2004考研數(shù)三真題及解析

年入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試一、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上若limsinx(cosxb)5，則a ，b x0exf(uvf[xgyyxgy確定，其中函數(shù)g(y)可微，且g(y02 uxex2,1xf(x

,x2

2，則1222

(x

二次型f(x1,x2,x3)(x1x2)2(xx3)2(xx)2的秩 設(shè) 量X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布,則P{X ,,12和Y1Y2YnX和Y的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,12 (XiX

2(YY) n 2E n 2 二、選擇題：本題共8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有f(x|x|sin(xx(x1)(x

在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)有界 (A)(1, (B)(0, (C)(1, (D)(2, 設(shè)f(x)在(,)內(nèi)有定義，且limf(x)a，g(x)f(x),x0，則 x0g(x)的第一類間斷點(diǎn)

,xx0g(x)的第二類間斷點(diǎn)g(xx0a的取值有關(guān)設(shè)f(x)x(1x),則

x0f(x的極值點(diǎn),但(00)yx0f(x的極值點(diǎn),但(00)y

f(x的拐點(diǎn)f(x的拐點(diǎn)x0f(x的極值點(diǎn),且(00)yf(x的拐點(diǎn)x0f(x的極值點(diǎn),(00)yf(x的拐點(diǎn)設(shè)有下列命題 ①若(u2n1u2n收斂，則un收斂

②若un收斂，則 收斂

n

1，則un發(fā)散 ④若(unvn收斂，則unvn都收斂 則以下命題中正確的是 設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，且f(a)0,f(b)0，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是 x0(abf(x0f(a至少存在一點(diǎn)x0(a,b)，使得f(x0) f(b)設(shè)n階矩陣A與B等價(jià),則必有 當(dāng)|A|a(a0)時(shí),|B|a (B)當(dāng)|A|a(a0)時(shí),|B|a(C)當(dāng)|A|0時(shí),|B|0 (D)當(dāng)|A|0時(shí),|B|0,不相等的解，則對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組Ax0的基礎(chǔ)解系 不存在 (B)僅含一個(gè)非零解向量(C)含有兩個(gè)線性無關(guān)的解向量 (D)含有三個(gè)線性無關(guān)的解向量若P{|X|x}α,則x等于

uα}αuα 2

uα 2

u1α 2

u1α三、解152394分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.求lim cos2 )x0sin 求D

y)dDx2y24(x1)2y21所圍成的平面區(qū)域(如圖f(xg(x)在[ab] af(t)dtag(t)dt，x[a,b)，af(t)dtag(t)dt (x)dxbg(x)dx 設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q1005P，其中價(jià)格P(0,20)Q為需求量降低價(jià)格反而使收益增加x42

x 24

246

(

x.(I)S(x)所滿足的一階微分方程 S(x)的表達(dá)式(20)(本題滿13分設(shè)α11,2,0)T,α21,α2,3α)T,α31,b2α2b)T,β1,3,3)T試討論當(dāng)ab為何值時(shí)βα1α2α3線性表示β可由α1α2α3唯一地線性表示,并求出表示式β可由α1α2α3線性表示,但表示式不唯一,并求出表示式n階矩陣A

b b 求A的特征值和特征向量 (Ⅱ)求可逆矩陣P,使得P1AP為對(duì)角矩陣 ,且P(A)14

P(B|A)13

P(A|B)

,2XX

A發(fā)生

Y B發(fā)生0，A不發(fā)生求二維隨量(X,Y)的概率分布

0，B不發(fā)生X與Y的相關(guān)系數(shù)ρXYZX2Y2的概率分布

x x.當(dāng)α1時(shí),β的矩估計(jì)量當(dāng)α1時(shí),β的最大似然估計(jì)量β2時(shí),求未知參數(shù)α的最大似然估計(jì)量 入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題解一、填空題【答案】a1b【詳解】本題屬于已知極限求參數(shù)的反問題1：limf(x＝A，(1)g(x0f(x0；(2)f(x0gA0g(x因?yàn)閘imsinx0ex

(cosxb) ，且limsinx(cosxb

，所以由lim(exalimexlima1a0a= 極限化limsinx(cosxbx0ex因此，a1，b=

(cosxb1b5bx0方法2：由極限與無窮小的關(guān)系，有sinex

(cosxb)5lim0xex(5)(cosxb)sinxa 5 上式兩端求極限，a

(5)(ex

把a(bǔ)=1代入，再求b，bcosx ，兩端同時(shí)對(duì)x0取極限，sinblim(cosxx

(5)(ex)sinlimcosx lim(5limcosx x因此，a1，b=

sin 【答案 g2【詳解】應(yīng)先寫出f(u,v)的表達(dá)式，再求偏導(dǎo)令uxg(y)，vy，從而：x ，于是由f[xg(y),y]xg(y)g 推 f(u,v)=ug(v)所 f

1，2

u

v

vg

g2 【答案2【詳解 所 1f(x1)dx1f(t)dt＝21f(t)dt 1 x

1(1)dx

12ex2dx2(11)1ex2

1 . 1xe

222

(也可直接推出

x

0，因?yàn)?/p>

x 積分區(qū)間對(duì)稱，被積函數(shù)是關(guān)于x是1e

1e函數(shù)，則積分值為零2：先寫出f(x1表達(dá)x1ex12,1x1 (x1)e(x1)2,1xf(x1) 2即：f(x1)

x12

x2 所 1f(x1)dx2(x1)e(x1)dx

32123e(x1)2d(x1)2231e(x1)22311(e41e41)10112 2 【 案 【詳解1：因?yàn)閒(x1,x3)(x1x2)2(x2x3)2(x3x12x22x22x22xx2xx2x 1 1 2 由二次型f(x1,x2,,xn) aijxixj中，aijaji，所以二次型對(duì)應(yīng)的矩陣i1ji行,j列xi與xj乘積項(xiàng)系數(shù)的一半，其中i 于是題中二次型的矩陣為A

1,2 2 11 11A

1

112 –03 00 rA2,2：f(x1x2x3x1x22xx32xx 2x22x22x22xx2xx2x 1 1 2

12

1

)23

)22y23y2 2 其中y1x12x22x3 y2x2x32x22x22x22xx2xx2x 1 1 2對(duì)x配方2(x2xxxx2x22x22x 1 1 22(x1x1x)21x21x2xx2x22x22x 2 2 2 2 2 22(x1x1x)23x23x23x 2 2 2 2 2

12

12

23)2 (xx3 二次型的秩rf)=矩陣的秩r(A)=正負(fù)慣性指數(shù)之和pq，所以此二次型的秩為1e【詳解】本題應(yīng)記住常見指數(shù)分布等的期望與方差的數(shù)字特征，而不應(yīng)在考試時(shí)再去推算.指數(shù)分布的概率密度為 若x f(x) 若x

2b于是，由一維概率計(jì) ，PaXbb

af

(x)dx，P{X DX}=P{X1}exdx= 11 11【答案】2【詳解】根 E(XY)E(X)E(Y)和樣本方差是總體方差的無偏估計(jì)量1121 1n n (XiX)]D(X)， (YiY)]D(Y)n ni i所以有E[(

X)2]n12

(YiY)2]ni i對(duì)于題給式子將分子分離出來即可出現(xiàn)上式，也就不難求出結(jié)果nii

X

Y)2 12112E E[(XX)2]E[(YY)2 nn nn j σ22nn 二、選擇題【答案】【詳解(ab)內(nèi)有界x012f(x

f(x與

f(xf(xlimf(x) xsin(x2

sin(1 sin3 x1x(x1)(x (11)(1 limf(x) xsin(x2)sin(02)sin2 x0x(x1)(x (01)(0 limf(x) xsin(x sin(0 sin2 x0x(x1)(x (01)(0 limf(x) xsin(x sin(1 x1x(x1)(x x1(x1)(1limf(x) xsin(x limsin(x2) x2x(x1)(x x2(x x2x方法2：因?yàn)?/p>

f(x)存在，根據(jù)函數(shù)極限的局部有界性，所以存在0，在區(qū)間[,f(xf(x)在閉區(qū)間[ab]f(x)在閉區(qū)間[ab]f(x在[1f(xf(x在區(qū)間(1,0)上1【詳解】考查極限limg(x)是否存在，如果存在，是否等于g(0)，通過換元u limg(xlimf(x limf()因 limg(x) 1limf(u)=a，又glimf() xa0limg(xg(0)g(xx0a0limg(xg(0)x0g(x的第一類間斷點(diǎn)，因此，g(xx0處的連續(xù)性與a的取值有關(guān)，故選【答案】【詳解】由于是選擇題，可以用圖形法解決，也可用分析法討論 1 方法1：由于是選擇題，可以用圖形法解決,令(x)x(x1)，則(x)x 2 x1為對(duì)稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)為11x 交的兩點(diǎn)坐標(biāo)為0010yf(x)(x)的圖形如圖x0是極小值點(diǎn)；又在點(diǎn)(00)左側(cè)鄰近曲線是凹的，右側(cè)鄰近曲線是凸的，所以點(diǎn)(0,0)是拐點(diǎn)，選C.方法2：寫出yf(x)的分段表達(dá)式：f(x)x(1 1x0x(1 0x12x,1x從而fx)

f(x) 1x012x 0x

2 0x

f(xlim12x10，所以0x1f(xf(xlim12x10，所以1x0f(x當(dāng)1x0時(shí) f(x)20，f(x)為凹函數(shù) 當(dāng)1x0時(shí)f(x20f(x為凸函數(shù),于是(00)為拐點(diǎn)【答案】【詳解】可以通過舉反例及級(jí)數(shù)的性質(zhì)來說明4個(gè)命題的正確性n①是錯(cuò)誤的，如令u1)nlimnn

0，所以

(u2n1u2n)1111收斂 ②是正確的，因?yàn)榧?jí)數(shù) 比級(jí)數(shù)un少了前1000項(xiàng)，改變、增加或減少 數(shù)的有限項(xiàng)，不改變級(jí)數(shù)的斂散性，所以這兩個(gè)級(jí)數(shù)同斂散 u limn11，從而有l(wèi)imn1，于是正項(xiàng)級(jí)數(shù)unn n 充分大之后，通項(xiàng)嚴(yán)格單調(diào)增加，故 u發(fā)散 ④是錯(cuò)誤的，如令un ,vn ，顯然，un，vn都發(fā) 1 1而(unvn) 收斂.故選 n n【答案】【詳解】利用介值定理與極限的保號(hào)性可得到三個(gè)正確的選項(xiàng)，或應(yīng)用舉例法找出錯(cuò)誤選項(xiàng).方法1舉例說明(D)是錯(cuò)誤的.f(x)4x21x1f(1)2xx120f(12xx120.但在[1,1]f(x30方法2：證明(A)、(B)、(C)正確f(x在[abf(a0,f(b0，則由介值定理，至少存在x0(a,b)，使得f(x00，所以選項(xiàng)(C)正確；另外，由導(dǎo)數(shù)的定義f(a)

f(xf(a)0，根據(jù)極限的保號(hào)性，至少x在一點(diǎn)x0a,bf(x0f(a)0f(x0x0

f(a)，所以選項(xiàng)(A)正確同理，f(b

f(b)fb

0根據(jù)極限的保存在一點(diǎn)

f(x0)f(b.所以選項(xiàng)(B)正確，故選【答案】(D【詳解1：AB等價(jià)AB是同型矩陣且有相同的秩,故AB等價(jià)，知AB有相同的秩.因此，當(dāng)|A|0時(shí),r(A)n,則有r(B)n 即|B|0,故選2：AB等價(jià)PQPAQB.PAQPAQB.PQ AA0P0Q0，但不知具體數(shù)值.PAQBA0B不能確定.A0B0.故應(yīng)選方 3：由經(jīng)過若干次初等變換變?yōu)榫仃嚨某醯茸儞Q對(duì)矩陣的行列式的影響有A中某兩行(列)BBAA中某行(列)乘k(k0)BBkAABBA又由A與B等價(jià)，由矩陣等價(jià)的定義：矩陣A經(jīng)有限次初等變換變BABBkAA0BkA00列式值的非零性，即若|A|0

B0A0

B0.故應(yīng)選【答案】【詳解】由定理：若x1x2Axbx1x2是對(duì)應(yīng)齊次方Ax0的解，12，得120Ax0的解.由齊次線性方程組有非零解的充要條件，知r(A)n零，由秩Ar的充要條件是A的非零子式的最高階為rr(A)n1,再由上面的rAn，得r(A)n1，故基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)為n(n1)1，故選(B).【答案】【詳解】利用正態(tài)分布概率密度函數(shù)圖形的對(duì)稱性，對(duì)任何x0PXxPXx1P2

x 或直接利用圖形求解方法1：由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率密度函數(shù)的對(duì)稱性知，P{Xu}，于11P{ x}P{Xx}P{Xx}P{Xx}2P{X 2：

P{Xx}

12

，可見根據(jù)分位點(diǎn)的定義有xu1，故應(yīng)選2ff

f

PXx2 圖 圖如圖一所示題設(shè)條件.圖二顯示中間陰影部分面積，P{ x}.兩端各余面，所以P{Xu1}，答案應(yīng)選 三、解答題【詳解】求“”型極限的首要步驟是通分，或者同乘、除以某一式以化簡(jiǎn) cos2 x2sin2xcos2 等 x2sin2xcos2 2

)通分 lim 2x0sin xsin sinx x21sin2 x sin x= 洛

x4 1cos 2sin2 2(2x) 洛 6x 【詳解】利用對(duì)稱性與極坐標(biāo)計(jì)算1：D1xy|x2y24},D2{(xy|x1)2y21}，根據(jù)二重積分的極D{(xy|r1rr2，則：fx,ydr2frcos,rD x2y2d化為極坐標(biāo)： {(x,y)|x2y24}{(x,y)| 2,0rx2y2dx2y2d所

r2cos2r2

r2dr

2

3r

所 x2y2 2

r2cos2r2sin2rdr 22

rD所 D

x2y2d

x2y2d

x2y23r33r3 2

233033 2 rdr 22

rdr 38 2 d

21sin2d 3 8 sin32 168 2 16 2 2

3 2

3 3 D關(guān)于x軸對(duì)稱，yd中被積函數(shù)y為y的奇函數(shù)，根據(jù)區(qū)域?qū)ΨQ性與D積函數(shù)的奇偶性：設(shè)fx,y在有界閉區(qū)域D上連Dx軸對(duì)fx,yy為奇函數(shù)，則fx,yd0，所以yd x2所 y)d x2y2dyd16(3x2 x2方法2： y)dx2y2dydx2

x2y2d D

r3 3極坐標(biāo)

2[2

r2dr

r2dr]2[

88

2

816

23

233 2

1 d2 16

sin

2 f.所

F(t)dtft）g（t）dtf(t)dtx x

0，x[a, aG(a)aF(t)dt0a af(t)dtag(t)dt 所 G(b)bF(t)dtbf(t)gtdtbf(t)dtbgt 從 bxF(x)dxG(x)F(x)bxdG(x)分部積分xG(x)bb GaGb0bG(x)dxa 由于G(x0,x[ab，故有aG(x)dx0,即axF(x)dx也即 bxf(x)g(x)dxbxf(x)dxbxg(x)dx 因 xf(x)dxxg(x)dx )Ed

PQ

1005P

20

20RPQdR

dPQ

QP

P

)

)Q(1E Q 20 要說明在什么范圍內(nèi)收益隨價(jià)格降低反而增加，即收益為價(jià)格的減函數(shù)

020P10，此時(shí)收益隨價(jià)格降低反而增加.【詳解】對(duì)S(x)進(jìn)行求導(dǎo)，可得到S(x)所滿足的一階微分方程，解方程可得S(x)表達(dá)式(I)S(x)x42

4

246

，易 S(0)0 S(x)2 24 246 2 24 246

2 24

2

24

)2

S(x因此S(x)滿足下述一階線性微分方程及相應(yīng)的初始條件：S(x)2

S(x)xS(x) ，S(0)2

S(x)

x 為一階線性非齊次微分方程，其對(duì)應(yīng)的線性齊次微分方程為x2S(x)xS(x)0 x dS(xxdxlnS(xxCS(xe2C1 x S x用常數(shù)變易法來求非齊次方程的通解：令S(x)Cxex于是S(xxCxe

Cxex S(xxS(x)

：xCxe2

Cxe2xCxe222x32所以,Cx

e2dxx2x x3x

x

2 2

S(x) e2dxce2 e2d ce2 de2ce x2 x2 分部 e2e2d ce2 e2e2ce2

x xS(00，所以S0

1ce2

0c1,所以S(xe2

12x3x ，方程S(x)xS(x) 的通解2 Sxexdx[2

exdxdxC] 1Ce2x.S(0)0，得C1.故S(xe.

x21(20)詳解】β可否由α1α2α3線性表示的問題可以轉(zhuǎn)化為線性方程組1x12x23x3是否有解的問題 1111a1111ab3a1(A,β)0 a

a 10aa0時(shí),b (A,)

1 0 rArAβ.由非齊次線性方程組有解的充要條件：系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，知方程組(*)無解,β不能由α1α2α3線性表示.a0,ab時(shí), (A,β) 0

b

11rArAβ)3,由非齊次線性方程組有解得充要條件：系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，方程組(*)有解，由定Amn矩陣，方Axb，則，(1)有唯一解rArAn；(2)有無窮多解r(ArAn(3)r(A1r可知方程組(*)有唯一解.由同解階梯形方程求解，得x11

x1

x30 β可由α1α2α3唯一地線性表示,其表示式為β1a)α1aα2a0ab0時(shí),對(duì)矩陣Aβ施以初等行變換, 1

1

1 11 a 12行a01111行2

01

1 a 0 0 0 窮多解r(ArAn，知方程組(*)x11 c xc，其中c 2 β可由α,α,α線性表示,但表示式不唯一 其表示式為β )α(1

c)αcα 【分析】這是具體矩陣的特征值和特征向量的計(jì)算問題,可以直接用|λEA|0求特征值，和(λEA)x0AAB(1b)E，其中Bb[1]nn，則Af(BfB的特征值、特征向量【詳解方法 b0時(shí) 1 b2,,n行 11

[1(n1)b][(1Aλ11n1)bλ2λn1bλ11n1)b(n (n 1 (n1)b (n1) 1 (n (n n n1 n 1 0

n1

n n000 1 1 1 1n n1 nn000

11 1 n

0 n 0 1 1 1 010002,(n01000

0

1 0 因?yàn)榫仃嚨闹葹閞(1EA)(n1)，故方程組(1EA)x0，基礎(chǔ)解系的個(gè)為nr(1EA)n(n1)1，故有一個(gè)自由未知量.x1為自由未知量x11T)T1kξ1k (k為任意不為零的常數(shù)λ2λn1b b b b1行(1)分別 0iEA

b 0 1 1 1 ,i2,, 0 矩陣的秩為r(iEA)1,i2,,n. 解系的個(gè)數(shù)為nr(iE n1，i2,,n.故有n1個(gè)自由未知量.x2,x3,xn為自由未知量,將他們的n1組值(10,0);(01,0);(00,,1ξ21,1,0,,0)Tξ31,0,1,,0)Tξn1,0,0,,1)T．A的屬于λ2的全部特征向量為k2ξ2k3ξ3 (k2,k3,,kn是不全為零的常數(shù)2當(dāng)b0時(shí)λ00λ0000 λ00λ0000 λ b b(1 1 b b(1 方法2：A b b 1001

b(1 b 1 0 11 b (1

1

11 11b1,1,

,1(1b)EbB(1b)E B有特征值，特征向量ff(Bf(，其特 從而有AbT(1 ，有特征nb1b1(n1)b，其對(duì)應(yīng)特征向量仍是1,1, 11 111 11

可知r(B1r(EAnkk為特征值的重0是BTn1 Tx0，即只需滿足xx 0，其基礎(chǔ)解系的個(gè)數(shù) n1n1個(gè)自由未知量x2x3,xn為自由未知量將他們的n1組(10,0);(01,0);(00,1).ξ1,1,0,,0)T2ξ3(1,0,1,,0)T，,ξn(1,0,0,,1)T從而知AbT(1b)En1重特征f(0)b01b)1b.對(duì)

k2ξ2k3ξ3knξn(k2,k3,,P(ξ1ξ2,ξn)，則1(n

1 P1AP

1b2當(dāng)b0AE，對(duì)任意可逆矩P,均有P1APE【分析】本題盡管難度不大，但的知識(shí)點(diǎn)很多，綜合性較強(qiáng).通過隨機(jī)定義隨量或通過隨量定義隨機(jī)，可以比較好地將概率論的知識(shí)前后連貫起來，這種命題方式值得注意。先確定(X,Y 的可能取值，再求在每一個(gè)可能取值點(diǎn)上的概率，而這可利用隨