奧數四年級行程問題

第三部分行程問題第一講行程基礎【專題知識點概述】行程問題是一類常見的重要應用題，在歷次數學競賽中經常出現。行程問題包括：相遇問題、追及問題、火車過橋問題、流水行船問題、環(huán)形行程問題等等。行程問題思維靈活性□,□□□□,□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□,□:□□=速度義時間，時間=距離+速度，速度=距離+時間?！酢酢酢酢酢?□□□□□,□□□□□□□□□掌握這三個數量關系式，是解決行程問題的關鍵。在解答行程問題時，經常采取畫圖分析的方法，根據題意畫出線段圖，來幫助我們分析、理解題意，從而解決問題。一、行程基本量我們把研究路程、速度、時間以及這三者之間關系的一類問題，總稱為行程問題.□□□□□□□□□□□□□□□□□,□□□□□□□□□□□t）、速度（V）和路□□s）這三個基本量，它們之間的關系如下：□1）速度□時間（2）路程?速度=路程=時間可簡記為：可簡記為：s=vtt=s口V□3）路程?時間=速度可簡記為：V=s口t顯然，知道其中的兩個量就可以求出第三個量.二、平均速度平均速度的基本關系式為：平均速度=總路程+總時間；總時間=總路程+平均速度；總路程=平均速度又總時間?！局攸c難點解析】行程三要素之間的關系2．平均速度的概念3．注意觀察運動過程中的不變量【競賽考點挖掘】.注意觀察運動過程中的不變量【習題精講】【例1】（難度等級※）郵遞員早晨7時出發(fā)送一份郵件到對面山里，從郵局開始要走12千米上坡路，8千米下坡路。他上坡時每小時走4千米，下坡時每小時走5千米，到達目的地停留1小時以后，又從原路返回，郵遞員什么時候可以回到郵局?【分析與解】法一：先求出去的時間，再求出返回的時間，最后轉化為時刻。①郵遞員到達對面山里需時間：12?4+8+5=4.6（小時）；②郵遞員返回到郵局共用時間：8?4+12+5+1+4.6=2+2.4+1+4.6=10（00）③郵遞員回到郵局時的時刻是：7+10-12=5（時）.郵遞員是下午5時回到郵局的。法二：從整體上考慮，郵遞員走了（12+8）千米的上坡路，走了（12+8）千米的下坡路，所以共用時間為：（12+8）-F4+D12+8）+5+1=10（小時），郵遞員是下午7+10-12=5（0）回到郵局的?？凇纠?】（難度等級※）甲、乙兩地相距10千0米。下午3點，一輛馬車從甲地出發(fā)前往乙地，每小時走10千米；晚上9點，一輛汽車從甲地出發(fā)駛向乙地，為了使汽車不比馬車晚到達乙地，汽車每小時最少要行駛多少千米？.【分析與解】馬車從甲地到乙地需要100口10=1000,在汽車出發(fā)0,馬車已經走了9-3=6（00）?？陬}意，汽車必須在10-6=400口到達乙地，其每00最少要行駛100口4=25（千米川【例3】（難度等級※※）小明每天早晨6：50從家出發(fā)，7：20到校，老師要求他明天提早6分鐘到校。如果小明明天早晨還是6：5從家出發(fā)，那么，每分鐘必須比往常多走25米才能按老師的要求準時到校。問：小明家到學校多遠？（第六屆《小數報》數學競賽初賽題第1題）【分析與解】原來花0間是30分鐘,后來提前6分鐘,就是路上要花0間為24分鐘。這0每分鐘必須多走25米,所以總共多走了24口25=600米，而這和30分鐘時間里，后6分鐘走的路程是一樣的，所以原來每分鐘走600口6=100米?？偮烦叹褪嵌?00口30=3000米?！纠?】（難度等級※）韓雪的家距離學校48米0，原計劃7點40從家出發(fā)8點可到校，現在還是按原時間離開家，不過每分鐘比原來多走16米，那么韓雪幾點就可到校？【分析與解】原來韓雪到校所用的時間為20分鐘，速度為：480D20=2400/分），現在每分鐘比原來多走16米，即現在的速度為24+16=4000/分），那么現在上學所用的時間為：480口40=120分鐘），7點40分從口出發(fā)，12分鐘后,即7點52分可到學校．【例5】0難度等級※※）王師傅駕車從甲地開往乙地交貨.如果他往返都以每小時60千米的速度行駛,正好可以按時返回甲地.可是,當到達乙地時,他發(fā)現從甲地到乙地的速度只有每小時50千米.如果他想按時返回甲地,他應以多大的速度往回開?【分析與解】假設甲地到乙地的路程為300,那么按時的往返一次需時間300口60口2=10000），現在從甲到乙花費了時間300口50=6000），所以從乙地返回到甲地時所需的時間只能是10-6=4000）.即如果他想按時返回甲地,他應以300口4=75000/0）的速度往回開口【例6】0難度等級※※）劉老師騎電動車從學校到韓丁家家訪，以10千米/時的速度行進，下午1點到；以15千米/時的速度行進，上午11點到.如果希望中午12點到，那么應以怎樣的速度行進？【分析與解】這道題沒有出發(fā)0間,沒有學校到韓丁家的距離,也就是說既沒有0間又沒有路程,似乎無法求速度.這就需要通過已知條件,求出0間和路程.假設有A,B兩人同0從學校出發(fā)到韓丁家，A每00行1000,001點到；B每00行1500,0011

點到.B到韓丁家時，A距韓丁家還有10口2=20（千米（，這20千米是B從學校到韓丁家這段時間B比A多行的路程.因為B比點到.B到韓丁家時，A距韓丁家還有10口2=20（千米（，這20千米是B從學校到韓丁家這段時間B比A多行的路程.因為B比A每小時多行15-10=5（千米），所以B從學校到韓丁家所用的時間是201（15-10）=4（時）.由此知，A,B是上午7點出發(fā)的，學校離韓丁家的距離是15口4=60（千米）.劉老師要想中午12點到，即想（12-7=）5時行60千米，劉老師騎車的速度應為601（12-7）=12（千米/時）．【例7】（難度等級※※※）小紅上山時每走30分鐘休息10分鐘，下山時每走30分鐘休息5分鐘.已知小紅下山的速度是上山速度的2倍，如果上山用了3時50分，那么下山用了多少時間？【分析與解】上山用了3時50分,即6013+50=235分），由230口（30+10）=5……30,得到上山休息了5次,走了230-10口5=1801分）.因為下山的速度是上山的2倍,所以下山走了180口口5=1801分）.因為下山的速度是上山的2倍,所以下山走了180口2=90（分）.由90口30=3知,下山途中休息了2次,所以下山共用90+5口2=100（分）息了2次,所以下山共用90+5口2=100（分）=1時40分.【例8】（難度等級※※※）老王開汽車從到為平地（見右圖），車速是千米/時；從到路，車速是千米/時;從到為下山路，車速是千米/時已路是上山路的倍，從到全程為千米，老王開車從到共需時間？為上山知下山要多少【分析與解】設上山路為00,下山路為2x00,則上下山的平均速度是：（x+2x）0（x0設上山路為00,下山路為2x00,則上下山的平均速度是：（x+2x）0（x022.5+2x036）=30（00/時）,正好是平地的速度,所以行AD總路程的平均速度就是3000/時,與平地路程的長短無關.因此共需要7203012.4（時）口【例9】（難度等級※※※）汽車以72千米/時的速度從甲地到乙地，到達后立即以48千米/時的速度返回甲地。求該車的平均速度?！痉治雠c解】想求汽車的平均速度二汽車行駛的全程口總時間，在這道題目中如果我們知道汽車行駛的全程，進而就能求出總時間,那么問題就迎刃而解了。在此我們不妨采用“特殊值”法,這是奧數里面非常重要的一種思想,在很多題目中都有應用。①把甲、口兩地的距離視為1千米,總時間為：1口多題目中都有應用。①把甲、口兩地的距離視為1千米,總時間為：1口72+1:48,0000=21（1口72+1口48）=57.600/時。②我們發(fā)現口中的取值在計算過程中不太方便，我們可不可以找到一個比較好計算的數呢？在此我們可以把甲、乙兩地的距離視為[72,48]=144千米,這樣計算時間時就好計算一些,平均速度=144口21（144口72+144D48）=57.600/時?！纠?0】（難度等級※※）如圖，是從到是千米下坡路，從到是千米平路，千米上坡路.小張步行，下坡的速度都是6千米/小路速度都是4千米/小時，上坡速度都是2千米/小時.問小到的平均速度是多少呢？在此我們可以把甲、乙兩地的距離視為[72,48]=144千米,這樣計算時間時就好計算一些,平均速度=144口21（144口72+144D48）=57.600/時?！纠?0】（難度等級※※）如圖，是從到是千米下坡路，從到是千米平路，千米上坡路.小張步行，下坡的速度都是6千米/小路速度都是4千米/小時，上坡速度都是2千米/小時.問小到的平均速度是多少從到時，平張從【分析與解】從A到B的時間為：12口6=20小時），從B到C的時間為：8口4=20小時），從C到D的時間為：2=2（小時）,從D的總時間為：2+2+2=6（小時）,總路程為：12+8+4=24（00）,那么從平均速度為：24口6=4（00/時）．【例11】（難度等級※※）有一座橋，過橋需要先上坡，再走一段平路，最后下坡，并且上坡、平路及下坡的路程相等。某人騎自行車過

橋時，上坡、走平路和下坡的速度分別為4米/秒、6米/秒和8米/秒，求他過橋的平均速度。24米，那么總時間為：2414+2424米，那么總時間為：2414+24口6+24口8=131秒），過橋的平均速度假設上坡、走平路及下坡的路程均為為【例（米/秒）．為【例24x3+13=5—12口（難度等級※※府汽車往返于，兩地，去時速度為千米/時，要想來回的平均速度為千米/時，回來時的速度應為多少？【分析與解】假設AB兩地之間的距離為480口2=240千米，那么總時間=480口48=100小時），回來時的速度二240叩10-240=60000/時）口【例13】0難度等級※※※）有一座橋，過橋需要先上坡，再走一段平路，最后下坡，并且上坡、平路及下坡的路程相等.某人騎電動車過橋時，上坡、走平路和下坡的速度分別為11米/秒、22米/秒和33米/秒，求他過橋的平均速度..【分析與解】假設上坡、平路及下坡的路程均為660,那么總時間=66口11+66口22+66[33=6+3+2=110秒），過橋的平均速度=6613111=1800/秒）分別爬行0分鐘），爬【例14】0難度等級※※※）分別爬行0分鐘），爬一只螞蟻沿等邊三角形的三條邊由點開始爬行一周在三條邊上它每分鐘cc（如右圖）它爬行一周平均每分鐘爬行多少厘米？【分析與解】假設每條邊長為200厘米，則總時間=200050+200120+200D40=4+10+5=19行一周的平均速度=200口3019=3l110厘米/分鐘）行一周的平均速度【例15】0難度等級※※※）甲、乙兩地相距6千米，某人從甲地步行去乙地，前一半時間平均每分鐘行80米，后一半時間平均每分鐘行70米.問他走后一半路程用了多少分鐘？【分析與解】全程的平均速度是每分鐘080+70）02=750，走完全程的時間是6000/75=80分鐘，走前一半路程速度一定是800，時間是3000080=37.5分鐘，后一半路程時間是80-37.5=42.5分鐘．第二講相遇與追及【專題知識點概述】在今天這節(jié)課中，我們來研究行程問題中的相遇與追及問題．這一講就是通過例題加深對行程問題三個基本數量關系的理解，使學生養(yǎng)成畫圖解決問題的好習慣！在行程問題中涉及到兩個或兩個以上物體運動的問題，其中最常見的是相遇問題和追及問題.一、相遇

口從A地到B地，口從口從A地到B地，口從了A,B□□□□□□,□□□□□□□□,□□相遇路程=甲走的路程+乙走的路程=□□□□□□□□□+□□□□□□□□□=□□□□□+□□□□□□□□□□=□□□□□□□□.□□□,□□□□□□□□□：□□□義相遇時間=□□□,□二、追及有兩個人同時行走，一個走得快，一個走得慢，當走得慢的在前，走得快的過了一些時間就能追上他.這就產生了“追及問題”.實質上，要算走得快的人在某一段時間內，比走得慢的人多走的路程，也就是要計算兩人走的路程之差（追及路程）.如果設甲走得快，乙走得慢，在相同的時間（追及時間）內：追及路程=甲走的路程-乙走的路程=□□□□□□□□□-□□□□□□□□□=□□□□□-□□□□□□□□□□S=vtS=vt

差差一般地，追擊問題有這樣的數量關系：追及路程【重點難點解析】1．直線上的相遇與追及2．環(huán)線上的相遇與追及【競賽考點挖掘】1.多人多次相遇與追及【習題精講】【例1】（難度等級※）一輛客車與一輛貨車同時從甲、乙兩個城市相對開出，客車每小時行46千米，貨車每小時行48千米小時兩車相遇。甲、乙兩個城市的路程是多少千米？【分析與解】（46+48）口3.5=94口3.5=329（千米）口【例2】（難度等級※）千米。甲、兩地間的路程有25千5米，兩輛汽車同時從兩地相對開出，甲車每小時行45千米，乙車每小時行4

千米。甲、乙兩車相遇時，各行了多少千米？【分析與解】255口（45+40）=255口85=3（小時）。45口3=135（千米）。40口3=120（千米）。口【例3】（難度等級※※）兩地相距330米0，甲、乙二人同時從兩地相對而行，甲每分鐘行82米，乙每分鐘行83米，已經行了15分鐘，還要行多少分鐘兩人可以相遇？【分析與解】［3300-D82+83）口15］口（82+83D二［3300-165口15］口165二［3300-2475］口165二825口165=5（分鐘）【例4】（難度等級※）甲、乙二人都要從北京去天津，甲行駛10千米后乙才開始出發(fā)，甲每小時行駛15千米，乙每小時行駛10千米，問：乙經過多長時間能追上甲？【分析與解】出發(fā)時甲、乙二人相距10千米，以后兩人的距離每小時都縮短15-10口5（千米），即兩人的速度的差（簡稱速度差），所以10千米里有幾個5千米就是幾小時能追上.10口（15-10）口10口5口2（小時口□【例5】（難度等級※※）南轅與北轍兩位先生對于自己的目的地城的方向各執(zhí)一詞，于是兩人都按照自己的想法駕車同時分別往南和往北駛去，二人的速度分別為50千米/時，60千米/時，那么北轍先生出發(fā)5小時他們相距多少千米?．【分析與解】兩人雖然不是相對而行，但是仍合力完成了路程,（50+60）口5=550（千米）口【例6】（難度等級※※）軍事演習中，“我”海軍英雄艦追擊“敵”軍艦，追到島時，“敵”艦已在分鐘前逃離，“敵”艦每分鐘行駛100米0，“我”海軍英雄艦每分鐘行駛147米0，在距離“敵”艦60米0處可開炮射擊，問“我”海軍英雄艦從島出發(fā)經過多少分鐘可射擊敵艦【分析與解】“我”艦追到A島時，“敵”艦已逃離10分鐘了，因此，在A島時，“我”艦與“敵”艦的距離為10000米口=1000口10）.又因為“我”艦在距離“敵”艦600米處即可開炮射擊，即“我”艦只要追上“敵”艦9400（=10000米（=10000米-600米）即可開炮射擊.所以，在這個問題中，不妨把9400當作路程差，根據公式求得追及時間即01000110-6000001470-1000)=(10000-6001[470=94001470=201分鐘)，所以，經過20分鐘可開炮射擊“敵”艦．【例7】（難度等級※※※)小紅和小藍練習跑步，若小紅讓小藍先跑20米，則小紅跑5秒鐘就可追上小藍；若小紅讓小藍先跑4秒鐘，則小紅跑6秒鐘就能追上小藍.小紅、小藍二人的速度各是多少？【分析與解】小紅讓小藍先跑200，則200即01000110-6000001470-1000)=(10000-6001[470=94001470=201分鐘)，所以，經過20分鐘可開炮射擊“敵”艦．【例7】（難度等級※※※)小紅和小藍練習跑步，若小紅讓小藍先跑20米，則小紅跑5秒鐘就可追上小藍；若小紅讓小藍先跑4秒鐘，則小紅跑6秒鐘就能追上小藍.小紅、小藍二人的速度各是多少？【分析與解】小紅讓小藍先跑200，則200就是小紅、小藍二人的路程差，小紅跑5秒鐘追上小藍，5秒就是追及時間，據此可求出他們的速度差為2005=細米/秒爪若小紅讓小藍先跑4秒，則小紅6秒可追上小藍，在這個過程中，追及時間為小藍4秒鐘所行的路程，路程差就等于4口6=24300,也即小藍在4秒內跑了24米，所以可求出小藍的速度，也可求出小紅的速度.綜合列式計算如下：小藍的速度為：2005口604=6(米/秒），小紅的速度為：6+4=106秒，根據上一個條件，由追及差和追及時間可求出在這個過程中的路程差，這個路程差即是（米/秒）【例8】（難度等級※※※)小明步行上學每分鐘行70米.離家2分鐘后，爸爸發(fā)現小明的文具盒忘在家中，爸爸帶著文具盒，【例8】（難度等級※※※)小明步行上學每分鐘行70米.離家2分鐘后，爸爸發(fā)現小明的文具盒忘在家中，爸爸帶著文具盒，立即騎自行車以每分鐘米0的速度去追小明問爸爸出發(fā)幾分鐘后追上小明？【分析與解】爸爸要追及的路程：70112=840000,爸爸與小明的速度差：280-70=21000/分爸爸要追及的路程：70112=840000,爸爸與小明的速度差：280-70=21000/分0,爸爸追及的時間：8400210=4（分鐘）．【例9】（難度等級【例9】（難度等級※※※)上午8點8分，小明騎自行車從家里出發(fā)，8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他，在離家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回頭去追小明，再追上小明的時候，離家恰好是8千米，這時是幾點幾分？【分析與解】畫一張簡單的示意圖：4千米—--樂二圖上可以看出，從爸爸第一畫一張簡單的示意圖：4千米—--樂二圖上可以看出，從爸爸第一.小明"爸爸次追上到第二次追上，小明走了8-414千00.而爸爸騎的距離是00.而爸爸騎的距離是8口120千00這就知道，爸爸騎摩托車的速度是小明騎自行車速度的1204口3（倍）.按照這個倍數計算，小明騎8千米，爸爸可以騎行8口3口240千00.但事實上，爸爸少用了8分鐘，騎行了4這就知道，爸爸騎摩托車的速度是小明騎自行車速度的1204口3（倍）.按照這個倍數計算，小明騎8千米，爸爸可以騎行8口3口240千00.但事實上，爸爸少用了8分鐘，騎行了4口12口160千00少騎行24-16口80千00.摩托車的速度是808=10千0/分0，爸爸騎行16千0需要16分鐘8口8口16口32.所以這時是8點32分?！纠?0】0難度等級※※0甲車每小時行千米，乙車每小時行千米。兩車分別從，兩地同時出發(fā)，相向而行，相遇后時，甲車到達地。求，兩地的距離?！痉治雠c解】相遇后甲行駛了40口3=120千米，即相遇前乙行駛了小時，則兩地相距（40+60）口2=200千米口【例11】（難度等級※※）120千米，說明甲乙二人的相遇時間是120160=2小紅和小強同時從家里出發(fā)相向而行。小紅每分鐘走52米，小強每分鐘走米，二人在途中的處相遇。若小紅提前分鐘出發(fā)，但速度不變，小強每分鐘走米，則兩人仍在處相遇。小紅和小強的家相距多遠?甲,口；<1L!——1相遇后甲行駛了40口3=120千米，即相遇前乙行駛了小時，則兩地相距（40+60）口2=200千米口【例11】（難度等級※※）120千米，說明甲乙二人的相遇時間是120160=2小紅和小強同時從家里出發(fā)相向而行。小紅每分鐘走52米，小強每分鐘走米，二人在途中的處相遇。若小紅提前分鐘出發(fā)，但速度不變，小強每分鐘走米，則兩人仍在處相遇。小紅和小強的家相距多遠?甲,口；<1L!——1【分析與解】因為小紅的速度不變，相遇地點不變，所以小紅兩次走的時間相同，推知小強第二次比第一次少走4分。由（70口4口口（90-70）=14分）,推知小強第二次走了14分，第一次走了18分，兩人的家相距(52+70)口18=2196（米）．【例12】（難度等級※※※)甲乙兩車分別從兩地同時相向開出，小時后兩車相遇，然后各自繼續(xù)行駛小時，此時甲車距地千米，乙車距地千米．問：甲車到達地時，乙車還要經過多少時間才能到達【分析與解】由4時兩車相遇知，4時兩車共行A,B間的一個單程口相遇后又行3時，剩下的路程之和10口80口90（千米）應是兩車共行4－1（時）的路程．所以A,B兩地的距離是（10口80由4時兩車相遇知，4時兩車共行A,B間的一個單程口相遇后又行3時，剩下的路程之和10口80口90（千米）應是兩車共行4－1（時）的路程．所以A,B兩地的距離是（10口80口口（4口31口360（千米）。因為7時甲車比乙車共多行80口10口701千米），所以甲車每時比乙車多行70口7口10（千米），又因為兩車每時共行90千米,所以每時甲車行50千米,乙車行40千米．行一個單