人教版八年級數學上冊期中復習訓練講義

期復訓第一部

知識梳三角形一、知框架：二、知概念：1.三角形由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.2.三邊關系：三角形任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊的差小于第三邊3.高從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足間的線段叫做三角形的高.4.中線：在三角形中，連接一個頂和它對邊中點的線段叫做三角形的中線5.角平分線：三角形的一個內角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線.6.三角形的穩(wěn)定：三角形的形狀是固定的，三角形的這個性叫三角形的穩(wěn)定性.7.多邊形：平面內，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形.8.多邊形的內角多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內角9.多邊形的外角多邊形的一邊與它的鄰邊的延長線組成的角做多邊形的外角10.邊形的角線：接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線.11.多邊形平面內，各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫正多邊形.12.面鑲嵌一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，叫做用多邊形覆蓋平面，13.式與性：⑴三角形的內角和：三角形的內角和為180°⑵三角形外角的性質：性質1三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和.性質2三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角.⑶多邊形內角和公式n邊形的內角和等(n·180°1頁

⑷多邊形的外角和：多邊形的外角和為360°.⑸多邊形對角線的條數：①n邊形的一個頂點出發(fā)可以條對角線，把多邊形分(n2)三角形.②n邊形共有全等三形一、知框架：二、知概念：1.基本定義：

n2

條對角線⑴全等形：能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形⑵全等三角形：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形⑶對應頂點：全等三角形中互相重合的頂點叫做對應頂點⑷對應邊：全等三角形中互相重合的邊叫做對應邊⑸對應角：全等三角形中互相重合的角叫做對應角2.基本性質：⑴三角形的穩(wěn)定性：三角形三邊的長度確定了，這個三角形的形狀、大小就全確定，這個性質叫做三角形的穩(wěn)定性.⑵全等三角形的性質：全等三角形的對應邊相等，對應角相等3.全等三角形的定定：⑴邊邊邊（：三邊對應相等的兩個三角形全等.⑵邊角邊：兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等.⑶角邊角（ASA）：兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等.⑷角角邊（）：兩角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等.⑸斜邊、直角邊（HL）：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等.4.角平分線：⑴畫法：⑵性質定理：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等⑶性質定理的逆定理：角的內部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上5.證明的基本方：2頁

⑴明確命題中的已知和求證.（包括隱含條件，如公共邊、公共角、對頂角、角平分線、中線、高、等腰三角形等所隱含的邊角關系）⑵根據題意，畫出圖形，并用數字符號表示已知和求證⑶經過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程軸對稱一、知框架：二、知概念：1.基本概念：⑴軸對稱圖形：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形.⑵兩個圖形成軸對稱：把一個圖形沿某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱⑶線段的垂直平分線：經過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線⑷等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.⑸等邊三角形：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形2.基本性質：⑴對稱的性質：①不管是軸對稱圖形還是兩個圖形關于某條直線對稱，對稱軸都是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.②對稱的圖形都全等⑵線段垂直平分線的性質：①線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.②與一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上⑶關于坐標軸對稱的點的坐標性質①(,y)關于x軸對稱的點的坐標為'(x)②(,y)關于y軸對稱的點的坐標P"(y.3頁

⑷等腰三角形的性質：①等腰三角形兩腰相等②等腰三角形兩底角相等（等邊對等角）.③等腰三角形的頂角角平分線、底邊上的中線，底邊上的高相互重合.④等腰三角形是軸對稱圖形，對稱軸是三線合一（條）.⑸等邊三角形的性質：①等邊三角形三邊都相等②等邊三角形三個內角都相等，都等于③等邊三角形每條邊上都存在三線合一④等邊三角形是軸對稱圖形，對稱軸是三線合一（條）.3.基本判定：⑴等腰三角形的判定：①有兩條邊相等的三角形是等腰三角形②如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（等角對等邊）.⑵等邊三角形的判定：①三條邊都相等的三角形是等邊三角形②三個角都相等的三角形是等邊三角形③有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形4.基本方法：⑴做已知直線的垂線：⑵做已知線段的垂直平分線：⑶作對稱軸：連接兩個對應點，作所連線段的垂直平分線⑷作已知圖形關于某直線的對稱圖形：⑸在直線上做一點，使它到該直線同側的兩個已知點的距離之和最短第二部

考點精精練考點一三角形、多形的基定義【典型題】1、如圖所示，三角形的個數是（）4頁

eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)ABCeq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)ABCA．3B．C．5D62、以下是四位同學在鈍角三角形ABC中畫BC邊上的高，其中畫法正確的是（）A．

B．

．

D3、如圖所示，eq\o\ac(△,)ABC中，已知DEF分別是ADCE的中點，=4平方厘米，則S的值為（）A．2平方厘米

B．平方厘米

．平方厘米

D．平方厘米4、下列圖形不具有穩(wěn)定性的是（）A．正方形

B．等腰三角形

．直角三角形

D．鈍角三角形5、如圖，在直角三角形ABC中，∠，，為AB上一點，連接如果三角形BCD沿直線CD翻折后，點B恰好與邊AC的中點E重合，那么點D到直線AC的距離為．6、如圖，CE是ABC的兩條高，已知，，AB=12（1）求ABC的面積；（2求BC的長．7ABC中△ABC的高是△ABC的角平分線∠BAC=82°，∠C=40，求∠DAE的大?。?eq\o\ac(△,)ABC中，ADBC，平分∠BAC交BC于點E．（1）∠B=30°，∠C=70°，求∠的大?。?）若∠B＜∠C，則∠EAD與∠C－∠B是否相等？若相等，請說明理由．考點二三角形邊的解【典型題】1、下列每組數分別是三根木棒的長度，能用它們擺成三角形的是（）A．3cm，4cm8cmB．7cm，15cm．5cm，5cm，11cmD13cm12cm，2、在下列所給條件中能夠組成三角形的是（）A．三條線段的比是：2：3．三條線段的比是2：34．三條線段的比是3：7D．三條線段的比23：5頁

3、等腰三角形的兩邊長分別為3cm和7cm，則周長為（）A．13cm．17cmC．13cm或17cmD11cm或17cm4三角形兩邊的長分別為7cm和2cm三邊為奇數第三邊的長）A．3B．．7D95、下列三條線段不能組成三角形的是（）A．a=b=m，c=2m（＞0

B．a=8b=10c=5．a：bc=5：13：12D．a=n+1，b=n+2c=n+3（0）、如果三角形的兩邊長分別為3和，第三邊長是偶數，則第三邊長可以是（）A．2B．．4D87、三角形的兩邊分別為a和ba＞b，則周長l的范圍是（）A．2al＜3bB．＜＜2a+b）．2a+b＜l＜a+2bD．＜＜a+68、一木工師傅現有兩根木條，木條的長分別為40cm和30他要選擇第三根木條將它們釘成一個三角形木架設第三根木條長為x則x的取值范圍是____9、已知abc為ABC的三邊，化簡：

-

＋

=

．10、“佳工藝店”打算制作一批有兩邊長分別是7分米，3分米，第三邊長為奇數（單位：分米）的不同規(guī)格的三角形木框。（1）要制作滿足上述條件的三角形木框共有_________種；（2若每種規(guī)格的三角形木框只制作一個制作這種木框的木條的售價為元?分米，問至少需要多少錢購買材料？（忽略接頭）考點三三角形、多形角的解【典型題】1、已eq\o\ac(△,)ABC的一個外角為50°，則ABC一定是（）A．銳角三角形．直角三角形

B．鈍角三角形D銳角三角形或鈍角三角形2圖知BE分別為ABC的兩條高和CF相交于點H∠BAC=50°，則∠BHC為（）6頁

A．160°B．．140°D130°3如圖一根直尺EF壓在三角形30°的角∠上與兩邊ACAB交于MN那么∠CME+∠BNF是（）A．135°B．C．D不能確定4如圖eq\o\ac(△,)ABC內有一點D且DA=DB=DC若∠DAB=20°∠則∠的大小是（）A．100°B．C．D50°（）（3）（4）5、一個多邊形的內角和是外角和的2倍，則這個多邊形是（）A．四邊形

B．五邊形

．六邊形

D．八邊形6、如圖，RtACB中，∠ACB=90°，∠A=25°D是AB上一點．將RtABC沿CD折疊，使B點落在AC邊上的B′處，則∠ADB′等于（）A．40°．35°．30°D25°7、如圖eq\o\ac(△,)ABC中，BD是∠ABC的角平分線，∥交于，∠∠BDC=95°，則∠BED的度數是．8、如圖，∠2+∠∠4+5=540°．（）（）（）9、一個多邊形的內角和等于它的外角和的6倍，它是幾邊形？10、在ABC中，∠A=∠B﹣10°，∠C=∠﹣5°求ABC的各個內角的度數．11、如圖，五邊形ABCDE的內角都相等，且∠2∠3=∠求x的值．考點四全等三角形的證明性質【典型題】1、等腰三角形的兩邊長分別為3cm和7cm，則周長為（）A．13cm．17cmC．13cm或17cmD11cm或17cm2、王老師一塊教學用的三角形玻璃不小心打破了，他想再到玻璃店劃一塊同樣大小的三角形玻璃，為了方便他只要帶哪一塊就可以（）A．③．②．①D都不行3、已知圖中的兩個三角形全等，則∠1等于（）A．50°．58°．60°D72°7頁

（）（）4、兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”如圖，四邊形ABCD是一個箏形，其中AD=CDAB=CB，探究箏形的性質時，得到如下結論ABD≌△CBD；②ACBD；③四邊形ABCD的面積=AC?BD，其中正確的結論有（）A．0個

B．個

C．2個

D．3個5、如圖，把長方形紙ABCD沿對角線折疊，設重疊部分eq\o\ac(△,)EBD，那么，有下列說法①EBD是等腰三角形EB＝ED②疊后∠ABE和∠CBD一定相等；③折疊后得到的圖形是軸對稱圖形；EBA和EDC一定是全等三角形．其中正確的有（）A．1個

B．個

C．3個

D．個6、用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角的示意圖如下，則要說明D′O′C∠，需要證eq\o\ac(△,)D′O′C′≌△DOC，則這兩個三角形全等的依據是（寫出全等的簡寫）．7、如圖eq\o\ac(△,)OAD≌△OBC，且∠，∠C=20°，則∠

．（）（6）（）8、如圖，eq\o\ac(△,)PAB中PA=PBMNK分別是PBAB上的點，AM=BK，BN=AK，若∠，則∠P的度數為．9圖面直角坐標系中OABC的兩邊分別在x軸和軸上OC=6cmF是線段OA上的動點，從O出發(fā)，以1cm/s的速度沿OA方向作勻速運動，點Q在線段上．已知A、Q兩點間的距離是O、兩點間距離的倍．若用a，表示經過時間（s）時eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)FAQeq\o\ac(△,)CBQ中有兩個三角形全等．請寫出（a，t）的所有可情況．（）（）10、已知：如圖，∥EFAD=BE，BC=EF，試說明ABC≌△11圖ABC中ACB=90°是BC邊的中線點C作CF⊥AE，垂足為點F，過點B作BD⊥BC交CF的延長線于點D．（1）試說明AE=CD；（2）若AC=10cm，求BD的長．12、在數學課上，林老師在黑板上畫出如圖所示的圖形（其中點B、、C、E在8頁

同一直線上并寫出四個條件①AB=DE②BF=EC∠B=∠E∠1=2．請你從這四個條件中選出三個作為題設，另一個作為結論，組成一個真命題，并給予證明．題設：；結論：．（均填寫序號）13、如圖，在四邊形中，AD=BC=4AB=CD，BD=6點E從點出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿DA向點A勻速移動，點F從點C出發(fā)，以每秒個單位的速度沿C→B→C作勻速移動點G從點B出發(fā)沿BD向點D勻速移動三個點同時出發(fā)，當有一個點到達終點時，其余兩點也隨之停止運動．（1）試證明：AD∥．（2在移動過程中明發(fā)現當點的運動速度取某個值時有DEG與BFG全等的情況出現你探究當點G的運動速度取哪些值時eq\o\ac(△,)DEG與BFG全等．考點五角平分線的質及應【典型題】1、eq\o\ac(△,)ABC內一點到三角形三條邊的距離相等，O為（）的交點．A．角平分線

B．高線

．中線

D．邊的中垂線2、如圖，是ABC中∠BAC的平分線，DE⊥于點E，DF⊥交AC于點F．S=7，，AB=4則AC長是（）A．4B．C．6D53如圖已知在ABC中CD是AB邊上的高線BE平分∠ABC交于點E，BC=5，DE=2，則BCE的面積等于（）A．10．7C．D44、如圖，ABC中，CD是斜邊AB上的高，角平分線交CD于H，AB于F，則下列結論中不正確的是（）A．∠ACD=∠B．C．AC=AFDCH=HD（）（（4）5、已知：如圖，eq\o\ac(△,)ABC的角平分線，且：AC=3：則ABD與ACD的面積之比為．6知如圖B=∠C=90°是BC的中點平分∠ADCCED=35°∠EAB是

度．9頁

（）（6）7如圖為∠BAC的平分線DF⊥于∠B=90°試說明．8、如圖，點、分別在∠A的兩邊上，C是∠DAB內一點，AB=AD，BC=CD，CE⊥AD于E，CF⊥于F，求證：CE=CF．9、如圖，畫AOB=90°，并畫AOB的平分線OC，三角尺的直角頂點落OC的任意一點P上，使三角尺的兩條直角邊與∠的兩邊分別相交于點、F試猜想PEPF的大小關系，并說明理由．考點六軸對稱、最路徑【典型題】1、在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個標志中，是軸對稱圖形的是（）A．

B．

．

D．2、與點P(2，－關于x軸對稱的點是（）A．(－2，－5)B．，－5)C．(25)D(2，3、在下“禁毒”、和平、志愿者”、節(jié)水”這四個標志中，屬于軸對稱圖形的是（）A．

B．

．

D．4、如圖是一只停泊在平靜水面上的小船，它的“影”應是圖中的（）A．

B．

．

D．5、如圖，等eq\o\ac(△,邊)ABC的邊長為，AD是BC邊上的中線F是AD邊上的動點，E是AC邊上一點，若AE=2，當EF+CF取得最小值時，則∠的度數為（）A．15°．22.5°C．30°D45°6如圖線l是一條河兩地相距5km兩地到l的距離分別為3km、6km，欲在l上的某點M處修建一個水泵站，向A、B兩地供水，現有如下四種鋪設方案，圖中實線表示鋪設的管道，則鋪設的管道最短的是（）10

A．

B．

．

D．7、如圖，點P是∠AOB內任意一點，OP=5cm點M和點N分別是射線和射線OB上的動點，PMN周長的最小值是，則∠AOB的度數是（）A．25°．30°．35°D40°8、已知點P（﹣1）關于y軸的對稱點Q的坐標是（a+b，1﹣b），則a

b

的值為．9圖是一個風箏的圖案軸對稱圖形是對稱軸A=90°AED=130°，∠C=45°，則∠BFC的度數為

140°

．10、如圖，在五邊形ABCDE中，∠BAE=136°，∠B=∠，在BC，上分別找一點MN使得AMN的周長最小時則∠∠的度數為88°

．11、如圖，已eq\o\ac(△,)ABC的三個頂點在格點上．（1）作出與ABC關于x軸對稱的圖形ABC；111（2）求出A，B，C三點坐標；111（3）求ABC的面積．考點七等腰（邊）性質及明【典型題】1、如圖，eq\o\ac(△,)ABC中，∠A=36°，，BD是ABC的角平分線．若在邊AB上截取BE=BC，連接則圖中等腰三角形共有（）A．2個

B．個

．4個

D．個2、已知坐標平面內一點，－1)，O為原點，P是軸上一個動點，如果以點POA為頂點的三角形是等腰三角形，那么符合條件的動P的個數為（）A．2個

B．個

C．4個

D．個3、已知等腰三角形的一個內角是80°則它的底角是．4如圖知直線L∥將等邊三角形如圖放置∠ɑ=40°則∠等于．125、等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為36°，則該等腰三角形的底角的度數為．11

1231231122231231231122233341BA6、如圖，已eq\o\ac(△,)ABC與CDE都是等邊三角形，點、、D在同一條直線上，AD與BE相交于點G，與AC相交于點F，AD與CE相交于點H，則下列結論：①≌△BCE；∠AGB=60°；；④CFH是等邊三角形；連CG，則∠∠DGC．其中正確的個數是（）A．2B．．4D57、如圖，已知∠MON=30°，點A、A、…在射線上，點B、B、B…在射線OM上；ABAeq\o\ac(△,)ABA、ABA…均為等邊三角形．若=1則的邊長為（）AA．4028．4030C．

D．2

（）（）8、如圖，已eq\o\ac(△,)ABC中，AC+BC=24，、BO分別是角平分線，且MN∥BA，分別交AC于NBC于M，則CMN的周長為．9、已知：如圖，在ABC中，AB=AC，平分∠ABC，是底邊BC的延長線上的一點且CD=CE．（1）求證：BDE是等腰三角形；（2）若∠A=36°，求∠ADE的度數．10、圖1中所示的遮陽傘，傘柄垂直于地面，其示意圖如2當傘收緊時，點P與點A重合；當傘慢慢撐開時，動點由A向B移動；當P到過點B時，傘張得最開．已知傘在撐開的過程中，總有PM=PN=CM=CN=6.0分米，CE=CF=18.0分米，BC=2.0分米（1）求AP長的取值范圍；（2）當∠CPN=60°時，AP的值．11如圖在ABC中AB=AC點DEF分別在BCAC邊上且BE=CF，BD=CE．（1）求證：DEF是等腰三角形；（2）當∠A=40°時，求∠DEF的度數；（3）∠B=∠DEF．12、如圖1，是邊長為8cm的等邊ABC的邊AB上的一點，DQ⊥交邊于點，⊥BC交邊于點，RP⊥AC交邊AB于點E，交QD的延長線于點12

P．（1）求證：PQR是等邊三角形；（2）如圖2，當點E恰好與點D重合時，求出BD的長度．13、已知：四邊形ABCD中，∠ABC+∠，垂直平分BD（1）求證：AC平分∠BAD；（2）若∠BCD=60°，求證：．考點八垂直平分線【典型題】1、到三角形三個頂點的距離都相等的點是這個三角形的（）A．三條高的交點．三條中線的交點

B．三條角平分線的交點D三條邊的垂直平分線的交點2、如圖，eq\o\ac(△,)ABC中，∠，∠C=30°，分別以點和點C為圓心，大于一半AC的長為半徑畫弧，兩弧相交于點N，作直線，交BC于點連接AD，則∠的度數為（）A．65°．60°．55°D45°3、如圖，eq\o\ac(△,)ABC中，AB＝，是BC的中點，的垂直平分線分別交AC，AD，AB于點E，O，F，則圖中全等三角形的對數是（）A．1對

B．對

C．3對

D．對（）（3）4圖ABE中的垂直平分線MN交BE于點CAB+BC=BE，則∠B的度數是（）A．45°．50°C．55°D60°5、如圖，eq\o\ac(△,)ABC中，邊上的垂直平分線DE交邊于點D，交邊于點E．eq\o\ac(△,)EDC的周長為24，ABC與四邊形AEDC的周長之差為12則線段的長為．5、如圖，eq\o\ac(△,)ABC中，AB=AC=32cm，DE是的垂直平分線，分別交AB、AC于DE兩點．若BC=21cm則BCE的周長是

cm．（）（（）13

7、如圖，兩條公OA和OB相交于O點，在AOB的內部有工廠C和D，現要修建一個貨站P，使貨站到兩條公路、OB的距離相等，且到兩工廠C、D的距離相等，用尺規(guī)作出貨站P的位置（要求：不寫作法，保留作圖痕跡，寫出結論）8、如圖，在直eq\o\ac(△,)ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分線AD交BC于點D，若垂直平分，AB=10，ACD的周長為5+5．（1）求∠B的度數；（）求ACB的周長．9、如圖eq\o\ac(△,)ABC中，∠，、分別為、的垂直平分線，、分別為垂足．（1）求∠DAF的度數；（）如果BC=10cm求DAF的周長．10如圖，eq\o\ac(△,)ABC中AB的垂直平分線交AB于N交直BC于點M（1）如圖（1），若∠A=40°，求∠NMB的大?。?如（2如果（中∠A的度數改為其余條件不變再求∠NMB的大小．（3）你發(fā)現了什么規(guī)律？寫出猜想并證明．考點九含的直角三形【典型題】1如圖在ABC中∠C=90°∠A=30°其中DE是AB的中垂線交AB于D交AC于E，連接BE．若EC=2，則（）A．3B．C．5D62、直角三角形一條直角邊長為8cm，它所對的角為30°，則斜邊為（A．12cm．4cm．16cmD8cm

C）3、如圖，∠∠BOP=15°，OA交OB于，PD⊥垂足為，若則PD=

。4、如圖，eq\o\ac(△,)ABC中，∠，垂直平分AB于，交AC于DAD=2BC則∠A=______14

（）（4）5在ABC中∠A=120°AB=AC=mCD是ABC的邊AB的高則ACD的面積為（用含m，n的式子表示）．6、如圖，eq\o\ac(△,)ABC中，∠ACB=90°，是高，∠A=30°，求證：AD=3BD．7、如圖，在RtABC中，點D在直角邊BC上，DE平分∠ADB，∠1=∠3，．（1）求∠3的度數；（2）判斷DE與AB的位置關系，并說明理由；（3）求BE的長．8、如圖，在等邊三角形ABC中，⊥于點D以AD為一邊向右作等邊三角形ADE，與AC交于點F．（1）試判斷DF與EF的數量關系，并給出理由．（2）若CF的長為2cm，試求等邊三角形ABC的邊長．9、如圖，在等邊三角形ABC中，點E分別在邊BC，上，且，過點E作EFDE，交的延長線于點F．（1）求∠F的度數；（2）若CD=2，求DF的長．10、如圖，ABC為等邊三角形，AE=CD，、BE相交于點，BQ⊥與Q，PQ=4PE=1．(1)求證：ABE≌△CAD

(2)求證：∠BPQ=60°第三部綜合訓

(3)求AD的長．一、選題：1．以下圖形中對稱軸的數量小于3的是（）A．

B．

．

D．15

2．如下圖，已eq\o\ac(△,)ABE≌△ACD∠1=2，∠∠C，不正確的等式是（）A．AB=AC．∠BAE=∠CADC．DAD=DE3．如圖AD⊥，⊥BCCH⊥，⊥AC，則eq\o\ac(△,)ABC中，邊上的高是（）A．線段CEB．線CHC．線段ADD線段BG（）（）4．eq\o\ac(△,)ABC中，∠A=55°，∠B比∠C大25°，則∠等于（）A．50°．75°．100°D125°5．已知三角形三邊分別為2，a14，那么a的取值范圍是（）A．1a＜5．2＜a＜6C．a＜7D4＜a66．一個多邊形的內角和是1260°，這個多邊形的邊數是（）A．7B．8．9D107．如圖，在方格紙中，以AB為一邊作ABP，使之與ABC全等，從，P，12P，P四個點中找出符合條件的點P，則點P有（）3A．1個

B．個

．3個

D．個8．如圖，，⊥AC于點E，CF⊥AB于點F，BE、CF相交于點，則①ABE≌△ACF；②BDF≌△CDE③點D在∠BAC的平分線上．以上結論正確的是（）A．①．②．①②D．②③9．如圖，在RtABC中，AB=AC，AD⊥，垂足為DE、F分別是CDAD上的點，且CE=AF．如果∠AED=62°，那么∠DBF=（）A．62°．38°．28°D26°10．如圖，等腰三角形中，，∠A=46°，⊥AB于D則∠等于（）A．30°．26°．23°D20°（）（）（10）11．若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夾角25°，則該三角形的一個底角為（）A．32.5°B．．65°或57.5°D32.5°或16

12．如圖，∠，點A、A、A…在射線ON上，點B、B、B…在射線12313OM上eq\o\ac(△,)ABAeq\o\ac(△,)ABAeq\o\ac(△,)ABA…均為等邊三角形，依此類推，OA=1112223341eq\o\ac(△,)ABA的邊長為（）A．2019．4032C．

D．

二、填題：13．如圖，eq\o\ac(△,)ABC中，點D是BC的中點，作射線AD，在線段AD及其延長線上分別取點E、，連接CE、．添加一個條件，使eq\o\ac(△,)BDF≌△CDE你添加的條件是．（不添加輔助線）14．如圖，已eq\o\ac(△,)ABC中，∠，，是高AD和BE的交點，則線段BH的長度為．15．如圖，∠DAB=∠AB=AD，，BE和CD相交于O，AB和CD相交于P，則∠DOE的度數是

°．（（）（）16．如圖所示，已O是四邊形ABCD內一點，OB=OC=OD，BCD=∠BAD=75°，則∠ADO+∠

度．17如圖已知ABC中AB=AC∠DBC=∠AE平分∠BAC若BD=8cmDE=3cm，則BC=

．18．如圖，在ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°在直線BC或AC上取一點，使eq\o\ac(△,)PAB為等腰三角形，這樣的點共有

個．（）（17）（18）三、解題：19．如圖，10×10的網格中，每個小正方形的邊長都為1，格中有兩個格點A、B和直線l．求作點關于直線l的對稱點A

1

。20．eq\o\ac(△,)ABC中AB=CB∠ABC=90°，F為AB延長線上一點，點在BC上，且AE=CF．17

（1）求證：ABE≌△CBF；（2）若∠CAE=25°，求∠度數．21．如圖，已知eq\o\ac(△,)ABC中，AB=AC，的垂直平分線DE交AC于點，CE的垂直平分線正好經過點B，與AC相交于點F，求∠A的度數．22．如圖eq\o\ac(△,)ABC的三條內角平分線相交于點O，過點O作OE⊥BC于E點，求證：∠BOD=∠COE．23．如1，是線段上一點，CE為邊分別在的同側作等邊ABC和等eq\o\ac(△,)DCE連結AE、．（1）求證：BD=AE；（2）如圖2，若M、分別是線段AEBD上的點，且AM=BN請判eq\o\ac(△,)CMN的形狀，并說明理由．24．如圖，已知等eq\o\ac(△,)ABC，延長至D，在AB上，使AE=CD，接DE，交AC于F點，過E作EGAC于G點．求證：FG=AC．第15講第二部考點一三角形、多形的基定義【典型題】1、C2、B3、B4、A

期復訓考點精精練5、2

．6、7、∵∠，∠C=40°，∴∠∠C=58°，∵AE是ABC的角平分線，∴∠BAE=∠

12

∠BAC=41°，∵AD是ABC的高，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=90°-B=90°-58°=32°，∠DAE=∠－∠BAD=41°－．8、18

考點二三角形邊的解【典型題】1、D2、B3、B4、C5、A6、C7、B8、＜x＜70cm__9、10、解：（三角形的第三邊x滿足：7-3＜x＜3+7，即4＜＜10，因為第三邊又為奇數，因而第三邊可以為57或9，故要制作滿足上述條件的三角形木框共有3種；（2）制作這種木框的木條的長為：3+5+7+3+7+7+3+7+9=51（分米），∴51×8=408（元），答：至少需要408元購買材料?？键c三三角形、多形角的解【典型題】1、B2、D3、B4、A5、C6、A7、110°

．8、540°．9、解：設多邊形的邊數是n根據題意得，（n2，19

解得n=14．故答案為：它是十四邊形．10、解：∵∠∠B﹣10°，∠C=∠﹣5°，∴∠B﹣B+∠﹣5°=180°∴∠B=65°，∴∠A=65°﹣10°=55°，C=65°5°=60°，∴△ABC的內角的度數為55°，60°，65°．11、解：因為五邊形的內角和是，則每個內角為∴∠E=C=108°，又∵∠1=2∠3=∠，由三角形內角和定理可知，∠1=2=3=∠4=÷2=36°∴x=∠EDC﹣∠1﹣∠3=108°﹣﹣36°=36°．考點四全等三角形的證明性質【典型題】1、C2、A3、B4、D5、C6、SSS7、102°．8、92°．9、（4，（，5），（0，10）．10、解：∵∥EF，∴∠∠∵AD=BE，∴AD+BD=BE+BD，即AB=DE，20

eq\o\ac(△,)ABC和DEF中，∵

，∴△ABC≌△DEF．11、【解答】（證明：∵，CF⊥，∴∠DCB+∠D=DCB+∠∴∠D=．又∵∠DBC=∠ECA=90°，且BC=CA，∴△DBC≌△ECA（）．∴AE=CD（2）解：由（1）得AE=CD，∴RtCDB≌RtAEC（）∴BD=EC=BC=AC，且AC=10cm．∴BD=5cm．12、13、【解答】（證明：eq\o\ac(△,)ABD和CDB中∴△ABD≌△CDB，∴∠ADB=CBD，∴AD∥；（2）解：設運動時間為t，點G的運動速度為v，當0＜t≤時，若≌△，則∴v=3；eq\o\ac(△,)DEG≌△，則，

，∴，∴（舍去）；當＜t≤時，eq\o\ac(△,)DEG≌△則，21

∴v=；eq\o\ac(△,)DEG≌△，則

，∴v=1．綜上，點G的速度為3或或1考點五角平分線的質及應【典型題】1、A2、B3、C4、D5、3：26、35

．度．7、解：∵∠，∴BD⊥AB．∵AD為∠BAC的平分線，且AC，∴DB=DF．在RtBDE和RtFDC中，DE＝DB＝∴RtBDE≌RtFDC（），∴BE=CF．8、9、考點六軸對稱、最路徑【典型題】1、A2、D3、B4、B22

eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,S)5、C6、B7、B8、259、140°10、88°

．．．11、解：（如圖所示；（2）由圖可知，A（﹣，﹣3，B（﹣3，﹣），C（﹣1﹣1）；111（3）=2×2﹣×1×1﹣×1×2﹣×1×2=4﹣1﹣考點七等腰（邊）性質及明【典型題】1、D2、C3、50或80°．4、20°

．5、63°或．6、D7、C8、24

．9、10、11、12、13、考點八垂直平分線【典型題】1、D2、A3、D23

114、B5、6

．6、53cm．7、解：如圖所示：作CD的垂直平分線，AOB的角平分線的交點P即為所求，此時貨站P到兩條公路OA、的距離相等．P和P都是所求的點．8、9、解：（設∠B=x，∠．∵∠∠B+∠，∴∠B+∠C=180°，∴x+y=70°．∵、AC的垂直平分線分別交BA于E、交于G，∴DA=BD，，∴∠EAD=∠B，∠∠C．∴∠DAF=∠﹣（x+y）=110°﹣．（2）∵AB、AC的垂直平分線分別交BA于E交AC于G，∴DA=BD，，∴△DAF的周長為：AD+DF+AF=BD+DF+FC=BC=10（cm）．10、考點九含的直角三形【典型題】1、D2、C3、2

。4、5、6、7、8、解：（DF=EF理由：∵△ABC和△ADE均是等邊三角形，24

∴∠∠DAE=60°，∵AD⊥，∴BD=DC∠BAD=∠，∴∠CAE=60°﹣30°=30°，即∠DAC=∠CAE∴AC垂直平分DE，∴DF=EF；（2）在RtDFC中，∵∠∠CFD=90°，∴∠CDF=90°﹣60°=30°，∵CF=2cm，∴DC=4cm∴BC=2DC=2×4=8cm即等邊三角形ABC的邊長為8cm．9、解：（∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=60°，∵DE，∴∠EDC=∠B=60°，∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°∴∠F=90°﹣∠EDC=30°；（2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°∴△EDC是等邊三角形．∴ED=DC=2∵∠DEF=90°∠F=30°，∴DF=2DE=4．10、（∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠∠ACD=60°，又∵AE=CD∴△BAE≌△ACD，25

(2)如圖所示：∵△BAE≌△ACD，∴∠1=2∵∠BAE=∠1+∠BAD=60°，∴∠BAE=∠2+∠BAD=60°，∴∠BPQ=60°；（3）∵BQ⊥，∴∠BQP=90°，又∵∠BPQ=60°，∴∠PBQ=30°，∴BP=2PQ=2×4=8，∴BE=BP+PE=8+1=9由（1）知△≌△ACD，∴AD=BE=9．第三部

綜合訓一、選題1．以下圖形中對稱軸的數量小于3的是（）A．

B．

．

D【考點】軸對稱圖形．【分析】根據對稱軸的概念求解．【解答】解：A、有條對稱軸；B、有6條對稱軸；26

、有4條對稱軸；D有2條對稱軸．故選D【點評本題考查了軸對稱圖形解答本題的關鍵是掌握對稱軸的概念如果一個圖形沿一條直線折疊直線兩旁的部分能夠互相重合這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．2．如下圖，已eq\o\ac(△,)ABE≌△ACD∠1=2，∠∠C，不正確的等式是（）A．AB=AC．∠BAE=∠CAD

．BE=DCDAD=DE【考點】全等三角形的性質．【分析根據全等三角形的性質全等三角形的對應邊相等全等三角形的對應角相等，即可進行判斷．【解答】解：∵△ABE≌△ACD∠1=2，∠∠C，∴AB=AC，∠CADBE=DC，AD=AE故A、、C正確；AD的對應邊是AE而非DE，所以D錯誤．故選D【點評本題主要考查了全等三角形的性質根據已知的對應角正確確定對應邊是解題的關鍵．3．如圖AD⊥，⊥BCCH⊥，⊥AC，則eq\o\ac(△,)ABC中，邊上的高是（）A．線段CEB．線段CH．線段AD．線段BG【考點】三角形的角平分線、中線和高．【分析】如圖，由于AD⊥，那么根據三角形的高的定義即可確定eq\o\ac(△,)ABC中，BC邊上的高．【解答】解：如圖，∵AD⊥，∴eq\o\ac(△,)ABC中，BC邊上的高為線段AD故選．27

【點評】此題比較簡單，主要考查了三角形的高的定義，利用定義即可判定AD是其高線．4．eq\o\ac(△,在)ABC中，∠A=55°，∠B比∠C大25°，則∠等于（）A．50°B．．100°．125°【考點】三角形內角和定理．【分析】根據三角形內角和定理計算．【解答】解：設∠C=x°，則∠B=x°+25°．根據三角形的內角和定理得x+x+25=180﹣，x=50則x+25=75．故選B．【點評能夠用一個未知數表示其中的未知角然后根據三角形的內角和定理列方程求解．5．已知三角形三邊分別為2，a14，那么a的取值范圍是（）A．1a＜5．2＜＜6C．a＜7D．4a＜6【考點】三角形三邊關系；解一元一次不等式組．【分析本題可根據三角形的三邊關系兩邊之和大于第三邊兩邊之差小于第三邊列出不等式：4﹣2＜﹣14+2，化簡即可得出的取值范圍．【解答】解：依題意得：4﹣＜a14+2，即：2＜a16，∴3＜a7故選：．【點評此類求三角形第三邊的范圍的題實際上就是根據三角形三邊關系定理列出不等式，然后解不等式即可．6．一個多邊形的內角和是1260°，這個多邊形的邊數是（）A．7B．．9D．10【考點】多邊形內角與外角．【分析】根據多邊形的內角和公式列式求解即可．【解答】解：設這個多邊形的邊數是n，則28

（n2?180°=1260°，解得n=9．故選．【點評】本題考查了多邊形的內角和公式，熟記公式是解題的關鍵，是基礎題，比較簡單．7．如圖，在方格紙中，以AB為一邊作ABP，使之與ABC全等，從，P，12P，P四個點中找出符合條件的點P，則點P有（）3A．1個．2個．3個．4個【考點】全等三角形的判定．【分析】根據全等三角形的判定得出點P的位置即可．【解答】解：要eq\o\ac(△,)ABP與ABC全等，點P到AB的距離應該等于點C到AB的距離，即3個單位長度，故點P的位置可以是P，P，P三個，14故選C【點評此題考查全等三角形的判定關鍵是利用全等三角形的判定進行判定點P的位置．8．如圖，，⊥AC于點E，CF⊥AB于點F，BE、CF相交于點，則①ABE≌△ACF；②BDF≌△CDE③點D在∠BAC的平分線上．以上結論正確的是（）A．①B．C．①②D①②③【考點】全等三角形的判定與性質；角平分線的性質．【分析】從已知條件進行分析，首先可得ABE≌△ACF得到角相等和邊相等，運用這些結論進而得到更多的結論最好運用排除法對各個選項進行驗證從而確定最終答案．【解答】解：∵BE⊥于E，CF⊥AB于F∴∠AEB=∠AFC=90°，∵AB=AC，∠∠A∴△ABE≌△ACF（①正確）29

∴AE=AF∴BF=CE，∵BE⊥于E，CF⊥AB于F，∠BDF=CDE∴△BDF≌△CDE（②正確）∴DF=DE連接AD，∵AE=AFDE=DFAD=AD，∴△AED≌△AFD，∴∠FAD=∠即點D在∠BAC的平分線上（③確）故選D【點評此題考查了角平分線的性質及全等三角形的判定方法等知識點要求學生要靈活運用，做題時要由易到難，不重不漏．9．如圖，在RtABC中，AB=AC，AD⊥，垂足為DE、F分別是CDAD上的點，且CE=AF．如果∠AED=62°，那么∠DBF=（）A．62°B．．28°D26°【考點】等腰直角三角形；全等三角形的判定與性質；【分析】主要考查：等腰三角形的三線合一，直角三角形的性質．注意：根據斜邊和直角邊對應相等可以證明BDF≌△ADE．【解答】解：∵AB=AC，AD，∴BD=CD又∵∠BAC=90°，∴BD=AD=CD．又∵CE=AF，∴DF=DE∴RtBDF≌RtADE（SAS）．∴∠DBF=DAE=90°﹣62°=28°．故選．【點評】熟練運用等腰直角三角形三線合一性質．30

10．如圖，等腰三角形中，，∠A=46°，⊥AB于D則∠等于（）A．30°B．．23°D20°【考點】等腰三角形的性質；直角三角形的性質．【分析】先根據等腰三角形的性質和三角形內角和定理求出∠的度數，進而在RtDCB中，求得∠DCB的度數．【解答】解：∵∠A=46°，AB=AC，∴∠B=∠C=67°．∵∠BDC=90°，∴∠DCB=23°，故選．【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質及三角形內角和定理，難度適中．11．若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夾角25°，則該三角形的一個底角為（）A．32.5°B．57.5°．65°57.5°D32.5°或57.5°【考點】等腰三角形的性質；三角形內角和定理．【分析等腰三角形的高相對于三角形有三種位置關系三角形內部三角形的外部，三角形的邊上．根據條件可知第三種高在三角形的邊上這種情況不成立，因而應分兩種情況進行討論．【解答解當高在三角形內部時底角是57.5°當高在三角形外部時底角是32.5度，故選D【點評熟記三角形的高相對于三角形的三種位置關系是解題的關鍵本題易出現的錯誤是只是求出75°一種情況，把三角形簡單的化成銳角三角形．12．如圖，∠，點A、A、A…在射線ON上，點B、B、B…在射線12313OM上eq\o\ac(△,)ABAeq\o\ac(△,)ABAeq\o\ac(△,)ABA…均為等邊三角形，依此類推，OA=1112223341eq\o\ac(△,)ABA的邊長為（）A．2019B．4032C．2．2【考點】等邊三角形的性質．31

n1nn1nn1nn1nnn11【分析】根據等邊三角形的性質和∠MON=30°，可求得∠OBA=90°，可求得12AA2=2OA=2同理可求得OA=2OA=4OA=…=2﹣OA=2OA=2，再結合含11nn12130°的直角三角形的性質可求eq\o\ac(△,)ABA的邊長，于是可得出答案．nn【解答】解：∵eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)BA為等邊三角形，112∴∠BAA=60°，112∵∠MON=30°，∴∠OBA=90°，可求得AA2=2OA=21211同理可求得OA=2OA=4OA=…=2nn﹣1

n﹣

OA=2OA=221

n，eq\o\ac(△,)OBA中，∠O=30°，∠BAO=60°nn∴∠OBA=90°n∴BA=OA=×2=2﹣，neq\o\ac(△,)ABA的邊長為2nn

n﹣

1

，∴eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)BA的邊長為﹣=2，故選D【點評】本題主要考查等邊三角形的性質和含30°角的直角三角形的性質，根據條件找到等邊三角形的邊長和OA的關系是解題的關鍵．1二、填空題13．如圖，eq\o\ac(△,)ABC中，點D是BC的中點，作射線AD，在線段AD及其延長線上分別取點E、，連接CE、．添加一個條件，使eq\o\ac(△,)BDF≌△CDE你添加的條件是DF=DE

．（不添加輔助線）【考點】全等三角形的判定．【分析】由已知可證BD=CD，又∠EDC﹦∠，因為三角形全等條件中必須是三個元素．故添加的條件是或CE∥BF或∠ECD=DBF或∠DEC=DFB等）；【解答】解：添加的條件是（或CE∥或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB等）．理由如下：∵點D是BC的中點，∴BD=CD32

eq\o\ac(△,)BDF和CDE中，∴△BDF≌△CDE（SAS）．故答案可以是：DF=DE．【點評考查了三角形全等的判定三角形全等的判定是中考的熱點一般以考查三角形全等的方法為主判定兩個三角形全等先根據已知條件或求證的結論確定三角形然后再根據三角形全等的判定方法看缺什么條件再去證什么條件．14．如圖，已eq\o\ac(△,)ABC中，∠，，是高AD和BE的交點，則線段BH的長度為

4

．【考點】全等三角形的判定與性質．【分析】由∠ABC=45°，是高，得出BD=AD后，證ADC△BDH后求解．【解答】解：∵∠ABC=45°，⊥BC，∴AD=BD．∵∠1=3同角的余角相等），∠∠2=90°，∠3+4=90°，∴∠2=4eq\o\ac(△,)ADC和BDH中，∴△ADC≌△BDH（AAS，∴BH=AC=4．故答案是：4．【點評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、、、AAS等．注意：、不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時必須有邊的參與若有兩邊一角對應相等時角必須是兩邊的夾角．15．如圖，∠DAB=∠AB=AD，，BE和CD相交于O，AB和CD相交于P，則∠DOE的度數是120°．【考點】全等三角形的判定與性質．【分析】首先得出∠DAC=∠EAB，進而利用ASA得出ADC≌△AEB進而得出∠E=ACD再利用三角形內角和定理得出∠COF=60°即可得出答案．33

【解答】解：∵∠DAB=EAC=60°，∴∠DAB+BAC=∠∠∴∠DAC=EAB，eq\o\ac(△,)ADC和AEB中，，∴△ADC≌△AEB（，∴∠E=ACD又∵∠AFE=∠，∴∠EAF=∠COF=60°，∴∠DOE=120°故答案為：120．【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質以及三角形內角和定理等知識，根據已知得eq\o\ac(△,)≌△AEB是解題關鍵．16．如圖所示，已O是四邊形ABCD內一點，OB=OC=OD，BCD=∠BAD=75°，則∠ADO+∠135

度．【考點】多邊形內角與外角；三角形的外角性質．【分析線段相等可得相應的角相等么可得∠∠DCOOCB=∠OBC，可得這四個角的和根據四邊形ABCD的內角和為360°減去已知角的度數即為所求的度數．【解答】解：∵OB=OC=OD，∴∠CDO=∠DCO，∠OCB=∠∵∠DCO+∠BCO=75°∴∠CDO+∠DCO+OBC=150°，∴∠ADO+∠ABO=360°﹣∠BAD﹣（∠DCO+∠OCB+∠OBC）．故答案為：135．【點評】用的知識點為：等邊對等角；四邊形的內角和為360°34

17如圖已知ABC中AB=AC∠DBC=∠AE平分∠BAC若BD=8cmDE=3cm，則BC=11cm．【考點】等腰三角形的性質．【分析】作出輔助線后根據等邊三角形的判定得eq\o\ac(△,)BDM為等邊三角形eq\o\ac(△,)EFD為等邊三角形，從而得出BN的長，進而求出答案．【解答】解：延長DE交BC于M延長AE交BC于N，∵AB=AC，平分∠BAC，∴AN，BN=CN，∵∠DBC=∠D=60°，∴△BDM為等邊三角形，∴BD=DM=BM=8cm，∵DE=3cm，∴EM=5cm∵△BDM為等邊三角形，∴∠DMB=60°∵AN，∴∠ENM=90°，∴∠NEM=30°，∴NM=2.5cm，∴BN=5.5cm，∴BC=2BN=11（cm）．故答案為：11cm．【點評此題主要考查了等腰三角形的性質和等邊三角形的性質能求出的長是解決問題的關鍵．18．如圖，在ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°在直線BC或AC上取一點，使eq\o\ac(△,)PAB為等腰三角形，這樣的點共有【考點】等腰三角形的判定．35

6

個．

【分析】根據等腰三角形的判定，“同一三角形中，有兩條邊相等的三角形是等腰三角形（簡稱：在同一三角形中，等邊對等角）”分三種情況解答即可．【解答】解：如圖，①AB的垂直平分線交AC一點P（PA=PB），交直BC于點P；12②以A為圓心AB為半徑畫圓，交有二點P，，BC有一點（此時342AB=AP）；③以B為圓心，BA為半徑畫圓，交有二點P，P，交AC有一點（此時526BP=BA）．故符合條件的點有6個．故答案為：6．【點評本題考查了等腰三角形的判定構造等腰三角形時本著截取相同的線段就能作出等腰三角形來，思考要全面，做到不重不漏．三、解題（共7小題，滿分分）19．如圖，10×10的網格中，每個小正方形的邊長都為1，格中有兩個格點A、B和直線l．求作點關于直線l的對稱點A；1【考點】軸對稱-短路線問題．【分析】過點A作AO⊥直線l并延長至A′，使OA′=OA，點A即為所求；【解答】解：如圖所示，點A就是所求作的點；1【點評本題考查了軸對稱﹣最短路線問題作圖﹣復雜作圖復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．20．eq\o\ac(△,)ABC中AB=CB∠ABC=90°，F為AB延長線上一點，點在BC上，且AE=CF．（1）求證：ABE≌△CBF；（2）若∠CAE=25°，求∠度數．【考點】全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形．【分析】（1）根據HL證明RtABE≌RtCBF；36

（2）因e