函數(shù)的最大值與最小值

關(guān)于函數(shù)的最大值與最小值第1頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三一、復(fù)習(xí)引入①如果在x0附近的左側(cè)f/（x）>0,右側(cè)f/(x)<0,那么,f(x0)是極大值;

②如果在x0附近的左側(cè)f/(x)<0,右側(cè)f/(x)>0,那么,f(x0)是極小值.2.導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)是該點(diǎn)為極值點(diǎn)的必要條件,而不是充分條件.極值只能在函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零且在其附近左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號(hào)時(shí)取到.3.在某些問題中,往往關(guān)心的是函數(shù)在一個(gè)定義區(qū)間上,

哪個(gè)值最大,哪個(gè)值最小,而不是極值.1.當(dāng)函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)時(shí),判別f(x0)是極大(小)值的方法是:第2頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三二、新課—函數(shù)的最值xX2oaX3bx1y觀察右邊一個(gè)定義在區(qū)間[a,b]上的函數(shù)y=f(x)的圖象，你能找出函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的最大值、最小值嗎？發(fā)現(xiàn)圖中____________是極小值，_________是極大值，在區(qū)間上的函數(shù)的最大值是______，最小值是_______。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3)問題在于如果在沒有給出函數(shù)圖象的情況下，怎樣才能判斷出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？第3頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三三、例題選講例1:求函數(shù)y=x4-2x2+5在區(qū)間[-2,2]上的最大值與最小值.解:令,解得x=-1,0,1.當(dāng)x變化時(shí),的變化情況如下表:x-2(-2,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,2)2y’

-0

+0

-0

+y13↘4↗5↘4↗13從上表可知,最大值是13,最小值是4.第4頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三一般地，求函數(shù)y=f(x)在[a,b]上的最大值與最小值的步驟如下：①:求y=f(x)在(a，b)內(nèi)的極值(極大值與極小值);

②:將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)、f(b)比較,其中最大的一個(gè)為最大值,最小的一個(gè)為最小值.求函數(shù)的最值時(shí),應(yīng)注意以下幾點(diǎn):(1)函數(shù)的極值是在局部范圍內(nèi)討論問題,是一個(gè)局部概

念,而函數(shù)的最值是對整個(gè)定義域而言,是在整體范圍內(nèi)討論問題,是一個(gè)整體性的概念.(2)閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)一定有最值.開區(qū)間(a,b)內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)不一定有最值,但若有唯一的極值,則此極值必是函數(shù)的最值.第5頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三

(3)函數(shù)在其定義域上的最大值與最小值至多各有一個(gè),而函數(shù)的極值則可能不止一個(gè),也可能沒有極值,并且極大值(極小值)不一定就是最大值(最小值),但除端點(diǎn)外在區(qū)間內(nèi)部的最大值(或最小值),則一定是極大值(或極小值).

(4)如果函數(shù)不在閉區(qū)間[a,b]上可導(dǎo),則在確定函數(shù)的最值時(shí),不僅比較該函數(shù)各導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)與端點(diǎn)處的值,還要比較函數(shù)在定義域內(nèi)各不可導(dǎo)的點(diǎn)處的值.

(5)在解決實(shí)際應(yīng)用問題中,如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)(這樣的函數(shù)稱為單峰函數(shù)),那么要根據(jù)實(shí)際意義判定是最大值還是最小值即可,不必再與端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較.第6頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三延伸1:設(shè),函數(shù)的最大值為1,最小值為,求常數(shù)a,b.解:令得x=0或a.當(dāng)x變化時(shí),,f(x)的變化情況如下表:x-1(-1,0)0(0,a)

a(a,1)

1f’(x)

+0

-

0

+f(x)-1-3a/2+b↗b↘-a3/2+b↗1-3a/2+b由表知,當(dāng)x=0時(shí),f(x)取得極大值b,而f(0)>f(a),f(0)>f(-1),f(1)>f(-1).故需比較f(1)與f(0)的大小.f(0)-f(1)=3a/2-1>0,所以f(x)的最大值為f(0)=b,故b=1.第7頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三又f(-1)-f(a)=(a+1)2(a-2)/2<0,所以f(x)的最小值為f(-1)=-1-3a/2+b=-3a/2,所以延伸2:設(shè)p>1,0≤x≤1,求函數(shù)f(x)=xp+(1-x)p的值域.說明:由于f(x)在[0,1]上連續(xù)可導(dǎo),必有最大值與最小值,

因此求函數(shù)f(x)的值域,可轉(zhuǎn)化為求最值.解:令,則得xp-1=(1-x)p-1,即x=1-x,x=1/2.而f(0)=f(1)=1,因?yàn)閜>1,故1>1/2p-1.所以f(x)的最小值為,最大值為1.從而函數(shù)f(x)的值域?yàn)榈?頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三練習(xí)2:求函數(shù)f(x)=p2x2(1-x)p(p是正數(shù))在[0,1]上的最大值.解:令,解得在[0,1]上,有f(0)=0,f(1)=0,故所求最大值是練習(xí)1:求函數(shù)f(x)=2x3+3x2-12x+14在區(qū)間[-3,4]上的最大值和最小值.答案:最大值為f(4)=142,最小值為f(1)=7.第9頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三四、實(shí)際應(yīng)用1.實(shí)際問題中的應(yīng)用.在日常生活、生產(chǎn)和科研中,常常會(huì)遇到求函數(shù)的最大(小)值的問題.建立目標(biāo)函數(shù),然后利用導(dǎo)數(shù)的方法求最值是求解這類問題常見的解題思路.在建立目標(biāo)函數(shù)時(shí),一定要注意確定函數(shù)的定義域.在實(shí)際問題中,有時(shí)會(huì)遇到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)使的情形,如果函數(shù)在這個(gè)點(diǎn)有極大(小)值,那么不與端點(diǎn)值比較,也可以知道這就是最大(小)值.這里所說的也適用于開區(qū)間或無窮區(qū)間.滿足上述情況的函數(shù)我們稱之為“單峰函數(shù)”.第10頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三例1:在邊長為60cm的正方形鐵皮的四角切去相等的正方形,再把它的邊沿虛線折起(如圖),做成一個(gè)無蓋的方底箱子,箱底邊長為多少時(shí),箱子的容積最大?最大容積是多少?解:設(shè)箱底邊長為x,則箱高h(yuǎn)=(60-x)/2.箱子容積

V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60).令,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)=16000.由題意可知,當(dāng)x過小(接近0)或過大(接近60)時(shí),箱子的容積很小,因此,16000是最大值.答:當(dāng)x=40cm時(shí),箱子容積最大,最大容積是16000cm3.第11頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三類題:圓柱形金屬飲料罐的容積一定時(shí),它的高與底半徑應(yīng)怎樣選取,才能使所用的材料最省?解:設(shè)圓柱的高為h,底半徑為r,則表面積S=2πrh+2πr2.由V=πr2h,得,則令,解得,從而

,即h=2r.由于S(r)只有一個(gè)極值,所以它是最小值.答:當(dāng)罐的高與底半徑相等時(shí),所用的材料最省.第12頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三例2:如圖,鐵路線上AB段長

100km,工廠C到鐵路的距離CA=20km.現(xiàn)在要在AB上某一處D,向C修一條公路.已知鐵路每噸千米與公路每噸千米的運(yùn)費(fèi)之比為3:5.為了使原料從供應(yīng)站B運(yùn)到工廠C的運(yùn)費(fèi)最省,D應(yīng)修在何處?BDAC解:設(shè)DA=xkm,那么DB=(100-x)km,CD=km.又設(shè)鐵路上每噸千米的運(yùn)費(fèi)為3t元,則公路上每噸千米的運(yùn)費(fèi)為5t元.這樣,每噸原料從供應(yīng)站B運(yùn)到工廠C的總運(yùn)費(fèi)為第13頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三令,在的范圍內(nèi)有唯一解x=15.所以,當(dāng)x=15(km),即D點(diǎn)選在距A點(diǎn)15千米時(shí),總運(yùn)費(fèi)最省.注:可以進(jìn)一步討論,當(dāng)AB的距離大于15千米時(shí),要找的最優(yōu)點(diǎn)總在距A點(diǎn)15千米的D點(diǎn)處;當(dāng)AB之間的距離不超過15千米時(shí),所選D點(diǎn)與B點(diǎn)重合.練習(xí):已知圓錐的底面半徑為R,高為H,求內(nèi)接于這個(gè)圓錐體并且體積最大的圓柱體的高h(yuǎn).答:設(shè)圓柱底面半徑為r,可得r=R(H-h)/H.易得當(dāng)h=H/3

時(shí),圓柱體的體積最大.2.與數(shù)學(xué)中其它分支的結(jié)合與應(yīng)用.第14頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三xy例1:如圖,在二次函數(shù)f(x)=4x-x2的圖象與x軸所圍成的圖形中有一個(gè)內(nèi)接矩形ABCD,求這個(gè)矩形的最大面積.解:設(shè)B(x,0)(0<x<2),則

A(x,4x-x2).從而|AB|=4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面積為:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).令,得所以當(dāng)時(shí),因此當(dāng)點(diǎn)B為時(shí),矩形的最大面積是第15頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三例2:已知x,y為正實(shí)數(shù),且x2-2x+4y2=0,求xy的最大值.解:由x2-2x+4y2=0得:(x-1)2+4y2=1.設(shè),由x,y為正實(shí)數(shù)得:設(shè)令,得又,又f(0)=f(π)=0,故當(dāng)時(shí),第16頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三例3:證明不等式:證:設(shè)則令,結(jié)合x>0得x=1.而0<x<1時(shí),;x>1時(shí),,所以x=1是f(x)的極小值點(diǎn).所以當(dāng)x=1時(shí),f(x)取最小值f(1)=1.從而當(dāng)x>0時(shí),f(x)≥1恒成立,即:

成立.第17頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三五、小結(jié)1.求在[a,b]上連續(xù),(a,b)上可導(dǎo)的函數(shù)f(x)在[a,b]上的最值的步驟:(1)求f(x)在(a,b)內(nèi)的極值;(2)將f(x)的各極