線性控制系統(tǒng)的運動分析

線性控制系統(tǒng)的運動分析2023/2/261第一頁，共四十一頁，2022年，8月28日[預備知識]：線性定常系統(tǒng)的運動1、自由運動：線性定常系統(tǒng)在沒有控制作用，即u＝0時，由初始狀態(tài)引起的運動稱自由運動。齊次狀態(tài)方程的解：2、強迫運動：線性定常系統(tǒng)在控制u作用下的運動，稱為強迫運動。非齊次狀態(tài)方程的解：2023/2/262第二頁，共四十一頁，2022年，8月28日第一節(jié)線性定常齊次狀態(tài)方程的解2023/2/263第三頁，共四十一頁，2022年，8月28日滿足初始狀態(tài)的解是：一、直接求解：1、標量齊次微分方程：滿足初始狀態(tài)的解是：滿足初始狀態(tài)的解是：2、齊次狀態(tài)方程其中：定義為矩陣指數(shù)函數(shù)，和A一樣也是n×n階方陣[線性定常齊次狀態(tài)方程的求解方法]：直接求解，拉氏變化求解2023/2/264第四頁，共四十一頁，2022年，8月28日求解過程：仿標量方程求解將式(4)代入式(1)，即可得到通解為：（5）式(3)左右兩邊t的同次冪的系數(shù)兩兩相等得：（4）(1)(2)代入狀態(tài)方程得：（3）設齊次狀態(tài)方程的解為當時，由上式可得此處（1）式(1)左右求導得：（2）－－標量齊次狀態(tài)方程2023/2/265第五頁，共四十一頁，2022年，8月28日二、拉氏變換求解：兩邊取拉氏變換得：整理得：齊次狀態(tài)方程：初始狀態(tài)為：與直接求解的結果(5)比較，由解的唯一性得：仿標量系統(tǒng)得：拉氏反變換得：－－－（6）[本節(jié)小結]：2023/2/266第六頁，共四十一頁，2022年，8月28日第二節(jié)矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和計算方法2023/2/267第七頁，共四十一頁，2022年，8月28日一、矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：2、[證明]：矩陣指數(shù)函數(shù)定義中，令t＝0即可得證3、總是非奇異的，必有逆存在，且：[證明]：1、設A為n×n階矩陣，t1為t2兩個獨立自變量，則有：[證明]：根據(jù)定義證明2023/2/268第八頁，共四十一頁，2022年，8月28日5、對

有：4、對于n×n階方陣A和B：如果A和B可交換，即A×B=B×A，則如果A和B不可交換，即A×BB×A，則6、如果P是非奇異陣，即存在，則必有：[證明]：根據(jù)定義證和[注意]：[用途]：此性質(zhì)經(jīng)常用于計算2023/2/269第九頁，共四十一頁，2022年，8月28日7、如果A是n×n階對角陣，則也是n×n階對角陣：則有：如果：[證明]：根據(jù)定義證2023/2/2610第十頁，共四十一頁，2022年，8月28日8、如果是m×m階的約當塊：則有：證明：略。根據(jù)定義證。2023/2/2611第十一頁，共四十一頁，2022年，8月28日其中是約當塊其中是對應約當塊的矩陣指數(shù)函數(shù)。9、當A是約當矩陣時：則有：[例如]：2023/2/2612第十二頁，共四十一頁，2022年，8月28日二、矩陣指數(shù)函數(shù)的計算：直接求解法：根據(jù)定義拉氏變換求解：標準型法求解：對角線標準型和約當標準型－非奇異變換待定系數(shù)法：凱萊－哈密頓（簡稱C-H）定理求出的解不是解析形式，適合于計算機求解。1、根據(jù)矩陣指數(shù)函數(shù)的定義求解：對所有有限的t值來說，這個無窮級數(shù)都是收斂的2023/2/2613第十三頁，共四十一頁，2022年，8月28日2、用拉氏變換法求解：關鍵是必須首先求出（sI-A）的逆，再進行拉氏反變換。3、標準型法求解：思路：根據(jù)矩陣指數(shù)函數(shù)性質(zhì)6：對A進行非奇異線性變換，得到：聯(lián)立上兩式，得到：有二種標準形式：對角線矩陣、約當矩陣2023/2/2614第十四頁，共四十一頁，2022年，8月28日其中：P為使A化為對角線標準型的非奇異變換矩陣。（1）當A的特征值為兩兩相異時：對角線標準型對角線標準型法求矩陣指數(shù)函數(shù)的步驟：1）先求得A陣的特征值。2）求對應于的特征向量，并得到P陣及P的逆陣。3）代入上式即可得到矩陣指數(shù)函數(shù)的值。2023/2/2615第十五頁，共四十一頁，2022年，8月28日（2）當A具有n重特征根：約當標準型

其中：Q為使A化為約當標準型的非奇異變換矩陣。約當標準型法求矩陣指數(shù)函數(shù)的步驟：此時的步驟和對角線標準型情況相同：求特征值、特征向量和變換陣Q。說明：對于所有重特征值，構造約當塊，并和非重特征值一起構成約當矩陣。根據(jù)矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)8和9，求得。2023/2/2616第十六頁，共四十一頁，2022年，8月28日4、待定系數(shù)法：將化為A的有限項多項式來求解：說明：在證明有關矩陣方程的定理或解決有關矩陣方程的問題時，凱萊-哈密爾頓定理是非常有用的。設n×n維矩陣A的特征方程為：（1）凱萊－哈密頓（以下簡稱C-H）定理：則矩陣A滿足其自身的特征方程，即：2023/2/2617第十七頁，共四十一頁，2022年，8月28日由定理知：A所有高于(n-1)次冪都可由A的0～(n-1)次冪線性表出。并令即可得到如下的結論：即：將此式代入的定義中：其中：

為t的標量函數(shù)，可按A的特征值確定。（2）將化為A的有限項多項式來求解根據(jù)C-H定理，可將化為A的有限項表達式，即封閉形式：2023/2/2618第十八頁，共四十一頁，2022年，8月28日1）A的特征值兩兩相異時，注意求逆推導：利用了A可化為對角陣的矩陣指數(shù)函數(shù)求法。注意：推導時可看到：2023/2/2619第十九頁，共四十一頁，2022年，8月28日注意求逆2）A的特征值為(n重根）推導：此時只有一個方程：缺少n-1個獨立方程，對上式求導n-1次，得到其余n-1個方程說明：不管特征值互異、還是具有重根，只需要記住式(3)。特征值互異時，對于每個特征值，直接得到方程(3)；特征值為n重根時，則式(3)針對求導n-1次，補充缺少的n-1個方程。聯(lián)立求出系數(shù)。2023/2/2620第二十頁，共四十一頁，2022年，8月28日[例]：求以下矩陣A的矩陣指數(shù)函數(shù)[解]：1）用第一種方法－定義求解：(略）2）用第二種方法－拉氏變換法求解：2023/2/2621第二十一頁，共四十一頁，2022年，8月28日3）用第三種方法－標準型法求解：得：，具有互異特征根，用對角線標準型法。且A為友矩陣形式。先求特征值：2023/2/2622第二十二頁，共四十一頁，2022年，8月28日2023/2/2623第二十三頁，共四十一頁，2022年，8月28日4）用第四種方法－待定系數(shù)法求解.在第3種方法中已經(jīng)求得特征根，所以得：求得矩陣指數(shù)函數(shù)如下：2023/2/2624第二十四頁，共四十一頁，2022年，8月28日或者：由和

得到：從而求出系數(shù)2023/2/2625第二十五頁，共四十一頁，2022年，8月28日[例]：求以下矩陣A的矩陣指數(shù)函數(shù)分析：用C－H定理求解先求特征值：求得：當時，有當（二重根）時，有上式對求導1次，得到另一個方程：2023/2/2626第二十六頁，共四十一頁，2022年，8月28日得到方程組：寫成矩陣形式為：整理得：2023/2/2627第二十七頁，共四十一頁，2022年，8月28日可以求出：所以：可以求出矩陣指數(shù)函數(shù)。[本節(jié)小結]：矩陣指數(shù)函數(shù)的9個性質(zhì)，4種計算方法2023/2/2628第二十八頁，共四十一頁，2022年，8月28日第三節(jié)狀態(tài)轉移矩陣2023/2/2629第二十九頁，共四十一頁，2022年，8月28日一、線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣線性定常系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程：滿足初始狀態(tài)的解是：滿足初始狀態(tài)的解是：已知：線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣令：則有：2023/2/2630第三十頁，共四十一頁，2022年，8月28日說明1：狀態(tài)轉移矩陣須滿足以下條件，否則不是狀態(tài)轉移矩陣1）狀態(tài)轉移矩陣初始條件：2）狀態(tài)轉移矩陣滿足狀態(tài)方程本身：說明2：線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣就是矩陣指數(shù)函數(shù)本身說明3：狀態(tài)轉移矩陣的物理意義：從時間角度看，狀態(tài)轉移矩陣使狀態(tài)向量隨著時間的推移不斷地作坐標變換，不斷地在狀態(tài)空間中作轉移，故稱為狀態(tài)轉移矩陣2023/2/2631第三十一頁，共四十一頁，2022年，8月28日二、狀態(tài)轉移矩陣的性質(zhì)1、對于線性定常系統(tǒng)：說明：此性質(zhì)的含義是，從t0到t0的轉移，相當于不轉移，轉移后的狀態(tài)轉移矩陣仍是它自己。不變性2、對于線性定常系統(tǒng)：3、對于線性定常系統(tǒng)：傳遞性說明：此性質(zhì)表明，從t0到t2的轉移可以分為兩步：先從t0轉移到t1，再從t1轉移到t2。2023/2/2632第三十二頁，共四十一頁，2022年，8月28日4、對于線性定常系統(tǒng)：可逆性說明：此性質(zhì)表明，狀態(tài)轉移過程在時間上可以逆轉。說明：由性質(zhì)1、3證明5、對于線性定常系統(tǒng)：分解性說明：由去證明。6、對于線性定常系統(tǒng)：2023/2/2633第三十三頁，共四十一頁，2022年，8月28日三、與狀態(tài)轉移矩陣相關的問題1、已知齊次狀態(tài)方程的解，求狀態(tài)轉移矩陣：方法是利用直接求解。2、利用矩陣指數(shù)函數(shù)的求解方法求狀態(tài)轉移矩陣。由可得3、已知狀態(tài)轉移矩陣，求系統(tǒng)矩陣A陣說明：利用狀態(tài)轉移矩陣性質(zhì)2求4、已知某時刻系統(tǒng)狀態(tài)，求其它時刻的狀態(tài)。[本節(jié)小結]：2023/2/2634第三十四頁，共四十一頁，2022年，8月28日[例]已知某二階系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程為：，其解為：試求狀態(tài)轉移矩陣。[解]：設，則：則有：所以：2023/2/2635第三十五頁，共四十一頁，2022年，8月28日第四節(jié)線性定常非齊次狀態(tài)方程的解2023/2/2636第三十六頁，共四十一頁，2022年，8月28日若線性定常系統(tǒng)的非奇次狀態(tài)方程的解存在，則解形式如下：一、直接求解法初始狀態(tài)引起的響應，零輸入響應輸入引起的響應,零狀態(tài)響應說明：與線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解不同，齊次狀態(tài)方程的解僅由初始狀態(tài)引起的響應組成。2023/2/2637第三十七頁，共四十一頁，2022年，8月28日[證]：1）先把狀態(tài)方程寫成3）對上式在區(qū)間內(nèi)進行積分，得:直接求解法的關鍵：求狀態(tài)轉移矩陣或矩陣指數(shù)函數(shù)2）兩邊左乘，再利用的性質(zhì)2023/2/2638第三十八頁，共四十一頁，2022年，8月28日對非齊次狀態(tài)方程兩邊進行