2022屆河南省洛陽市高三5月終極猜題卷全國卷數(shù)學（理）試卷2

/16/16/洛陽市2022屆高三下學期5月終極猜題卷全國卷（理）【滿分：150分】一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.復數(shù)的共軛復數(shù)為，則()A. B. C.6 D.82.設集合，，且，則()A.-4B.-B.-2 C.2 D.43.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為()A. B.C. D.4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的，則空白判斷框中可填入的條件是()A. B. C. D.5.已知，則的值為()A. B. C. D.6.如圖，正方形ABCD中灰色陰影部分為四個全等的等腰三角形，已知，，若在正方形ABCD內(nèi)隨機取一點，則該點落在白色區(qū)域的概率為()A. B. C. D.7.已知，當時，向量a與b的夾角為()A. B. C. D.8.印制電路板(PCB)是電子產(chǎn)品的關(guān)鍵電子互聯(lián)件，被譽為“電子產(chǎn)品之母”.印制電路板的分布廣泛，涵蓋通信設備、計算機及其周邊、消費電子、工業(yè)控制、醫(yī)療、汽車電子、軍事、航天科技等領域，不可替代性是印制電路板制造行業(yè)得以始終穩(wěn)固發(fā)展的要素之一.下面是PCB主要成本構(gòu)成統(tǒng)計圖(單位：%)，則下列結(jié)論錯誤的是()A.覆銅板成本占PCB材料成本的50%B.鋼箔成本占材料成本的15%C.磷銅球成本占材料成本的6%D.防焊油墨、磷銅球、球鋼箔、其他材料的成本占比成等差數(shù)列9.在信息傳遞中多以波的形式進行傳遞，其中必然會存在干擾信號（形如），某種“信號凈化器”可產(chǎn)生形如的波，只需要調(diào)整參數(shù)，就可以產(chǎn)生特定的波（與干擾波波峰相同，方向相反的波）來“對抗”干擾.現(xiàn)有波形信號的部分圖像，想要通過“信號凈化器”過濾得到標準的正弦波（標準正弦函數(shù)圖像），應將波形凈化器的參數(shù)分別調(diào)整為()A.，， B.，，C.，， D.，，10.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過點作一條漸近線的垂線，垂足為P，若的面積為，則該雙曲線的離心率為()A. B. C.3 D.11.已知函數(shù)，若函數(shù)有三個極值點，則實數(shù)k的取值范圍為()A. B.C. D.12.如圖，在正方體中，E，F(xiàn)，G分別是棱AB，BC，的中點，過E，F(xiàn)，G三點作該正方體的截面，則下列說法錯誤的是()A.在平面內(nèi)存在直線與平面EFG平行B.在平面內(nèi)存在直線與平面EFG垂直C.平面平面EFGD.直線與EF所成角為45°二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知實數(shù)x，y滿足，則的最大值為______.14.在的展開式中，只有第六項的二項式系數(shù)最大，且所有項的系數(shù)和為0，則含的項的系數(shù)為___________.15.在中，D是BC邊上一點，，，且與面積之比為，則_____________.16.已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上的圖象恒在直線的下方，則實數(shù)a的取值范圍是____________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17.（12分）已知數(shù)列的前n項和為，且，.（1）求的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，記數(shù)列的前n項和為，求證：.18.（12分）為了弘揚奧林匹克精神，普及冰雪運動知識，大力營造校園冰雪運動文化氛圍，助力2022年冬奧會和冬殘奧會，某校組織全校學生參與“激情冰雪，相約冬奧”冰雪運動知識競賽.為了了解學生競賽成績，從參加競賽的學生中，隨機抽取若干名學生，將其成績繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為，，，，，已知成績在內(nèi)的有60人.（1）求樣本容量，并估計該校本次競賽成績的中位數(shù).（2）將成績在內(nèi)的學生定義為“冰雪達人”，成績在內(nèi)的學生定義為“非冰雪達人”.請將下面的列聯(lián)表補充完整，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認為是否為“冰雪達人”與性別有關(guān)？男生女生合計冰雪達人40非冰雪達人3060合計60（3）根據(jù)（2）中的數(shù)據(jù)分析，將頻率視為概率，從該校學生中用隨機抽樣的方法抽取2人，記被抽取的2人中“冰雪達人”的人數(shù)為X，若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的，求X的分布列和數(shù)學期望.附：0.050.010.0013.8416.63510.828，.19.（12分）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，是正三角形，，.（1）求證：平面平面PBD；（2）若直線PC與平面ABCD所成的角為45°，平面PAB與平面PCD的交線為l，求二面角的余弦值.20.（12分）已知橢圓，A，B分別為橢圓C的右頂點、上頂點，F(xiàn)為橢圓C的右焦點，橢圓C的離心率為，的面積為.（1）求橢圓C的標準方程；（2）過點F作直線交橢圓于M，N兩點，若，求實數(shù)的取值范圍.21.（12分）設函數(shù)，其中.（1）若在上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；（2）設，證明：對任意，都有.（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。22.（10分）[選修4–4：坐標系與參數(shù)方程]在平面直角坐標系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為.（1）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；（2）設直線l與曲線C交于A，B兩點，若點P的坐標為，求.23.（10分）[選修4?–?5：不等式選講]設函數(shù)，.（1）求不等式的解集；（2）若不等式在區(qū)間上恒成立，求a的取值范圍.洛陽市2022屆高三下學期5月終極猜題卷全國卷（理）參考答案一、選擇題1.答案：A解析：由題意得，，所以，所以.故選A.2.答案：B解析：由已知可得，，又，，.故選B.3.答案：B解析：因為，，，所以.故選B.4.答案：C解析：模擬執(zhí)行程序框圖，，；，；，；，；，；，，退出循環(huán).故空白判斷框中可填入的條件是“”.故選C.5.答案：C解析：，，.故選C.6.答案：A解析：由題易知四邊形EFGH為正方形，且，由得，所以的高為，故白色區(qū)域的面積為，又正方形ABCD的面積為8，所以若在正方形ABCD內(nèi)隨機取一點，該點落在白色區(qū)域的概率為.故選A.7.答案：D解析：，，，即，，，向量a與b的夾角為.故選D.8.答案：C解析：由圖中數(shù)據(jù)可得，材料成本占總成本的60%，所以覆銅板成本占PCB材料成本的，故A正確；鋼箔成本占材料成本的，故B正確；磷銅球成本占材料成本的，故C錯誤；其他材料占比為，所以防焊油墨、磷銅球、球鋼箔、其他材料的成本占比成等差數(shù)列，故D正確.故選C.9.答案：B解析：設干擾信號對應的函數(shù)解析式為，由題圖得（T為干擾信號的周期），解得，，函數(shù)的最大值為，，將代入，解得，，，，，欲消除的波需要選擇相反的波，即.故選B.10.答案：B解析：設過右焦點且與漸近線垂直的直線為l，則直線l的方程為，由得，，即，則的面積為，，，.故選B.11.答案：C解析：，所以，令，得或.要使有三個極值點，則有三個互不相等的實根，即方程有兩個不等于1的實根，，令，則，令，得，易知，且，；，，所以當時，方程即有兩個不等實根，又，所以，即.綜上，實數(shù)k的取值范圍是.故選C.12.答案：D解析：設BD交AC于點O，EF交BD于點P，連接，PG，易知，因為平面EFG，平面EFG，所以平面EFG，且平面，故A正確；連接，，因為平面，所以，又，所以，因為平面，所以，又，，所以平面，所以，又，所以，因為，所以平面EFG，且平面，故B正確；因為，，，，所以平面平面EFG，故C正確；因為，為等邊三角形，故直線與AC所成角為60°，即直線與EF所成角為60°，故D錯誤.故選D.二、填空題13.答案：解析：根據(jù)題意作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分（含邊界）所示，作出直線并平移，易知當平移后的直線經(jīng)過點A時，目標函數(shù)z取得最大值，由，得，即點，所以目標函數(shù)的最大值.14.答案：45解析：的展開式中，只有第六項的二項式系數(shù)最大，，再令，可得所有項的系數(shù)和為，，故二項展開式的通項為，令，得，故含的項的系數(shù)為.15.答案：解析：因為，且與面積之比為，所以AD為的平分線，，且，設，，，由余弦定理，得，解得，所以，，故，因為，且，故，，又，所以.16.答案：解析：由題意知，對于任意，，即在上恒成立.設，，則的最大值小于0，，當時，，在上單調(diào)遞減，，即，；當時，，在上單調(diào)遞增，最大值可無窮大，不滿足題意；當時，易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，最大值可無窮大，不滿足題意，綜上，實數(shù)a的取值范圍是.三、解答題17.解析：（1），當時，，………………2分，，為從第二項開始的等比數(shù)列，公比，…………4分又，，，當時，也滿足上式，.………………6分（2），，①，②……………………9分①-②得，，，，，.………………………12分18.解析：（1）設樣本容量為n，則，解得，所以樣本容量為100.…………1分由頻率分布直方圖可知，，，，各組頻率分別為0.08，0.20，0.32，0.28，0.12，所以前三組的頻率之和為0.6，所以中位數(shù)在中.設中位數(shù)為x，則，解得，所以估計該校本次競賽成績的中位數(shù)為76.875.……………4分（2）完成列聯(lián)表如下：男生女生合計冰雪達人301040非冰雪達人303060合計6040100，………………6分故有95%的把握認為是否為“冰雪達人”與性別有關(guān).…………………7分（3）由（2）可得隨機抽取一人為“冰雪達人”的概率，根據(jù)題意得，，X的所有可能取值為0，1，2，則，，，……………10分所以X的分布列為X012P所以X的數(shù)學期望.…………………12分19.解析：（1）因為平面ABCD，平面ABCD，所以.因為是正三角形，所以，又，所以BD為AC的垂直平分線，則.…………………2分因為平面PAC，平面PAC，且，所以平面PAC.又平面PBD，所以平面平面PBD.…………5分（2）因為平面ABCD，所以為直線PC與平面ABCD所成的角，所以，易知，，所以.因為，所以，所以，則，即.……7分故以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖，則，，，，所以，.……………………8分設平面PCD的法向量為，則，得，取，則.易知為平面PAB的一個法向量，……………10分所以.由圖易知二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.……………………12分20.解析：（1）由題意得，則，.的面積為，則.…………2分將，代入上式，得，則，，故橢圓C的標準方程為.…………4分（2）由（1）知，當直線MN的斜率不為0時，設直線MN的方程為，，，將代入橢圓方程得，化簡得，則，所以①，②.…………6分由得，即，則.得，所以，………………8分即，易知，故，易知恒成立，由，得，解得.……10分當直線MN的斜率等于0時，，或，，則或.綜上，實數(shù)的取值范圍為.…………12分21.解析：（1）由在上恒成立，得，即，.令，，則.…………2分當，即時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，，故恒成立，滿足題意；當，即時，設，則圖象的對稱軸，，，……………4分所以在上存在唯一實根，設為，則當時，，即，所以在上單調(diào)遞減，則，此時，不符合題意.綜上，實數(shù)a的取值范圍是.……………6分（2）由題意得，當時，，.由得，即.…………8分令，則，所以在上單調(diào)遞增，，即，所以，從而.由（1）知，當時，在上恒成立，整理得.令，則要證，只需證.…………10分因為，所以在上單調(diào)遞增，所以，即在上恒成立.綜上可得，對任意，都有成立.…………12分22.解析：（1）由直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))，消去參數(shù)t得直線l的普通方程為，……………2分由曲線C的極坐標方程，得，所以曲線C的直角坐標方程為.………………