理論力學(xué)-14.達(dá)朗貝爾原理

本章介紹動力學(xué)的一個重要原理——達(dá)朗伯原理。應(yīng)用這一原理，就將動力學(xué)問題從形式上轉(zhuǎn)化為靜力學(xué)問題，從而依據(jù)關(guān)于平衡的理論來求解。這種解答動力學(xué)問題的方法，因而也稱動靜法。動力學(xué)達(dá)朗伯原理(動靜法)1§10–1質(zhì)點的達(dá)朗伯原理§10–2質(zhì)點系的達(dá)朗伯原理§10–3剛體慣性力系的簡化§10–4定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動反力

靜平衡與動平衡的概念達(dá)朗伯原理的應(yīng)用舉例第十章達(dá)朗伯原理§10-1質(zhì)點的達(dá)朗伯原理人用手推車動力學(xué)力是由于小車具有慣性，力圖保持原來的運動狀態(tài)，對于施力物體(人手)產(chǎn)生的反抗力。稱為小車的慣性力。

定義：質(zhì)點慣性力加速運動的質(zhì)點，對迫使其產(chǎn)生加速運動的物體的慣性反抗的總和。一、慣性力的概念

3動力學(xué)[注]質(zhì)點慣性力不是作用在質(zhì)點上的真實力，它是質(zhì)點對施力體反作用力的合力。4動力學(xué)

非自由質(zhì)點M，質(zhì)量m，受主動力，約束反力，合力質(zhì)點的達(dá)朗伯原理二、質(zhì)點的達(dá)朗伯原理5動力學(xué)該方程對動力學(xué)問題來說只是形式上的平衡，并沒有變更動力學(xué)問題的實質(zhì)。接受動靜法解決動力學(xué)問題的最大優(yōu)點，可以利用靜力學(xué)供應(yīng)的解題方法，給動力學(xué)問題一種統(tǒng)一的解題格式。6動力學(xué)

例1列車在水平軌道上行駛，車廂內(nèi)懸掛一單擺，當(dāng)車廂向右作勻加速運動時，單擺左偏角度，相對于車廂靜止。求車廂的加速度。7動力學(xué)選單擺的擺錘為探討對象虛加慣性力

角隨著加速度的變化而變化，當(dāng)不變時，角也不變。只要測出

角，就能知道列車的加速度。擺式加速計的原理。解：由動靜法,有解得8例2質(zhì)量為m的物塊A，沿半徑為R的光滑圓形軌道從最高點無初速滑下，求在圖示位置軌道對物塊A的約束力。解：視物塊A為質(zhì)點，受力分析，運動分析。

切向慣性力法向慣性力將慣性力假想地加在質(zhì)點上

列靜力學(xué)平衡方程動力學(xué)§10-2質(zhì)點系的達(dá)朗伯原理

對整個質(zhì)點系，主動力系、約束反力系、慣性力系形式上構(gòu)成平衡力系。這就是質(zhì)點系的達(dá)朗伯原理?？捎梅匠瘫硎緸椋?/p>

設(shè)有一質(zhì)點系由n個質(zhì)點組成，對每一個質(zhì)點，有注意到 ,將質(zhì)點系受力按內(nèi)力、外力劃分,則11動力學(xué)

表明：對整個質(zhì)點系來說，動靜法給出的平衡方程，只是質(zhì)點系的慣性力系與其外力的平衡，而與內(nèi)力無關(guān)。質(zhì)點系慣性力系的主矢量和主矩分別為：12動力學(xué)對平面隨意力系：對于空間隨意力系：實際應(yīng)用時,同靜力學(xué)一樣隨意選取探討對象,列平衡方程求解。用動靜法求解動力學(xué)問題時，13例2已知重物A，重物B的重量，定滑輪C重量，細(xì)繩繞過定滑輪與重物A、B相連。不計，斜面傾角為各處摩擦不計，求重物A下降的加速度及軸O的約束力。解：重物A、重物B作加速運動，慣性力由靜力學(xué)平衡方程

動力學(xué)

§10-3剛體慣性力系的簡化

簡化方法就是采用靜力學(xué)中的力系簡化的理論。將虛擬的慣性力系視作力系向任一點O簡化而得到一個慣性力和一個慣性力偶。

無論剛體作什么運動，慣性力系主矢都等于剛體質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積，方向與質(zhì)心加速度方向相反。15動力學(xué)一、剛體作平動向質(zhì)心C簡化：剛體平動時慣性力系合成為一過質(zhì)心的合慣性力。翻頁請看動畫16動力學(xué)17動力學(xué)空間慣性力系—>平面慣性力系（質(zhì)量對稱面）O為轉(zhuǎn)軸z與質(zhì)量對稱平面的交點，向O點簡化：主矢：主矩：二、定軸轉(zhuǎn)動剛體先探討具有垂直于轉(zhuǎn)軸的質(zhì)量對稱平面的簡潔狀況。O直線i:平動，過Mi點，18動力學(xué)向O點簡化：向質(zhì)點C點簡化：作用在C點作用在O點19動力學(xué)探討：①剛體作勻速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)軸不通過質(zhì)點C。20動力學(xué)探討：②轉(zhuǎn)軸過質(zhì)點C，但0，慣性力偶（與反向）21動力學(xué)探討：③剛體作勻速轉(zhuǎn)動，且轉(zhuǎn)軸過質(zhì)心，則（主矢、主矩均為零）22動力學(xué)

假設(shè)剛體具有質(zhì)量對稱平面，并且平行于該平面作平面運動。此時，剛體的慣性力系可先簡化為對稱平面內(nèi)的平面力系。剛體平面運動可分解為隨基點（質(zhì)點C）的平動：繞通過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動：三、剛體作平面運動 作用于質(zhì)心23動力學(xué)24動力學(xué)

對于平面運動剛體：由動靜法可列出如下三個方程：實質(zhì)上：質(zhì)點系達(dá)朗伯原理的平衡方程事實上是動量定理和以固定點為矩心的動量矩定理的另一形式。對于具有質(zhì)量對稱平面的剛體，且剛體在平行于質(zhì)量對稱面的平面上運動的狀況，達(dá)朗伯原理的平衡方程事實上是剛體平面運動微分方程的另一形式。25動力學(xué)依據(jù)達(dá)朗伯原理，以靜力學(xué)平衡方程的形式來建立動力學(xué)方程的方法，稱為動靜法。應(yīng)用動靜法既可求運動，例如加速度、角加速度；也可以求力，并且多用于已知運動，求質(zhì)點系運動時的動約束反力。應(yīng)用動靜法可以利用靜力學(xué)建立平衡方程的一切形式上的便利。例如，矩心可以隨意選取，二矩式，三矩式等等。因此當(dāng)問題中有多個約束反力時，應(yīng)用動靜法求解它們時就便利得多。§10-3

達(dá)朗伯原理的應(yīng)用26動力學(xué)①選取探討對象。原則與靜力學(xué)相同。②受力分析。畫出全部主動力和外約束反力。③運動分析。主要是剛體質(zhì)心加速度，剛體角加速度，標(biāo)出方向。應(yīng)用動靜法求動力學(xué)問題的步驟及要點：④虛加慣性力。在受力圖上畫上慣性力和慣性力偶，確定要在正確進(jìn)行運動分析的基礎(chǔ)上。熟記剛體慣性力系的簡化結(jié)果。27動力學(xué)

⑤列動靜方程。選取適當(dāng)?shù)木匦暮屯队拜S。

⑥建立補充方程。運動學(xué)補充方程（運動量之間的關(guān)系）。

⑦求解求知量。

[注]的方向及轉(zhuǎn)向已在受力圖中標(biāo)出，建立方程時，只需按 代入即可。28動力學(xué)[例1]均質(zhì)桿長l,質(zhì)量m,與水平面鉸接,桿由與平面成0角位置靜止落下。求起先落下時桿AB的角加速度及支座A的約束力。選桿AB為探討對象虛加慣性力系：解：依據(jù)動靜法，有29動力學(xué)30動力學(xué)用動量矩定理+質(zhì)心運動定理再求解此題：解：選AB為探討對象由得：由質(zhì)心運動定理：31動力學(xué)

[例2]牽引車的主動輪質(zhì)量為m，半徑為R，沿水平直線軌道滾動，設(shè)車輪所受的主動力可簡化為作用于質(zhì)心的兩個力及驅(qū)動力偶矩M，車輪對于通過質(zhì)心C并垂直于輪盤的軸的回轉(zhuǎn)半徑為，輪與軌道間摩擦系數(shù)為f,試求在車輪滾動而不滑動的條件下，驅(qū)動力偶矩M之最大值。取輪為探討對象虛加慣性力系：解：由動靜法，得：OO32動力學(xué)由(1)得由(2)得N=P+S，要保證車輪不滑動，必需F<fN=f(P+S)(5)

可見，f越大越不易滑動。

Mmax的值為上式右端的值。把(5)代入(4)得：O33動力學(xué)

[例3]質(zhì)量為m1和m2的兩重物，分別掛在兩條繩子上，繩又分別繞在半徑為r1和r2并裝在同一軸的兩鼓輪上，已知兩鼓輪對于轉(zhuǎn)軸O的轉(zhuǎn)動慣量為I，系統(tǒng)在重力作用下發(fā)生運動，求鼓輪的角加速度。取系統(tǒng)為探討對象解：方法1用達(dá)朗伯原理求解34動力學(xué)虛加慣性力和慣性力偶：由動靜法：列補充方程： 代入上式得：35動力學(xué)方法2用動量矩定理求解依據(jù)動量矩定理：取系統(tǒng)為探討對象36動力學(xué)取系統(tǒng)為探討對象，任一瞬時系統(tǒng)的兩邊除以dt，并求導(dǎo)數(shù)，得方法3用動能定理求解37

例4機(jī)構(gòu)在水平面內(nèi)運動，輪A半徑為r，曲柄OA長為3r。輪A與曲柄OA都是均質(zhì)的，質(zhì)量同為m。輪A在圓形輪道上作純滾動。機(jī)構(gòu)由靜止開始運動。求該瞬時輪A與軌道間的摩擦力，輪A的角加速度。

解：1、取曲柄OA為探討對象桿質(zhì)心的加速度為桿OA的慣性力為

桿OA的慣性力偶為

列平衡方程

2、取輪為探討對象。輪作平面運動，由靜止起先運動輪心A的加速度

輪的角速度

輪的慣性力輪的慣性力偶

列平衡方程求解未知量

動力學(xué)§10-4定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動反力

靜平衡與動平衡的概念

一、剛體的軸承動反力剛體的角速度，角加速度（逆時針）主動力系向O點簡化:主矢,主矩慣性力系向O點簡化:主矢,主矩41動力學(xué)42動力學(xué)依據(jù)動靜法：其中有五個式子與約束反力有關(guān)。設(shè)AB=l,OA=l1,OB=l2可得43動力學(xué)由兩部分組成，一部分由主動力引起的，不能消退，稱為靜反力；一部分是由于慣性力系的不平衡引起的，稱為附加動反力，它可以通過調(diào)整加以消退。使附加動反力為零，須有靜反力附加動反力動反力44動力學(xué)當(dāng)剛體轉(zhuǎn)軸為中心慣性主軸時，軸承的附加動反力為零。對z軸慣性積為零，z軸為剛體在O點的慣性主軸；過質(zhì)心45動力學(xué)

靜平衡：剛體轉(zhuǎn)軸過質(zhì)心，則剛體在僅受重力而不受其它主動力時，不論位置如何，總能平衡。

動平衡：轉(zhuǎn)動為中心慣性主軸時，轉(zhuǎn)動時不產(chǎn)生附加動反力。二、靜平衡與動平衡的概念46動力學(xué)[例1]質(zhì)量不計的剛軸以角速度勻速轉(zhuǎn)動，其上固結(jié)著兩個質(zhì)量均為m的小球A和B。指出在圖示各種狀況下，哪些是靜平衡的？哪些是動平衡的？靜平衡：(b)、(d)動平衡：(a)47動力學(xué)動平衡的剛體，確定是靜平衡的；反過來，靜平衡的剛體，不確定是動平衡的。[例2]兩個相同的定滑輪如下圖示，開始時都處于靜止，問哪個角速度大？(a)繩子上加力G(b)繩子上掛一重G的物體OO48課堂練習(xí)動力學(xué)1.物體系統(tǒng)由質(zhì)量均為m的兩物塊A和B組成，放在光滑水平面上，物體A上作用一水平力F，試用動靜法說明A物體對B物體作用力大小是否等于F？思索題：解：50動力學(xué)解：2.質(zhì)量為M的三棱柱體A以加速度向右移動，質(zhì)量為m的滑塊B以加速度相對三棱柱體的斜面滑動，試問滑塊B的慣性力的大小和方向如何？51動力學(xué)

3.勻質(zhì)輪重為P，半徑為r，在水平面上作純滾動。某瞬時角速度，角加速度為，求輪對質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動慣量，輪的動量、動能，對質(zhì)心的動量矩，向質(zhì)心簡化的慣性力系主矢與主矩。解：52動力學(xué)4.在圖示機(jī)構(gòu)中，沿斜面對上作純滾動的圓柱體和鼓輪O均為均質(zhì)物體，各重為P和Q，半徑均為R，繩子不行伸長，其質(zhì)量不計，斜面傾角，如在鼓輪上作用一常力偶矩M，試求：(1)鼓輪的角加速度？(2)繩子的拉力？(3)軸承O處的支反力？(4)圓柱體與斜面間的摩擦力（不計滾動摩擦）？53動力學(xué)解：方法1用達(dá)朗伯原理求解取輪O為探討對象，虛加慣性力偶列出動靜方程：取輪A為研究對象，虛加慣性力和慣性力偶MQC如圖示。54動力學(xué)列出動靜方程：運動學(xué)關(guān)系：，將MQ，RQ，MQA及運動學(xué)關(guān)系代入到(1)和(4)式并聯(lián)立求解得：55動力學(xué)代入(2)、(3)、(5)式，得：56動力學(xué)方法2用動力學(xué)普遍定理求解(1)用動能定理求鼓輪角加速度。取系統(tǒng)為探討對象兩邊對t求導(dǎo)數(shù)：57動力學(xué)(2)用動量矩定理求繩子拉力（定軸轉(zhuǎn)動微分方程）取輪O為探討對象，由動量矩定理得(3)用質(zhì)心運動定理求解軸承O處支反力取輪O為探討對象，依據(jù)質(zhì)心運動定理：58動力學(xué)(4)用剛體平面運動微分方程求摩擦力取圓柱體A為探討對象，