第四章解線性方程組的迭代法

迭代法和斂散性及其程4.1.2迭代法斂散性的判別及其程用譜半徑判別迭代法產(chǎn)生的迭代序列的斂散性的主程functionH=ddpbj(B)if雅可比（Jacobi）迭代及其程雅可比迭代的收斂性及其程判別雅可比迭代收斂性的主程functiona=jspb(A)[nm]=size(A);forfori=1:nifa(i)>=0一定收斂

if雅可比迭代收斂')例4.2.2用判別雅可比迭代收斂性的

2x3

10x1x22x3（1）

x

（2）x10x2x

x

x

解（1）首先保存名為jspb.m的M文件，然后在工作窗口輸入程>>A=[10-1-2;-110-2;-1-1斂a （2）在工作窗口輸入程>>A=[10-1-2;-110-2;-1-1a-8.0000e+000-8.0000e+000雅可比迭代的兩種程（一）雅可比迭 程

AXb的主程functionX=jacdd(A,b,X0,P,wucha,max1)[nm]=size(A);forfori=1:nifa(i)>=0定收斂

if雅可比迭代收斂')fork=1:max1forX(j)=(b(j)-A(j,[1:j-1,j+1:m])*X0([1:j-X,djwcX=norm(X'-X0,P);xdwcX=djwcX/(norm(X',P)+eps);ififdisp('請(qǐng)注意：雅可比迭代次數(shù)已經(jīng)超過最大迭代次數(shù)max1例4.2.3用范數(shù)和判別雅可比迭代的主程序解例4.2.2中的方解（1）max1=100時(shí)①首先保存名為jacdd.m的M文件，然后在工作窗口輸入程>>A=[10-1-2;-110-2;-1-15];X0=[000]';請(qǐng)注意：雅可比迭代收斂,此方的精確解jX和近似解X如下：a jX X ②在工作窗口輸入程>>A=[10-1-2;-110-2;-1-10.5];b=[7.2;8.3;4.2];0X=jacdd(A,b,X0,inf,請(qǐng)注意：雅可比迭代收斂,此方的精確解jX和近似解X如下：a=jXX

24.500024.600024.073824.1738①在工作窗口輸入程>>A=[10-1-2;-110-2;-1-1b=[7.2;8.3;4.2];X0=[000]';max1a jX X ②在工作窗口輸入程>>A=[10-1-2;-110-2;-1-10.5];X0=[000]';X=jacdd(A,b,X0,inf,max1a jX24.500024.6000X 5.6490度快；如果系數(shù)矩陣A不是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的，則雅可比迭代收斂的速度慢.因此，naakj

(k1,2,n 程利用雅可比迭代定義編寫解線性 （4.5） 程序的一般步步驟1在工作窗口輸入程>>A=[a11a12…a1n;a21a22…a2n;…;an1an2D=diag(A)U=triu(A,1),L=tril(A,-DL，U步驟2在工作窗口輸入程ifdD==0disp('請(qǐng)注意：因?yàn)閷?duì)角矩陣D奇異，所以此方無解.')iD=inv(D);B1=iD*(L+U);f1=iD*b;forX=B1*X0+f1;X0=X;djwcX=norm(X-xdwcX=djwcX/(norm(X,P)+eps);X1=A\b;if(djwcX<wucha)&(xdwcX<wucha)下：

ifdisp('請(qǐng)注意：雅可比迭代次數(shù)已經(jīng)超過最大迭代次數(shù)max14.3-（Gauss-Seidel）迭代及其程 迭代兩 程----

AXb的主程序functionX=gsdddy(A,b,X0,P,wucha,max1)D=diag(diag(A));U=-triu(A,1);L=-tril(A,-1);dD=det(D);ifiD=inv(D-L);B2=iD*U;f2=iD*b;jX=A\b;X=X0;[nm]=size(A);fork=1:max1X1=B2*X+f2;djwcX=norm(X1-X,P);if(djwcX<wucha)|(xdwcX<wucha)if的精確解jX和近似解X如下：')

量X')例4.3.3用-迭代定義的主程序解下列線性 (x(0x(0x(0))(0,0,0)

x(k1)x(k

10xx

3x14x25x37x4

2x8x3x2x（1）

8.3,（2）

4x51x13x

xx

7x2x21x3x 解（1）首先保存名為gsdddy.m的M文件，然后 >>A=[10-1-2;-110-2;-1-10.5];X0=[00X=gsdddy(A,b,X0,inf,請(qǐng)注意：-迭代收斂,此A的分解矩陣D,U,L和方的精確解DL000000010000110UjX012002000X4.2.3（1）X=（24.073824.1738,104.797比較，在相同的條件下,-迭代比雅可比迭代得到的近似解的精度更高（2）在工作窗口輸入程>>A=[34-57;2-83-2;451-1316;7-221X0=[000 -迭代的記過沒有達(dá)到給定的精度并且迭代次數(shù)已經(jīng)超過最大迭代次數(shù)max1,方的精確解jX和迭代向量X如下：jX X=1.0e+142 （二 迭 的程序 迭代解線性

AXb 主程序functionX=gsdd(A,b,X0,P,wucha,max1)[nm]=size(A);forfori=1:nifa(i)>=0if且-迭代收斂')forforj=1:mififforxdwcX=djwcX/(norm(X',P)+eps);X0=X';X1=A\b;if似解X

if4.4解方的超松弛迭代法及其程超松弛迭代法收斂性及其程用譜半徑判別超松弛迭代法產(chǎn)生的迭代序列的斂散性的主程functionH=ddpbj(A,om)L=-tril(A,-1);iD=inv(D-om*L);if例4.4.1當(dāng)取=1.15，5時(shí)，判別用超松弛迭代法解下列方產(chǎn)生的迭代序列 5x1 x32x42x x3x xx4xxx

x22x37x4解（1）當(dāng)取=1.15時(shí)，首先保存名為ddpbj.m的M文件，然后在工作>>A=[51-1-2;2813;1-2-4-1;-1327];1，所以超松弛迭代序列收斂,mHB的所有H如下：mH=H0.1049+0.1203i0.1049-0.1203i-0.1295+0.0556i--（2）當(dāng)取=5時(shí)，然后在工作窗口輸入程>>H=ddpbj(A,1，所以超松弛迭代序列發(fā)散,mHB的所有的特征值H如下：mH=H -2.51070.5996+ 0.5996-超松弛迭代法 程

AXb的主程functionX=cscdd(A,b,X,om,wucha,max1)L=-tril(A,-1);jX=A\b;[nm]=size(A);iD=inv(D-om*L);B2=iD*(om*U+(1-om)*D);foriD=inv(D-om*L);B2=iD*(om*U+(1-om)*D);f2=om*iD*b;X1=B2*X+f2;X=X1;djwcX=norm(X1-jX,inf);if數(shù)i

mH,D,U,L,jX=jX',i=k-ifi>精確解jX,迭代次數(shù)i如下：')mH,D,U,L,jX=jX',i=k-if或functionX=cscdd1D=diag(diag(A));U=-triu(A,1);L=-tril(A,-1);jX=A\b;[niD=inv(D-om*L);B2=iD*(om*U+(1-om)*D);forf2=om*iD*b;X1=B2*X+f2;X=X1;djwcX=norm(X1-jX,inf);ifif(djwcX<wucha)|(xdwcX<wucha)解X的精確解jX和迭代向量X如下：')例4.4.3用超松弛迭代法（取=1.15和5）解例4.4.1中的線性 解（1）當(dāng)取=1.15時(shí)，首先保存名為cscdd.m的M文件，然后在 >>A=[51-1-2;2813;1-2-4-1;-1327];b=[4;1;6;-X=[0000]';X=cscddmH=D=5000080000