高中數(shù)學(xué)三章空間向量與立體幾何31空間向量其運(yùn)算314空間向量的正交分解其坐標(biāo)表示1數(shù)學(xué)

空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示1．空間向量基本定理定理?xiàng)l件假如三個(gè)向量01pa，b，c□不共面，那么對(duì)空間任一直量結(jié)論02{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc存在□獨(dú)一的有序?qū)崝?shù)組基底與基向量03a，b，c不共面，那么所有空間向量構(gòu)成的會(huì)合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，□假如三個(gè)向量x，，}，這個(gè)會(huì)合可看作是由向量a，，c生成的，我們把{a，，}叫做空間的一個(gè)yz∈Rbbc04基底，□a，b，c都叫做基向量．2．空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示單位正交基底05O的兩兩垂直的單位向量1，2，06e1，2，□三個(gè)有公共起點(diǎn)eeeee3}表示．空間直角坐標(biāo)系07O為原點(diǎn)，分別以08以e1，e2，e3的□公共起點(diǎn)e1，e2，e3的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的□正方向成立空間直角坐標(biāo)系□09Oxyz.空間向量的坐標(biāo)表示1011關(guān)于空間隨意一個(gè)向量p，必定能夠把它□平移，使它的□起點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，獲得向→{x，y12＋ze3.量OP＝p，由空間向量基本定理可知，存在有序?qū)崝?shù)組，z}，使得p＝□xe1＋ye213下的坐標(biāo)，記作14把□x，y，z稱作向量p在單位正交基底e1，e2，e3p＝□(x，y，z)．1．判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)只有兩兩垂直的三個(gè)向量才能作為空間向量的一組基底．()(2)→)向量AP的坐標(biāo)與點(diǎn)P的坐標(biāo)一致．(關(guān)于三個(gè)不共面向量a1，a2，a3，不存在實(shí)數(shù)組{λ1，λ2，λ3}使0＝λ1a1＋λ2a2＋λ3

a3.(

)答案

(1)×

(2)×

(3)×2．做一做(1)(

教材改編

P94T1)假如向量

a，b與任何向量都不可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則

(

)A．a(chǎn)與b共線B．a(chǎn)與b同向C．a(chǎn)與b反向D．a(chǎn)與b共面(2)若向量

i，j，k為空間直角坐標(biāo)系上對(duì)應(yīng)

x軸，y軸，z軸正方向的單位向量，且設(shè)a＝2i－j

＋3k，則向量

a的坐標(biāo)為

________．(3)設(shè)a，b，c是三個(gè)不共面向量，現(xiàn)從①

a－b，②a＋b－c中選出一個(gè)使其與

a，b構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則能夠選擇的向量為

________(填寫代號(hào)

)．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中成立空間直角坐標(biāo)系．已知AB＝AD＝2，BB1＝1，→→則AD1的坐標(biāo)為________，AC1的坐標(biāo)為________．答案(1)A(2)(2，－1,3)(3)②(4)(0,2,1)(2,2,1)研究1基底的觀點(diǎn)例1若{，，}是空間的一個(gè)基底，判斷{＋，b＋，＋}可否作為該空間的一abcabcca個(gè)基底．[解]假定＋，＋，＋a共面，則存在實(shí)數(shù)λ，μ使得a＋＝(b＋)＋μ(cabbccbλca)，所以a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c.{a，b，c}為空間的一個(gè)基底，∴a，b，c不共面，1＝μ，∴1＝λ，此方程組無(wú)解．0＝λ＋μ，a＋b，b＋c，c＋a不共面．{a＋b，b＋c，c＋a}能夠作為空間的一個(gè)基底．拓展提高基底判斷的基本思路及方法基本思路：判斷三個(gè)空間向量能否共面，若共面，則不可以構(gòu)成基底；若不共面，則能構(gòu)成基底．方法：①假如向量中存在零向量，則不可以作為基底；假如存在一個(gè)向量能夠用此外的向量線性表示，不可以構(gòu)成基底．②假定a＝λb＋μc，運(yùn)用空間向量基本定理，成立λ，μ的方程組，如有解，則共面，不可以作為基底；若無(wú)解，則不共面，能作為基底．【追蹤訓(xùn)練1】設(shè)x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，給出以下向量組：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，此中能夠作為空間的基底的向量組有( )A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)答案C分析解法一：由空間向量共面的充要條件知：若x＝a＋b，則x，a，b共面．故①不可以作為基底．若②中，假定x，y，z共面，則z＝λx＋μy，即：c＋a＝λ(a＋b)＋μ(b＋c)，λ＝1，則λ＋μ＝0，此方程組無(wú)解．μ＝1，x，y，z不共面，故②能作為基底．同理，③能作為基底．對(duì)④，若x，y，a＋b＋c共面，則存在實(shí)數(shù)λ，μ，使a＋b＋c＝λx＋μy＝λ(a＋b)μ(b＋c)λ＝1，即λ＋μ＝1，此方程組無(wú)解．μ＝1，∴x，y，a＋b＋c不共面，故④能作為基底．解法二：以下圖，→→→設(shè)a＝AB，b＝AA1，c＝AD，→→則x＝AB1，y＝AD1，→→z＝AC，a＋b＋c＝AC1，由A，B1，C，D1四點(diǎn)不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理可知b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面．研究2用基底表示向量例2以以下圖，在平行六面體ABCD－ABCD中，P是CA的中點(diǎn)，M是CD的中點(diǎn)，N是111111→→→C1D1的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是CA1上的點(diǎn)，且CQ∶QA1＝4∶1，AB＝a，AD＝b，AA1＝c，用基底{a，b，c}表示以下向量：→→→→(1)AP；(2)AM；(3)AN；(4)AQ.[解]連結(jié)AC，AC1.→(1)AP＝→(2)AM＝

1→→(AC＋AA1)＝21→→(AC＋AD1)＝2

1→→→11112(AB＋AD＋AA1)＝(a＋b＋c)＝a＋b＋c.22221→→→1112(AB＋2AD＋AA1)＝(a＋2b＋c)＝a＋b＋c.222→1→→1→→→→→1(3)AN＝2(AC1＋AD1)＝2[(AB＋AD＋AA1)＋(AD＋AA1)]＝2a＋b＋c.→→→→4→→1→4→1→1→4→114(4)AQ＝AC＋CQ＝AC＋(AA1－AC)＝AC＋AA1＝AB＋AD＋AA1＝a＋b＋c.555555555[結(jié)論研究]假如把例2中要表示的向量改為→→→A1C，BM，BQ，如何解答呢？→→→→→→＝a＋b－c.解A1C＝AC－AA1＝(AB＋AD)－AA1→→→→1→→1→→→1→→→1→→1111111(－a＋c)＝－2a＋b＋2c.→→→→→114414BQ＝BA＋AQ＝－AB＋AQ＝－a＋5a＋5b＋5c＝－5a＋5b＋5c.拓展提高用基底表示向量的步驟定基底：依據(jù)已知條件，確立三個(gè)不共面的向量構(gòu)成空間的一個(gè)基底．找目標(biāo)：用確立的基底(或已知基底)表示目標(biāo)向量，需要依據(jù)三角形法例及平行四邊形法例，聯(lián)合相等向量的代換、向量的運(yùn)算進(jìn)行變形、化簡(jiǎn)，最后求出結(jié)果．(3)下結(jié)論：利用空間向量的一個(gè)基底{a，b，c}能夠表示出空間所有向量．表示要完全，結(jié)果中只好含有a，b，c，不可以含有其余形式的向量．【追蹤訓(xùn)練2】→→以下圖，四棱錐P－OABC的底面為一矩形，PO⊥面OABC，設(shè)OA＝a，OC＝→→→→→b，OP＝c，E，F(xiàn)分別為PC和PB的中點(diǎn)，試用a，b，c表示BF，BE，AE，EF.→1→1→→解連結(jié)OB，OE，則BF＝2BP＝2(OP－OB)1→→→111＝2[OP－(OA＋OC]＝2c－2a－2b.→→→→1→BE＝BC＋CE＝－OA＋2CP1→→11＝－a＋2(OP－OC)＝－a＋2c－2b.→→→1→→AE＝AO＋OE＝－a＋2(OP＋OC)1＝－a＋2c＋2b.又∵E，F(xiàn)分別為PC，PB的中點(diǎn)，→1→1→1EF＝2CB＝2OA＝2a.研究3空間向量的坐標(biāo)表示例3已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，而且PA＝AD＝1.在以下圖的空間直角坐標(biāo)系中，求向量→MN的坐標(biāo)．[解]由于PA＝AD＝AB＝1，→→→所以可設(shè)AB＝e1，AD＝e2，AP＝e3.→→→→→→1→→→由于MN＝MA＋AP＋PN＝MA＋AP＋PC＝MA＋AP＋2

1→→→＝－1→→1→2(PA＋AD＋DC)AB＋AP＋(－AP＋22→→1→1→1312222211所以MN＝0，2，2.[結(jié)論研究]其余條件不變，上例問法改為：求向量→ND的坐標(biāo)．解由于PA＝AD＝AB，→→→設(shè)AB＝e1，AD＝e2，AP＝e3，→→→→→1→＋1→1→11111AD＝→→12322222222→111所以ND＝－2，2，－2.[條件研究]其余條件同例3，空間直角坐標(biāo)系的成立不一樣于例3.成立以下圖的空間→→直角坐標(biāo)系，求MN，DC的坐標(biāo)．解→→→由于PA＝AD＝AB，且PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，所以可設(shè)DA＝e1，AB＝e2，AP＝e3.分別以e1，e2，e3為單位正交基底成立空間直角坐標(biāo)系→→Axyz，如題圖所示，DC＝AB＝e2，→→→→→所以DC＝(0,1,0)，MN＝MA＋AP＋PN→→1→→→1→→→＝MA＋AP＋2PC＝MA＋AP＋2(PA＋AD＋DC)12313121113＝－2e＋e＋2(－e－e＋e)＝－2e＋2e，→11進(jìn)而可知MN＝－2，0，2.拓展提高1.成立空間直角坐標(biāo)系，一定緊緊抓住訂交于同一點(diǎn)的兩兩垂直的三條直線，要在題目中找出或結(jié)構(gòu)出這樣的三條直線，所以要充分利用題目中所給的垂直關(guān)系，即線線垂直、線面垂直、面面垂直，要使盡可能多的點(diǎn)落在座標(biāo)軸上，盡可能多的線段平行于坐標(biāo)軸，有直角的把直角邊放在座標(biāo)軸上．2．求空間向量坐標(biāo)的一般步驟建系：依據(jù)圖形特點(diǎn)成立空間直角坐標(biāo)系；運(yùn)算：綜合利用向量的加減及數(shù)乘運(yùn)算；定結(jié)果：將所求向量用已知的基底向量表示出來(lái)確立坐標(biāo)．3．適合的坐標(biāo)系有時(shí)不是獨(dú)一的，在不一樣坐標(biāo)系下，同一直量的坐標(biāo)一般不一樣．【追蹤訓(xùn)練3】已知ABCD－ABCD是棱長(zhǎng)為2的正方體，E，F(xiàn)分別為BB和DC的中11111點(diǎn)，成立以下圖的空間直角坐標(biāo)系，試寫出→→→1解設(shè)x，，z軸的單位向量分別為e1，2，3，其方向與各軸上的正方向同樣，則→1yeeDB＝→＋→＋→1＝21＋22＋23，DAABBBeee∴→1＝(2,2,2)．DB∵→＝→＋→＋→＝21＋22＋3，DEDAABBEeee→．∴DE＝(2,2,1)→2→又∵DF＝e，∴DF＝(0,1,0)．正確理解基底的觀點(diǎn)基底中不可以有零向量．因零向量與隨意一個(gè)非零向量都為共線向量，與隨意兩個(gè)非零向量都共面，所以三個(gè)向量為基底隱含著三個(gè)向量必定為非零向量.求空間向量坐標(biāo)的方法空間幾何體中，欲獲得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，先成立適合的坐標(biāo)系，一般選擇兩兩垂直的三條線段為坐標(biāo)軸，而后選擇基向量，依據(jù)已知條件和圖形關(guān)系將所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐標(biāo).用基底表示向量的方法用基底表示空間向量，一般要用向量的加法、減法、數(shù)乘的運(yùn)算法例，及加法的平行四邊形法例，加法、減法的三角形法例．逐漸向基向量過(guò)渡，直到所有用基向量表示.1．若O，A，B，C為空間四點(diǎn)，且向量→→→OA，OB，OC不可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則( )→→→→→A.OA，OB，OC共線B.OA，OB共線→→D．O，A，B，C四點(diǎn)共面C.OB，OC共線答案D分析→→→→→→O，A，B，C四點(diǎn)由OA，OB，OC不可以構(gòu)成基底，知OA，OB，OC三向量共面，所以共面．2．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，以下說(shuō)法中正確的選項(xiàng)是()A．向量→的坐標(biāo)與點(diǎn)B的坐標(biāo)同樣ABB．向量→的坐標(biāo)與點(diǎn)A的坐標(biāo)同樣AB→→C．向量AB的坐標(biāo)與向量OB的坐標(biāo)同樣→→→D．向量AB的坐標(biāo)與OB－OA的坐標(biāo)同樣答案D分析在空間直角坐標(biāo)系中，從原點(diǎn)出發(fā)的向量的坐標(biāo)等于終點(diǎn)的坐標(biāo)，不從原點(diǎn)出發(fā)→→→→的向量AB的坐標(biāo)等于終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)，所以AB＝OB－OA.3．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是上底面A1B1C1D1的中心，則AC1與CE的地點(diǎn)關(guān)系是( )A．重合B．垂直C．平行D．沒法確立答案B分析連結(jié)1，則→→＋→＋→→＝→→→1→＋→)．設(shè)正方體的棱1＝1，1＋1＝1－(CEACABADAACECCCEAA2ABAD→1→→→→1·→1－1→－1→11長(zhǎng)為1，于是AC·CE＝(AB＋AD＋AA)AA2AB2AD＝0－2－0＋0－0－2＋1－0－0＝0，→→故AC1⊥CE，即AC1與CE垂直．4．已知{e，e，e}是空間的一個(gè)基底，若λe＋μe＋ve222λμv123123________.答案0分析由于{e1，e2，e3}是空間的一個(gè)基底，λe1＋μe2＋ve3＝0，所以由空間向量基本定理可知，λ＝μ＝v＝0，所以λ2＋μ2＋v2＝0.5．以下圖，在三棱錐O－ABC