向量組的相關性

關于向量組的相關性第1頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三第三節(jié)向量組的線性相關性

§1.3.1向量組的相關性定義1.6

（線性組合、線性表示）為向量組A的一個線性組合，b在該線性組合下的組合系數(shù).稱向量也稱b可由向量組A

線性表示或線性表出，第2頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三例

設a1=(1,0,2,0),a2=(3,-1,0,1),a3=(0,1,-1,0),令b=(-2,3,0,-1)則b為向量組a1,a2,a3

的一個線性組合，

也可說b可由a1,a2,a3

線性表示。第3頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三例

設n維向量a是向量b1與b2的線性組合，而b1與b2又都是g1,g2,g3的線性組合,求證a是g1,g2,g3的線性組合第4頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三

如果向量組S1中每一個向量均可由向量組S2線性表示，則稱向量組S1可由向量組S2線性表示，如果同時S2也可由S1線性表示，

則稱S1和S2是等價向量組，或稱它們是等價的。約定

(1)在一個向量組中所有向量的維數(shù)相同；(2)

向量組中允許有相同的向量；(3)

向量組中的向量可以是有限的，也可以是無限的，但每一個線性組合中的向量個數(shù)是有限的。第5頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三如果存在不全為零的常數(shù)k1,k2,…,km,使得等式(1.14)才成立，則稱這m個向量線性無關線性相關，定義1.7

（線性相關、線性無關）k1a1+k2a2+…

+kmam

=0,(1.14)線性無關，即：如果只有當

k1=k2=…

=km=0時，第6頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三向量組相關性的說明性質1

包含零向量的向量組必線性相關性質2包含兩個相等向量的向量組必線性相關第7頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三

一個向量組中若部分向量線性相關，則整個向量組也線性相關；一個向量組若線性無關，則它的任何一個部分組都線性無關．性質3第8頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三定理1.13

當m≥2時,向量組A:a1,a2,…,am

線性相關的充要條件是其中某一向量可表示為其余向量的線性組合第9頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三定理1.14

若向量組a1,a2,…,am

線性無關,但添加一個向量b后向量組a1,a2,…,am,b線性相關,則b是a1,a2,…,am的線性組合,且其線性表示是唯一的.第10頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三習題1.3第4題(由性質3)(由定理1.14)第11頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三定理1.15

設A為n階方陣，則A的n個列向量線性相關的充要條件是|A|=0第12頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三定理1.15

的另一種敘述:n個n維向量線性相關的充要條件是其構成的方陣行列式|A|=0,即n

個n

維向量a1＝(a11,a12,…,a1n),a2＝(a21,a22,…,a2n),…,an＝(an1,an2,…,ann)線性相關的充要條件是第13頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三故由定理1知向量組a1

a2

a3線性相關練習

試討論向量組a1(111)

a2(025)

a3(247)

線性相關性解由向量組構成的行列式第14頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三定理1.16

n+r個n維向量必線性相關,這里r≥0第15頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三定理1.17

設

n維向量組x1,x2,…,xr

可由向量組h1,h2,…,hs

線性表出,若r>s,則x1,x2,…,xr線性相關第16頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三向量組的極大線性無關組定義1.8(極大無關組)設有向量組S

如果在S中能選出r個向量a1

a2

ar

滿足(1)向量組M

a1

a2

ar線性無關

(2)往M中再添任一S中的其它向量,則這r+1個向量構成的向量組線性相關.那么M

a1

a2

ar稱為向量組

A的一個極大線性無關組（極大無關組，極大組）第17頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三

故由定理1.15知向量組a1

a2

a3線性相關

例試求向量組a1(111)

a2(025)

a3(247)

的一個極大線性無關組解由向量組構成的行列式

又顯然向量組a1

a2線性無關，因此a1

a2就是所求向量組的一個極大線性無關組。

同樣a2

a3也是向量組的一個極大線性無關組。第18頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三性質1

向量組中任一向量都可由其極大無關組線性表示(由定理1.14)

向量組的極大線性無關組一般不是唯一的，但有性質2在一個向量組中，不同極大線性無關組中所包含的向量的個數(shù)是相同的

第19頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三定義1.9(向量組的秩)向量組A的極大線性無關組所含向量的個數(shù)稱為向量組A的秩記作

rank(A