生物統(tǒng)計第七章 擬合優(yōu)度檢驗

生物統(tǒng)計第七章擬合優(yōu)度檢驗第一頁，共八十一頁，2022年，8月28日一、一般原理（一）什么是擬合優(yōu)度檢驗？

擬合優(yōu)度檢驗（goodnessoffittest）是用來檢驗實際觀測數(shù)據(jù)與依照某種假設或模型計算出來的理論數(shù)之間的一致性，以便判斷該假設或模型是否與觀測數(shù)相配合。第二頁，共八十一頁，2022年，8月28日（二）主要內(nèi)容和注意事項1.主要內(nèi)容1）一致性檢驗根據(jù)某一假設或模型檢驗觀測數(shù)與理論數(shù)的一致性。例如：A：判斷按照回歸方程的預測值與實際值之間的符合程度。B：某一組數(shù)據(jù)的正態(tài)性檢驗。第三頁，共八十一頁，2022年，8月28日2）獨立性檢驗根據(jù)檢驗兩組數(shù)據(jù)之間的關(guān)聯(lián)性或差異性來判斷事件之間的獨立性——沒有假設和理論值。如：A：遺傳學中檢驗子二代花色分離差異性檢驗。B：對照和處理之間的差異性檢驗。第四頁，共八十一頁，2022年，8月28日2.注意事項1）對上述兩種類型的檢驗均用χ2檢驗來實現(xiàn)。注意與顯著性檢驗時的χ2檢驗的區(qū)別。2）χ2檢驗主要應用于次數(shù)資料的檢驗。3）χ2檢驗也會出現(xiàn)兩種類型錯誤。第五頁，共八十一頁，2022年，8月28日K.Pearson根據(jù)的定義，根據(jù)屬性性狀資料的分布，推導出用于次數(shù)資料分析的公式上式中O為觀察次數(shù)，E為理論次數(shù)，自由度為df.（三）χ2統(tǒng)計量的計算第六頁，共八十一頁，2022年，8月28日卡方分布～圖7-1幾個自由度的概率分布密度曲線第七頁，共八十一頁，2022年，8月28日由于分布是連續(xù)性的分布，而次數(shù)資料則是間斷性的，所以用上式計得的值總是偏大，尤其當自由度df=1時，這種偏差會較大，故在計算時需要用的連續(xù)性矯正公式：

第八頁，共八十一頁，2022年，8月28日當自由度大于1時，這時，可不作連續(xù)性矯正，但要求各組內(nèi)的理論次數(shù)不小于5。若某組的理論次數(shù)小于5，則應把它與其相鄰的一組或幾組合并，直到理論次數(shù)大于5為止。第九頁，共八十一頁，2022年，8月28日（三）擬合優(yōu)度檢驗的一般程序1.分組2.計算理論值3.估計參數(shù)4.判斷理論數(shù)的數(shù)目5.計算自由度：df=k-1-α6.假設7.計算統(tǒng)計量，作出判斷第十頁，共八十一頁，2022年，8月28日四、適合性檢驗

檢驗實得次數(shù)資料的次數(shù)與假設的理論次數(shù)是否相互符合的檢驗稱為適合性檢驗。

在適合性檢驗中，理論次數(shù)和自由度的計算：Ei=npidf=k-m第十一頁，共八十一頁，2022年，8月28日在適合性檢驗中，無效假設為H0：實際觀察的屬性類別分配符合已知屬性類別分配的理論或?qū)W說；備擇假設為HA：實際觀察的屬性類別分配不符合已知屬性類別分配的理論或?qū)W說。并在無效假設成立的條件下，按已知屬性類別分配的理論或?qū)W說計算各屬性類別的理論次數(shù)。第十二頁，共八十一頁，2022年，8月28日因所計算得的各個屬性類別理論次數(shù)的總和應等于各個屬性類別實際觀察次數(shù)的總和，即獨立的理論次數(shù)的個數(shù)等于屬性類別分類數(shù)減1。也就是說，適合性檢驗的自由度等于屬性類別分類數(shù)減1。第十三頁，共八十一頁，2022年，8月28日（一）適合性檢驗的基本步驟1、建立假設。即無效假設和備擇假設：H0:符合假設的總體分布，HA:不符合假設的總體分布。2確定顯著水平3計算。在無效假設為正確的前提下，計算值。與查表得的值進行比較4結(jié)論，如果＜接受H0,否定HA第十四頁，共八十一頁，2022年，8月28日（二）次數(shù)資料的適合性檢驗1、k=2組次數(shù)資料的適合性檢驗

這種資料僅分成2組，即k=2，其總體分布為二項總體分布。無效假設H0:符合假設的二項分布，對HA：部符合假設的二項分布。由于受到理論總次數(shù)等于實際總次數(shù)這一條件的限制，即∑Ei=N,因而約束條件數(shù)m=1,自由度df=2-1=1.故需用矯正公式。

第十五頁，共八十一頁，2022年，8月28日例8.1海棠種子發(fā)芽試驗的結(jié)果列于下表，試檢驗該樣本所屬的二項總體與假設發(fā)芽率p=0.90的二項總體分布之間有無顯著差異

第十六頁，共八十一頁，2022年，8月28日分組實際次數(shù)理論概率理論次數(shù)種子發(fā)芽種子不發(fā)芽352480.900.1036040合計4001.00400第十七頁，共八十一頁，2022年，8月28日（1）直接法統(tǒng)計假設：H0：符合假設p=0.90的二項分布；HA:不符合假設p=0.90的二項分布顯著水平：α=0.05檢驗計算：

=1.5625第十八頁，共八十一頁，2022年，8月28日df=2-1=1查分布表得右尾臨界值=3.84

推斷：因=1.5625＜=3.84故接受H0,否定HA,即該批海棠種子發(fā)芽試驗的結(jié)果所屬的二項分布與假設發(fā)芽率p=0.90的二項總體之間無顯著性差異。

第十九頁，共八十一頁，2022年，8月28日（2）簡算法

對于k=2的次數(shù)資料O1和O2,欲檢驗其是否屬于r:s的總體二項分布時，可以省略理論次數(shù)的計算，簡化公式第二十頁，共八十一頁，2022年，8月28日如本例

==1.5625第二十一頁，共八十一頁，2022年，8月28日2、k≥3組次數(shù)資料的適合性檢驗這種資料分3組以上，即k≥3，其總體分布為多項分布。無效假設H0：符合假設的多項分布。HA:不符合假設的多項分布。這種分布亦受理論次數(shù)等于實際總次數(shù)即∑E=N這一條件的限制。自由度df=k-1≥2，不用矯正公式。第二十二頁，共八十一頁，2022年，8月28日例8.2用乳白色和紅色金魚草雜交F2代的實驗結(jié)果列于下表。試檢驗該樣本所屬的總體分布與假設理論比率為1：2：1的多項分布之間有無顯著性差異。

第二十三頁，共八十一頁，2022年，8月28日分組實際次數(shù)理論概率理論次數(shù)乳白色粉紅色紅色2555200.250.500.25255025合計1001.00100第二十四頁，共八十一頁，2022年，8月28日（1）直接法統(tǒng)計假設：H0符合1：2：1對HA不符合1：2：2顯著水平α=0.05計算：=1.5df=k-1=2第二十五頁，共八十一頁，2022年，8月28日查表得右尾檢驗臨界值=5.99推斷：因=1.5＜=5.99故接受H0,否定HA,即金魚草雜交F2代的試驗結(jié)果所屬的總體分布與假設理論比率為1：2：1的多項分布之間無顯著差異。第二十六頁，共八十一頁，2022年，8月28日2）簡算法對于k≥3的次數(shù)資料，有下式簡化計算式中oi為實際次數(shù)，n為總次數(shù)，pi為理論概率第二十七頁，共八十一頁，2022年，8月28日本例

=1.5第二十八頁，共八十一頁，2022年，8月28日例：檢驗200頭大白豬仔豬一月窩重的資料是否服從正態(tài)分布第二十九頁，共八十一頁，2022年，8月28日1、先將資料（原始數(shù)據(jù)略）整理成次數(shù)分布表，組限、組中值、各組的次數(shù)列于表7-7的（1）、（2）、（3）欄，再將各組上限列于第（4）欄中。2、計算各組組上限與均數(shù)（=65.6kg）之差，列于第（5）欄。3、計算校正標準差Sc。由于由分組資料求得的標準差較不分組時所得標準差為大，故需作校正。第三十頁，共八十一頁，2022年，8月28日4、依公式求各組上限的正態(tài)離差，列入第6欄。如第一組5、設該資料服從正態(tài)分布，依u值查正態(tài)分布表得各組段的累計概率（a），列入第（7）欄。如當u=-2.57時，a=0.0051，u=0.29時，a=0.6141。6、求出每一組段的概率，列入第（8）欄。由下一組段的累加概率減去本組段的累加概率而得。如8─組段的概率為0.0136-0.0051=0.0085。第三十一頁，共八十一頁，2022年，8月28日7、以總數(shù)n=200頭乘以各組概率便得理論次數(shù)，列入第（9）欄。凡理論值小于5者應加以合并。本例前三組與后三組分別合并。合并后的實際次數(shù)與理論次數(shù)分別為10與6.44、7與8.72，見第(3)與第（9）欄。8、求各組2值，列入第（10）欄。9、確定自由度。這里是因為求理論次數(shù)時用去均數(shù)，標準差與總次數(shù)三個統(tǒng)計量，該例經(jīng)合并共12個組，故df=12-3=9。第三十二頁，共八十一頁，2022年，8月28日10、結(jié)論。由df=9查2表得：20.05（9）=16.919，而計算所得的2值為：2=8.7808，因為2<20.05，

P>0.05，表明各組實際次數(shù)與由正態(tài)分布計算的理論次數(shù)差異不顯著，可以認為大白豬仔豬一月窩重服從正態(tài)分布。第三十三頁，共八十一頁，2022年，8月28日例：用顯微鏡檢查某樣品內(nèi)結(jié)核菌的數(shù)目，對某些視野內(nèi)各小方格的結(jié)核菌數(shù)計數(shù)，然后按不同的結(jié)核菌數(shù)目把格子分類，記錄每類的格子數(shù)。其結(jié)果見表7—9第（1）、（2）欄。試檢驗結(jié)核菌數(shù)是否服從波松分布。第三十四頁，共八十一頁，2022年，8月28日λ是波松分布所依賴的唯一參數(shù)。λ值愈小分布愈偏倚，隨著λ的增大，分布趨于對稱(如圖4-11所示)。當λ=20時分布接近于正態(tài)分布；當λ=50時，可以認為波松分布呈正態(tài)分布。所以在實際工作中，當λ≥20時就可以用正態(tài)分布來近似地處理波松分布的問題。第三十五頁，共八十一頁，2022年，8月28日1.計算理論概率設結(jié)核菌數(shù)服從波松分布P（λ），其概率計算公式為：其中λ為平均數(shù)μ，且等于方差σ2。此時因λ未知，可利用樣本平均數(shù)來估計。利用加權(quán)法求樣本平均數(shù)為：則：各項理論概率為計算結(jié)果列于第（3）欄第三十六頁，共八十一頁，2022年，8月28日2.計算理論次數(shù)將總次數(shù)N=118乘以各組的理論概率即得各組理論次數(shù)T。計算結(jié)果列于第（4）欄。由于表后4組的理論次數(shù)小于5，故將后4組與第7組合并為一組，合并后的實際格子數(shù)為8，理論格子數(shù)為9.5818。3.計算2值根據(jù)表7—9第（5）欄的數(shù)據(jù)可得2值為：第三十七頁，共八十一頁，2022年，8月28日因為此例經(jīng)并組后的分組數(shù)為7；計算理論次數(shù)利用了樣本平均數(shù)和總次數(shù)，所以自由度為7-2=5。當df=5時，查2值表得：20.05（5）=11.07，因為2<

20.05（5），P>0.05，表明結(jié)核菌的各實際格子數(shù)與根據(jù)波松分布計算出的理論格子數(shù)差異不顯著，可以認為結(jié)核菌數(shù)服從波松分布。第三十八頁，共八十一頁，2022年，8月28日注意事項：計算自由度時的α的數(shù)目確定！df=n-1-α第三十九頁，共八十一頁，2022年，8月28日五、獨立性檢驗（一）獨立性檢驗根據(jù)次數(shù)資料判斷兩類因子彼此相關(guān)或相互獨立的假設檢驗就是獨立性檢驗。獨立性檢驗實際上是基于次數(shù)資料對子因子間相關(guān)性的研究。第四十頁，共八十一頁，2022年，8月28日（二）兩項分組次數(shù)資料的獨立性檢驗

這種資料按兩個方向分組，按行分為r個組，按列分為c個組，故稱為兩項分組次數(shù)資料。實得的兩向分組資料的次數(shù)與假設理論次數(shù)間是否相互獨立的檢驗稱為獨立性檢驗。可以對任意二維的假設分布進行檢驗。第四十一頁，共八十一頁，2022年，8月28日理論次數(shù)和自由度的計算Eij=n·pij=n·=df=rc-r-c+1=(r-1)(c-1)=

式中r為行區(qū)組；c為列區(qū)組；ri為行合計次數(shù)；cj為列合計次數(shù)；n為總次數(shù)；pij為二維聯(lián)合概率pij=pi·pj，這是按獨立事件概率的乘法原理計算的。

第四十二頁，共八十一頁，2022年，8月28日1.2×2組次數(shù)資料的獨立性檢驗這種資料按行分為2組，即r=2；按列分為2組，即c=2；資料的一般形式如下表，其自由度df=(2-1)(2-1)=1,需要用矯正公式。

第四十三頁，共八十一頁，2022年，8月28日其中Aij為實際觀察次數(shù)，Tij為理論次數(shù)。第四十四頁，共八十一頁，2022年，8月28日例.試驗用80頭小白鼠檢驗某種疫苗是否有預防效果。結(jié)果是注射疫苗的44頭中有12頭發(fā)病，32頭未發(fā)??；未注射的36頭中有22頭發(fā)病，14頭未發(fā)病，問該疫苗是否有預防效果？第四十五頁，共八十一頁，2022年，8月28日第四十六頁，共八十一頁，2022年，8月28日

（1）提出無效假設與備擇假設

H0：發(fā)病與否和注射疫苗無關(guān)，即二因子相互獨立。HA：發(fā)病與否和注射疫苗有關(guān)，即二因子彼此相關(guān)。（2）計算理論次數(shù)

根據(jù)二因子相互獨立的假設，由樣本數(shù)據(jù)計算出各個理論次數(shù)。二因子相互獨立，就是說注射疫苗與否不影響發(fā)病率。也就是說注射組與未注射組的理論發(fā)病率應當相同，均應等于總發(fā)病率34/80=0.425。依此計算出各個理論次數(shù)如下：第四十七頁，共八十一頁，2022年，8月28日注射組的理論發(fā)病數(shù)：T11=44×34/80=18.7注射組的理論未發(fā)病數(shù)：T12=44×46/80=25.3，或：T12=44-18.7=25.3；未注射組的理論發(fā)病數(shù)：T21=36×34/80=15.3，或T21=34-18.7=15.3；未注射組的理論未發(fā)病數(shù)：T22=36×46/80=20.7，或T22=36-15.3=20.7。第四十八頁，共八十一頁，2022年，8月28日從上述各理論次數(shù)Tij的計算可以看到，理論次數(shù)的計算利用了行、列總和，總總和，4個理論次數(shù)僅有一個是獨立的。表中括號內(nèi)的數(shù)據(jù)為相應的理論次數(shù)。第四十九頁，共八十一頁，2022年，8月28日計算值將表中的實際次數(shù)、理論次數(shù)代入公式：+第五十頁，共八十一頁，2022年，8月28日5、由自由度df=1查臨界2值，作出統(tǒng)計推斷因為20.01（1）=6.63，而=7.944>20.01（1），P<0.01，否定H0，接受HA，表明發(fā)病率與是否注射疫苗極顯著相關(guān)，這里表現(xiàn)為注射組發(fā)病率極顯著低于未注射組，說明該疫苗是有預防效果的。第五十一頁，共八十一頁，2022年，8月28日2

值簡算法在（7-6）式中，不需要先計算理論次數(shù)，直接利用實際觀察次數(shù)Aij，行、列總和Ti.、T.j和總總和T..進行計算簡便，且誤差小。第五十二頁，共八十一頁，2022年，8月28日2.2×c列聯(lián)表的獨立性檢驗

2×c列聯(lián)表是行因子的屬性類別數(shù)為2，列因子的屬性類別數(shù)為c（c3）的列聯(lián)表。其自由度df=(2-1)(c-1)，因為c3，所以自由度大于2，在進行2檢驗時，不需作連續(xù)性矯正。2×c表的一般形式見下表第五十三頁，共八十一頁，2022年，8月28日（i=1，2；j=1，2，…，c）為實際觀察次數(shù)。第五十四頁，共八十一頁，2022年，8月28日例.在甲、乙兩地進行某種作物生長情況調(diào)查，將體型按優(yōu)、良、中、劣四個等級分類，其結(jié)果見下表，問兩地該作物生長情況是否相同。第五十五頁，共八十一頁，2022年，8月28日1.提出無效假設與備擇假設

H0：作物生長情況與地區(qū)無關(guān)，即兩地作物生長情況與相同。

HA：作物生長情況與與地區(qū)有關(guān)，即作物生長情況與不同。第五十六頁，共八十一頁，2022年，8月28日2.計算各個理論次數(shù)，并填在各觀察次數(shù)后的括號中計算方法與2×2表類似，即根據(jù)兩地水牛體型構(gòu)成比相同的假設計算。如優(yōu)等組中，甲地、乙地的理論次數(shù)按理論比率20/135計算；良等組中甲地、乙地的理論次數(shù)按理論比率15/135計算；中等、劣等組中甲地、乙地的理論次數(shù)分別按理論比率80/135和20/135計算。甲地優(yōu)等組理論次數(shù)：T11=90×20/135=13.3，乙地優(yōu)等組理論次數(shù)：T21=45×20/135=6.7，或T21=20-13.3=6.7；其余各個理論次數(shù)的計算類似。第五十七頁，共八十一頁，2022年，8月28日3.計算計算2值4.由自由度df=3查臨界2值，作出統(tǒng)計推斷因為20..05（3）=7.815，而2=7.582<20..05（3），p>0.05，不能否定H0,可以認為甲、乙該作物生長情況相同。本例同樣可以利用2值簡算法。第五十八頁，共八十一頁，2022年，8月28日生物學研究中有時需將數(shù)量性狀資料以等級分類這些由數(shù)量性狀資料轉(zhuǎn)化為質(zhì)量性狀的次數(shù)資料檢驗，也可用2檢驗。例.分別統(tǒng)計了A、B兩個品種各67頭試驗用小白鼠的產(chǎn)仔情況，結(jié)果見下表，問A、B兩品種的產(chǎn)仔構(gòu)成比是否相同？第五十九頁，共八十一頁，2022年，8月28日

1、提出無效假設與備擇假設H0：A、B兩個品種產(chǎn)仔數(shù)分級構(gòu)成比相同。HA：A、B兩個品種產(chǎn)仔數(shù)分級構(gòu)成比不同。2、計算2值用簡化公式計算為：3、由自由度df=(2-1)(3-1)=2查臨界2值，作出統(tǒng)計推斷因為20.05（2）=9.21，2>

20.01，

P<0.01，所以否定H0，接受HA，表明A、B兩品種產(chǎn)仔數(shù)構(gòu)成比差異極顯著。第六十頁，共八十一頁，2022年，8月28日注意本例中A、B兩品種產(chǎn)仔數(shù)構(gòu)成比差異極顯著。但是無法具體確定分級構(gòu)成比差異在那樣的等級。需用2檢驗的再分割法。第六十一頁，共八十一頁，2022年，8月28日2檢驗的再分割法（1）先對兩個品種產(chǎn)仔數(shù)在9頭以下和10—12頭進行2檢驗，分割后的情況見下表：第六十二頁，共八十一頁，2022年，8月28日利用簡化公式（7-7）計算21值為：由df1=2-1=1，查2值表得：20.05（1）=3.841，因為21<

20.05（1），P>0.05，表明這兩個品種的產(chǎn)仔數(shù)在9頭以下和10—12頭這兩個級別內(nèi)的比率差異不顯著。第六十三頁，共八十一頁，2022年，8月28日（2）對產(chǎn)仔數(shù)在13頭以上組與其他合并組（即9頭以下和10—12頭兩個組的合并）進行2檢驗，分割后見下表：第六十四頁，共八十一頁，2022年，8月28日簡算法計算2值由df2=2-1=1，查2值表得：20.05（1）=3.846，20.01（1）=6.63，因為22>20.01（1），P<0.01，表明這兩個品種的產(chǎn)仔數(shù)在合并組與13頭以上組的比率差異極顯著。其中B品種產(chǎn)仔數(shù)在13頭以上的比率為29/67=42.38%，極顯著高于A品種產(chǎn)仔數(shù)在13頭以上的比率6/67=8.96%。或者說B品種產(chǎn)仔數(shù)在合并組（12頭以下）的比率為38/67=56.72%，極顯著低于A品種產(chǎn)仔數(shù)在合并組（12頭以下）的比率61/67=91.04%。第六十五頁，共八十一頁，2022年，8月28日經(jīng)分割檢驗后，df=df1+df2=2+1=3,2=23.25=21+

22=2.93+20.458=23.388，2略小于21+22，是由于簡算中的舍入誤差所致。第六十六頁，共八十一頁，2022年，8月28日（三）r×c列聯(lián)表的獨立性檢驗

r×c表是指行因子的屬性類別數(shù)為r（r>2），列因子的屬性類別數(shù)為c(c>2)的列聯(lián)表。其一般形式見表第六十七頁，共八十一頁，2022年，8月28日r×c列聯(lián)表各個理論次數(shù)的計算方法與上述（2×2）、（2×c）表適合性檢驗類似。但一般用簡化公式計算2值，其公式為：第六十八頁，共八十一頁，2022年，8月28日【例】對三組小白鼠（每組39頭）分別喂給不同的飼料，各組發(fā)病次數(shù)統(tǒng)計如下表，問發(fā)病次數(shù)的構(gòu)成比與所喂飼料是否有關(guān)？第六十九頁，共八十一頁，2022年，8月28日檢驗步驟如下：

1、提出無效假設與備擇假設H0：發(fā)病次數(shù)的構(gòu)成比與飼料種類無關(guān)，即二者相互獨立。HA：發(fā)病次數(shù)的構(gòu)成比與飼料種類有關(guān)，即二者彼此獨立。2、計算理論次數(shù)對于理論次數(shù)小于5者，將相鄰幾個組加以合并（見下表），合并后的各組的理論次數(shù)均大于5。第七十頁，共八十一頁，2022年，8月28日3、計算2值利用公式計算2值，得：第七十一頁，共八十一頁，2022年，8月28日4、查臨界2值，進行統(tǒng)計推斷由自由度df=(4-1)(3-1)=6，查臨界2值得：20..05（6）=12.9，因為計算所得的2<

20.05（6），P>0.05，不能否定H0，可以認為小白鼠的發(fā)病次數(shù)的構(gòu)成比與飼料種類相互獨立，即用三種不同的飼料飼喂奶牛，各組小白鼠發(fā)病次數(shù)的構(gòu)成比相同。第七十二頁，共八十一頁，2022年，8月28日【例】用同一方法對甲、乙、丙三種試管做滅菌試驗，每種試管又分為完好和破碎兩組，3×2組次數(shù)資料列于下表，試做獨立性檢驗第七十三頁，共八十一頁，2022年，8月28日分組完好數(shù)破碎數(shù)行次數(shù)甲種試管乙種試管丙種試管898（908）914（908）912（908）102（92）86（92）88（92）100010001000列次數(shù)27242763000第七十四頁，共八十一頁，2022年，8月