信號與系統(tǒng)剛2009年9月2第二章

H(p)為真分式的情況1、D(p)=0的根為單實(shí)根確定k1上式兩邊乘以(p-p1)令p=p1２、D(p)=0的根為重實(shí)根的情況確定k14上式兩邊乘以(p-p1)4令p=p1

§2-3沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)

單位沖激響應(yīng)：以單位沖激信號(t)作激勵時，系統(tǒng)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)，以h(t)表示。單位階躍響應(yīng)：以單位階躍信號(t)作激勵，系統(tǒng)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)，以g(t)表示。h(t)與g(t)的關(guān)系：分三種情況：1、n>m時H(p)為真分式設(shè)D(p)=0的根為n個單根，即1、2、…、n,則有:

沖激響應(yīng)h(t)的求法：求單位沖激響應(yīng)h(t)可通過H(p)來求令第n項(xiàng)為：兩邊同乘以有：兩邊同時在區(qū)間(0-,t)積分，有：因此：H(p)為真分式時，設(shè)分母D(p)=0的根為n個單根，即1、2、…、n，則有:

結(jié)論零輸入響應(yīng)注意:h(t)與零輸入響應(yīng)yx(t)具有相同的形式,只是系數(shù)求法不同，yx(t)中系數(shù)由初始條件確定，而h(t)系數(shù)則是部分分式中的系數(shù)。例2-9系統(tǒng)微分方程為試求其單位沖激響應(yīng)。解：系統(tǒng)傳遞算子為：沖激響應(yīng)為：h(t)=0.5e-t(t)+0.5e-3t(t)若D(p)=0在處有r重根,則H(p)的部分分式中含有:

對應(yīng)的h(t)中包含有：2、n=m時單位沖激響應(yīng)為：h(t)包含沖激函數(shù)(t)項(xiàng)例2-10已知求h(t)解：系統(tǒng)傳遞算子為：單位沖激響應(yīng)為：h(t)=(t)+(2e-t-e-2t)(t)3、n<m時例2-11已知求h(t)解：系統(tǒng)傳遞算子為：單位沖激響應(yīng)為：h(t)=3’(t)-4(t)+(2e-t-e-2t)(t)§2-4卷積(convolution)

一、定義設(shè)兩個時間函數(shù)f(t)=(t)和

h(t)=Ae-at(t)(a>0)1、將f(t)、h(t)中的自變量t改10f(t)tA0h(t)t10f()

A0h()

2、將h()折疊得到h(-)A0h(t-)

tA0h(-)

3、將h(-)沿軸平移t，得到h(t-)4、將f()與h(t-)相乘，波形為：A0f()h(t-)

t5、將f()h(t-)在區(qū)間(-,+)積分記為該積分是f()h(t-)曲線下的面積，稱為卷積例2-12已知:f1(t)=f2(t)=(t)求f1(t)*f2(t)解：f1(t)、f2(t)的波形為：10f1(t)t10f1()

tf2(t-)當(dāng)t<0時，波形沒有重合部分，

f1(t)*f2(t)

=010f1()

tf2(t-)當(dāng)t>0時，波形有重合部分，因此

f1(t)*f2(t)

=t(t)例2-13已知:f1(t)和f2(t)的波形如下，求f1(t)*f2(t)20f1(t)=2e-t

(t)t2012f2(t)t-1解：2012f2()-1f1(t-)t當(dāng)t<0時，波形沒有重合部分，

f1(t)*f2(t)

=0202f2()-1f1(t-)t201t2f2()-1f1(t-)當(dāng)0<t<1時當(dāng)1<t<3時所以：2012tf2()-1f1(t-)當(dāng)t>3時二、運(yùn)算規(guī)律1、交換律f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)證明:令=t-=t-d=-d2、分配律

f1(t)*[f2(t)+f3(t)]=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f2(t)3、結(jié)合律

[f1(t)*f2(t)]*f3(t)=f1(t)*[f2(t)*f3(t)]三、主要性質(zhì)1、微分證明：同理可證明：例2-10已知:(t)*(t)=t(t),f1(t)=(t),f2(t)=(t),

求f1(t)*f2(t)解：2、f’1(t)與卷積證明：微分性3、積分證明：同理可證明：4、f(t)*(t)=f(t)證明：推廣：f(t)*(t-T)=f(t-T)f(t-T1)*(t-T2)=f(t-T1-T2)例2-14已知:f1(t)和f2(t)的波形如下，求f1(t)*f2(t)20f1(t)=2e-t

(t)t2012f2(t)t-1解：(2)012f2’(t)t(3)(1)例已知門函數(shù)G(t)的波形如下圖，求G(t)*G(t)并畫出其波形。1G(t)t/2-/2t-t-G-1(t)t/2-/21G’(t)t/2-/2(1)(1)t-例2-15已知:f1(t)=(t+2)+(t-3)f2(t)的波形如下，試畫出f1(t)*f2(t)的波形。01f2(t)t-1解：f1(t)*f2(t)=[(t+2)+(t-3)]*f2(t)=f2(t+2)+f2(t-3)f1(t)*f2(t)的波形為：01f1(t)*f2(t)t-23例2-16已知:f(t)*t(t)=(t+e-t-1)(t)

求f(t)分析：卷積積分不易求逆，故利用卷積的微分性質(zhì)求f(t)解：等式右邊求導(dǎo)，有例2-17已知門函數(shù)G(t)與單位沖激序列T(t)的波形如下圖，求G(t)*T(t)

，并畫出其波形。1G(t)t/2-/2t0(1)T(t)T2T-T-2Tt01G(t)*T(t)T2T-T-2T解:5、f(t)與(t)的卷積證明：6、時移性

設(shè)f1(t)*f2(t)=y(t)，則有f1(t)*f2(t-T1)=y(t-T1)證明：因?yàn)閒2(t-T1)=f2(t)*(t-T1)

所以f1(t)*f2(t-T2)=f1(t)*[f2(t)*(t-T1)]