2022屆九師聯(lián)盟高三信息卷（二）數(shù)學（理）試題

/20/20/2022屆九師聯(lián)盟高三押題信息卷（二）數(shù)學（理）試題一、單選題1．若集合，則（）A． B．C． D．【答案】A【解析】先確定集合中的元素，然后由交集定義求解．【詳解】，.故選：A．【點睛】本題考查求集合的交集運算，掌握交集定義是解題關鍵．2．若復數(shù)（為虛數(shù)單位），則的共軛復數(shù)的模為（）A． B．4 C．2 D．【答案】D【解析】由復數(shù)的綜合運算求出，再寫出其共軛復數(shù)，然后由模的定義計算模．【詳解】，．故選：D．【點睛】本題考查復數(shù)的運算，考查共軛復數(shù)與模的定義，屬于基礎題．3．函數(shù)（或）的圖象大致是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】確定函數(shù)的奇偶性，排除兩個選項，再求時的函數(shù)值，再排除一個，得正確選項．【詳解】分析知，函數(shù)（或）為偶函數(shù)，所以圖象關于軸對稱，排除B，C，當時，，排除D，故選：A．【點睛】本題考查由函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象，解題時可通過研究函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性、對稱性等，研究特殊的函數(shù)的值、函數(shù)值的正負，以及函數(shù)值的變化趨勢，排除錯誤選項，得正確結論．4．若的二項式展開式中二項式系數(shù)的和為32，則正整數(shù)的值為（）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】C【解析】由二項式系數(shù)性質(zhì)，的展開式中所有二項式系數(shù)和為計算．【詳解】的二項展開式中二項式系數(shù)和為，．故選：C．【點睛】本題考查二項式系數(shù)的性質(zhì)，掌握二項式系數(shù)性質(zhì)是解題關鍵．5．已知變量的幾組取值如下表：12347若與線性相關，且，則實數(shù)（）A． B． C． D．【答案】B【解析】求出，把坐標代入方程可求得．【詳解】據(jù)題意，得，所以，所以．故選：B．【點睛】本題考查線性回歸直線方程，由性質(zhì)線性回歸直線一定過中心點可計算參數(shù)值．6．若實數(shù)滿足不等式組，則的最大值為（）A． B． C．3 D．2【答案】C【解析】作出可行域，直線目標函數(shù)對應的直線，平移該直線可得最優(yōu)解．【詳解】作出可行域，如圖由射線，線段，射線圍成的陰影部分（含邊界），作直線，平移直線，當過點時，取得最大值3．故選：C．【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃問題，解題關鍵是作出可行域，本題要注意可行域不是一個封閉圖形．7．已知是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則（）A． B．2 C．3 D．【答案】A【解析】由奇函數(shù)定義求出和．【詳解】因為是定義在上的奇函數(shù)，.又當時，，.故選：A．【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性，掌握奇函數(shù)的定義是解題關鍵．8．若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值是（）A． B． C． D．4【答案】D【解析】模擬程序運行，觀察變量值的變化，得出的變化以4為周期出現(xiàn)，由此可得結論．【詳解】；如此循環(huán)下去，當時，，此時不滿足，循環(huán)結束，輸出的值是4.故選：D．【點睛】本題考查程序框圖，考查循環(huán)結構．解題時模擬程序運行，觀察變量值的變化，確定程序功能，可得結論．9．已知下列命題：①“”的否定是“”；②已知為兩個命題，若“”為假命題，則“”為真命題；③“”是“”的充分不必要條件；④“若，則且”的逆否命題為真命題.其中真命題的序號為（）A．③④ B．①② C．①③ D．②④【答案】B【解析】由命題的否定，復合命題的真假，充分必要條件，四種命題的關系對每個命題進行判斷．【詳解】“”的否定是“”，正確；已知為兩個命題，若“”為假命題，則“”為真命題，正確；“”是“”的必要不充分條件,錯誤；“若，則且”是假命題，則它的逆否命題為假命題，錯誤.故選：B．【點睛】本題考查命題真假判斷，掌握四種命題的關系，復合命題的真假判斷，充分必要條件等概念是解題基礎．10．已知在中，角的對邊分別為，若函數(shù)存在極值，則角的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】求出導函數(shù)，由有不等的兩實根，即可得不等關系，然后由余弦定理可及余弦函數(shù)性質(zhì)可得結論．【詳解】，.若存在極值，則，又.又．故選：C．【點睛】本題考查導數(shù)與極值，考查余弦定理．掌握極值存在的條件是解題關鍵．11．如圖，內(nèi)接于圓，是圓的直徑，，則三棱錐體積的最大值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)已知證明平面，只要設，則，從而可得體積，利用基本不等式可得最大值．【詳解】因為，所以四邊形為平行四邊形.又因為平面，平面，所以平面，所以平面.在直角三角形中，，設，則，所以，所以.又因為，當且僅當，即時等號成立，所以.故選：B．【點睛】本題考查求棱錐體積的最大值．解題方法是：首先證明線面垂直同，得棱錐的高，然后設出底面三角形一邊長為，用建立體積與邊長的函數(shù)關系，由基本不等式得最值，或由函數(shù)的性質(zhì)得最值．12．已知分別為雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點，若，則雙曲線的離心率為（）A． B．4 C．2 D．【答案】A【解析】由已知得，，由已知比值得，再利用雙曲線的定義可用表示出，，用勾股定理得出的等式，從而得離心率．【詳解】.又，可令，則.設，得，即，解得，∴,,由得，，，該雙曲線的離心率.故選：A.【點睛】本題考查求雙曲線的離心率，解題關鍵是由向量數(shù)量積為0得出垂直關系，利用雙曲線的定義把雙曲線上的點到焦點的距離都用表示出來，從而再由勾股定理建立的關系．二、填空題13．已知向量，，則______.【答案】【解析】求出，然后由模的平方轉化為向量的平方，利用數(shù)量積的運算計算．【詳解】由題意得，.，.，，.故答案為：．【點睛】本題考查求向量的模，掌握數(shù)量積的定義與運算律是解題基礎．本題關鍵是用數(shù)量積的定義把模的運算轉化為數(shù)量積的運算．14．在正方體中，分別為棱的中點，則直線與直線所成角的正切值為_________.【答案】【解析】由中位線定理和正方體性質(zhì)得，從而作出異面直線所成的角，在三角形中計算可得．【詳解】如圖，連接，，，∵分別為棱的中點，∴，又正方體中，即是平行四邊形，∴，∴，（或其補角）就是直線與直線所成角，是等邊三角形，∴＝60°，其正切值為．故答案為：．【點睛】本題考查異面直線所成的角，解題關鍵是根據(jù)定義作出異面直線所成的角．15．函數(shù)在區(qū)間上的值域為______.【答案】【解析】由二倍角公式降冪，再由兩角和的正弦公式化函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)形式，結合正弦函數(shù)性質(zhì)可求得值域．【詳解】，，則，.故答案為：．【點睛】本題考查三角恒等變換（二倍角公式、兩角和的正弦公式），考查正弦函數(shù)的的單調(diào)性和最值．求解三角函數(shù)的性質(zhì)的性質(zhì)一般都需要用三角恒等變換化函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)形式，然后結合正弦函數(shù)的性質(zhì)得出結論．16．已知拋物線的焦點為，過點且斜率為1的直線交拋物線于兩點，，若線段的垂直平分線與軸交點的橫坐標為，則的值為_________.【答案】1【解析】設，寫出直線方程代入拋物線方程后應用韋達定理求得，由拋物線定義得焦點弦長，求得，再寫出的垂直平分線方程，得，從而可得結論．【詳解】拋物線的焦點坐標為，直線的方程為，據(jù)得.設，則.線段垂直平分線方程為，令，則，所以，所以.故答案為：1．【點睛】本題考查拋物線的焦點弦問題，根據(jù)拋物線的定義表示出焦點弦長是解題關鍵．三、解答題17．已知在等比數(shù)列中，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列前項的和.【答案】（1）（2）【解析】（1）由基本量法，求出公比后可得通項公式；（2）求出，用裂項相消法求和．【詳解】解：（1）設等比數(shù)列的公比為又因為，所以解得（舍）或所以，即（2）據(jù)（1）求解知，，所以所以【點睛】本題考查求等比數(shù)列的通項公式，考查裂項相消法求和．解題方法是基本量法．基本量法是解決等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本方法，務必掌握．18．某企業(yè)對設備進行升級改造，現(xiàn)從設備改造前后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了100件產(chǎn)品作為樣本，檢測一項質(zhì)量指標值，該項質(zhì)量指標值落在區(qū)間內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品，否則視為不合格品，如圖是設備改造前樣本的頻率分布直方圖，下表是設備改造后樣本的頻數(shù)分布表.圖：設備改造前樣本的頻率分布直方圖表：設備改造后樣本的頻率分布表質(zhì)量指標值頻數(shù)2184814162（1）求圖中實數(shù)的值；（2）企業(yè)將不合格品全部銷毀后，對合格品進行等級細分，質(zhì)量指標值落在區(qū)間內(nèi)的定為一等品，每件售價240元；質(zhì)量指標值落在區(qū)間或內(nèi)的定為二等品，每件售價180元；其他的合格品定為三等品，每件售價120元，根據(jù)表1的數(shù)據(jù)，用該組樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有產(chǎn)品中抽到一件相應等級產(chǎn)品的概率.若有一名顧客隨機購買兩件產(chǎn)品支付的費用為(單位：元)，求的分布列和數(shù)學期望.【答案】（1）（2）詳見解析【解析】（1）由頻率分布直方圖中所有頻率（小矩形面積）之和為1可計算出值；（2）由頻數(shù)分布表知一等品、二等品、三等品的概率分別為.，選2件產(chǎn)品，支付的費用的所有取值為240，300，360，420，480，由相互獨立事件的概率公式分別計算出概率，得概率分布列，由公式計算出期望．【詳解】解：（1）據(jù)題意，得所以（2）據(jù)表1分析知，從所有產(chǎn)品中隨機抽一件是一等品、二等品、三等品的概率分別為.隨機變量的所有取值為240，300，360，420，480.隨機變量的分布列為240300360420480所以（元）【點睛】本題考查頻率分布直方圖，頻數(shù)分布表，考查隨機變量的概率分布列和數(shù)學期望，解題時掌握性質(zhì)：頻率分布直方圖中所有頻率和為1．本題考查學生的數(shù)據(jù)處理能力，屬于中檔題．19．如圖，四邊形是邊長為3的菱形，平面.（1）求證：平面；（2）若與平面所成角為，求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】（1）由已知線面垂直得，結合菱形對角線垂直，可證得線面垂直；（2）由已知知兩兩互相垂直.以分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系如圖所示，由已知線面垂直知與平面所成角為，這樣可計算出的長，寫出各點坐標，求出平面的法向量，由法向量夾角可得二面角．【詳解】證明：（1）因為平面，平面，所以.因為四邊形是菱形，所以.又因為，平面，平面，所以平面.解：（2）據(jù)題設知，兩兩互相垂直.以分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系如圖所示，因為與平面所成角為，即，所以又，所以，所以所以設平面的一個法向量，則令，則.因為平面，所以為平面的一個法向量，且所以，．所以二面角的正弦值為.【點睛】本題考查線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，考查用向量法求二面角．立體幾何中求空間角常常是建立空間直角坐標系，用空間向量法求空間角，這樣可減少思維量，把問題轉化為計算．20．已知在平面直角坐標系中，橢圓的焦點為為橢圓上任意一點，且.（1）求橢圓的標準方程；（2）若直線交橢圓于兩點，且滿足（分別為直線的斜率），求的面積為時直線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】（1）根據(jù)橢圓定義求得，得橢圓方程；（2）設，由得，應用韋達定理得，代入已知條件可得，再由橢圓中弦長公式求得弦長，原點到直線的距離，得三角形面積，從而可求得，得直線方程．【詳解】解：（1）據(jù)題意設橢圓的方程為則橢圓的標準方程為.（2）據(jù)得設，則又原點到直線的距離解得或所求直線的方程為或【點睛】本題考查求橢圓標準方程，考查直線與橢圓相交問題．解題時采取設而不求思想，即設交點坐標為，直線方程與橢圓方程聯(lián)立消元后應用韋達定理得，把這個結論代入題中條件求得參數(shù)，用它求弦長等等，從而解決問題．21．已知函數(shù).（1）若函數(shù)的圖象與軸有且只有一個公共點，求實數(shù)的取值范圍；（2）若對任意成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】（1）求出及其導函數(shù)，利用研究的單調(diào)性和最值，根據(jù)零點存在定理和零點定義可得的范圍．（2）令，題意說明時，恒成立.同樣求出導函數(shù)，由研究的單調(diào)性，通過分類討論可得的單調(diào)性得出結論．【詳解】解（1）函數(shù)所以討論：①當時，無零點；②當時，，所以在上單調(diào)遞增.取，則又，所以，此時函數(shù)有且只有一個零點；③當時，令，解得（舍）或當時，，所以在上單調(diào)遞減；當時，所以在上單調(diào)遞增.據(jù)題意，得，所以（舍）或綜上，所求實數(shù)的取值范圍為.（2）令，根據(jù)題意知，當時，恒成立.又討論：①若，則當時，恒成立，所以在上是增函數(shù).又函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以存在使，不符合題意.②若，則當時，恒成立，所以在上是增函數(shù)，據(jù)①求解知，不符合題意.③若，則當時，恒有，故在上是減函數(shù)，于是“對任意成立”的充分條件是“”，即，解得，故綜上，所求實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查函數(shù)零點問題，考查不等式恒成立問題，考查用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．解題關鍵是通過分類討論研究函數(shù)的單調(diào)性．本題難度較大，考查掌握轉化與化歸思想，考查學生分析問題解決問題的能力．22．已知在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線與直線的直角坐標方程；（2）若曲線與直線交于兩點，求的值.【答案】（1）曲線的直角坐標方程為；直線的直角坐標方程為（2）【解析】（1）由公式可化極坐標方程為直角坐標方程，消參法可化參數(shù)方程為普通方程；（2）聯(lián)立兩曲線方程，解方程組得兩交點坐標，從而得兩點間距離．【詳解】解：（1）曲線的直角坐標方程