。起始點與終止點個數(shù)相等，均為n；終止點：（1）有限值終止點：當K1時，有m條分支趨向開環(huán)零點；（2）無限遠終止點：n-m條分支趨向無窮遠處,需要確定其方位和走向。

第十一頁，共三十頁，2022年，8月28日規(guī)則3:實軸上的根軌跡。實軸上某線段右邊的實零點和實極點總數(shù)為奇數(shù)時，這些線段就是根軌跡的一部分。如圖5-5所示。規(guī)則4:根軌跡的漸近線。當系統(tǒng)的根軌跡增益K1時，趨向無窮遠處的根軌跡共有n-m條，它們趨向無窮遠處的方位可由漸近線決定。（1）漸近線與實軸的傾角為：

（2）漸近線與實軸的交點坐標為：第十二頁，共三十頁，2022年，8月28日【例5-2】設閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：S(S-1)(S＋2)＋K1＝0,當K1由0變化到時，試按一般步驟與規(guī)則繪制其根軌跡圖。

解（1）本系統(tǒng)為3階系統(tǒng)，有3條根軌跡；（2）求出系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的零、極點形式，得到：

（3）起始點：系統(tǒng)沒有開環(huán)零點，只有三個開環(huán)極點，分別為p1=0，p2=-1，p3=-2。第十三頁，共三十頁，2022年，8月28日（4）漸近線：K1時，有3條根軌跡趨向無窮遠處，其漸近線的傾角為

漸近線與實軸的交點坐標為

（5）實軸上的根軌跡：在S平面實軸上[0，-1]和[-，-2]

線段上存在根軌跡，根軌跡草圖如圖5-6所示

第十四頁，共三十頁，2022年，8月28日其中一條從p3=-2出發(fā),隨著K1的增加,沿著負實軸趨向無窮遠處。另兩條分支分別從p1=0和p2=-1出發(fā),沿著負實軸向b點移動。當K1值達到某一數(shù)值時,這兩條分支相交于實軸上的b點,這時系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)。當K1繼續(xù)增大時,這兩條分支離開負實軸分別趨近-60o和-60o的漸近線,向無窮遠處延伸。在Kb＜K1＜Kc時,系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài),出現(xiàn)衰減振蕩。而當K1＞Kc時,，系統(tǒng)成為不穩(wěn)定狀態(tài)。圖5-6根軌跡圖第十五頁，共三十頁，2022年，8月28日規(guī)則5：根軌跡的分離點、會合點和分離角。

上述方程是求取分離點或會合點的必要條件，是否確實為分離點或回合點，需要用相角條件進行判斷。分離點或會合點可能在s平面上任何一點?！纠?-3】求例5-2中分離點的坐標。解系統(tǒng)的特征方程為幾條根軌跡在s平面上相遇后又分開的點稱為根軌跡的分離點（或會合點）。分離點與會合點必須滿足方程:

由此得：第十六頁，共三十頁，2022年，8月28日因分離點必定位于O-1之間的線段上,故可確定S1=-0.423為分離點。對高階系統(tǒng),一般不便求出分離點或會合點,此時可用圖解法等求解。分離角：根軌跡離開重根點處的切線與實軸正方向的夾角被稱為分離角,其計算公式為：求得兩個解分別為s1=-0.423,s2=-1.577式中r為分離點處根軌跡的分支數(shù)。第十七頁，共三十頁，2022年，8月28日規(guī)則6：根軌跡的出射角和入射角。根軌跡從開環(huán)復數(shù)極點出發(fā)的角度稱為出射角；進入開環(huán)復數(shù)零點的角度稱為入射角。

如圖5-8所示為已知系統(tǒng)開環(huán)零、極點分布，可說明出射角的求取。在根軌跡上靠近起點P1較遠處取一點S1,顯然滿足相角條件，有

第十八頁，共三十頁，2022年，8月28日根據(jù)同樣方法可求開環(huán)復數(shù)零點zk的入射角。當S1無限趨近于P1點時，(s1-p1)即為出射角。一般情況下，開環(huán)復數(shù)極點Pk的出射角為：規(guī)則7：根軌跡與虛軸的交點。在根軌跡與虛軸的交點處，存在系統(tǒng)的純虛根。通常用以下兩種根軌跡與虛軸交點。（1）勞斯判據(jù)法；（2）復數(shù)相等方法。第十九頁，共三十頁，2022年，8月28日【例5-4】已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：試求系統(tǒng)根軌跡與虛軸的交點解求出系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為（1）勞斯判據(jù)法；列出勞斯表若陣列中的S1和S0行等于零，則系統(tǒng)就處于穩(wěn)定邊界上，特征方程具有純虛根，由此可得：K1=6時，s=j1.414;K1=0時，s=j0。

（2）復數(shù)相等方法

令系統(tǒng)特征方程中的s=j,令整理得到方程的實部和虛部分別為零，可得到相同的結果：即由第二十頁，共三十頁，2022年，8月28日得到：

K1=6時，s=j1.414;K1=0時，s=j0。規(guī)則8：閉環(huán)極點的和與積。根據(jù)代數(shù)方程的根與系數(shù)關系，當n>m時，有閉環(huán)極點之積：閉環(huán)極點之和：當n-m2時，有:

即閉環(huán)極點之和等于開環(huán)極點之和。第二十一頁，共三十頁，2022年，8月28日這表明在開環(huán)極點確定的情況下，隨著K1的變化，若有一些閉環(huán)特征根增大，則另一些特征根必然減小。即一些根軌跡右行時，另一些根軌跡必左行。【例5-5】已知反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為解按照以下步驟繪制系統(tǒng)的根軌跡：（1）開環(huán)極點為p1=0，p2=-3，p1=-1j,無開環(huán)零點；（2）根軌跡分支數(shù)n=4條；（3）在實軸上[-3，0]之間為根軌跡段；（4）漸近線,n-m=4條：，試繪制K1變化時的根軌跡。

第二十二頁，共三十頁，2022年，8月28日

（5）由特征方程求分離點解得s1=-2.3，s2,3=0.725j0.365。s1為分離點。分離角為90o。利用根軌跡的幅值條件可求得對應于分離點s1=-2.3的K1值為4.33。第二十三頁，共三十頁，2022年，8月28日

（6）求出射角根據(jù)對稱性可知：p4=71.6令勞斯表中S1行的首項為零，求得K1=8.16。根據(jù)表令s=j，K1=8.16代入上式，求得=1.1。根軌跡的兩條分支與虛軸交于=1.1j處，中S2行的系數(shù)寫出輔助方程對應的K1=8.16，系統(tǒng)根軌跡如圖5-9所示由特征方程并列出勞斯表：

（7）求根軌跡與虛軸的交點。第二十四頁，共三十頁，2022年，8月28日根軌跡繪制步驟：1確定根軌跡的分支數(shù)和對稱性2確定根軌跡的起點與終點3確定實軸上的根軌跡4確定根軌跡的漸近線5確定根軌跡的分離點、會合點和分離角6確定根軌跡的出射角和入射角。7確定根軌跡與虛軸的交點第二十五頁，共三十頁，2022年，8月28日【例5-6】已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試繪制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。

根據(jù)上述規(guī)則，可以簡便地繪制系統(tǒng)根軌跡的大致圖形。當需要比較準確地確定某些局部圖形時，可用相角條件逐點繪出。當K1值滿足幅值條件時，對應的根軌跡上的點，就是閉環(huán)極點。解：從開環(huán)傳遞函數(shù)公式中求出開環(huán)極點：

p1=0，p2=-4，

p3,4=-2j4

（1）根軌跡分支數(shù)n=4條。第二十六頁，共三十頁，2022年，8月28日（4）出射角為

由對稱性知p4=90

度（5）求分離點。由特征方程圖5-10系統(tǒng)根軌跡圖（2）實軸上［-4，0］區(qū)間為根軌跡段。（3）漸近線