短時(shí)傅里葉變換STFT資料

短時(shí)傅里葉變換FT在信號處理中的局限性:用傅立葉變換提取信號的頻譜須要利用信號的全部時(shí)域信息。傅立葉變換沒有反映出隨著時(shí)間的變更信號頻率成分的變更狀況。1.短時(shí)傅里葉變換簡介提出與基本思想鑒于傅里葉變換的缺陷提出了窗函數(shù)的概念，提出一個(gè)敏捷可變的時(shí)間-頻率窗，使得在這個(gè)窗內(nèi)能夠體現(xiàn)頻率的信息，這種信號分析方法稱為時(shí)間-頻率分析。而窗固定的時(shí)間-頻率分析方法即為短時(shí)傅里葉變換。短時(shí)傅里葉變換（STFT，short-timeFouriertransform）。其主要思想是將信號加窗，將加窗后的信號再進(jìn)行傅里葉變換，加窗后使得變換為時(shí)間t旁邊的很小時(shí)間上的局部譜，窗函數(shù)可以依據(jù)t的位置變更在整個(gè)時(shí)間軸上平移，利用窗函數(shù)可以得到隨意位置旁邊的時(shí)間段頻譜實(shí)現(xiàn)時(shí)間局域化。STFT定義:1946年，Gabor就提出了STFT，給定一信號，其STFT定義為:

短時(shí)譜的特點(diǎn)：

1)時(shí)變性：既是角頻率ω的函數(shù)又是時(shí)間t的函數(shù)。2)周期性：是關(guān)于ω的周期函數(shù)，周期為2π。窗函數(shù)（1.1）公式涵義：在時(shí)域用窗函數(shù)去截信號，對截下來的局部信號作傅里葉變換，即在t時(shí)刻得該段信號的傅里葉變換，不斷地移動t，也即不斷地移動窗函數(shù)的中心位置，即可得到不同時(shí)刻的傅里葉變換，這些傅里葉變換的集合，即是。STFT可以看成是用基函數(shù)來代替傅里葉變換中的基函數(shù)。（1.1）式內(nèi)積的結(jié)果即可實(shí)現(xiàn)對進(jìn)行時(shí)－頻定位的功能。對兩邊做傅里葉變換，有

式中和是等效的頻率變量

該式指出，對在時(shí)域加窗，引導(dǎo)在頻域?qū)哟?。所以信號譜窗譜Parseval定理

窗函數(shù)的中心和半徑：

定義非平凡函數(shù)稱為一個(gè)窗函數(shù)，假如也是屬于的，這個(gè)窗函數(shù)的中心定義為：半徑定義為：

這樣我們可以認(rèn)為函數(shù)集中定義在以為中心，為半徑，長為的區(qū)間上，取此區(qū)間為的有效區(qū)間是合適的。

對函數(shù)其中心為半徑為，對的Fourier變換設(shè)其中心為半徑為矩形，稱為函數(shù)的時(shí)-頻窗。該窗的面積為×2.測不準(zhǔn)定理以Gabor函數(shù)為例，令Gabor數(shù)函為窗函數(shù)，已知Gabor函數(shù)的表達(dá)式如下：以Gabor函數(shù)為窗函數(shù)的STFT稱為Gabor變換，其定義為則Gabor函數(shù)的中心和半徑為：依據(jù)窗函數(shù)半徑公式，可知道Gabor窗函數(shù)的半徑為：因?yàn)榇暗拿娣e為，對于Gabor窗函數(shù)說，因?yàn)闉榈母道锶~變換，則對于Gabor函數(shù)就要求出的傅里葉變換，再代入上式得出，則經(jīng)計(jì)算得則有：可以證明，不論接受何種函數(shù)作為窗函數(shù)，其時(shí)間窗和頻率窗寬度的乘積的最小值都是2，這就是測不準(zhǔn)原理，此定理告知我們，不行能在時(shí)間和頻率兩個(gè)空間同時(shí)以隨意精度靠近被測信號，因此就必需在信號的分析上對時(shí)間或者頻率的精度做取舍。當(dāng)利用STFT時(shí)，若我們希望能得到好的時(shí)-頻辨別率，或好的時(shí)-頻定位，應(yīng)選取時(shí)寬、帶寬都比較窄的窗函數(shù)，缺憾的是，由于受不定原理的限制，我們無法做到使同時(shí)為最小。當(dāng)我們對信號作時(shí)-頻分析時(shí)，一般，對快變的信號，我們希望它有好的時(shí)間辨別率以視察其快變部分（如尖脈沖等），即視察的時(shí)間寬度要小，受時(shí)寬-帶寬積的影響，這樣，對該信號頻域的辨別率必定要下降。由于快變信號對應(yīng)的是高頻信號，因此對這一類信號，我們希望有好的時(shí)間辨別率，但同時(shí)就要降低高頻的辨別率。反之，對慢變信號，由于它對應(yīng)的是低頻信號，所以我們希望在低頻處有好的頻率辨別率，但不行避開的要降低時(shí)域的辨別率。3.短時(shí)傅里葉變換缺陷短時(shí)傅里葉變換窗口t1t2窗函數(shù)的特點(diǎn)：隨著的變換，窗口在相空間不斷平移；短時(shí)Fourier變換就是通過這些移動的窗口來提取被變換函數(shù)的信息；函數(shù)族確定的時(shí)頻窗口只是隨發(fā)生平移，窗口的大小和形態(tài)固定不變.前面推導(dǎo)了測不準(zhǔn)定理，知道STFT不具備自動調(diào)整實(shí)力窗函數(shù)選定形態(tài)不會發(fā)生變更時(shí)頻窗在時(shí)間軸頻率軸方向上的寬度確定時(shí)頻辨別率確定不隨時(shí)間、頻率的變更而變更從上面的分析我知道，假如要變更辨別率，則須要重新選擇窗函數(shù)。因?yàn)槭艿讲淮_定準(zhǔn)則的限制，時(shí)頻窗的面積不小于2，故不能兼顧頻率與時(shí)間辨別率的需求，這也就從另一個(gè)側(cè)面說明白短時(shí)傅里葉變換窗函數(shù)的時(shí)間與頻率辨別率不能同時(shí)達(dá)到最優(yōu)，我們對時(shí)間辨別率和頻率辨別率只能取一個(gè)折中，一個(gè)提高了，