研修文檔 一道課本例題的演變與聯(lián)想“百校聯(lián)賽”一等獎(jiǎng)

一道課本例題的演變與聯(lián)想數(shù)學(xué)課本中有不少例題，習(xí)題具有典型性、示范性、遷移性和再生性等特點(diǎn)，若以這些題為原型加以演變和聯(lián)想，不僅可以得到一些“源于教材，高于教材”的好題，而且有助于培養(yǎng)學(xué)生的探究創(chuàng)新能力，將是實(shí)現(xiàn)減負(fù)增效的得力措施.下面推薦人教版幾何第二冊(cè)例題，談?wù)務(wù)n本例題的演變和聯(lián)想.1原題回放例1如圖1，是一塊銳角三角形余料.邊BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC上，這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是多少？圖1解設(shè)正方形PQMN為加工成的正方形零件，邊QM在BC上,頂點(diǎn)P、N分別在AB、AC上.的高AD與邊PN相交于點(diǎn)K，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x毫米.圖1∵PN∥BC,∴∽.∴(相似三角形對(duì)應(yīng)高之比等于相似比)∴，解得x=48（毫米）2原題演變演變1內(nèi)接正方形變?yōu)楣潭▋?nèi)接矩形圖2例2如圖2，已知△ABC中，BC=120，BC上的高AD=80，四邊形PQMN為△ABC的內(nèi)接矩形，且PQ59，求S矩形PQMN。圖2解設(shè)PQ=5x,QM=9x.則AK=80—5x,PN=QM=9x.∵PN∥BC,∴∽.∴，∴解得x=4.∴S矩形PQMN=PQ×QM=20×36=720（平方單位）.點(diǎn)評(píng)利用相似三角形的對(duì)應(yīng)高之比等于相似比是解決例1和例2的關(guān)鍵.演變2內(nèi)接正方形變?yōu)閯?dòng)態(tài)內(nèi)接矩形例3如圖2，已知△ABC中，BC=120，BC上的高AD=80，四邊形PQMN為△ABC的內(nèi)接矩形，求矩形PQMN的最大面積.解設(shè).同上可知：，即∴當(dāng)x=40時(shí)，矩形PQMN有最大面積2400（平方單位）.點(diǎn)評(píng)本題將相似三角形的性質(zhì)和二次函數(shù)有機(jī)結(jié)合，形的最值問題轉(zhuǎn)化成數(shù)的最值問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的思想.演變3內(nèi)接正方形變?yōu)閯?dòng)態(tài)正方形例4（2022年湖北省孝感市）銳角中，，，兩動(dòng)點(diǎn)分別在邊上滑動(dòng)，且，以為邊向下作正方形，設(shè)其邊長(zhǎng)為，正方形與公共部分的面積為.圖3圖4圖3圖4圖5（1）中邊上高；（2）當(dāng)時(shí)，恰好落在邊上（如圖3）；（3）當(dāng)在外部時(shí)（如圖4），求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式（注明的取值范圍），并求出為何值時(shí)最大，最大值是多少？解（1）；（2）；（3）設(shè)分別交于，則四邊形為矩形．如圖5.設(shè)，交于，則，．，∴．∴，即，∴．∴，配方得：．∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值是6.點(diǎn)評(píng)雖然正方形在運(yùn)動(dòng)，但其問題的本質(zhì)仍然是相似三角形的性質(zhì)與二次函數(shù)的有機(jī)結(jié)合，運(yùn)動(dòng)中也有“靜止不變”的一面.演變4動(dòng)態(tài)正方形變?yōu)閯?dòng)態(tài)平行四邊形例5（2022年湖北省宜昌市）已知△ABC的高AE=5，BC=，∠ABC＝45°，F(xiàn)是AE上的點(diǎn)，G是點(diǎn)E關(guān)于F的對(duì)稱點(diǎn)，過點(diǎn)G作BC的平行線與AB交于H、與AC交于I，連接IF并延長(zhǎng)交BC于J，連接HF并延長(zhǎng)交BC于K．（1）請(qǐng)你探索并判斷四邊形HIKJ是怎樣的四邊形？并對(duì)你得到的結(jié)論予以證明；圖6圖7（2）當(dāng)點(diǎn)F在AE上運(yùn)動(dòng)并使點(diǎn)H、I、K、J都在△ABC的三條邊上時(shí)，求線段AF圖6圖7解(1)如圖6，∵點(diǎn)G與點(diǎn)E關(guān)于點(diǎn)F對(duì)稱，∴GF=FE.∵HI∥BC，∴∠GIF=∠EJF，又∵∠GFI=∠EFJ，∴△GFI≌△EFJ，∴GI=JE.同理可得HG=EK，∴HI=JK,∴四邊形HIKJ是平行四邊形.（2）當(dāng)F是AE的中點(diǎn)時(shí)，A、G重合，所以AF=2.5.∵AE過平行四邊形HIJK的中心F,∴HG=EK,GI=JE.∴.∵CE＞BE,∴GI＞HG,∴CK＞BJ.∴當(dāng)點(diǎn)F在AE上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)K、J隨之在BC上運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)F的位置使得B、J重合時(shí)，這時(shí)點(diǎn)K仍為CE上的某一點(diǎn)（不與C、E重合），而且點(diǎn)H、I也分別在AB、AC上.設(shè)EF＝x，∵∠AHG＝∠ABC＝45°，AE＝5，∴BE＝5＝GI，AG＝HG＝5—2x,CE＝—5.如圖7.∵△AGI∽△AEC，∴AG∶AE＝GI∶CE，∴(5—2x)∶5＝5∶(—5)∴x＝1，∴AF＝5—x＝4，∴＜AF≤4.點(diǎn)評(píng)運(yùn)動(dòng)的正方形變成運(yùn)動(dòng)的平行四邊形，線段AF的變化在無法用函數(shù)來描述的情況下，采取探究變化的極端情況來分析，正好兩個(gè)極端位置所對(duì)應(yīng)的線段長(zhǎng)度是明顯的最值.演變5動(dòng)態(tài)平行四邊形變?yōu)閯?dòng)態(tài)等腰直角三角形例6△ABC的高AD=3，BC=4，直線EF∥BC,交線段AB于E，交線段AC于F，交AD于G，以EF為斜邊作等腰直角三角形PEF（點(diǎn)P與點(diǎn)A在直線EF的異側(cè)），設(shè)EF為x，△PEF與四邊形BEFC重合部分的面積為y.（1）求線段AG（用x表示）；（2）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求x的取值范圍.圖8圖8圖9解（1）∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴,∴,∴AG=.（2）(i)如圖8，當(dāng)點(diǎn)P在四邊形BCEF的內(nèi)部或BC邊上時(shí)，過點(diǎn)P作PH⊥EF于H.∵△PEF為等腰直角三角形，∴PH=，∴y=×EF×PH=.∵PH≤DG，∴≤，即0＜x≤.(ii)如圖9，當(dāng)點(diǎn)P在四邊形BCFE的外部時(shí)，過點(diǎn)P作PH⊥EF于H，交MN于K，同理可得PH=.∵EF∥BC，∴,∴四邊形HGDK為矩形，∴HK=DG=3—.∴PK=—（3—）=.∵EF∥BC，∴△PMN∽△PEF,∴,∴△PMN為等腰直角三角形.∴===.∴.∵PH＞DG,∴＞3—,即x＞,∴.演變6動(dòng)態(tài)等腰直角三角形變?yōu)閯?dòng)態(tài)一般三角形（折疊變換+平移）例7（2022年廣東省清遠(yuǎn)市）如圖10，已知一個(gè)三角形紙片，邊的長(zhǎng)為8，邊上的高為，和都為銳角，為一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，在中，設(shè)的長(zhǎng)為，上的高為．圖10圖10MNCBEFAA1圖11（1）請(qǐng)你用含的代數(shù)式表示．（2）將沿折疊，使落在四邊形所在平面，設(shè)點(diǎn)落在平面的點(diǎn)為，與四邊形重疊部分的面積為，當(dāng)為何值時(shí)，最大，最大值為多少？解（1），，.（2），的邊上的高為.(i)當(dāng)點(diǎn)落在四邊形內(nèi)或邊上時(shí)，=（0）(ii)當(dāng)落在四邊形外時(shí)，如圖11，設(shè)的邊上的高為，則，.,∴..∴綜上：（1）當(dāng)時(shí)，，取，；（2）當(dāng)時(shí)，，取，.，∴當(dāng)時(shí)，最大，.圖12點(diǎn)評(píng)雖然運(yùn)動(dòng)變化的形式發(fā)生改變，但問題的本質(zhì)仍然是圍繞相似三角形的性質(zhì)和二次函數(shù)來展開，充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想，以形論數(shù)，以數(shù)析形.圖123原題聯(lián)想聯(lián)想1探究?jī)?nèi)接平行四邊形面積的最大值例8如圖12，平行四邊形PQRS的一邊SR在△ABC的邊BC上，另兩個(gè)頂點(diǎn)P、Q分別在AB、AC上.探究平行四邊形PQRS的面積的最大值.解過A作AD⊥BC，垂足為D，交PQ于點(diǎn)E.設(shè).由PQ∥BC,得△APQ∽△ABC.∴,即.又由面積可得.根據(jù)韋達(dá)定理，可把、看成關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)根，則有判別式△≥0，得,即平行四邊形的面積不大于原三角形面積的一半.聯(lián)想2探究等比數(shù)列的求和例9如圖13，在中，直角邊，，作的內(nèi)接正方形（記作正方形），然后沿C→A方向作的內(nèi)接正方形（記為正方形），作的內(nèi)接正方形（記為正方形）,依次無窮地截下去……分步研究4個(gè)問題如下：（1）用a、b表示正方形、、的邊長(zhǎng)、、；（2）猜想第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)；（3）估計(jì)當(dāng)n趨近于無窮大時(shí)的結(jié)果；（4）嘗試研究無窮多個(gè)正方形的邊長(zhǎng)的總和S.解的求法:E1D1∥AC.的求法:考慮“截取”方式相同，我們只需將“看作”，也就是把、分別“看作”起始狀態(tài)中的a、b，即用同樣的方式列出的方程：圖13，圖13將代入即得：，同樣整理、、得：、、.由此猜測(cè)：.顯然，＜1，當(dāng)n越來越大時(shí)，將迅速變得小起來,當(dāng)n足夠大時(shí)，的值將趨近于0,這時(shí)=0.最后，我們來看看這n個(gè)正方形邊長(zhǎng)的總和S.=+++…+.這是一個(gè)無窮等比數(shù)列的求和問題.當(dāng)n無窮大時(shí)，將變得越來越小，沒有“最后一個(gè)正方形”將抵達(dá)A點(diǎn),于是無數(shù)個(gè)邊長(zhǎng)將依次拼接整個(gè)AC.即S=AC=b.這就意味著找到了這個(gè)無窮等比數(shù)列的極限結(jié)果.當(dāng)n無窮大時(shí)，+++…+=b.點(diǎn)評(píng)在中考的綜合復(fù)習(xí)階段，教學(xué)時(shí)注意精選一些具有廣闊延展性的例題和習(xí)題，進(jìn)行恰當(dāng)?shù)难由旌屯卣?，深入研究，以一?dāng)十，舉一反三，放棄題海戰(zhàn)術(shù)，我們就能獲得最大限度的收獲.1.如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90o，AB＝6，AC＝8，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)沿DE方向運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PQ⊥BC于Q，過點(diǎn)Q作QR∥BA交AC于R，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)BQ＝x，QR＝y(tǒng)．（1）求點(diǎn)D到BC的距離DH的長(zhǎng)；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（3）是否存在點(diǎn)P，使△PQR為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足要求的x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.2.邊長(zhǎng)為6cm的等邊△ABC，若動(dòng)點(diǎn)E,F同時(shí)從B,A兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿BA,AC勻速運(yùn)動(dòng)，其中E點(diǎn)的速度是1cm/s，點(diǎn)F的速度是2cm/s，當(dāng)點(diǎn)F到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，E,F都停止運(yùn)動(dòng)，作FD∥BA交BC于點(diǎn)D，連接ED，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s),當(dāng)t為何值時(shí)，△EBD～△DEF?3.如圖所示，在平面直線坐標(biāo)系中，四邊形OABC是等腰梯形，BC//OA,OA=7,AB=4,∠COA=60°，點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P不與點(diǎn)O、點(diǎn)A重合，連接CP，過點(diǎn)P作PD交AB于點(diǎn)D.（1）.求B點(diǎn)坐標(biāo);（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△OCP為等腰三角形，求此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo);（3）當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，使∠CPD=∠OAB,且,求這時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo).19、（7分）如圖，在矩形中，點(diǎn)分別在邊上，，，求的長(zhǎng)．20、（8分）如圖，在△ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)．且滿足AD＝AB，∠ADE＝∠C．（1）求證：∠AED=∠ADC，∠DEC=∠B；（2）求證：AB2＝AE?AC．.22、（8分）如圖，在矩形ABCD中，沿EF將矩形折疊，使A、C重合，若AB=6，BC=8，求折痕EF的長(zhǎng)

.DDCFEABG23，（8分）梯形ABCD中，，點(diǎn)在上，連與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G．求證：；（2）當(dāng)點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)時(shí)，過F作交于點(diǎn)，若，求的長(zhǎng)．24、（10分）如圖，在△ABC中，AB=AC=1，點(diǎn)D,E在直線BC上運(yùn)動(dòng)．設(shè)BD=x,CE=y.(l）如果∠BAC=300，∠DAE=l050，試確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2）如果∠BAC=α,∠DAE=β,當(dāng)α,β滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，(l）中y與x之間的函數(shù)關(guān)系式還成立？試說明理由．25、(12分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知OA=12cm，OB=6cm，點(diǎn)P從O點(diǎn)開始沿OA邊向點(diǎn)A以1cm/s的速度移動(dòng)：點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BO邊向點(diǎn)O以1cm/s的速度移動(dòng)，如果P、Q同時(shí)出發(fā)，用t(s)表示移動(dòng)的時(shí)間（），那么：（1）設(shè)△POQ的面積為，求關(guān)于的函數(shù)解析式。（2）當(dāng)△POQ的面積最大時(shí)，△POQ沿直線PQ翻折后得到△PCQ，試判斷點(diǎn)C是否落在直線AB上，并說明理由。（3）當(dāng)為何值時(shí)，△POQ與△AOB相似？25、解（1）∵OA=12,OB=6由題意，得BQ=1·t=t，OP=1·t=t∴OQ=6－t∴y=×OP×OQ=·t（6－t）=-t2＋3t（0≤t≤6）（2）∵∴當(dāng)有最大值時(shí)，∴OQ=3OP=3即△POQ是等腰直角三角形。把△POQ沿翻折后，可得四邊形是正方形∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（3，3）∵∴直線的解析式為當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)C不落在直線AB上（3）△POQ∽△AOB時(shí)①若，即，，∴②若，即，，∴∴當(dāng)或時(shí)，△POQ與△AOB相似。2、如圖：AD∥BC∥EF，則圖中有多少對(duì)相似的三角形并寫出來.3、在等邊△ABC中，P是BC上一點(diǎn)，AP的垂直平分線分別交AB、AC于M、N，求證：△MBP∽△PCN.21.如圖，∠MON=90°，點(diǎn)A、B分別在射線OM、ON上移動(dòng)，BD是∠NBA的平分線，BD的反向延長(zhǎng)線與∠BAO的平分線相交于點(diǎn)C.試猜想：∠ACB的大小是否隨A、B的移動(dòng)發(fā)生變化？如果保持不變，請(qǐng)給出證明；如果隨點(diǎn)A、B的移動(dòng)發(fā)生變化，請(qǐng)給出變化范圍.22.如圖，在正方形DEFG內(nèi)接于△ABC，D、E在BC上，G、F分別在AB、AC上，若:,求正方形的邊長(zhǎng).23.東方超市用50000元從外地采購(gòu)一批“T恤衫”，由于銷路好，商場(chǎng)又緊急調(diào)撥18.6萬元采購(gòu)比上一次多2倍的“T恤衫”，但第二次比第一次進(jìn)價(jià)每件貴12元，商場(chǎng)在出售時(shí)統(tǒng)一按每件80元的標(biāo)價(jià)出售，為了縮短庫(kù)存時(shí)間，最后的400件按6.5折處理并很快售完.求商場(chǎng)在這筆生意上盈利多少元？24.如圖，在直角坐標(biāo)系中，A（-1，0），B（0，2），一動(dòng)點(diǎn)P沿過B點(diǎn)且垂直于AB的射線BM運(yùn)動(dòng)，P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，射線BM與x軸交與點(diǎn)C．（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)．（2）若P點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)也同時(shí)從C出發(fā)，以P點(diǎn)相同的速度沿x軸負(fù)方向向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，t秒后，以P、Q、C為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形．（點(diǎn)P到點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)）求t的值．25、如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC邊向點(diǎn)C以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CB邊向點(diǎn)B以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)．P，Q分別從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過程中，△PCQ關(guān)于直線PQ對(duì)稱的圖形是△PDQ．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．（1）設(shè)四邊形PCQD的面積為y，求y與t的函數(shù)關(guān)系式；（2）t為何值時(shí)，四邊形PQBA是梯形？（3）是否存在時(shí)刻t，使得PD∥AB？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；（4）通過觀察、畫圖或折紙等方法，猜想是否存在時(shí)刻t，使得PD⊥AB？若存在，請(qǐng)估計(jì)t的值在括號(hào)中的哪個(gè)時(shí)間段內(nèi)（0≤t≤1；1＜t≤2；2＜t≤3；3＜t≤4）；若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由．AAPCQBD26.如圖，已知矩形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于O,OF⊥AC于O,交AB于E,交CB的延長(zhǎng)線于F,求證:OB2=OE·OF.27.如圖，BD、CE為△ABC的高，求證：∠AED＝∠ACB．28.如圖，點(diǎn)C、D在線段AB上，△PCD是等邊三角形．（1）當(dāng)AC、CD、DB滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，△ACP∽△PDB？（2）當(dāng)△ACP∽△PDB時(shí)，求∠APB的度數(shù)．29.如圖，已知△ABC中，AE︰EB＝1︰3，BD︰DC＝2︰1，AD與CE相交于F，求的值．30.如圖，在正方形ABCD中，M為AB上一點(diǎn)，連接CM，N為BC上一點(diǎn)，并且BM=BN，BP⊥MC于P，求證：DP⊥NP.31.如圖，已知在ΔABC中，AD，BF分別為BC，AC邊上的高，過D作AB的垂線交AB于E，交BF于G，交AC延長(zhǎng)線于H，求證：DE2=EG?EH.32.如圖，已知正方形ABCD，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD上的一點(diǎn)，EG⊥CF且AF=eq\f(1,4)AD.（1）求證：CE平分∠BCF,(2)eq\f(1,4)AB2=CG?FG.33.如圖，在ΔABC和ΔDEF中，∠A=∠D=900，AB=DE=3，AC=2DF=4．（1）判斷這兩個(gè)三角形是否相似？并說明為什么？（2）能否分別過A，D在這兩個(gè)三角形中各作一條輔助線，使ΔABC分割成的兩個(gè)三角形與ΔDEF分割成的兩個(gè)三角形分別對(duì)應(yīng)相似？證明你的結(jié)論．AABCDEF34.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知OA=12，OB=6，動(dòng)點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)O出發(fā)，沿O→A運(yùn)動(dòng).同時(shí)，點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)B出發(fā)，沿B→O運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.（1）設(shè)ΔPOQ的面積是y，求y與t的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)t=3時(shí)，ΔPOQ的面積最大，將ΔPOQ沿直線PQ翻折后得到ΔPCQ，試判斷點(diǎn)C是否在直線AB上，并說明理由；AxOPyQB（3）當(dāng)AxOPyQB20.已知，在梯形ABCD中，AD∥BC,點(diǎn)E,F分別在AB,AC上，EF∥BC,EF交AC于G，若EB=DF，AE=9,CF=4,求BE,CD,EQ\F(GF,AD)的值.21.已知：平行四邊形ABCD，E是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CE與AD、BD交于G、F，求證：CF2=GF·EF.22．已知：如圖，在△ABC中，∠C＝90°，以BC為邊向外作正方形BEDC，連結(jié)AE交BC于F，作FG∥BE交AB于G．求證：FG＝FC．23.如圖，已知△ABC中，AE︰EB＝1︰3，BD︰DC＝2︰1，AD與CE相交于F，求的值．24.某小區(qū)年和年的住房單價(jià)（單位：元/平方米）剛好每年比上一年上漲的百分?jǐn)?shù)都相同.元錢在年能購(gòu)買平方米的住房，而在年只能購(gòu)買平方米的住房.許翔2022年購(gòu)買了一套住房并于當(dāng)年裝修，裝修費(fèi)是購(gòu)房費(fèi)用的；如果他在年購(gòu)買這套住房并于當(dāng)年進(jìn)行完全相同的裝修，由于裝修費(fèi)這兩年每年比上一年上漲的百分?jǐn)?shù)也都相同，那么所需的購(gòu)房費(fèi)與裝修費(fèi)之和比年支出的這兩項(xiàng)之和還多.（1）求年這個(gè)小區(qū)的住房單價(jià)比年上漲的百分?jǐn)?shù)；（2）如果這套房子是在年進(jìn)行完全相同的裝修，裝修費(fèi)比年增長(zhǎng)的百分?jǐn)?shù)是多少？()yyBODCAxEyBODCAx溫馨提示：如圖，可以作點(diǎn)D關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接與軸交于點(diǎn)E，此時(shí)△的周長(zhǎng)是最小的.這樣，你只需求出的長(zhǎng)，就可以確定點(diǎn)的坐標(biāo)了.25.在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、B分別在軸、軸的正半軸上，，，D為邊OB的中點(diǎn).（1）若為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若、為邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，當(dāng)四邊形的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)、的坐標(biāo).yBODCAxEGFyBOyBODCAxEGFyBODCAxE若在邊上任取點(diǎn)（與點(diǎn)E不重合），連接、、.由，可知△的周長(zhǎng)最小.∵在矩形中，，，為的中點(diǎn)，∴，，.∵OE∥BC，∴Rt△∽R(shí)t△，有.∴.∴點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）.（2）如圖，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，在邊上截取，連接與軸交于點(diǎn)，在上截取.∵GC∥EF，，∴四邊形為平行四邊形，有.又、的長(zhǎng)為定值，∴此時(shí)得到的點(diǎn)、使四邊形的周長(zhǎng)最小.∵OE∥BC，∴Rt△∽R(shí)t△,有.∴.∴.∴點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0），點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0）.25.解：（1）由題意：2022年住房單價(jià)為EQ\F(a,72)，2022年住房單價(jià)為EQ\F(a,60)，所以，2022年住房單價(jià)漲幅是（EQ\F(a,60)－EQ\F(a,72))÷EQ\F(a,72)＝20％；（2）設(shè)2022年裝修費(fèi)上漲的百分?jǐn)?shù)為x，2022年購(gòu)買這套住房費(fèi)用為b元，那么2022年購(gòu)房費(fèi)和裝修費(fèi)分別為b(1＋20％)2和25％b(1＋x)2，列方程得：b(1＋20％)2＋25％b(1＋x)2＝(b＋25％b)×(1＋36％），化簡(jiǎn)得：(1＋x)2＝1.04，解得：x≈0.02＝2％（負(fù)根舍去）．答：2022年裝修費(fèi)上漲的百分?jǐn)?shù)是2％．9.（2022浙江省溫州市）(本題l4分)如圖，在RtAABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，過點(diǎn)B作射線BBl∥AC．動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AC方向以每秒5個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā)沿射線AC方向以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)D作DH⊥AB于H，過點(diǎn)E作EF上AC交射線BB1于F，G是EF中點(diǎn)，連結(jié)DG．設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．(1)當(dāng)t為何值時(shí)，AD=AB，并求出此時(shí)DE的長(zhǎng)度；(2)當(dāng)△DEG與△ACB相似時(shí)，求t的值；(3)以DH所在直線為對(duì)稱軸，線段AC經(jīng)軸對(duì)稱變換后的圖形為A′C′．①當(dāng)t>時(shí)，連結(jié)C′C，設(shè)四邊形ACC′A′的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；②當(dāng)線段A′C′與射線BB，有公共點(diǎn)時(shí)，求t的取值范圍(寫出答案即可)．10.（2022廣東珠海）如圖，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，且∠AFE＝∠B.求證：△ADF∽△DEC若AB＝4,AD＝3,AE＝3,求AF的長(zhǎng).11.（2022遼寧大連）如圖12，ACB=，CDAB，垂足為D，點(diǎn)E在AC上，BE交CD于點(diǎn)G，EFBE交AB于點(diǎn)F，若AC=mBC，CE=kEA，探索線段EF與EG的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論說明：如果你反復(fù)探索沒有解決問題，可以選?。?）或（2）中的條件，選（1）中的條件完成解答滿分為7分；選（2）中的條件完成解答滿分為5分m=1（如圖13）m=1，k=1（如圖14）FDEGBFDEGBCA圖12BDFGECA圖13FDBGECA圖1412.（2022黑龍江綏化）已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A=30°，點(diǎn)P在AC上，且∠MPN=90°.當(dāng)點(diǎn)P為線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別在線段AB、BC上時(shí)（如圖1），過點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥BC于點(diǎn)F，可證△PME∽△PNF，得出PN=PM.（不需證明）當(dāng)PC=PA，點(diǎn)M、N分別在線段AB、BC或其延長(zhǎng)線上，如圖2、圖3這兩種情況時(shí)，請(qǐng)寫出線段PN、PM之間的數(shù)量關(guān)系，并任選其一給予證明.9.【答案】10.【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD∥BCAB∥CD∴∠ADF=∠CED∠B+∠C=180°∵∠AFE+∠AFD=180∠AFE=∠B∴∠AFD=∠C∴△ADF∽△DEC(2)解：∵四邊形ABCD是平行四邊形 ∴AD∥BCCD=AB=4又∵AE⊥BC∴AE⊥AD在Rt△ADE中，DE=∵△ADF∽△DEC∴∴AF=11.【答案】12.【答案】解：如圖2，如圖3中都有結(jié)論：PN＝eq\r(6)PM……………2分選如圖2：在Rt△ABC中，過點(diǎn)P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于點(diǎn)F∴四邊形BFPE是矩形∴∠EPF＝90o，∵∠EPM＋∠MPF＝∠FPN＋∠MPF＝90o可知∠EPM＝∠FPN∴△PFN∽△PEM……2分∴EQ\F(PF,PE)＝EQ\F(PN,PM)…………1分又∵Rt△AEP和Rt△PFC中：∠A＝30o，∠C＝60o∴PF＝EQ\F(\r(3),2)PC，PE＝EQ\F(1,2)PA……………1分∴EQ\F(PN,PM)＝EQ\F(PF,PE)＝EQ\F(\r(3)PC,PA)……………1分∵PC＝eq\r(2)PA∴EQ\F(PN,PM)＝eq\r(6)即：PN＝eq\r(6)PM………………1分若選如圖3，其證明過程同上（其他方法如果正確，可參照給分）22．(10分)某地區(qū)2022年公路建設(shè)總費(fèi)用(含新修公路費(fèi)用和改造公路費(fèi)用，下同)共5億元，其中新修公路費(fèi)用比改造公路費(fèi)用多50%，改造公路的里程比新修公路的里程多500千米．預(yù)計(jì)2022年公路建設(shè)總費(fèi)用達(dá)到7.75億元．(1)求2022年新修公路費(fèi)用；(2)據(jù)交通部門測(cè)算，每改造1千米公路的費(fèi)用為每新修1千米公路費(fèi)用的一半，而2022年和2022年每年改造公路的里程比上一年減少500千米，求這兩年新修公路的里程平均每年比上一年增長(zhǎng)的百分?jǐn)?shù)．(假定2022年前每改造1千米公路的費(fèi)用和每新修1千米公路的費(fèi)用都不發(fā)生變化)23．(11分)如圖，△ABC中，∠ABC和∠ACB都是銳角，D，E分別在邊AB，AC上，DE∥BC，將△ABC沿直線DE翻折得到△HGF，其中點(diǎn)A和H，點(diǎn)B和G，點(diǎn)C和F分別對(duì)應(yīng)．(1)若AB=AC，求證：四邊形AEHD是菱形；(2)判斷四邊形GFCB是什么四邊形，說明理由；(3)如果△BGD和△AED相似，判斷四邊形AEHD是什么四邊形，說明理由．宜昌三中16、（8′）如圖，矩形ABCD中，CH⊥BD，垂足為H，P點(diǎn)是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P與A、D不重合），CP與BD交于E點(diǎn)。已知CH＝，DH∶CD＝5∶13，設(shè)AP＝，四邊形ABEP的面積為。（1）求BD的長(zhǎng)；（2）用含的代數(shù)式表示。BDACE17、（2022年云南中考題）已知，如圖，在BDACE（1）BC=CE嗎？說明理由。（2）試說明：19、一條河的兩岸有一段是平行的．在河的南岸每相距5米栽一棵樹,在河的北岸每相距50米栽一根電線桿．在南岸離開岸邊25米處看北岸,看到北岸相鄰的兩根電線桿恰好被這岸的兩棵樹遮住,并且在這兩棵樹之間還有三棵樹,求河寬。（要求要有求解所需要的圖形說明，可以在原圖中標(biāo)注和繪制）（12分）河流河流北岸南岸20、已知：如圖,ΔABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.求證：ΔAEF∽ΔACB.21、如圖,△ABC是等邊三角形,點(diǎn)D，E分別在BC、AC上，且BD=CE，AD與BE相交于點(diǎn)F，(1)試說明△ABD∽△BCE；(2)△AEF與△ABE相似嗎?說說你的理由；(3)BD2=AD·DF嗎?請(qǐng)說明理由。(12分) 22、如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD，BF⊥AD，求證：(6分)23、△ABC中，∠C=900，BC=8厘米，AC∶BC=3∶4，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC向點(diǎn)C以2厘米/秒的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CA向點(diǎn)A以1厘米/秒的速度移動(dòng)。如果P、Q分別從B、C同時(shí)出發(fā)：（1）經(jīng)過多少秒時(shí)△CPQ∽△CBA？QCABP（2）經(jīng)過多少秒時(shí)以C、P、QQCABP24.如圖，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)B作BE⊥CD，垂足為E，連結(jié)AE，F(xiàn)為AE上一點(diǎn)，且∠BFE＝∠C．⑴求證：△ABF∽△EAD；⑵若AB=4，∠BAE=30°，求AE的長(zhǎng)；⑶在⑴、⑵的條件下，若AD=3，求BF的長(zhǎng).25.如圖，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿AB以每秒4cm的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，沿CA以每秒3㎝的速度向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x.⑴當(dāng)x為何值時(shí)，PQ∥BC？⑵當(dāng)⑶ΔAPQ能否與ΔCQB相似？若能，求出AP的長(zhǎng)，若不能，請(qǐng)說明理由．8、如圖，在內(nèi)有邊長(zhǎng)分別為a，b，c的三個(gè)正方形．則a，b，c滿足的關(guān)系式是（）A．B．C．D．AABDFGCE第18題18、（6分）如圖,已知點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn),AF∥BC,CG∶GA=3∶1,BC=8,求AF的長(zhǎng)33.分子為1的真分?jǐn)?shù)叫做“單位分?jǐn)?shù)”，我們注意到某些真分?jǐn)?shù)可以寫成兩個(gè)單位分?jǐn)?shù)的和，例如：（1）把寫成兩個(gè)單位分?jǐn)?shù)的和。（2）研究真分?jǐn)?shù)，對(duì)于某些x的值，它可以寫成兩個(gè)單位分?jǐn)?shù)的和，例如當(dāng)x=42時(shí)，，你還能找出多少x的值，使得可以寫成兩個(gè)單位分?jǐn)?shù)的和？并把它們寫出來。34.某超級(jí)市場(chǎng)銷售一種計(jì)算器，每個(gè)售價(jià)48元．后來，計(jì)算器的進(jìn)價(jià)降低了，但售價(jià)未變，從而使超市銷售這種計(jì)算器的利潤(rùn)提高了．這種計(jì)算器原來每個(gè)進(jìn)價(jià)是多少元？（利潤(rùn)售價(jià)進(jìn)價(jià)，利潤(rùn)率）35.在社會(huì)主義新農(nóng)村建設(shè)中，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)決定對(duì)一段公路進(jìn)行改造．已知這項(xiàng)工程由甲工程隊(duì)單獨(dú)做需要40天完成；如果由乙工程隊(duì)先單獨(dú)做10天，那么剩下的工程還需要兩隊(duì)合做20天才能完成．（1）求乙工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需的天數(shù)；（2）求兩隊(duì)合做完成這項(xiàng)工程所需的天數(shù)．22.如圖，分別以的直角邊，為邊，在外作兩個(gè)等邊三角形和，連結(jié)，．（1）求證：；（2）求，所夾的銳角.23.某市2022年的污水處理量為9萬噸/天，2022年的污水處理量為31.5萬噸/天，2022平均每天的污水排放量是2022年平均每天污水排放量的1.05倍，若2022年每天的污水處理率比2022年每天的污水處理率提高35%（污水處理率）．（1）求該市2022年、2022年平均每天的污水排放量分別是多少萬噸？（2）預(yù)計(jì)該市2022年平均每天的污水排放量比2022年平均每天污水排放量增加，按照國(guó)家要求“2022年省會(huì)城市的污水處理率不低于”，那么我市2022年每天污水處理量在2022年每天污水處理量的基礎(chǔ)上至少還需要增加多少萬噸，才能符合國(guó)家規(guī)定的要求？24.為迎接省文明城市驗(yàn)收，我市園林部門決定利用現(xiàn)有的3490盆甲種花卉和2950盆乙種花卉搭配兩種園藝造型共50個(gè)擺放在迎賓大道兩側(cè)，已知搭配一個(gè)種造型需甲種花卉80盆，乙種花卉40盆，搭配一個(gè)種造型需甲種花卉50盆，乙種花卉90盆．（1）某校八年級(jí)（1）班課外活動(dòng)小組承接了這個(gè)園藝造型搭配方案的設(shè)計(jì)，問符合題意的搭配方案有幾種？請(qǐng)你幫助設(shè)計(jì)出來．（2）若搭配一個(gè)種造型的成本是800元，搭配一個(gè)種造型的成本是960元，試說明（1）中哪種方案成本最低？最低成本是多少元？25.已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是直角三角形，，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，且EQ\F(BC,AC)=EQ\F(3,4)．（1）求過點(diǎn)的直線的函數(shù)表達(dá)式；（2）在軸上找一點(diǎn)，連接，使得與相似（不包括全等），并求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，如分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，連接，設(shè)，問是否存在這樣的使得與相似，如存在，請(qǐng)求出的值；如不存在，請(qǐng)說明理由．27、如圖，點(diǎn)E是四邊形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且∠BAC=∠BDC=∠DAE。求證：（1）BE·AD=CD·AE.（2）根據(jù)圖形特點(diǎn),猜想EQ\F(BC,DE)可能等于哪兩條線段的比（只需寫出圖形中已有線段的一組比即可），并證明你的結(jié)論.29、已知,如圖,在△ABC中,D是BC的中點(diǎn),且AD=AC,DE⊥BC交AB于點(diǎn)E,EC與AD相交于點(diǎn)F.（1）求證:△ABC∽△FCD；（2）若S△FCD=5,BC=10,求DE的長(zhǎng).AABDE第17題圖CF30、某企業(yè)有員工300人，生產(chǎn)A種產(chǎn)品，平均每人每年可創(chuàng)造利潤(rùn)m萬元（m為大于零的常數(shù)）。為減員增效，決定從中調(diào)配x人去生產(chǎn)新開發(fā)的B種產(chǎn)品。根據(jù)評(píng)估，調(diào)配后，繼續(xù)生產(chǎn)A種產(chǎn)品的員工平均每人每年創(chuàng)造的利潤(rùn)可增加20%，生產(chǎn)B種產(chǎn)品的員工平均每人每年可創(chuàng)造利潤(rùn)1.54m萬元。（1）調(diào)配后，企業(yè)生產(chǎn)A種產(chǎn)品的年利潤(rùn)為萬元，企業(yè)生產(chǎn)B種產(chǎn)品的年利潤(rùn)為萬元（用含x和m的代數(shù)式表示）。若設(shè)調(diào)配后企業(yè)全年總利潤(rùn)為y萬元，則y關(guān)于x的函數(shù)解析式為。（2）若要求調(diào)配后，企業(yè)生產(chǎn)A種產(chǎn)品的年利潤(rùn)不小于調(diào)配前企業(yè)年利潤(rùn)的，生產(chǎn)B種產(chǎn)品的年利潤(rùn)大于調(diào)配前企業(yè)年利潤(rùn)的，應(yīng)有哪幾種調(diào)配方案？請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出來，并指出其中哪種方案全年總利潤(rùn)最大（必要時(shí)，運(yùn)算過程可保留3個(gè)有效數(shù)字）。31、如圖1，在中，，，．是邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與重合），交于點(diǎn)，關(guān)于的對(duì)稱圖形是．設(shè)．（1）用含的式子表示的面積（不必寫出過程）；（2）當(dāng)為何值時(shí)，點(diǎn)恰好落在邊上；（3）在動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，記與梯形重疊部分的面積為，試求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；并求為何值時(shí)，重疊部分的面積最大，最大面積是多少？33.建筑學(xué)規(guī)定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，窗戶面積與地板面積的比值又應(yīng)不小于10﹪，并且這個(gè)比值越大，住宅的采光越好，問同時(shí)增加相等的窗戶面積和地板面積，住宅的采光是變好還是變壞？請(qǐng)通過分式計(jì)算說明理由.21、如圖，中，分別是邊的中點(diǎn)，相交于．求證：．BBCDGEA22，梯形ABCD中，，點(diǎn)在上，連與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G．求證：；（2）當(dāng)點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)時(shí)，過F作交于點(diǎn)，若，求的長(zhǎng)．DDCFEABG23、（7分）如圖，在和中，，，．（1）判斷這兩個(gè)三角形是否相似？并說明為什么？（2）能否分別過在這兩個(gè)三角形中各作一條輔助線，使分割成的兩個(gè)三角形與分割成的兩個(gè)三角形分別對(duì)應(yīng)相似？證明你的結(jié)論．解：（1）不相似．……1分在中，，；在中，，，．．與不相似．…3分（2）能作如圖所示的輔助線進(jìn)行分割．AABMCDNFE具體作法：作，交于；作，交于．…5分由作法和已知條件可知．，，，，．，，．．…7分如圖已知:菱形ABCD中，E為BC邊上一點(diǎn)，AE交BD于F，交DC的延長(zhǎng)線于G。

求證:2.如圖已知:CD是Rt△ABC的斜邊AB上的高，E為CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AE，過B作BG⊥AE于G，交CE于F。求:△ADE的面積及AM、AN的長(zhǎng)。3.△ABC中，D為BC中點(diǎn)，過D的直線交AC于E，交AB的延長(zhǎng)線于F。

求證:4.△ABC中,D為BC中點(diǎn),過D的直線交AC于E，交BA的延長(zhǎng)線于F.求證:

5.已知：求證:（1）

（2）1.：解:DE∥BC，△ADE∽△ABC

S△ADE=x，S△ABC=x+90

x=72

S△ADE=72

DE?AM=72

AM=12

AN=18

答:△ADE的面積為72，AM=12，AN=182.：解:過F作FG∥BE交AD于G,則:∠GFD=∠EBD

FG/EC=AF/AC=1/3在△BED和△FGD中,

∠EBD=∠FGD

BD=FD∠BDE=∠FDG

△BED≌△FGD(ASA)BE=FGBE/EC=AF/AC=1/33.：證明:過B作BG∥AC交DF于G，則:∠GBD=∠C

在△GBD和△ECD中∠GBD=∠C

∠BDG=∠CDE

BD=CD

∴△GBD≌△ECD（AAS）

∴BG=EC，

∴4.：證明:過B作BG∥AC,

則:

∠GBD=∠C

在△GBD和△ECD中,

∠GBD=∠C(已證）

BD=CD

（中點(diǎn)性質(zhì)）

∠BDG=∠CDE（對(duì)頂角）

∴△GBD≌△ECD(ASA)

∴BG=EC∴

5.：證明:設(shè)：則：a=bk，c=dk

（1）

（2）

23．已知△AB