1030數(shù)列與函數(shù)的極限

1030數(shù)列與函數(shù)的極限（1）一、知識回首1、數(shù)列極限制義（1）定義：設(shè){an}是一個無量數(shù)列，a是一個常數(shù)，假如關(guān)于早先給定的隨意小的正數(shù)ε，總存在正整數(shù)N，使得只需正整數(shù)n>N，就有|an-a|<ε，那么就稱數(shù)列{an}以a為極限，記作limnna=a。對前任何有限項狀況沒關(guān)。*（2）幾何解說：設(shè)ε>0，我們把區(qū)間(a-ε，a+ε)叫做數(shù)軸上點a的ε鄰域；極限制義中的不等式|an-a|<ε也能夠?qū)懗蒩-ε<an<a+ε，即an∈(a-ε，a+ε)；所以，借助數(shù)軸能夠直觀地理解數(shù)列極限制義：無論a點的ε鄰域怎么小，數(shù)列{an}從某一項此后的全部項都要進入這個鄰域中，也能夠說點a的隨意小的ε鄰域(a-ε，a+ε)中含有無量數(shù)列{an}的幾乎全部的項，而在這個鄰域以外至多存在有限個項，由此能夠想像無量數(shù)列{an}的項是多么稠密地散布在點a的鄰近。2、幾個常用極限①limnC=C（常數(shù)列的極限就是這個常數(shù)）②設(shè)a>0，則特別地lim10nn③設(shè)q∈(-1，1)，則nlimqn=0；q1,limqn1;q1,或q1,limqn不存在。nn若無量等比數(shù)列a1,aq,,aqn1,q1叫無量遞縮等比數(shù)列，其全部項的和（各項的和）為：slimsna11qn3、數(shù)列極限的運算法例limlimlimlim(an·bn)=A·B假如nan=A，nbn=B，那么(1)n(an±bn)=A±B(2)nliman=A(3)n(B≠0)bnB極限不存在的狀況是1、liman；2、極限值不獨一，跳躍，如1，-1，1，-1.n注意：數(shù)列極限運算法例運用的前提:(1)參加運算的各個數(shù)列均有極限;運用法例,只合用于有限個數(shù)列參加運算,當無窮個數(shù)列參加運算時不可以第一套用.二.基本訓(xùn)練1、lim2n21；lim3n22n22=2=n3n2nnnn135(2n1)2、lim2462n=_________________n3．已知a、b、c是實常數(shù)，且limanc2,limbn2c3,則liman2c的值是（22）nbncncnbncna113D.6A.B.C.12624．已知a、b都是實數(shù)，且a>0，假如lim(b)n0，那么a與b的關(guān)系是（）nabaA.a<2bB.－a<2bC.－a<bD.－a<b<25.在等比數(shù)列中，a1>1,前項和Sn知足limSn1，那么a1的取值范圍是na1（）（A）（1，＋∞）（B）（1，4）（C）（1，2）（D）（1，2）n1nS1031）S532n（A）2（B）－2（C）2(D)－233三、例題剖析例1求以下極限lim(n3n2)limn(n1-n)](1)n2n2-(2)n[12n1lim(1473n2liman(1a)(1an1)(a≠1)(3)nn2+n2+2++n2)(4)nan1(1a)(1nna)例2：已知nlim(3n2cn14n)=5，求常數(shù)a、b、c的值。an2bn例3．設(shè)數(shù)列a12nnn的關(guān)系是Sn1ban1n，此中，a，，a，的前n項的和S和a(1b)b是與n沒關(guān)的常數(shù)，且b≠―1（1）求ann－1n的表達式（;3）當0<b<1時，求極限limSnn例4、已知數(shù)例{an}前n項之和Sn=1+kan（k為不是0、1的常數(shù)）。(1)用n，k表示an；(2)若limnSn=1，求k的取值范圍。例5、某城市2001年終汽車保有量為30萬輛，估計今后每年報廢上一年終汽車保有量的6%，而且每年新增汽車數(shù)目同樣，為保護城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超出60萬輛，那么每年新增汽車數(shù)目不該超出多少輛？備用:某縣地處水鄉(xiāng)，縣政府原計劃從今年起填湖圍造一部分生產(chǎn)和生活用地。但依據(jù)前幾年抗洪救災(zāi)獲得的經(jīng)驗教訓(xùn)和環(huán)境保護、生態(tài)均衡的要求，準備從頭研究改正計劃。為了追求合理的計劃方案，需要研究以下問題：(1)若按原計劃填湖造地，水面的減少必定導(dǎo)致蓄水能力的降落。為了保證防洪能力不會降落，除了填湖花費外，還需要增添排水設(shè)施費用，所需經(jīng)費與當年所填湖造地的面積x（畝）的平方成正比，其比率系數(shù)為a。又知每畝水面的年均勻經(jīng)濟利潤為b元，填湖造地后的每畝土地的年均勻經(jīng)濟利潤為c元（此中a，b，c均為常數(shù)）。若按原計劃填湖造地，且使得今年的利潤不小于支出，試求所填面積x的最大值。(2)假如以每年1%的速度減少填湖造地的新增面積，并為保證水面的蓄洪能力和環(huán)保要求，填湖造地的總面積永久不可以超出現(xiàn)有水面面積的1，求今年填湖造地的面積最多只好4占現(xiàn)有水面的百分之幾？分析：(1)收入不小于支出的條件能夠表示為：cx-(ax2+bx)≥0即ax2+(b-c)x≤0，x[ax-(c-b)]≤0當c-b≤0時，cb≤x≤0，此時不可以填湖造地a當c-b>0時，0≤x≤cb，此時所填面積的最大值為cb畝。aa(2)設(shè)該縣現(xiàn)有水面為m畝，今年填湖造地的面積為x畝，則x+(1-1%)x+(1-1%)2x+m+(1-1%)nx+≤4x≤m，即x≤m=0.25%m不等式左側(cè)是無量等比數(shù)列的和，故有10.994400今年填湖造地的面積最多只好據(jù)有水面的0.25%。[思想點拔]此列應(yīng)用數(shù)極限解決實質(zhì)問題。三、講堂小結(jié)1、極限的四則運算，要特別注意四則運算的條件能否知足。limqnlim1