高中數(shù)學(xué)第二章《離散型隨機(jī)變量的方差》教案新人教A版選修2-3

2．3．2失散型隨機(jī)變量的方差一、復(fù)習(xí)引入：隨機(jī)變量：假如隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果能夠用一個(gè)變量來(lái)表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量隨機(jī)變量常用希臘字母ξ、η等表示失散型隨機(jī)變量:對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，能夠按必定序次一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做失散型隨機(jī)變量3．連續(xù)型隨機(jī)變量

:對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，

能夠取某一區(qū)間內(nèi)的全部值，

這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量4.失散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的差別與聯(lián)系

:

失散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量都是用變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果；可是失散型一一列出，而連續(xù)性隨機(jī)變量的結(jié)果不能夠一一列出5.散布列:

隨機(jī)變量的結(jié)果能夠按必定序次ξx1x2xiP12Pi6.散布列的兩個(gè)性質(zhì)：⑴P≥0，i＝1，2，；⑵P1+P2+=1．i7.二項(xiàng)散布:ξ～B(n，p)，并記Cnkpkqnk＝b(k；n，p)．ξ01knPCn0p0qnCn1p1qn1CnkpkqnkCnnpnq08.幾何散布：g(k，p)=qk1p，此中k＝0,1,2,，q1p．ξ123kPppqq2pqk1p9.數(shù)學(xué)希望:一般地，若失散型隨機(jī)變量ξ的概率散布為ξx1x2xnPp1p2pn則稱Ex1p1x2p2xnpn為ξ的數(shù)學(xué)希望，簡(jiǎn)稱希望．10.數(shù)學(xué)希望是失散型隨機(jī)變量的一個(gè)特點(diǎn)數(shù)，它反應(yīng)了失散型隨機(jī)變量取值的均勻水平11均勻數(shù)、均值:在有限取值失散型隨機(jī)變量ξ的概率散布中，令p1p2pn，則有p1p21，E(x1x21，所以ξ的數(shù)學(xué)希望又稱為pnxn)平nn均數(shù)、均值12.希望的一個(gè)性質(zhì):E(ab)aEb13.若ξB（n,p），則Eξ=np二、解說(shuō)新課：1.方差:對(duì)于失散型隨機(jī)變量ξ，假如它所有可能取的值是x1，x2，，xn，，且取這些值的概率分別是p1，p2，，pn，，那么,D＝(x1E)2p1＋(x2E)2p2＋＋(xnE)2pn＋稱為隨機(jī)變量ξ的均方差，簡(jiǎn)稱為方差，式中的E是隨機(jī)變量ξ的希望．2.標(biāo)準(zhǔn)差:D的算術(shù)平方根D叫做隨機(jī)變量ξ的標(biāo)準(zhǔn)差，記作．3.方差的性質(zhì)：（1）D(ab)a2D；（2）DE2(E)2；（3）若ξ～B(n，p)，則Dnp(1-p)其余：⑴隨機(jī)變量ξ的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義式是同樣的；⑵隨機(jī)變量ξ的方差、標(biāo)準(zhǔn)差也是隨機(jī)變量ξ的特點(diǎn)數(shù)，它們都反應(yīng)了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)固與顛簸、集中與失散的程度；⑶標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量自己有同樣的單位，所以在實(shí)質(zhì)問(wèn)題中應(yīng)用更寬泛三、解說(shuō)典范：例1．隨機(jī)投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子

,求向上一面的點(diǎn)數(shù)的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差

.解：投擲散子所得點(diǎn)數(shù)

X的散布列為ξ

1

2

3

4

5

6P111111666666進(jìn)而EX1121314151613.5;666666DX1.71.例2．有甲乙兩個(gè)單位都愿意聘任你，而你能獲取以下信息：甲單位不一樣職位月薪資X/元12001400160018001獲取相應(yīng)職位的概率P10.40.30.20.1乙單位不一樣職位月薪資X2/元1000140018002000獲取相應(yīng)職位的概率P0.40.30.20.12依據(jù)薪資待遇的差別狀況，你愿意選擇哪家單位？解：依據(jù)月薪資的散布列，利用計(jì)算器可算得EX1=1200×0.4+1400×0.3+1600×0.2+1800×0.1=1400,DX=(1200-1400)22×0.4+(1400-1400)×0.31+(1600-1400)2×0.2+(1800-1400)2×0.1=40000;EX2＝1000×0.4+1400×0.3+1800×0.2+2200×0.1=1400,DX2=(1000-1400)2×0.4+(1400-1400)×0.3+(1800-1400)2×0.2+(2200-1400)20.l=160000.因?yàn)镋X1=EX2,DX1<DX2，所以兩家單位的薪資均值相等，但甲單位不一樣職位的薪資相對(duì)集中，乙單位不一樣職位的薪資相對(duì)分別．這樣，假如你希望不一樣職位的薪資差距小一些，就選擇甲單位；假如你希望不一樣職位的薪資差距大一些，就選擇乙單位．例3．設(shè)隨機(jī)變量ξ的散布列為ξ12n111Pnnn求Dξ解：（略）En1Dn2-12,12例4．已知失散型隨機(jī)變量1的概率散布為112345671111111P7777777失散型隨機(jī)變量2的概率散布為23．73．83．944．14．24．3P11111117777777求這兩個(gè)隨機(jī)變量希望、均方差與標(biāo)準(zhǔn)差解：E11121714；777D1(14)21(24)21(74)214；1D12171717E3.73.84；2774.37D2=0.04,2D20.2.評(píng)論：此題中的1和2都以相等的概率取各個(gè)不一樣的值，但1的取值較為分別，2的取值較為集中．E1E24，D14，D20.04，方差比較清楚地指出了2比1取值更集中．1＝2，

2=0.02，能夠看出這兩個(gè)隨機(jī)變量取值與其希望值的誤差例5．甲、乙兩射手在同一條件下進(jìn)行射擊，散布列以下：射手甲擊中環(huán)數(shù)的概率分別為0.2,0.6,0.2;射手乙擊中環(huán)數(shù)8，9，10的概率分別為0.4,0.2,0.24環(huán)數(shù)的希望與方差比較兩名射手的射擊水平

8，9，10用擊中解：

E

1

80.2

90.6

100.2

9D

1

(8

9)2

0.2(9

9)2

0.6+（10-9）2

0.2

0.4；同理有

E

2

9,D

2

0.8由上可知，

E

1

E2，D

1

D2所以，在射擊以前，能夠展望甲、乙兩名射手所得的均勻環(huán)數(shù)很靠近，均在9環(huán)左右，但甲所得環(huán)數(shù)較集中，以散，得8、10環(huán)地次數(shù)多些．

9環(huán)居多，而乙得環(huán)數(shù)較分評(píng)論：此題中，

1和

2所有可能取的值是一致的，不過(guò)概率的散布狀況不同．

E

1

E2=9，這時(shí)就經(jīng)過(guò)

D1=0.4

和D

2=0.8

來(lái)比較

1和

2的失散程度，即兩名射手成績(jī)的穩(wěn)固狀況例6．A、B兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)加工部件，每生產(chǎn)一批數(shù)目較大的產(chǎn)品時(shí)，出次品的概率以下表所示：A機(jī)床B機(jī)床次品數(shù)ξ10123次品數(shù)ξ10123概率P0.70.20.060.04概率P0.80.060.040.10問(wèn)哪一臺(tái)機(jī)床加工質(zhì)量較好解：Eξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44,Eξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44.它們的希望同樣，再比較它們的方差Dξ1=（0-0.44）2×0.7+（1-0.44）2×0.2+（2-0.44）20.06+（3-0.44）2×0.04=0.6064,Dξ2=（0-0.44）2×0.8+（1-0.44）2×0.06+（2-0.44）20.04+（3-0.44）2×0.10=0.9264.∴Dξ<Dξ2故A機(jī)床加工較穩(wěn)固、質(zhì)量較好.1四、講堂練習(xí)：1.已知~Bn,p,E8,D1.6，則n,p的值分別是（）A．100和0.08；B．20和0.4；C．10和0.2；D．10和0.8答案：1.D一盒中裝有部件12個(gè)，此中有9個(gè)正品，3個(gè)次品，從中任取一個(gè)，假如每次拿出次品就不再放回去，再取一個(gè)部件，直到獲得正品為止．求在獲得正品以前已拿出次品數(shù)的希望．剖析：波及次品率；抽樣能否放回的問(wèn)題．本例采納不放回抽樣，每次抽樣后次品率將會(huì)發(fā)生變化，即各次抽樣是不獨(dú)立的．假如抽樣采納放回抽樣，則各次抽樣的次品率不變，各次抽樣能否抽出次品是完整獨(dú)立的事件．解：設(shè)獲得正品以前已拿出的次品數(shù)為ξ，明顯ξ所有可能取的值為0，1，2，3當(dāng)ξ=0時(shí)，即第一次獲得正品，試驗(yàn)停止，則P（ξ=0）=93124當(dāng)ξ=1時(shí)，即第一次拿出次品，第二次獲得正品，試驗(yàn)停止，則P（ξ=1）=399121144當(dāng)ξ=2時(shí)，即第一、二次拿出次品，第三次獲得正品，試驗(yàn)停止，則P（ξ=2）=3299121110220當(dāng)ξ=3時(shí)，即第一、二、三次拿出次品，第四次獲得正品，試驗(yàn)停止，則P（ξ=3）=321911211109220所以，Eξ=031929313444220220103.有一批數(shù)目很大的商品的次品率為1%，從中隨意地連續(xù)拿出200件商品，設(shè)此中次品數(shù)為ξ，求Eξ，Dξ剖析：波及產(chǎn)品數(shù)目很大，并且抽查次數(shù)又相對(duì)較少的產(chǎn)品抽盤(pán)問(wèn)題．因?yàn)楫a(chǎn)品數(shù)目很大，因此抽樣時(shí)抽出次品與否對(duì)后邊的抽樣的次品率影響很小，所以能夠以為各次抽查的結(jié)果是相互獨(dú)立的．解答此題，重點(diǎn)是理解清楚：抽200件商品能夠看作200次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，即ξB（200，1%），進(jìn)而可用公式：Eξ=np，Dξ=npq(這里q=1-p)直接進(jìn)行計(jì)算解：因?yàn)樯唐窋?shù)目相當(dāng)大，抽200件商品能夠看作200次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，所以ξB（200，1%）因?yàn)镋ξ=np，Dξ=npq，這里n=200，p=1%，q=99%，所以，Eξ=200×1%=2,Dξ=200×1%×99%=1.984.設(shè)事件A發(fā)生的概率為p，證明事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生次數(shù)ξ的方差不超出1/4剖析：這是一道純數(shù)學(xué)識(shí)題．要修業(yè)生熟習(xí)隨機(jī)變量的希望與方差的計(jì)算方法，重點(diǎn)還是掌握隨機(jī)變量的散布列．求出方差Dξ=P(1-P)后，我們知道Dξ是對(duì)于P(P≥0)的二次函數(shù)，這里可用配方法，也可用重要不等式證明結(jié)論證明：因?yàn)棣嗡锌赡苋〉闹禐?，1且P（ξ=0）=1-p,P(ξ=1)=p,所以，Eξ=0×(1-p)+1×p=p2則Dξ=（0-p）2×(1-p)+(1-p)2×p=p(1-p)p(1p)124有A、B兩種鋼筋，從中取等量樣品檢查它們的抗拉強(qiáng)度，指標(biāo)以下：ξA110120125130135ξB100115125130145P0.10.20.40.10.2P0.10.20.40.10.2此中ξA、ξB分別表示A、B兩種鋼筋的抗拉強(qiáng)度．在使用時(shí)要求鋼筋的抗拉強(qiáng)度不低于120，試比較A、B兩種鋼筋哪一種質(zhì)量較好剖析：兩個(gè)隨機(jī)變量ξA和ξB&都以同樣的概率0．1，0．2，0．4，0．1，0．2取5個(gè)不一樣的數(shù)值．ξA取較為集中的數(shù)值110，120，125，130，135；ξB取較為分別的數(shù)值100，115，125，130，145．直觀上看，猜想A種鋼筋質(zhì)量較好．但猜想不必定正確，需要經(jīng)過(guò)計(jì)算來(lái)證明我們猜想的正確性解：先比較ξA與ξB的希望值，因?yàn)棣蜛=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125,EξB=100×0.1+115×0.2+125×0.4十130×0.1+145×0.2=125.所以，它們的希望同樣．再比較它們的方差．因?yàn)镈ξA=(110-125)2×0.1+(120-125)0.2=50，DξB=(100-125)2×0.1+(110-125)0.2=165.

22

×0.2+(130-125)2×0.1+(135-125)2××0.2+(130-125)2×0.1+(145-125)2×所以，DξA<DξB.所以，A種鋼筋質(zhì)量較好6.在有獎(jiǎng)摸彩中，一期(刊行10000張彩票為一期)有200個(gè)獎(jiǎng)品是5元的，20個(gè)獎(jiǎng)品是25元的，5個(gè)獎(jiǎng)品是100元的．在不考慮贏利的前提下，一張彩票的合理價(jià)錢(qián)是多少元？剖析：這是同學(xué)們身旁常碰到的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，比方福利彩票、足球彩票、奧運(yùn)彩票等等．一般來(lái)說(shuō)，出臺(tái)各樣彩票，政府要從中收取一部分資本用于公共福利事業(yè)，同時(shí)也要考慮工作人員的薪資等問(wèn)題．此題的“不考慮贏利”的意思是指：所收資本所有用于獎(jiǎng)品方面的花費(fèi)解：設(shè)一張彩票中獎(jiǎng)?lì)~為隨機(jī)變量ξ，明顯ξ所有可能取的值為0，5，25，100依題意，可得ξ的散布列為ξ0525100P391111400505002000答：一張彩票的合理價(jià)錢(qián)是0．2元．五、小結(jié)：⑴求失散型隨機(jī)變量ξ的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的步驟：①理解ξ的意義，寫(xiě)出ξ可能取的所有值；②求ξ取各個(gè)值的概率，寫(xiě)出散布列；③依據(jù)散布列，由希望的定義求出Eξ；④依據(jù)方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義求出D、.若ξ～B(n，p)，則不用寫(xiě)出分布列，直接用公式計(jì)算即可．⑵對(duì)于兩個(gè)隨機(jī)變量1和2，在E1和E2相等或很靠近時(shí)，比較D1和D2，能夠確立哪個(gè)隨機(jī)變量的性質(zhì)更合適生產(chǎn)生活實(shí)質(zhì)，合適人們的需要六、課后作業(yè)：P69練習(xí)1,2,3P69A組4B組1,21.設(shè)～B(n、p)且E