初中七年級數學競賽培優(yōu)講義專題23與角相關的問題

專題23與角有關的問題閱讀與思慮角也是一種基本的幾何圖形，凡是由直線構成的圖形都出現角.角既能夠當作有公共端點的兩條射線構成的圖形，也能夠當作是一條射線繞著端點從一個地點旋轉到另一個地點所成的圖形.按角的大小能夠分紅銳角、直角和鈍角.因為直角和平角在角中顯得特別重要，因此處于不一樣地點，但兩角的和是一個直角或是一個平角的角仍舊獲得我們的特別關注.兩角之和為直角的，這兩個角叫做互為余角；而兩角之和為平角的，這兩個角叫做互為補角，余角和補角的看法及其應用在幾何計算和證明中都有十分重要的地位.解與角有關的問題常用到以下知識與方法：角的分類；角均分線的看法；互余、互補等數目關系角；用方程的看法來進行角的計算.例題與求解【例1】如圖，在3×3的網格上標出了∠1和∠2，則12.12（“希望杯”邀請賽試題）解題思路：對圖形進行適合的辦理，經過拼補求出12的值.【例2】假如與互補，且，則以下表示的余角的式子中：①90；②90；③1()；④1().此中正確的有（）22A.4個B.3個C.2個D.1個（2013年浙江省衢江市數學比賽試題）解題思路：相互互余的角只需知足必定的數目關系即可，而與地點沒關.【例3】已知AOB80，OC是不在直線OA，OB上的任一條射線.OM，ON分別均分∠AOC，∠BOC.求∠MON的大小.（題目中考慮的角都小于平角）1AB'BOA'（湖北省武漢市武昌區(qū)調考試題）解題思路：因OC地點不確立，故分類議論是解本例的重點.【例4】鐘表在12點鐘時三針重合，經過x分鐘秒針第一次將分鐘和時針所夾的銳角均分，求x的值.（湖北省黃岡市比賽試題）解題思路：把秒針第一次將分鐘和時針所夾的銳角均分所得的兩個角用x的代數式表示，經過解方程求出x的值.【例5】（1）現有一個19°的“模板”（如圖），請你設計一種方法，只用這個“模板”和鉛筆在紙上畫出1°的角來.19°（2）現有一個17°的“模板”與鉛筆，你可否在紙上畫出一個1°的角來？（3）用一個21°的“模板”與鉛筆，你可否在紙上畫出一個1°的角來？對（2）（3）兩問，假如能，請你簡述畫法步驟；假如不可以，請你說明原因.（“希望杯”邀請賽試題）解題思路：若只連續(xù)使用模板，則獲得的是一個19°（或17°或21°）的整數倍的角，其實，解題的重點是在于可否找到19°（或17°或21°）的一個倍數與某個特別角的某個倍數相差1°.【例6】如下圖，O是直線AB上的一點，∠COD是直角，OE均分∠BOC.（1）如圖①，若AOC30，求∠DOE的度數；（2）在圖①中，若AOC，直接寫出∠DOE的度數（用含α的代數式表示）；3）將圖①中的∠DOC繞極點O順時針旋轉至圖②的地點.①研究∠AOC和∠DOE的度數之間的關系，寫出你的結論，并說明原因；②在∠AOC的內部有一條射線OF，知足AOC4AOF2BOEAOF，試確立∠AOF與∠DOE的度數之間的關系，說明原因2CEDC

EAOBAOBD圖①圖②（湖北省武漢市模擬試題）解題思路：（1）利用互余、互補關系易求出∠DOE的度數；（2）先依據∠DOE與∠COE的互余關系列出相應的關系式，而后用∠BOC表示出∠COE，再依據互補角的關系用α表示出所求角的度數；3）①可設∠BOC為一個未知數，分別表示出∠AOC與∠DOE，可得相應關系；②聯合①把所給等式整理為只含所求角的關系式即可.能力訓練A級1.已知一個角的補角等于這個角余角的6倍，那么這個角等于.（“祖沖之杯”邀請賽試題）2.如圖，BOD45，AOE90，那么不大于90°的角有個，它們的度數之和是.EDCBOA（“希望杯”邀請賽試題）3.如圖，AOCBOD150，若AOD3BOC，則BOC等于.ABCOD34.如圖，O是直線AB上一點，AOD120，AOC90，OE均分∠BOD，則圖中相互互補的角有對.CDEAOB（北京市“迎春杯”比賽試題）5.一個角的補角的1是6°，則這個角是（）17A.68°B.78°C.88°D.98°（“希望杯”邀請賽試題）6.用一副三角板能夠畫出大于0°且小于176°的不一樣角度有（）種A.9B.10C.11D.127.如圖，若AOB180，∠1是銳角，則∠1的余角是（）2A1BOA.121B.1231C.1(21)D.1(21)22223（甘肅省蘭州市比賽試題）8.如圖，AOB180，OD是∠COB的均分線，OE是∠AOC的均分線，設BOD，則與α的余角相等的角是（）ECDAαBOA.∠CODB.∠COEC.∠DOAD.∠COA9.如圖，已知COB2AOC，OD均分∠AOB，且COD19，求∠AOB的度數.BDCOA4（北京市“迎春杯”比賽試題）10.如圖，已知∠AOB與∠BOC互為補角，OD是∠AOB的均分線，OE在∠BOC內，BOE1EOC，2DOE72.求∠EOC的度數.BEDAOC11.已知AOB80，OC均分∠AOB，COD60，OE均分∠COD.求∠AOE的大小.ACEBOD12.如圖，已知OB，OC，OD為∠AOE內三條射線.（1）圖中共有多少個角？（2）若OB，OC，OD為∠AOE四均分線，且圖中全部銳角的和為400°，求∠AOE的度數.（3）若AOE89，BOD30，求圖中全部銳角的和.ABCDEOB級1.已知一個角的補角比這個角余角的3倍大10°，則這個角的度數是.（浙江省杭州市比賽試題）2.α，β，γ中有兩個銳角和一個鈍角，其數值已經給出，在計算1()的值時，有三位同15學分別算出了23°，24°，25°這三個不一樣的結果.此中只有一個是正確的答案，則.（江蘇省比賽試題）如圖，點O在直線AB上，OC，OD，OE，OF是位于AB同一側的射線，那么在這個圖形中，不大于平角的角共有個.5EDFCABO（五城市聯賽試題）4.如圖，射線OC，OD，OE，OF分別均分∠AOB，∠COB，∠AOC，∠EOC，若FOD24，則AOB.AEFCDOB（2013年“希望杯”數學邀請賽試題）5.4點鐘后，從時針到分針第二次成90°角，共經過（）分鐘（答案四舍五入到整數）A.60B.30（“五羊杯”比賽試題）6.如圖是一個3×3的正方形，則圖中1239的和等于（）9

63825741A.270°B.315°C.360°D.405°（廣西省比賽試題）7.已知，OM，ON，OP分別是∠AOB，∠BOC，∠AOC的均分線，則以下各式中建立的是（）MPABNCOA.AOPMONB.AOPMONC.AOPMOND.以上狀況都有可能8.如圖，∠是直角，COD21.5，且，分別是∠，∠的均分線，則∠等于AOCOBODAOCBOEAOE（）6CDBEOA°B.138°°D.178°（五城市聯賽試題）如圖，在直線AB上取一點O，在AB同側引射線OC，OD，OE，OF，使∠COE和∠BOE互余，射線OF和OD分別均分∠COE和∠BOE.求證：AOFBOD3DOF.CFEDAOB10.如圖，∠AOA是一個平角，A3OA2A2OA1A4OA3A3OA2A5OA4A4OA3