分段低次插值

關(guān)于分段低次插值1第1頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例：考慮函數(shù)，它在上的各階導(dǎo)數(shù)均存在.所構(gòu)造的拉格朗日插值多項(xiàng)式為取上的個(gè)等距節(jié)點(diǎn)令則2第2頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三表2-5列出了時(shí)的的計(jì)算結(jié)果及在上的誤差圖2-5問(wèn)題：從表和圖中的結(jié)果你發(fā)現(xiàn)了什么？3第3頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三從圖上看到，在附近,與偏離很遠(yuǎn)，這說(shuō)明用高次插值多項(xiàng)式近似效果并不好.解決辦法：不用高次插值，改用分段低次插值.

表中，隨的增加，的絕對(duì)值幾乎成倍增加.這說(shuō)明當(dāng)時(shí)在上是不收斂的.問(wèn)題：如何克服龍格現(xiàn)象呢？上述現(xiàn)象稱(chēng)為龍格現(xiàn)象。Runge證明了，存在一個(gè)常數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，而當(dāng)時(shí)發(fā)散.4第4頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三下圖是用Matlab完成的Lagrange插值（附程序）：5第5頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三附：Lagrange插值程序n=11;m=61;x=-5:10/(m-1):5;y=1./(1+x.^2);z=0*x;x0=-5:10/(n-1):5;y0=1./(1+x0.^2);y1=lagr1(x0,y0,x);plot(x,z,‘r’,x,y,‘k:’,x,y1,‘r’)gtext(‘Lagr.’),gtext(‘y=1/(1+x^2)’)title(‘Lagrange’)6第6頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三附：Lagrange插值子程序lagr1:functiony=lagr1(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);fori=1:mz=x(i);s=0.0;fork=1:np=1.0;forj=1:nifj~=kp=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));endends=p*y0(k)+s;endy(i)=s;end7第7頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2.5.2分段線(xiàn)性插值由于升高插值多項(xiàng)式的階數(shù)有時(shí)并不能達(dá)到提高精度的效果,所以實(shí)際中往往采用分段插值的思想.分段插值的基本思想是將插值區(qū)間劃分為若干個(gè)小區(qū)間,然后在每個(gè)小區(qū)間上做滿(mǎn)足一定條件的低階插值.8第8頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三設(shè)已知節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值記求一折線(xiàn)函數(shù),滿(mǎn)足：在每個(gè)小區(qū)間上是線(xiàn)性函數(shù).則稱(chēng)為分段線(xiàn)性插值函數(shù).所謂分段線(xiàn)性插值就是通過(guò)插值點(diǎn)用折線(xiàn)段連接起來(lái)逼近一、分段線(xiàn)性插值9第9頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三由定義可知在每個(gè)小區(qū)間上可表示為(5.1)若用插值基函數(shù)表示，則在整個(gè)區(qū)間上為(5.2)其中基函數(shù)滿(mǎn)足條件其形式是(5.3)10第10頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三利用線(xiàn)性插值余項(xiàng)公式,得到分段線(xiàn)性插值的誤差估計(jì)則(5.4)其中11第11頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三12第12頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三下圖是用Matlab完成的分段線(xiàn)性插值（附程序）：13第13頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三附：分段線(xiàn)性插值程序n=11;m=61;x=-5:10/(m-1):5;y=1./(1+x.^2);z=0*x;x0=-5:10/(n-1):5;y0=1./(1+x0.^2);y1=interp1(x0,y0,x);plot(x,z,’r’,x,y,’k:’,x,y1,’r’)gtext(‘Piece.–linear.’),gtext(‘y=1/(1+x^2)’)title(‘PiecewiseLinear’)注：interp1(x0,y0,x)為Matlab中現(xiàn)成的分段線(xiàn)性插值程序.14第14頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2.5.3分段三次埃爾米特插值分段線(xiàn)性插值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是間斷的，若在節(jié)點(diǎn)上除已知函數(shù)值外還給出導(dǎo)數(shù)值在每個(gè)小區(qū)間上是三次多項(xiàng)式.插值函數(shù)，這樣就可構(gòu)造一個(gè)導(dǎo)數(shù)連續(xù)的分段滿(mǎn)足條件設(shè)則當(dāng)時(shí)，在上一致收斂于.定理315第15頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2.6三次樣條插值問(wèn)題：1.為什么引進(jìn)分段低次插值？2.分段線(xiàn)性和分段二次插值有何特點(diǎn)？3.分段Hermite插值有何特點(diǎn)？4.是否有辦法在只給出函數(shù)值的情況下，構(gòu)造出一個(gè)具有較高整體光滑度（如二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)）的低次插值函數(shù)呢？16第16頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

2.6.1三次樣條函數(shù)上是三次多項(xiàng)式，其中是給定節(jié)點(diǎn)，若函數(shù)且在每個(gè)小區(qū)間則稱(chēng)是節(jié)點(diǎn)上的三次樣條函數(shù).若在節(jié)點(diǎn)上給定函數(shù)值（6.1）則稱(chēng)為三次樣條插值函數(shù).定義4并成立17第17頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三由于在每個(gè)小區(qū)間上有4個(gè)待定系數(shù)，共有個(gè)小區(qū)間，所以共有個(gè)待定參數(shù).由于在上二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，所以在節(jié)點(diǎn)處應(yīng)滿(mǎn)足連續(xù)性條件這些共有個(gè)條件，再加上本身還要滿(mǎn)足的個(gè)插值條件，共有個(gè)條件，還需要2個(gè)才能確定.（6.2）18第18頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三通?？稍趨^(qū)間端點(diǎn)上各加一個(gè)條件1.已知兩端的一階導(dǎo)數(shù)值，即（6.3）（6.5）稱(chēng)為自然邊界條件.2.已知兩端的二階導(dǎo)數(shù)，即其特殊情況為（6.4）（6.5）’常見(jiàn)的邊界條件有以下3種：（稱(chēng)為邊界條件），19第19頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三此時(shí)插值條件（6.1）中.這樣確定的樣條函數(shù)稱(chēng)為周期樣條函數(shù).這時(shí)邊界條件應(yīng)滿(mǎn)足（6.6）3.當(dāng)是以為周期的周期函數(shù)時(shí)，則要求也是周期函數(shù).20第20頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

2.6.2樣條插值函數(shù)的建立下面利用的二階導(dǎo)數(shù)值表示.由于在區(qū)間上是三次多項(xiàng)式，故在上是線(xiàn)性函數(shù)，（6.7）對(duì)積分兩次并利用及，可表示為可定出積分常數(shù)，于是得三次樣條表達(dá)式21第21頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三這里是未知的.（6.8）22第22頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三為了確定,對(duì)求導(dǎo)得（6.9）同理可得：23第23頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（6.11）對(duì)第一種邊界條件（6.3），可導(dǎo)出兩個(gè)方程（6.12）利用可得（6.10）其中

24第24頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三如果令

（6.13）那么（6.10）及（6.12）可寫(xiě)成矩陣形式

25第25頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

對(duì)第二種邊界條件（6.4），直接得端點(diǎn)方程（6.14）如果令,也可以寫(xiě)成（6.13）的矩陣形式.則（6.10）和（6.14）26第26頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

對(duì)于第三種邊界條件（6.5），可得其中

（6.15）（6.10）和（6.15）可以寫(xiě)成矩陣形式27第27頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（6.16）

（6.13）和（6.16）是關(guān)于的三對(duì)角方程組，在力學(xué)上解釋為細(xì)梁在截面處的彎矩，稱(chēng)為的矩，

（6.13）和（6.16）的系數(shù)矩陣為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣，有唯一解,求解方法可見(jiàn)5.3節(jié)追趕法，將解得結(jié)果代入（6.8）的表達(dá)式即可.方程組（6.13）和（6.16）稱(chēng)為三彎矩方程.28第28頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

設(shè)為定義在上的函數(shù)，在節(jié)點(diǎn)試求三次樣條函數(shù)，使它滿(mǎn)足邊界條件

例7上的值如下：29第29頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三由此得矩陣形式的方程組（6.13）為

解由（6.11）及（6.12）30第30頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三求解得31第31頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三代入（6.8）得曲線(xiàn)見(jiàn)圖2-6圖2-632第32頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三給定函數(shù)節(jié)點(diǎn)用三次樣條插值求取直接上機(jī)計(jì)算可求出在表2-6所列各點(diǎn)的值.例833第33頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三34第34頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三下圖是用Matlab完成的樣條插值（附程序）：35第35頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三附：樣條插值程序n=11;m=61;x=-5:10/(m-1):5;y=1./(1+x.^2);z=0*x;x0=-5:10/(n-1):5;y0=1./(1+x0.^2);y1=interp1(x0,y0,x,’spline’);plot(x,z,’r’,x,y,’k:’,x,y1,’r’)gtext(‘Spline’),gtext(‘y=1/(1+x^2)’)title(‘Spline’)注：interp1(x0,y0,x,