廣西專升本（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷1（共193題）

廣西專升本（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷1（共9套）（共193題）廣西專升本（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第1套一、綜合題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、將周長(zhǎng)為2p的矩形繞它的一邊旋轉(zhuǎn)而構(gòu)成一個(gè)圓柱體，問(wèn)矩形的邊長(zhǎng)各為多少時(shí)，才可使圓柱體的體積最大?標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)該矩形的底和高分別為x，y，則該矩形繞其高旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)體的體積為V＝πx2y．則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求V＝πx2y在條件2x＋2y＝2p，即x＋y－p＝0下的條件極值．用拉格朗日乘數(shù)法解之．令L(x，y，λ)＝πx2y＋λ(x＋y－p)．求L(x，y，λ)的駐點(diǎn)，即因此該矩形的長(zhǎng)、短邊分別為時(shí)，該矩形繞短邊旋轉(zhuǎn)可使旋轉(zhuǎn)體有最大體積．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析2、一房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當(dāng)月租金定為1000元時(shí)，公寓會(huì)全部租出去；當(dāng)月租金每增加50元時(shí)，就會(huì)多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花費(fèi)100元的維修費(fèi)，試問(wèn)房租定為多少可獲最大收入?標(biāo)準(zhǔn)答案：房租定為x元，純收入為R元．當(dāng)x≤1000時(shí)，R＝50x－50×100＝50x－5000，且當(dāng)x＝1000時(shí)，得最大純收入45000元．當(dāng)x＞1000，R＝[50－(x－1000)]·x－[50－(x－1000)]·100＝＋72x－7000，R’＝＋72令R’＝0，得(1000，＋∞)內(nèi)唯一駐點(diǎn)x＝1800．因?yàn)镽’’＝＜0，所以1800為極大值點(diǎn)，同時(shí)也是最大值點(diǎn)．最大值為R＝57800．因此，房租定為1800元可獲最大收入．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析二、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)3、F列各組函數(shù)中表不相同函數(shù)的是()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析4、若，則a，b值為()．A、a＝－3，b＝2B、a＝3，b＝－2C、a＝3，b＝2D、a＝－3，b＝－2標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析5、下列方程中，不是一階線性方程的是()．A、xy’－y＝x/lnxB、xy’lnx＋y＝ax(lnx＋1)C、(2y’－x)y’－y＝2xD、(x2－1)y’－xy＋a＝0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析6、設(shè)f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且知f(0)＝0，f’(0)＝2，則()．A、0B、1C、2D、不存在標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析7、不定積分∫sinxcosxdx＝()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析三、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)8、設(shè)f(x)在x＝x0處可導(dǎo)，且f(x0)＝0，f’(x0)＝1，則________．標(biāo)準(zhǔn)答案：－1知識(shí)點(diǎn)解析：＝－f’(x0)＝－19、通過(guò)點(diǎn)的積分曲線y＝∫5x2dx的方程是________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y＝知識(shí)點(diǎn)解析：y＝∫5x2dx＝．將代入上式，得C＝0．10、＝________．標(biāo)準(zhǔn)答案：α2＝β2知識(shí)點(diǎn)解析：11、若f(x，y)＝，D為單位圓在第一象限的部分，則＝________．標(biāo)準(zhǔn)答案：π/6知識(shí)點(diǎn)解析：12、設(shè)f(x)的定義域?yàn)閇1，5]．則f(1＋x2)的定義域?yàn)開(kāi)_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：[－2，2]知識(shí)點(diǎn)解析：令1≤1＋x2≤5，即0≤x2≤4，由此解得－2≤x≤2．因此f(1＋x2)的定義域是[－2，2]．四、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)13、求過(guò)z軸及點(diǎn)M0(－3，1，－2)的平面方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：可設(shè)所求平面為π：Ax＋By＝0．①將M0(－3，1，－2)代入①，得－3A＋B＝0，即B＝3A．故π：Ax＋3Ay＝0，即π：x＋3y＝0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、討論廣義積分∫e＋∞(k＞0)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、求函數(shù)f(x)＝的間斷點(diǎn)，并指出其類型．標(biāo)準(zhǔn)答案：在x＝－1處無(wú)定義，從而x＝－1為間斷點(diǎn)．因?yàn)?，所以，x＝－1為第二類間斷點(diǎn)，且為無(wú)窮間斷點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、若z＝uv，u＝sinx，v＝cosny，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：方法一：＝vuv－1·cosx＝cosx·cosy(sinx)cosy－1，＝uvlnu·(－siny)＝－siy·(1nsinx)·(sinx)cosy．方法二：將u＝sinx，v＝cosy代入，得z＝(sinx)cosy．直接求導(dǎo)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、求不定積分標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、根據(jù)二重積分的性質(zhì)，比較積分(x＋y)2dσ與(x＋y)3dσ的大小，其中積分區(qū)域D是由圓周(x－2)2＋(y－1)2＝2所圍成．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于D位于直線x＋y＝1的上方，所以當(dāng)(x，y)∈D時(shí)，x＋y≥1，從而(x＋y)3≥(x＋y)2，因而(x＋y)2dσ≤(x＋y)2dσ．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)a＞b＞0，n＞1，證明：nbn－1(a－b)＜an－bn＜nan－1(a－b)．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)f(x)＝xn，則f(x)在[b，a]上連續(xù)，在(b，a)內(nèi)可導(dǎo)．由拉格朗日中值定理，存在ξ∈(b，a)，使f(x)－f(b)＝f’(ξ)(a－b)，即an－bn＝nξn－1(a－b)．因?yàn)閚bn－1(a－b)＜nξn－1(a－b)＜nan－1(a－b)，所以nbn－1(a－b)＜an－bn＜nan－1(a－b)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、判定曲線的拐點(diǎn)與凸凹性．標(biāo)準(zhǔn)答案：①D＝(－∞，＋∞)．③令f’(x)＝0x1＝0，x2＝2．無(wú)二階不可導(dǎo)點(diǎn)．④列表判斷：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析廣西專升本（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第2套一、綜合題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、欲圍一個(gè)面積為150平方米的矩形場(chǎng)地，所用材料的造價(jià)其正面是每平方米6元，其余三面是每平方米3元，問(wèn)場(chǎng)地的長(zhǎng)、寬各為多少米時(shí)才能使所用材料費(fèi)最少?標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)所圍場(chǎng)地正面長(zhǎng)為x米，另一邊長(zhǎng)為y米，圍墻高度為一個(gè)單位(米)，由場(chǎng)地面積xy＝150，得y＝150/x．設(shè)四周圍墻所使用的材料總費(fèi)用為f(x)，則有f(x)＝6x·1＋3·(2y)·1＋3·x·1＝9x＋6·．．令f’(x)＝0，得駐點(diǎn)x＝10(x＝－10舍去)．，且f’(10)＝1．8＞0．所以y(10)為最小值．由于只有一個(gè)駐點(diǎn)，由實(shí)際意義可知最小值存在，一般情形下不必再求f’’(10)＞0(或＜0)，即可判定x＝10，y＝15為所求．也即當(dāng)圍墻正面長(zhǎng)為10米、側(cè)面長(zhǎng)為15米時(shí)所用的材料費(fèi)最少．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析2、在曲線y＝6－x2(x＞0)上確定一點(diǎn)，使改點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的平面圖形的面積最小，并求最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)曲線上點(diǎn)(x0，y0)，dy/dx｜x＝x0＝－2x｜x＝x0＝－2x0，y0＝6－x02．因?yàn)檫^(guò)(x0，y0)的切線方程2x0x＋y－y0－2x02＝0與x，y軸的交點(diǎn)為，(0，y0＋2x02)，所以．當(dāng)x0＜時(shí)，S’＜0；當(dāng)x0＞時(shí)，S’＞0．因?yàn)閤0＝為極小值點(diǎn)，故為最小值點(diǎn)．此時(shí)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析二、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)3、設(shè)曲線y＝f(x)如圖所示，則函數(shù)f(x)()．A、在(0，a)內(nèi)單調(diào)減少，在區(qū)間(a，＋∞)內(nèi)單調(diào)增加B、在(0，a)內(nèi)單調(diào)增加，在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)減少C、在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)增加D、在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)減少標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析4、若在x→x0時(shí)，α(x)與β(x)都是無(wú)窮小量，且β(x)≠0，則在x→x0時(shí)，下列各式不一定是無(wú)窮小量的是()．A、｜α(x)｜－｜β(x)｜B、[α(x)]2＋[β(x)]2C、ln[1＋α(x)·β(x)]D、α(x)/β2(x)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析5、當(dāng)x→1時(shí)，lnx與x－1比較是()．A、高階無(wú)窮小B、低階無(wú)窮小C、同階非等價(jià)無(wú)窮小D、等價(jià)無(wú)窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析6、由曲線y＝e－x與兩坐標(biāo)軸及直線x＝1所圍成的平面圖形的面積是()．A、1－eB、e－1C、1－e－1D、e－1－1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析7、當(dāng)x→0時(shí)，下列函數(shù)中與sin(x2)為等價(jià)無(wú)窮小的是()．A、xB、x2C、sinxD、－cosx標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析三、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)8、曲線y＝arctanx在點(diǎn)(1，π/4)處的法線方程為_(kāi)_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2x＋y＝2＋π/4．知識(shí)點(diǎn)解析：切線斜率k＝y(tǒng)’｜x＝1＝＝1/2，故法線方程為y－π/4＝－2(x－1)，即2x＋y＝2＋π/4．9、設(shè)f(x)在x＝x0處連續(xù)，且，則曲線y＝f(x)在(x0，f(x0))處的切線為_(kāi)_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：x＝x0知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析10、若在一個(gè)區(qū)間，曲線總在它的每一點(diǎn)的切線上方，則曲線在這個(gè)區(qū)間是________．標(biāo)準(zhǔn)答案：上凹的知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析11、設(shè)f(x，y)＝，則f(y/x，1)＝________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：12、＝________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析四、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)13、求由曲線，y＝x2與直線y＝1所圍平面圖形的面積．標(biāo)準(zhǔn)答案：平面圖形如下圖所示．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、設(shè)z＝sin(xy)＋x＋y，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：＝cosxy－xysinxy．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、求曲線的平行于x軸的切線方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)，應(yīng)有2x＝0，x＝0．又當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1，故所求為：y－1＝0，即y＝1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、求定積分∫022xlnxdx．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫122xlnxdx＝∫12xlnxdx2＝知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、求微分方程xy’－y－x＝0滿足初始條件y｜x＝1＝1的特解．標(biāo)準(zhǔn)答案：方程兩邊同除x，有所以通解為：y＝elnx(lnx＋C)＝x(lnx＋C)．將初始條件y｜x＝1＝1代入通解：1＝1·(ln1＋C)，得C＝1．故所求滿足初始條件y｜x＝1＝1的特解為y＝x(lnx＋1)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、證明:f(x)＝2x3－1和互為反函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由y＝2x3－1解得，故函數(shù)f(x)＝2x3－1的反函數(shù)是，這與是同一個(gè)函數(shù)，所以f(x)＝2x3－1和互為反函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、證明：方程x·2x＝1至少有一個(gè)小于1的正根．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)＝x·2x－1，則f(x)在[0，1]上連續(xù)，且f(0)＝－1＜0，f(1)：1＞0．由零點(diǎn)定理，ξ∈(0，1)使f(ξ)＝0，即ξ·2ξ－1＝0．即方程x·2x＝1有一個(gè)小于1的正根．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析廣西專升本（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、函數(shù)的定義域是()A、[﹣3，1]B、[﹣3，﹣1)C、[﹣3，﹣1]D、[﹣1，1]標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因所以﹣1≤x≤1，故選項(xiàng)(D)正確．2、極限等于()A、0B、1C、1/3D、3標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：故選項(xiàng)(D)正確．3、已知f′(1)=1，則等于()A、1B、﹣1C、2D、﹣2標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，=﹣2f′(1)=﹣2，選(D)．4、設(shè)φ(x)=e﹣tdt，則φ′(x)等于()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：，選項(xiàng)(C)正確．5、曲線y=x2與直線y=1所圍成的圖形的面積為()A、2/3B、3/4C、4/3D、1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：曲線y=x2與曲線y=1的交點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1，1)和(1，1)，則所圍圖形的面積為∫-11(x2)dx=選項(xiàng)(C)正確．6、定積分∫-22xcosxdx等于()A、﹣1B、0C、1D、1/2標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因被積函數(shù)xcosx在[﹣2，2]上為奇函數(shù)，故∫-22xcosxdx=0。選項(xiàng)(B)正確．7、已知向量=(﹣1，﹣2，1)與向量=(1，2，t)垂直，則t等于()A、﹣1B、1C、﹣5D、5標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因向量垂直，故=0，即(﹣1)·1+(﹣2)·2+1·t=0，也即﹣5+t=0，故t=5．選項(xiàng)(D)正確．8、曲線y=x2在點(diǎn)(1，1)處的法線方程為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線的斜率k=y′丨x=1=2x丨x=1=2，故法線方程為y﹣1=，即y=，選(B)．9、設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處不連續(xù)，則()A、f′(x0)存在B、f′(x0)不存在C、必存在D、f(x)在點(diǎn)x0處可微標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)“可導(dǎo)必連續(xù)″，則“不連續(xù)一定不可導(dǎo)″，選項(xiàng)(B)正確．10、un=0是級(jí)數(shù)un收斂的()A、必要條件B、充分條件C、充分必要條件D、不確定標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)，un=0是級(jí)數(shù)un收斂的必要條件．選項(xiàng)(A)正確．二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)11、若函數(shù)在x=1處連續(xù)，則a=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：=1-a，因f(x)在點(diǎn)x=1處連續(xù)，故，即﹣1=1-a，a=2．12、x=0是函數(shù)f(x)=的第________類間斷點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：一知識(shí)點(diǎn)解析：因，故x=0是函數(shù)f(x)的第一類間斷點(diǎn)．13、若曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線平行于直線y=2x﹣3，則f′(x0)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：切線與直線平行，則切線的斜率與直線的斜率相等，故f′(x0)=214、函數(shù)f(x)=2x3﹣9x2+12x的單調(diào)減區(qū)間是________．標(biāo)準(zhǔn)答案：[1，2]知識(shí)點(diǎn)解析：令f′(x)=6x2﹣18x+12=6(x﹣1)(x﹣2)=0，得駐點(diǎn)x=1和x=2；當(dāng)x＜1時(shí)，f′(x)＞0，當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f′(x)＜0，當(dāng)x＞2時(shí)，f′(x)＞0，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[1，2]．15、設(shè)y=cos(sinx)，則dy=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：﹣sin(sinx)cosxdx知識(shí)點(diǎn)解析：dy=dcos(sinx)=﹣sin(sinx)cosxdx．16、不定積分∫df(x)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x)+C知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)不定積分與微分的關(guān)系可得，∫df(x)=f(x)+C．17、∫01=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由定積分的幾何意義，∫01表示曲線y=，直線x=0，x=1和x軸所圍成的圖形的面積，即圓面積，故∫01·π·12=18、“函數(shù)z=f(x，y)的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(x，y)存在″是“函數(shù)z=f(x，y)在點(diǎn)(x，y)可微分″的________條件．標(biāo)準(zhǔn)答案：必要非充分條件知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)二元函數(shù)微分的存在性定理可知，二元函數(shù)z=f(x，y)在點(diǎn)(x，y)處可微分則偏導(dǎo)數(shù)一定存在，但反之不一定成立，故“函數(shù)z=f(x，y)的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(x，y)存在″是“函數(shù)z=f(x，y)在點(diǎn)(x，y)可微分″的必要非充分條件．19、微分方程y″﹣4y′﹣5y=0的通解為_(kāi)_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=C1e﹣x+C2e5x知識(shí)點(diǎn)解析：原方程的特征方程為r2﹣4r﹣5=0，有兩個(gè)不相等的實(shí)根r1=﹣1，r2=5，故原方程的通解為y=C1e﹣x+C2e5x．20、冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為_(kāi)_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：(﹣∞，+∞)知識(shí)點(diǎn)解析：因，故R==+∞，所以原冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為(﹣∞，+∞)．三、解答題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)21、求極限，其中c為常數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：=e2c．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：說(shuō)明：此題也可多次使用洛必達(dá)法則，解法如下：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程2xy=x+y所確定，求丨x=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：方程2xy=x+y兩邊對(duì)x求導(dǎo)，考慮到y(tǒng)是x的函數(shù)，得2xyln2·整理得y2xyln2+x2xyln2·故當(dāng)x=0時(shí)，代入原方程可得y=1，所以說(shuō)明：當(dāng)?shù)玫?xyln2·后，也可直接將x=0，y=1代入，得ln2=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、求函數(shù)y=xsinx(x＞0)的導(dǎo)數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：y′=(xsinx)′==(esinxlnx)′=esinxlnx(cosxlnx+sinx·)=xsinx(cosxlnx+)．說(shuō)明：此題也可用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求解．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、求不定積分標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、求定積分∫1exlnxdx．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫1exlnxdx=∫1elnx知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、求由方程ez-xyz=0所確定的二元函數(shù)z=f(x，y)的全微分dz．標(biāo)準(zhǔn)答案：先求二元函數(shù)z=f(x，y)的偏導(dǎo)數(shù)．設(shè)F(x，y，z)=e2-xyz，則由二元函數(shù)的隱函數(shù)存在定理可知，故知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、求微分方程=xsinx的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：此為一階線性微分方程，其中P(x)=，Q(x)=xsinx，故原方程的通解為y=e﹣∫p(x)dx(∫Q(x)e∫p(x)dxdx+C)==elnx(∫xsinx·e﹣lnxdx+C)=x(∫sinxdx+C)=x(﹣cosx+C)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析29、求平行于y軸且過(guò)點(diǎn)P(1，2，3)和Q(3，2，﹣1)的平面方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)平面的法向量為因平面與y軸平行，且沿y軸正向的單位向量為=(0，1，0)，故又平面過(guò)點(diǎn)P(1，2，3)和Q(3，2，﹣1)，且=(2，0，﹣4)，故所以可取為與平行的向量．因=(﹣4，0，﹣2)=﹣2(2，0，1)，故可取又平面過(guò)點(diǎn)P(1，2，3)(也可用點(diǎn)Q(3，2，﹣1))，故平面方程為2(x﹣1)+0+(x-3)=0，即2x+z﹣5=0．說(shuō)明：此題也可用平面的一般方程來(lái)解．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析30、求二重積分其中D是由y=1，y=x2，x=2所圍成的閉區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：畫(huà)出積分區(qū)域，將其看成X-型區(qū)域，1≤x≤2，1≤y≤x2．故二重積分=∫122xlnxdx=∫12lnxd(x2)=[x2lnx]12-∫12xdx=4ln2-知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析31、現(xiàn)有邊長(zhǎng)為96cm的正方形紙板，將其四角各剪去一個(gè)大小相同的小正方形，折做成無(wú)蓋紙箱，問(wèn)剪區(qū)的小正方形邊長(zhǎng)為多少時(shí)做成的無(wú)蓋紙箱容積最大?標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)剪去的小正方形邊長(zhǎng)為x，則紙盒的容積y=x(96-2x)2，0＜x＜48．y′=(96-2x)2+x·2(96-2x)(﹣2)=(96-2x)(96-6x)，令y′=0，可得x=16(x=48舍去)．因只有唯一的駐點(diǎn)，且原題中容積最大的無(wú)蓋紙箱一定存在，故當(dāng)剪去的小正方形邊長(zhǎng)為16cm時(shí)，做成的無(wú)蓋紙箱容積最大．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析32、設(shè)函數(shù)f(x)在[0，1]上連續(xù)，并且對(duì)于[0，1]上的任意x所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)均為0≤f(x)≤1，證明：在[0，1]上至少存在一點(diǎn)ξ，使得f(ξ)=ξ．標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)=f(x)-x，由于f(x)在[0，1]上連續(xù)，故F(x)在[0，1]上也連續(xù)．F(0)=f(0)-0=f(0)，F(xiàn)(1)=f(1)﹣1．而對(duì)∈[0，1]，0≤f(x)≤1，故F(0)≥0，F(xiàn)(1)≤0．若F(0)=0，即f(0)﹣0=0，f(0)=0，則ξ=0；若F(1)=0，即f(1)﹣1=0，f(1)=1，則ξ=1；當(dāng)F(0)≠0，F(xiàn)(1)≠0時(shí)，F(xiàn)(0)·F(1)＜0，而F(x)在[＜0，1]上連續(xù)，故根據(jù)零點(diǎn)定理可得，至少存在一點(diǎn)ξ∈(0，1)，使得F(ξ)=0，即f(ξ)-ξ=0，f(ξ)=ξ．綜上，在[0，1]上至少存在一點(diǎn)ξ，使得f(ξ)=ξ．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析廣西專升本（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第4套一、綜合題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、求由曲面z＝x2＋2y2及曲面z＝6－2x2－y2所圍成的立體的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：由二重積分的幾何意義知，V＝[(6－2x2－y2)－(x2＋2y2)]dσ，其中D為圓域x2＋y2≤2．(D的求法：，消z．)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析2、平面上通過(guò)點(diǎn)P(1，4)引一條直線，使它在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距都為正，且它們的和最小，求這條直線的方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)所求直線方程為L(zhǎng)：x/a＋y/b＝1(a＞0，b＞0)．由題意，點(diǎn)P(1，4)在直線L上，故有1/a＋÷4/b＝1，①于是②設(shè)L在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距之和為f(a)＝a＋b＝(a＞0)．③令，得駐點(diǎn)a＝3(或a＝－1，舍去)．因?yàn)?，f’’(3)＝1＞0，所以當(dāng)a＝3時(shí)f(a)取到最大值．此時(shí)，由②式可算得b＝6．因此所求直線的方程為L(zhǎng)：x/3＋y/6＝1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析二、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)3、函數(shù)在定義域內(nèi)是()．A、單調(diào)函數(shù)B、周期函數(shù)C、無(wú)界函數(shù)D、有界函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析4、當(dāng)x→1時(shí)下列變量中不是無(wú)窮小量的是()．A、x21B、3x2－2x－1C、x(x－2)＋12D、4x2－2x＋1標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析5、設(shè)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，＝()．A、f’(x0)B、2f’(x0)C、3f’(x0)D、4f’(x0)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析6、設(shè)f(x)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，則∫xf’(x)dx＝()．A、xf’(x)－f’(x)＋CB、xf’(x)－f(x)＋CC、xf’(x)＋f’(x)＋CD、xf’(x)＋f(x)＋C標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析7、曲線y＝sinx在[－π，π]上與軸所圍圖形的面積為()．A、2B、0C、4D、6標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析三、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)8、x＝0是函數(shù)f(x)＝tanx/x的第________類間斷點(diǎn)，且為_(kāi)_______間斷點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：一；可去知識(shí)點(diǎn)解析：函數(shù)在x＝0處無(wú)定義，但在其附近有定義，因?yàn)?，所以x＝0是函數(shù)f(x)的第一類可去間斷點(diǎn)．9、曲線上切線斜率等于5的點(diǎn)是________．標(biāo)準(zhǔn)答案：(－1/2，3/2)或(1/2，－3/2)知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)所求點(diǎn)為，則切線斜率令，則解得x0＝－1/2或x0＝1/2．故所求點(diǎn)為(－1/2，3/2)或(1/2，－3/2)．10、＝________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：11、設(shè)Sn是級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和，則________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1/2知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)等比級(jí)數(shù)斂散生的結(jié)論：12、平行于x軸且經(jīng)過(guò)A(1，－2，3)，B(2，1，2)兩點(diǎn)的平面方程為_(kāi)_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y＋3x－7＝0知識(shí)點(diǎn)解析：可設(shè)所求平面為π：By＋Cz＋D＝0．①將A(1，－2，3)，B(2，1，2)兩點(diǎn)代入①，得故π：By＋3Bz－7B＝0，即π：y＋3z－7＝0．四、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)13、求函數(shù)y＝πx＋xπ＋的微分．標(biāo)準(zhǔn)答案：y’＝(πx)’＋(xπ)’＋＝πxlnπ＋πxπ－1＋0，所以dy＝y(tǒng)’dx＝(πxlnπ＋πxπ－1)dx．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、求過(guò)兩點(diǎn)A(1，－1，1)和8(2，2，－1)且與平面π：x＋y－z＝0垂直的平面方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：已知平面訂的法向量為＝(1，1，－1)，可取所求平面的法向量為由平面的點(diǎn)法式方程，所求平面即為π：l(x－1)＋1(y＋1)＋2(z－1)＝0，即x＋y＋2z－2＝0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、(x)在[a，b]上連續(xù)，且f(a)b．試證明f(x)＝x在(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根．標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)＝f(x)－x，則φ(x)在[a，b]上連續(xù)．又φ(a)＝f(a)－a＜0，φ(b)＝f(b)－b＞0，故由根值定理知，至少存在一點(diǎn)ξ∈(a，b)．使得φ(ξ)＝f(ξ)－ξ＝0．即方程f(x)＝x在(a，b)內(nèi)至少有一實(shí)根ξ．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、求函數(shù)在(0，2)內(nèi)的極值．標(biāo)準(zhǔn)答案：．令f’(x)＝0，得駐點(diǎn)x＝1和不可導(dǎo)點(diǎn)x＝0，在此只有x＝1，其余舍去．當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f’(x)＜0；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f’(x)＞0，所以f’(x)在x＝1取極大值，f極大＝f(1)＝1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、求曲線y＝xex的拐點(diǎn)坐標(biāo)．標(biāo)準(zhǔn)答案：y’＝ex＋xex，y’’＝ex＋ex＋xex＝(2＋x)ex．令y’’＝0，由2＋x＝0得x＝－2．將x＝－2代入y＝xex中，有當(dāng)x＞－2時(shí)，y’’＞0；當(dāng)x＜－2時(shí)，y’’＜0．拐點(diǎn)坐標(biāo)為．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、求函數(shù)的定義域．標(biāo)準(zhǔn)答案：要求x2－3x＋2≠0，即(x－1)(x－2)≠0，故x≠1且x≠2．所以，定義域?yàn)镈＝{x｜x∈R，x≠1，且x≠2}或改寫(xiě)為D＝(－∞，1)∪(1，2)∪(2，＋∞)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、求圖形的面積：曲線xy＝1與直線y＝x，y＝2所圍成的圖形．標(biāo)準(zhǔn)答案：聯(lián)立方程組．故得xy＝1與直線y＝x的交點(diǎn)為(1，1)或(－1，1)(舍)．＝3/2－ln2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、設(shè)u＝f(x，y，z)，y＝y(tǒng)(x)，z＝z(x，y)，求du/dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：所以du/dx＝f’x＋f’y·y’(x)＋知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析廣西專升本（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第4套一、綜合題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、欲圍一個(gè)面積為150平方米的矩形場(chǎng)地，所用材料的造價(jià)其正面是每平方米6元，其余三面是每平方米3元，問(wèn)場(chǎng)地的長(zhǎng)、寬各為多少米時(shí)才能使所用材料費(fèi)最少?標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)所圍場(chǎng)地正面長(zhǎng)為x米，另一邊長(zhǎng)為y米，圍墻高度為一個(gè)單位(米)，由場(chǎng)地面積xy＝150，得y＝150/x．設(shè)四周圍墻所使用的材料總費(fèi)用為f(x)，則有f(x)＝6x·1＋3·(2y)·1＋3·x·1＝9x＋6·．．令f’(x)＝0，得駐點(diǎn)x＝10(x＝－10舍去)．，且f’(10)＝1．8＞0．所以y(10)為最小值．由于只有一個(gè)駐點(diǎn)，由實(shí)際意義可知最小值存在，一般情形下不必再求f’’(10)＞0(或＜0)，即可判定x＝10，y＝15為所求．也即當(dāng)圍墻正面長(zhǎng)為10米、側(cè)面長(zhǎng)為15米時(shí)所用的材料費(fèi)最少．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析2、在曲線y＝6－x2(x＞0)上確定一點(diǎn)，使改點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的平面圖形的面積最小，并求最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)曲線上點(diǎn)(x0，y0)，dy/dx｜x＝x0＝－2x｜x＝x0＝－2x0，y0＝6－x02．因?yàn)檫^(guò)(x0，y0)的切線方程2x0x＋y－y0－2x02＝0與x，y軸的交點(diǎn)為，(0，y0＋2x02)，所以．當(dāng)x0＜時(shí)，S’＜0；當(dāng)x0＞時(shí)，S’＞0．因?yàn)閤0＝為極小值點(diǎn)，故為最小值點(diǎn)．此時(shí)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析二、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)3、設(shè)曲線y＝f(x)如圖所示，則函數(shù)f(x)()．A、在(0，a)內(nèi)單調(diào)減少，在區(qū)間(a，＋∞)內(nèi)單調(diào)增加B、在(0，a)內(nèi)單調(diào)增加，在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)減少C、在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)增加D、在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)減少標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析4、若在x→x0時(shí)，α(x)與β(x)都是無(wú)窮小量，且β(x)≠0，則在x→x0時(shí)，下列各式不一定是無(wú)窮小量的是()．A、｜α(x)｜－｜β(x)｜B、[α(x)]2＋[β(x)]2C、ln[1＋α(x)·β(x)]D、α(x)/β2(x)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析5、當(dāng)x→1時(shí)，lnx與x－1比較是()．A、高階無(wú)窮小B、低階無(wú)窮小C、同階非等價(jià)無(wú)窮小D、等價(jià)無(wú)窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析6、由曲線y＝e－x與兩坐標(biāo)軸及直線x＝1所圍成的平面圖形的面積是()．A、1－eB、e－1C、1－e－1D、e－1－1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析7、當(dāng)x→0時(shí)，下列函數(shù)中與sin(x2)為等價(jià)無(wú)窮小的是()．A、xB、x2C、sinxD、－cosx標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析三、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)8、曲線y＝arctanx在點(diǎn)(1，π/4)處的法線方程為_(kāi)_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2x＋y＝2＋π/4．知識(shí)點(diǎn)解析：切線斜率k＝y(tǒng)’｜x＝1＝＝1/2，故法線方程為y－π/4＝－2(x－1)，即2x＋y＝2＋π/4．9、設(shè)f(x)在x＝x0處連續(xù)，且，則曲線y＝f(x)在(x0，f(x0))處的切線為_(kāi)_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：x＝x0知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析10、若在一個(gè)區(qū)間，曲線總在它的每一點(diǎn)的切線上方，則曲線在這個(gè)區(qū)間是________．標(biāo)準(zhǔn)答案：上凹的知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析11、設(shè)f(x，y)＝，則f(y/x，1)＝________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：12、＝________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析四、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)13、求由曲線，y＝x2與直線y＝1所圍平面圖形的面積．標(biāo)準(zhǔn)答案：平面圖形如下圖所示．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、設(shè)z＝sin(xy)＋x＋y，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：＝cosxy－xysinxy．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、求曲線的平行于x軸的切線方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)，應(yīng)有2x＝0，x＝0．又當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1，故所求為：y－1＝0，即y＝1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、求定積分∫022xlnxdx．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫122xlnxdx＝∫12xlnxdx2＝知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、求微分方程xy’－y－x＝0滿足初始條件y｜x＝1＝1的特解．標(biāo)準(zhǔn)答案：方程兩邊同除x，有所以通解為：y＝elnx(lnx＋C)＝x(lnx＋C)．將初始條件y｜x＝1＝1代入通解：1＝1·(ln1＋C)，得C＝1．故所求滿足初始條件y｜x＝1＝1的特解為y＝x(lnx＋1)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、證明:f(x)＝2x3－1和互為反函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由y＝2x3－1解得，故函數(shù)f(x)＝2x3－1的反函數(shù)是，這與是同一個(gè)函數(shù)，所以f(x)＝2x3－1和互為反函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、證明：方程x·2x＝1至少有一個(gè)小于1的正根．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)＝x·2x－1，則f(x)在[0，1]上連續(xù)，且f(0)＝－1＜0，f(1)：1＞0．由零點(diǎn)定理，ξ∈(0，1)使f(ξ)＝0，即ξ·2ξ－1＝0．即方程x·2x＝1有一個(gè)小于1的正根．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析廣西專升本（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第4套一、綜合題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、已知水渠的橫斷面為等腰梯形，斜角φ＝40°如圖所示．當(dāng)過(guò)水?dāng)嗝鍭BCD的面積為定值S0時(shí)，求濕周L(L＝AB＋BC＋CD)與水深h之間的函數(shù)關(guān)系式，并指明其定義域．標(biāo)準(zhǔn)答案：S0＝(AD＋BC)＝h(BC＋hcotφ)，從而．L＝AB＋BC＋CD(AB＝CD)＝由h＞0，，得定義域?yàn)?0，)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析2、用薄鐵皮做一個(gè)橫截面為半圓的無(wú)蓋水槽，使其容積為定值V，當(dāng)截面圓半徑和水槽的長(zhǎng)各為多少時(shí)可使所用薄鐵皮的面積最小?標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)橫截面半徑為x，水槽長(zhǎng)為y，記表面積為S，則S＝πx2＋πxy．①且②③所以當(dāng)時(shí)S取最小值，即當(dāng)時(shí)，表面積最?。R(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析二、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)3、F(x)，G(x)都是區(qū)間(c，d)內(nèi)函數(shù)f(x)的原函數(shù)，則()．A、F(x)G(x)，x∈(c，d)B、dF(x)＝dG(x)＋CC、∫f(x)dx＝F(x)D、F(b)－F(a)＝G(b)－G(a)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析4、設(shè)y＝f(ex)ef(x)，且f’(x)存在，則y’＝()．A、f’(ex)ef(x)B、f’(ex)ef(x)f’(ex)C、f(ex)ef(x)D、f’(ex)exef(x)＋f(ex)ef(x)f(x)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：Y’＝[F(exef(x))]’＝[f(ex)]’ef(x)＋f(ex)[ef(x)]’＝[f’(ex)(ex)’]ef(x)＋f(ex)[ef(x)f’(x)]＝f’(ex)exef(x)＋f(ex)ef(x)f’(x)．故選D5、旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)軸是()．A、x軸B、y軸C、z軸D、直線x＝y(tǒng)＝z標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析6、(m，n為正整數(shù))等于()．A、m/nB、n/mC、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：故選A．7、曲線y＝x3－12x＋1在(0，2)內(nèi)()．A、上凹且單調(diào)增加B、上凹且單調(diào)減少C、下凹且單調(diào)增加D、上凹目單調(diào)減少標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：①D＝(－∞，＋∞)．②y’＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)，y’’＝6x．③令y’＝0x1＝－2，x2＝2．無(wú)不可導(dǎo)點(diǎn)．令y’’＝0x3＝0．④列表判斷：根據(jù)上表知應(yīng)選B．三、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)8、設(shè)z＝(x－2y)y，則．標(biāo)準(zhǔn)答案：y(x－2y)y－1；(x－2y)y知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)z＝(x－2y)y取對(duì)數(shù)，得lnz＝y(tǒng)ln(x－2y)．①①式兩邊關(guān)于y求偏導(dǎo)，得②由②式，有9、改變二重積分I＝∫01dx∫02xf(x，y)dy的次序，則I＝________．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫02dyf(x，y)dx知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析10、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析11、曲線族y＝C1ex＋C2e－2x中滿足y(0)＝1，y’(0)＝－2的曲線方程是________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y＝e－2x．知識(shí)點(diǎn)解析：由原式①得，y’＝C1ex－2C2e－2x．②將初始條件y(0)＝1，y’(0)＝－2代入①、②兩式中有故所求曲線方程為y＝e－2x．12、函數(shù)F(x)＝∫1xdc(z＞0)的單調(diào)減少區(qū)間是________．標(biāo)準(zhǔn)答案：(0，1/4]知識(shí)點(diǎn)解析：F’(x)＝，x∈(0，＋∞)．令F’(x)＝0，得x＝1/4．因?yàn)楫?dāng)01xdt(x＞0)的單調(diào)減少區(qū)間是(0，1/4]．四、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)13、計(jì)算下列函數(shù)值的近似值：(1)cos29°；(2)arccos0．4995；(3)標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)已知F(x＋△x)≈f(x)＋f’(x)△x，當(dāng)f(x)＝cosx時(shí)，有cos(x＋△x)≈cosx－sinx·△x，所以cos29°＝cos(π/6－π/180)≈≈0．87468．(2)已知f(x＋△x)≈f(x)＋f’(x)△x，當(dāng)f(x)＝arccosx時(shí)，有arccos(x＋△x)≈，所以arccos0．4995＝arccos(0．5－0．0005)≈≈60°2’(3)設(shè)，則當(dāng)｜x｜較小時(shí)，有f(1＋x)≈f(1)＋f’(1)x＝，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、計(jì)算二重積分(3x＋2y)dσ，其中D是由兩坐標(biāo)軸及直線x＋y＝2所圍成的閉區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域可表示為D：0≤x≤2，0≤y≤2－x．于是(3x＋2y)dσ：∫02dx∫02－x(3x＋2y)dy＝∫02[3xy＋y2]｜02－xdx＝∫02(4＋2x－2x2)dx＝[4x＋x2＋]02＝20/3．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、從點(diǎn)A(2，－1，7)沿向量＝(8，9，－12)方向取線段長(zhǎng)｜AB｜＝34，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)B(x，y，x)，則＝(x－2，y＋1，z－7)．由題意，知＝(16，18，－24)．故(x－2，y＋1，z－7)＝(16，18，－24)，所以，x＝18，y＝17，z＝－17．所求點(diǎn)為B(18，17，－17)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、證明：方程x·2x＝1至少有一個(gè)小于1的正根．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)＝x·2x－1，則f(x)在[0，1]上連續(xù)．又f(0)＝－1＜0，f(1)＝1＞0，故由根值定理知，至少存在一點(diǎn)ξ∈(0，1)，使得f(ξ)＝ξ×2ξ－1＝0．即方程x·2x＝1至少有一個(gè)小于1的正根ξ．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、計(jì)算導(dǎo)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、曲線y＝ax3＋bx2＋cx＋d在x＝0處取得極值y＝0，(1，1)是拐點(diǎn)，求a，b，c，d．標(biāo)準(zhǔn)答案：y’＝3ax2＋2bx＋c，y’’＝6ax＋2b．若(1，1)是拐點(diǎn)，則滿足解之得a＝－1/2，b＝3/2，c＝d＝0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、求函數(shù)u＝xy2＋z3－xyz在點(diǎn)(1，1，2)處沿方向角為α＝π/3，β＝π/4，γ＝π/3的方向的方向?qū)?shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、證明：方程x5－14x－2＝0在1和2之間至少有一個(gè)實(shí)根．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)＝x5－14x－2，則f(x)在[1，2]上連續(xù)．又f(1)＝－15＜0，f(2)＝2＞0，故由根值定理知，至少存在一點(diǎn)ξ∈(1，2)，使得f(ξ)＝ξ5－14ξ－2＝0．即方程x5－14x－2＝0在1和2之間至少有一實(shí)根ξ．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析廣西專升本（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第7套一、證明題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、證明f(x)=∫02x在(﹣∞，+∞)上為偶函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因在(﹣∞，+∞)上為奇函數(shù)，故只需證明∫02x在(﹣∞，+∞)上為奇函數(shù)即可，沒(méi)F(x)=∫02x，則F(﹣x)=∫02x對(duì)于F(﹣x)，令t=﹣u，則u=﹣t，dt=﹣du，故F(﹣x)=∫0-2x故F(x)=∫02x為奇函數(shù)，原命題成立．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析2、如果f(x)在[2，4]上連續(xù)，在(2，4)上可導(dǎo)，f(2)=1，f(4)=4，求證：∈(2，4)，使得f′(ξ)=標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)=由于f(x)在[2，4]上連續(xù)，在(2，4)上可導(dǎo)，故F(x)在[2，4]上連續(xù)，在(2，4)上也可導(dǎo)，且又F(2)=所以由羅爾定理可得，∈(2，4)，使得F′(ξ)=0，即也即ξf′(ξ)﹣2f(ξ)=0，故f′(ξ)=成立．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析二、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)3、如果那么f(x)在以下的有界區(qū)間是()。A、(﹣1，0)B、(0，1)C、(1，2)D、(2，3)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析4、設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，若=f(x0)，則下列對(duì)此相應(yīng)的描述正確的是()。A、當(dāng)丨x-x0丨＜δ時(shí)，丨f(x)-f(x0)丨＜ε恒成立B、當(dāng)0＜丨x-x0丨＜δ時(shí)，丨f(x)-f(x0)丨＜ε恒成立C、當(dāng)丨x丨＜X時(shí)，丨f(x)-f(x0)丨＜ε恒成立D、當(dāng)丨x丨＞X時(shí)，丨f(x)-f(x0)丨＜ε恒成立標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析5、函數(shù)y=x2﹣2x的單調(diào)區(qū)間是()。A、(﹣∞，+∞)單調(diào)增B、(﹣∞，+∞)單調(diào)減C、[1，+∞)單調(diào)減，(﹣∞，1]單調(diào)增D、[1，+∞)單調(diào)增，(﹣∞，1]單調(diào)減標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析6、設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，則=()。A、f(x2)B、2xf(x2)C、﹣f(x2)D、﹣2xf(x2)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析7、微分方程(y″)5+2(y′)3+xy6=0的階數(shù)是()A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析三、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)8、假設(shè)函數(shù)f(x)是周期為2的可導(dǎo)函數(shù)，則f′(x)的周期為_(kāi)_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析9、當(dāng)x→0時(shí)，若=A(A≠0)，則k=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析10、若∫xf(x)dx=x2+c，則=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：x+C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析11、若z=x3+6xy+y3，則=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：18知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、如果冪級(jí)數(shù)∑n=0∞anxn的收斂半徑為2，則冪級(jí)數(shù)∑n=0∞nan(x﹣1)n-1的收斂區(qū)間為_(kāi)_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：(﹣1，3)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析四、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)13、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、若y=x2+ex+xx+a2a，求y′．標(biāo)準(zhǔn)答案：因(xe)′=exe-1，(ex)′=ex，(a2a)′=0，(xx)′=(exlnx)′=exlnx·(lnx+)=(1+lnx)xx，故y′=exe-1+ex+(1+lnx)xx．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、求函數(shù)的水平、垂直漸近線．標(biāo)準(zhǔn)答案：由=1+0=1可得，函數(shù)的水平漸近線為y=1；由=∞可得，函數(shù)的垂直漸近線為x=1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、求不定積分標(biāo)準(zhǔn)答案：令x=sint，t∈則dx=costdt，原式==∫sec2tdt=tant+C=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、計(jì)算積分其中D是以(0，0)，(1，1)，(0，1)為頂點(diǎn)的三角形．標(biāo)準(zhǔn)答案：將積分區(qū)域看做Y-型區(qū)域，0≤y≤1，0≤x≤y，原式=∫01dy∫0y6x2=∫01[2x3]0ydy=∫012y3==∫01te1-tdt=∫01td(﹣e1-t)=[﹣te1-t]01+∫01e1-tdt=﹣1+[﹣e1-t]01=﹣1+(﹣1)-(﹣e)=e-2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)f(x)=∫1x(x＞0)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：因f(x)=∫1x=[ln丨1+t丨]1x=ln(1+x)-ln2，故=ln(1+x)-[ln(1+x)-lnx]=lnx．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、求微分方程y″﹣2y′+y=0的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：原方程的特征方程為r2﹣2r+1=0，即(r﹣1)2=0，有兩個(gè)相等實(shí)根r1=r2=1，故原方程的通解為y=(C1+C2x)ex．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、求過(guò)點(diǎn)(﹣1，﹣4，3)并與兩直線L1：和L2：都垂直的直線方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意，直線L2的方向向量故直線L1的方向向量=(﹣3，1，10)，又所求直線與L1和L2都垂直，故所求直線的方向向量=(12，46，-1)，故所求直線方程為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、求(x+y)dxdy，其中D是由拋物線y=x2和x=y2所圍平面閉區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：將積分區(qū)域看做X-型區(qū)域，0≤x≤1，x2≤y≤原式=∫01dx(x+y)dy=∫0x知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析廣西專升本（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第8套一、綜合題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、(1)設(shè)向量組＝(1，3，－1，2)T，＝(1，2，0，1)T，＝(2，7，－3，5)T，試判定向量組的線性相關(guān)性．(2)已知線性方程組，求用導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)(a1，a2，a3)＝，所以a1，a2，a3線性相關(guān)，(2)所以通解為k1ξ1＝k2ξ2＋η．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析2、郵局規(guī)定，國(guó)內(nèi)的平信每20g付郵資0．80元，不足20g按20g計(jì)算，信件重量不得超過(guò)2kg，試確定郵資y與重量x的關(guān)系．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x能被20整除，即[x/20]＝x/20時(shí)，郵資；當(dāng)x不能被20整除時(shí)，即[x/20]≠x/20時(shí)，由題意知郵資綜上所述，有其中分別表示不超過(guò)的最大整數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析二、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)3、設(shè)f(x)在區(qū)間[0，1]上連續(xù)，則函數(shù)F(x)＝∫0xtf(cost)df在[－π/2，π/2]是()．A、奇函數(shù)B、偶函數(shù)C、非奇非偶函數(shù)D、非負(fù)函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：F(－x)＝∫0－x(cost)dt．令u＝－t，即t＝－u，df＝－du，則F(－x)＝－∫0x(－u)f[cos(－u)]du＝∫0xuf(cosu)du＝∫0xtf(cost)dt＝F(x)．4、下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()．A、y＝cos(x＋π/3)B、y＝xsinxC、D、y＝x3＋x2標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析5、存在是f(x)在x＝x0連續(xù)的()．A、必要條件而非充分條件B、充分條件而非必要條件C、充分必要條件D、無(wú)關(guān)條件標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析6、微分方程2y’’＋y’－y＝0的通解為()．A、y＝C1e－x＋C2ex/2B、y＝C1ex＋C2e－2xC、y＝C1ex＋C2e－x/2D、y＝C1e－x＋C2e2x標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：微分方程2y’’＋y’－y＝0的齊次方程的特征方程為2r2＋r－1＝0，即(2r－1)(r＋1)＝0．所以，特征根為：r1＝－1，r2＝1/2．故其通解為y＝C1e－x＋C2ex/2．應(yīng)選A．7、選擇以下題中給出的四個(gè)結(jié)論中正確的一個(gè)結(jié)論：設(shè)在[0，1]上f’’(x)＞0，則f’(0)，f’(1)，f(1)－f(0)或f(0)－f(1)幾個(gè)數(shù)的大小順序?yàn)?)．A、f’(1)＞f’(0)＞f(1)－f(0)B、f’(1)＞f(1)－f(1)＞f’(0)C、f(1)－f(0)＞f’(1)＞f’(0)D、f’(1)＞f(0)－f(1)＞f’(0)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閒’’(x)＞0，所以f’(x)在[0，1]上單調(diào)增加，從而f’(1)＞f(x)＞f(0)．又由拉格朗日中值定理，有f(1)－f(0)＝f’(x)，x∈[0，1]，所以f’(1)＞f(1)－f(0)＞f’(0)．三、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)8、設(shè)函數(shù)y1(x)是一階線性非齊次方程y’＋p(x)y＝Q(x)的一個(gè)特解，則該方程的通解為_(kāi)_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y＝y(tǒng)1(x)＋Ce－∫p(x)dx知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析9、函數(shù)f(x)＝log42＋log4的圖形與g(x)的圖形關(guān)于直線)y＝x對(duì)稱，則g(x)＝________．標(biāo)準(zhǔn)答案：42x－1知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析10、設(shè)f(x)＝在點(diǎn)x＝0處間斷，則k應(yīng)滿足的條件是________．標(biāo)準(zhǔn)答案：k≠1知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析11、設(shè)∫f(x)dx＝F(x)＋C，則∫e－xf(e－x)dx＝________．標(biāo)準(zhǔn)答案：－F(e－x)＋C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、設(shè)f(x)是[－a，a]上的連續(xù)奇函數(shù)，則f(x)與x軸所圍圖形的面積等于________．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫－aa｜f(x)｜dx知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析四、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)13、求過(guò)三點(diǎn)A(1，1，－1)，B(－2，－2，2)，C(1，－1，2)的平面方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：由＝(－3，－3，3)，＝(0，－2，3)，?。?－3，9，6)∥(1，－3，－2)．所以，據(jù)平面的點(diǎn)法式方程，代入A(1，1，－1)，得π：(x－1)－3(y－1)－2(z＋1)＝0．即π：z－3y－2z＝0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、驗(yàn)證拉格朗日中值定理對(duì)函數(shù)y＝4x3－5x2＋x－2在區(qū)間[0，1]上的正確性．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閥＝4x3－5x2＋x－2在區(qū)間[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理知，至少存在一點(diǎn)ξ∈(0，1)，使y’(ξ)＝．由y’(z)＝12x2－10x＋1＝0，得．因此確有．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、計(jì)算對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分∮(x2＋y2)nds，其中L為圓周x＝acost，y＝asint(0≤t≤2π)．標(biāo)準(zhǔn)答案：∮L(x2＋y2)＝∫02π(a2cos2t＋a2sin2t)n＝∫02πa2n＋1dt知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、求函數(shù)y＝In[arctan(1－x)]的微分．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、已知向量＝(3，－12，4)，＝(1，0，－2)，＝(1，3，－4)，求在上的投影．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、利用逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分，求級(jí)數(shù)的和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)和函數(shù)為S(x)，即S(x)＝則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、解微分方程y’’＋5y’＋6y＝2e－x．標(biāo)準(zhǔn)答案：y’’＋5y’＋6y＝2e－x．①Ⅰ．方程①對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為r2＋5r＋6＝0，解之得特征根為：r1＝－2，r2＝－3．故①對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為Y＝C1e－2x＋C2e－3x．Ⅱ．方程①的右端項(xiàng)f(x)＝2e－x，因?yàn)棣耍剑?非特征根，故可設(shè)其特解形式為y*＝x0e－xA，即y*＝Ae－x．將y*＝Ae－x，y*’＝－Ae－x，y*’’＝Ae－x代入①中，有2Ae－x＝2e－x，故2A＝2A＝1．故方程①的特解為y*＝e－x．Ⅲ．所以方程①的通解為y＝Y(jié)＋y*＝C1e－2x＋C2e－3x＋e－x．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、求函數(shù)y＝x－arctanx的單調(diào)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：函數(shù)的定義域D＝(－∞，＋∞)．因?yàn)楫?dāng)x∈(－∞，＋∞)時(shí)，，所以y＝x－arctanx在(－∞，＋∞)是單調(diào)增加的．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析廣西專升本（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第9套一、綜合題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，年銷售量為106件，每批生產(chǎn)需要準(zhǔn)備費(fèi)1000元，而每件的年庫(kù)存費(fèi)為0．05元．如果銷售是均勻的，求準(zhǔn)備費(fèi)與庫(kù)存費(fèi)之和的總費(fèi)用與年銷售批數(shù)之間的函數(shù)(銷售均勻是指商品庫(kù)存數(shù)為批量的一半)．標(biāo)準(zhǔn)答案