八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末總復(fù)習(xí)提綱及導(dǎo)學(xué)案

八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末總復(fù)習(xí)提綱及導(dǎo)學(xué)案

第十一章三角形

一、知識(shí)結(jié)構(gòu)圖

［邊

與三角形有關(guān)的線段高

中線

角平分線

三角形的內(nèi)角和多邊形的內(nèi)角和

三角形的外角和多邊形的外角和

二、知識(shí)定義

三角形：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。

三邊關(guān)系：三角形任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊的差小于第三邊。

高：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足間的線段叫做三角形的高。

中線：在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它的對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線。

角平分線：三角形的一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做

三角形的角平分線。

三角形的穩(wěn)定性：三角形的形狀是固定的，三角形的這個(gè)性質(zhì)叫三角形的穩(wěn)定性。

多邊形：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形。

多邊形的內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角。

多邊形的外角：多邊形的一邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做多邊形的外角。

多邊形的對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線。

正多邊形：在平面內(nèi)，各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形。

三、公式與性質(zhì)

三角形的內(nèi)角和：三角形的內(nèi)角和為180°

三角形外角的性質(zhì):

性質(zhì)1:三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。

性質(zhì)2：三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。

多邊形內(nèi)角和公式：n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）-180°

多邊形的角和：多邊形的外角和為360°。

多邊形對(duì)角線的條數(shù)：（1）從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以引（n-3）條對(duì)角線，把多邊形分詞（n-2）

個(gè)三角形。

n（n-3）

（2）n邊形共有2條對(duì)角線。

第十二章全等三角形

一、全等三角形

1.定義：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。

2.全等三角形的性質(zhì)

①全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等。

②全等三角形的周長(zhǎng)相等、面積相等。

③全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的對(duì)應(yīng)中線、角平分線、高線分別相等。

3.全等三角形的判定

邊邊邊：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“SSS”）

邊角邊：兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“SAS”）

角邊角：兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“ASA”）

角角邊：兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“AAS”）

斜邊、直角邊：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“HL”）

4.證明兩個(gè)三角形全等的基本思路:

一找第三地(SSS)

(1)：已知兩邊——Y找夾角(3A3)

一我是否有直角(HL)

找這邊的另一個(gè)鄰角(ASA)

已知一地和它的鄰找這個(gè)角的另一個(gè)邊3土$)

(N)：已知一邊一角-找這邊的對(duì)角(AAS)

已知一邊和它的對(duì)找一角GAAS)

已知角是直角，找一邊(HL)

找兩角的夾邊(ASA)

(3)：已知兩角-

找夾邊外的任意邊(叢心)

二、角的平分線：

1.(性質(zhì))角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等

2.(判定)角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上

三、學(xué)習(xí)全等三角形應(yīng)注意以下幾個(gè)問題：

1.要正確區(qū)分“對(duì)應(yīng)邊”與“對(duì)邊”，"對(duì)應(yīng)角''與"對(duì)角”的不同含義；

2.表示兩個(gè)三角形全等時(shí)，表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母要寫在對(duì)應(yīng)的位置上；

3.有三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等或有兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等；

4.時(shí)刻注意圖形中的隱含條件，如“公共角”、"公共邊''、"對(duì)頂角”

第十三章軸對(duì)稱

一、軸對(duì)稱圖形

1.把一個(gè)圖形沿著一條直線折疊，如果直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)

稱圖形。這條直線就是它的對(duì)稱軸。這時(shí)我們也說這個(gè)圖形關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱。

2.把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能與另一個(gè)圖形完全重合，那么就說這兩個(gè)圖關(guān)于這

條直線對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸。折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn),也叫做對(duì)稱點(diǎn)

形

區(qū)軸對(duì)稱圖形是指一個(gè)圖形而言；周對(duì)稱是指兩個(gè)圖形的位置關(guān)系，必須涉

別及兩個(gè)圖形；

對(duì)稱軸不一定只有一條

只有一條對(duì)稱軸

聯(lián)如果把軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸分成兩如果把兩個(gè)成軸對(duì)稱的圖形拼在一起看成

系部分，那么這兩個(gè)圖形就關(guān)于這條直線成一個(gè)整體，那么它就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形

軸對(duì)稱

4.軸對(duì)稱的性質(zhì)

①關(guān)于某直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形。

②如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線。

③軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線。

④如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱。

二、線段的垂直平分線

1.定義：經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線。

2.性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；

到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在線段的垂直平分線上。

3.三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等

三、用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱

點(diǎn)（x,y）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為；點(diǎn)（x,y）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為

四、等腰三角形

1.等腰三角形的性質(zhì)

①.等腰三角形的兩個(gè)底角相等（等邊對(duì)等角）

②.等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（三線合一）

2.等腰三角形的判定:

①有兩條邊相等的三角形是等腰三角形②兩個(gè)角相等的三角形是等邊三角形（等角對(duì)等邊）

五、等邊三角形

1.等邊三角形的性質(zhì)：

等邊三角形的三個(gè)角都相等，并且每一個(gè)角都等于600

2.等邊三角形的判定：

①三條邊都相等的三角形是等邊三角形②三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形

③有一個(gè)角是600的等腰三角形是等邊三角形

3.在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于300,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半

第十四章整式乘除與因式分解

一、累的運(yùn)算性質(zhì)：

1.同底數(shù)基相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，即（％、〃為正整數(shù)）

2.累的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，即S）="（%、〃為正整數(shù)）

3.積的乘方等于各因式乘方的積，即（ab）n=anb”由為正整數(shù)）

4.同底數(shù)基相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，即""（"KO，"、〃都是正整數(shù)，

且〃i>〃）

5.零指數(shù)基的概念：任何一個(gè)不等于零的數(shù)的零指數(shù)基都等于，即“°=1（"X0）

二、整式的乘法

1.單項(xiàng)式與單項(xiàng)式乘法法則：把系數(shù)、同底數(shù)累分別相乘，作為積的因式，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式

里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式.

2.單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則：用單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別相乘，再把所得的積相加.

3.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則：先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)與另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)相乘，再把所

得的積相加.

4.乘法公式：

①平方差公式：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差相乘，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差，即

(a4-—by=a2—b2.

②完全平方公式：兩數(shù)和（或差）的平方等于它們的平方和，加（或減）它們的積的2倍，即

22

（a±））2=a±2ab+b

o

三、整式的除法

1.單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則：把系數(shù)、同底數(shù)累分別相除，作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有

的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式。

2.多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則：先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加。

四、因式分解：

1.因式分解的定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式

分解。

掌握其定義應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

①分解對(duì)象是多項(xiàng)式，分解結(jié)果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個(gè)要素缺一不可；

②因式分解必須是恒等變形；

③因式分解必須分解到每個(gè)因式都不能分解為止。

2.弄清因式分解與整式乘法的內(nèi)在的關(guān)系

因式分解與整式乘法是互逆變形，因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的

形式。

3.熟練掌握因式分解的常用方法.

（1）提公因式法

①提公因式法的關(guān)鍵是找出公因式，公因式的構(gòu)成一般情況下有三部分：A系數(shù)——各項(xiàng)系數(shù)的最

大公約數(shù)；

B字母——各項(xiàng)含有的相同字母；C指數(shù)——相同字母的最低次數(shù)。

②提公因式法的步驟：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并確定另一因式.需注意的是,

提取完公因式后，另一個(gè)因式的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)一致，這一點(diǎn)可用來檢驗(yàn)是否漏項(xiàng).

③注意點(diǎn)：A提取公因式后各因式應(yīng)該是最簡(jiǎn)形式，即分解到“底”；

B如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)的，一般要提出“一”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)是正的。

（2）公式法（運(yùn)用公式法分解因式的實(shí)質(zhì)是把整式中的乘法公式反過來使用）

①平方差公式：?2-^2=（?+^）（?-^）

②完全平方公式：^2^2ab+b2=（a±b）2

（3）十字相乘法：%?+（。+q）x+=（x+〃）（x+。）

4.添括號(hào)時(shí)，如果括號(hào)前面是正號(hào),括號(hào)里的各項(xiàng)都不變符號(hào);如果括號(hào)前面時(shí)負(fù)號(hào)，括號(hào)里的各項(xiàng)都

改變符號(hào).

第十五章分式

A_

L分式的定義：如果A、B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子區(qū)叫做分式。分式有意義

的條件是分母不為零，分式值為零的條件分子為零且分母不為零

2.分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘或除以一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變。

（,Gz->HU.）—A=-A--C----A---A-+--C

BBCBB'C

3.分式的通分和約分：關(guān)鍵先是分解因式

4.分式的運(yùn)算：分式乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為分母。

分式除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。

-a--c=——ac；一a.—c-a--d--——ad

hdbdbdbcbe

9"嘖

分式乘方法則：分式乘方要把分子、分母分別乘方。

分式的加減法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減。異分母的分式相加減，先通分，

a+b_d~bf_c_bc±a

變?yōu)橥帜阜质?，然后再加減。一。一一7'bdbd~bdt

混合運(yùn)算:運(yùn)算順序和以前一樣。能用運(yùn)算率簡(jiǎn)算的可用運(yùn)算率簡(jiǎn)算。

_1

0a=—

5.任何一個(gè)不等于零的數(shù)的零次暴等于1,即0=1（。/°）；當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，（"，°）

6.正整數(shù)指數(shù)基運(yùn)算性質(zhì)也可以推廣到整數(shù)指數(shù)累.（m,n是整數(shù)）

（1）同底數(shù)的事的乘法：a"'d=a"""；⑵暴的乘方：3'"）"=""";⑶積的乘方：（"）"="〃；

=匕

（4）同底數(shù)的基的除法：a"'+a"=ai（aWO）；（5）商的乘方：，一廬（）；（bWO）

7.分式方程：含分式，并且分母中含未知數(shù)的方程——分式方程。

解分式方程的過程，實(shí)質(zhì)上是將方程兩邊同乘以一個(gè)整式（最簡(jiǎn)公分母），把分式方程轉(zhuǎn)化為整式

方程。

解分式方程時(shí)，方程兩邊同乘以最簡(jiǎn)公分母時(shí)，最簡(jiǎn)公分母有可能為0,這樣就產(chǎn)生了增根，因此

分式方程一定要驗(yàn)根。

解分式方程的步驟：

（1）能化簡(jiǎn)的先化簡(jiǎn)⑵方程兩邊同乘以最簡(jiǎn)公分母，化為整式方程；（3）解整式方程；（4）驗(yàn)根.

增根應(yīng)滿足兩個(gè)條件：一是其值應(yīng)使最簡(jiǎn)公分母為0,二是其值應(yīng)是去分母后所的整式方程的根。

分式方程檢驗(yàn)方法：將整式方程的解帶入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母的值不為0,則整式方程的

解是原分式方程的解；否則，這個(gè)解不是原分式方程的解。

列方程應(yīng)用題的步驟是什么？（1）審；（2）設(shè)；（3）列；（4）解；（5）答.

應(yīng)用題有幾種類型；基本公式是什么？

基本上有五種：（1）行程問題：基本公式：路程=速度X時(shí)間而行程問題中又分相遇問題、追及問題.

（2）數(shù)字問題在數(shù)字問題中要掌握十進(jìn)制數(shù)的表示法.（3）工程問題基本公式：工作量=工時(shí)義工

效.

（4）順?biāo)嫠畣栴}v順?biāo)?v靜水+v水.v逆水=v靜水-v水.

8.科學(xué)記數(shù)法：把一個(gè)數(shù)表示成axlO”的形式（其中n是整數(shù)）的記數(shù)方法叫做科學(xué)記

數(shù)法.

用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值大于10的n位整數(shù)時(shí)，其中10的指數(shù)是〃T

用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值小于1的正小數(shù)時(shí)，其中10的指數(shù)是第一個(gè)非0數(shù)字前面0的個(gè)數(shù)（包括小

數(shù)點(diǎn)前面的一個(gè)0）

八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

第十一章三角形

一、知識(shí)框架：

與

角

三

形

關(guān)

有

的

段

線

-4^福形的外角利------------多辿形的內(nèi)角利

一隹電邈內(nèi)角和F一1多邊形的外角和|

二、知識(shí)概念：

1.三角形：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.

2.三邊關(guān)系：三角形任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊的差小于第三邊.

3.高：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足間的線段叫做三角形的高.

4.中線：在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線.

5.角平分線：三角形的一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫

做三角形的角平分線.

6.三角形的穩(wěn)定性：三角形的形狀是固定的，三角形的這個(gè)性質(zhì)叫三角形的穩(wěn)定性.

7.多邊形：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形.

8.多邊形的內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角.

9.多邊形的外角：多邊形的一邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做多邊形的外角.

10.多邊形的對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)

角線.

11.正多邊形：在平面內(nèi)，各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫正多邊形.

12.平面鑲嵌：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，叫做用

多邊形覆蓋平面，

13.公式與性質(zhì):

⑴三角形的內(nèi)角和：三角形的內(nèi)角和為180°

⑵三角形外角的性質(zhì)：

性質(zhì)1：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

性質(zhì)2：三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.

⑶多邊形內(nèi)角和公式：〃邊形的內(nèi)角和等于（〃-2）?mo。

⑷多邊形的外角和：多邊形的外角和為360°.

⑸多邊形對(duì)角線的條數(shù)：①從〃邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以引（"-3）條對(duì)角

〃（〃一3）

線，把多邊形分成（〃一2）個(gè)三角形②〃邊形共有2條對(duì)角線.

第十二章全等三角形

一、知識(shí)框架：

|對(duì)應(yīng)邊相等，［遠(yuǎn)角相等：

住等形----------“全等.角形|一解決問題

,I,

邊邊邊，邊角邊，角邊角，

角角邊，斜邊、直角邊

二、知識(shí)概念：

1.基本定義：

⑴全等形：能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形.

⑵全等三角形：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形.

⑶對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)：全等三角形中互相重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn).

⑷對(duì)應(yīng)邊：全等三角形中互相重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊.

⑸對(duì)應(yīng)角：全等三角形中互相重合的角叫做對(duì)應(yīng)角.

2.基本性質(zhì)：

⑴三角形的穩(wěn)定性：三角形三邊的長(zhǎng)度確定了，這個(gè)三角形的形狀、大小就全確定，這個(gè)性質(zhì)叫做

三角形的穩(wěn)定性.

⑵全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等.

3.全等三角形的判定定理：

⑴邊邊邊（SSS）：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

⑵邊角邊（SAS）：兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

⑶角邊角（ASA）：兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

⑷角角邊（"S）：兩角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

⑸斜邊、直角邊（兒）：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形

全等.

4.角平分線：

⑴畫法：

⑵性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.

⑶性質(zhì)定理的逆定理：角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.

5.證明的基本方法：

⑴明確命題中的已知和求證.（包括隱含條件，如公共邊、公共角、對(duì)頂

角、角平分線、中線、高、等腰三角形等所隱含的邊角關(guān)系）

⑵根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)字符號(hào)表示已知和求證.

⑶經(jīng)過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程.

第十三章軸對(duì)稱

一、知識(shí)框架:

等腰三角形等邊三角形

生

活作圖形的對(duì)稱軸

中

的

對(duì)

用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱

稱

作軸對(duì)稱圖形

二、知識(shí)概念：

1.基本概念：

⑴軸對(duì)稱圖形：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相

重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形.

⑵兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱：把一個(gè)圖形沿某一條直線折疊，如果它能夠與另一

個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱.

⑶線段的垂直平分線：經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這

條線段的垂直平分線.

⑷等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.相等的兩條邊叫

做腰，另一條邊叫做底邊，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做

底角.

（5）等邊三角形：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形.

2.基本性質(zhì)：

⑴對(duì)稱的性質(zhì)：

①不管是軸對(duì)稱圖形還是兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，對(duì)稱軸都是任何一

對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.

②對(duì)稱的圖形都全等.

⑵線段垂直平分線的性質(zhì)：

①線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.

②與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.

⑶關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)

①點(diǎn)Pa，＞）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為p'（％—y）.

②點(diǎn)p?刃關(guān)于丁軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為尸（一乂刃.

⑷等腰三角形的性質(zhì)：

①等腰三角形兩腰相等.

②等腰三角形兩底角相等（等邊對(duì)等角）.

③等腰三角形的頂角角平分線、底邊上的中線，底邊上的高相互重合.

④等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是三線合一（1條）.

⑸等邊三角形的性質(zhì)：

①等邊三角形三邊都相等.

②等邊三角形三個(gè)內(nèi)角都相等，都等于60°

③等邊三角形每條邊上都存在三線合一.

④等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是三線合一（3條）.

3.基本判定：

⑴等腰三角形的判定：

①有兩條邊相等的三角形是等腰三角形.

②如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（等角對(duì)

等邊）.

⑵等邊三角形的判定：

①三條邊都相等的三角形是等邊三角形.

②三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.

③有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

4.基本方法：

⑴做已知直線的垂線：

⑵做已知線段的垂直平分線:

⑶作對(duì)稱軸：連接兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，作所連線段的垂直平分線.

⑷作已知圖形關(guān)于某直線的對(duì)稱圖形：

⑸在直線上做一點(diǎn)，使它到該直線同側(cè)的兩個(gè)己知點(diǎn)的距離之和最短.

第十四章整式的乘除與分解因式

二、知識(shí)概念:

1.基本運(yùn)算：

⑴同底數(shù)幕的乘法：amxa"=a'n+n

mY：—nm

⑵事的乘方：(a＞=n

等邊三角

⑶積的乘方：(ahV-aa"bh形的性質(zhì)

2.整式的乘法：

⑴單項(xiàng)式X單項(xiàng)式：系數(shù)x系數(shù)，同字母x同字母，不同字母為積的因式.

⑵單項(xiàng)式*多項(xiàng)式：用單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的每個(gè)項(xiàng)后相加.

⑶多項(xiàng)式x多項(xiàng)式：用一個(gè)多項(xiàng)式每個(gè)項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式每個(gè)項(xiàng)后相加.

3.計(jì)算公式：

⑴平方差公式：(。孫(。+3=儲(chǔ)一加

2(a-6)2=a2-2ab+b~

⑵完全平方公式:(a+b)-=a+2ab+b~

4.整式的除法:

⑴同底數(shù)事的除法：a'n^a"=a"-n

⑵單項(xiàng)式+單項(xiàng)式：系數(shù)十系數(shù)，同字母+同字母，不同字母作為商的因式.

⑶多項(xiàng)式+單項(xiàng)式：用多項(xiàng)式每個(gè)項(xiàng)除以單項(xiàng)式后相加.

⑷多項(xiàng)式十多項(xiàng)式：用豎式.

5.因式分解：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)式

子因式分解.

6.因式分解方法：

⑴提公因式法：找出最大公因式.

⑵公式法：

①平方差公式：。2_^=（“+與（。一。）

②完全平方公式：。2±2"+廿=（。±6）2

③立方和："3+*=（"+。）（〃2一""+"-）

④立方差：/一/=（。一。）（。2+"+/）

⑶十字相乘法：f+（"+q）x+網(wǎng)=（%+P）（x+q）

⑷拆項(xiàng)法⑸添項(xiàng)法

第十五章分式

一、知識(shí)框架：

類比分類比分

列式公田數(shù)性質(zhì)一f句數(shù)運(yùn)皂WF

---------T分式----「分式基本性質(zhì)|-----1分式的運(yùn)算|

?列方程T/式方程1―去分母一整式方程|

目標(biāo)］目標(biāo):解整式方程

器------1，式方程的解卜檢驗(yàn)I程嚏方程的解I

的解

二、知識(shí)概念：

1.分式：形如萬，A、3是整式，8中含有字母且B不等于0的整式叫做分式.其中A叫做分式的分

子，8叫做分式的分母.

2.分式有意義的條件：分母不等于0.

3.分式的基本性質(zhì)：分式的分子和分母同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)不為0的整式，分式的值不變.

4.約分：把一個(gè)分式的分子和分母的公因式（不為1的數(shù)）約去，這種變形稱為約分.

5.通分：異分母的分式可以化成同分母的分式，這一過程叫做通分.

6.最簡(jiǎn)分式:一個(gè)分式的分子和分母沒有公因式時(shí)，這個(gè)分式稱為最簡(jiǎn)分式，約分時(shí)，一般將一個(gè)分

式化為最簡(jiǎn)分式.

7.分式的四則運(yùn)算：

a+b_a+b

⑴同分母分式加減法則：同分母的分式相加減，分母不變,把分子相加減.用字母表示為：。―cc

⑵異分母分式加減法則：異分母的分式相加減，先通分，化為同分母的分

式，然后再按同分母分式的加減法法則進(jìn)行計(jì)算用字母表示為：％一7—一bd

⑶分式的乘法法則：兩個(gè)分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分

acac

—x———

母相乘的積作為積的分母用字母表示為：bdhd

⑷分式的除法法則：兩個(gè)分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置后再與

ac_ad_ad

—：—=—x—=—

被除式相乘.用字母表示為：bdbcbe

⑸分式的乘方法則：分子、分母分別乘方.用字母表示為：b"

8.整數(shù)指數(shù)累：

（l）a'"xa"=a'"+"（加、〃是正整數(shù)）

⑵W"）（根、〃是正整數(shù)）

⑶（〃是正整數(shù)）

⑷a'"（awO,m、〃是正整數(shù)，m>n）

（5）⑸b"（〃是正整數(shù)）

（6/~a"（aw°,n是正整數(shù)）

9.分式方程的意義:分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.

10.分式方程的解法:①去分母（方程兩邊同時(shí)乘以最簡(jiǎn)公分母，將分式方程化為整式方程）;②按解整式

方程的步驟求出未知數(shù)的值;③驗(yàn)根（求出未知數(shù)的值后必須驗(yàn)根，因?yàn)樵诎逊质椒匠袒癁檎椒匠痰倪^程

中，擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍，可能產(chǎn)生增根）.

八年級(jí)數(shù)學(xué)上導(dǎo)學(xué)案(全冊(cè))

三角形

11.1與三角形有關(guān)的線段

11.1.1三角形的邊

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、明確三角形的相關(guān)概念；能正確對(duì)三角形進(jìn)行分類;

2、能利用三角形三邊關(guān)系進(jìn)行有關(guān)計(jì)算。

新課導(dǎo)學(xué):

三角形的有關(guān)概念一一閱讀課本第1至3頁，回答以下問題:

(1)三角形概念：由不在同一直線上的條線段連接所組成的圖形。

(2)三角形的表示法(如圖1)三角形ABC可表示為：

(3)△ABC的頂點(diǎn)分別為A、、；

(3)AABC的內(nèi)角分別為NABC,,；

(4)△ABC的三條邊分別為AB,,；或9，

(5)頂點(diǎn)A的對(duì)邊是，頂點(diǎn)B的對(duì)邊分別是,頂點(diǎn)C的對(duì)邊分別

三角形的分類:

(1)下圖中，每個(gè)三角形的內(nèi)角各有什么特點(diǎn)？

(D⑵(3)

(2)下圖中，每個(gè)三角形的三邊各有什么特點(diǎn)？

(3)結(jié)合以上圖形你認(rèn)為三角形可以如何分類？試一試

①按角分類：

②按邊分類：

在等腰三角形中，叫做腰，另外一邊叫做，兩腰的夾角叫

做，叫做底角。

等邊三角形是特殊的等腰三角形，即底邊和腰的等腰三角形。

3、三角形的三邊關(guān)系

問題1：如圖，現(xiàn)有三塊地，問從A地到B地有幾種走法，哪一種走法的距離最近？請(qǐng)

將你的設(shè)計(jì)方案填寫在下表中：野

路.-------...r

線

距

離

比

較

(2)思考：你發(fā)現(xiàn)三角形的三邊長(zhǎng)度有什么關(guān)系？

（3）閱讀課本第3頁，填寫：三角形兩邊的和

（4）用式子表示：BC+ACAB（填上‘>”或“<"）①

BC+ABAC（填上“〉”或“<"）②

AB+ACBC（填上“>”或“<”）③

4、例題：用一條長(zhǎng)為18cm的細(xì)繩圍成一個(gè)等腰三角形，如果腰長(zhǎng)是底邊的2倍，那么

各邊的長(zhǎng)是多少？

解：設(shè)底邊長(zhǎng)為xcm,則腰長(zhǎng)是cm

因?yàn)槿切蔚闹荛L(zhǎng)為cm

所以：

所以x=cm

答：三角形的三邊分別是、、

課堂練習(xí):A組

1.①圖中有個(gè)三角形，分別為

②4ABC的三個(gè)頂點(diǎn)是、

三個(gè)內(nèi)角是、

三條邊是、、

2、如圖中有個(gè)三角形，用符號(hào)表示

3.判斷下列線段能否組成三角形:

①4,5,6()②1,2,3()③2,2,6()@8,8,2()

4、等腰三角形一腰長(zhǎng)為6,底邊長(zhǎng)為7,則另一腰為，周長(zhǎng)為

5、等腰三角形一邊長(zhǎng)為6,一邊長(zhǎng)為7,則第三邊是，周長(zhǎng)為

B組

例題：

用一條長(zhǎng)為18cm的細(xì)繩圍成一個(gè)等腰三角形，若有一邊的長(zhǎng)為4cm,那么另兩邊為多

少？

分析：

題中沒有說明已知的邊是底還是腰，所以4cm可以作底，也可以作腰，本題分兩種情況；

解：當(dāng)長(zhǎng)的邊4cm為底邊，設(shè)腰長(zhǎng)為xcm,則，x=；

當(dāng)長(zhǎng)的邊4cm為腰，設(shè)底邊為xcm,則，x=；

答：三角形另兩邊為

思考：按上述方法求得線段能否構(gòu)成三角形？

6、等腰三角形一邊長(zhǎng)為8,一邊長(zhǎng)為2,則第三邊是，周長(zhǎng)為。

7、等腰三角形周長(zhǎng)為22,一邊長(zhǎng)為10,求另兩邊長(zhǎng)；

8、等腰三角形周長(zhǎng)為30,一邊長(zhǎng)為8,求另兩邊長(zhǎng)；

9、等腰三角形周長(zhǎng)為10,一邊長(zhǎng)為6,求另兩邊長(zhǎng)；

11.1.2三角形的高、中線與角平分線

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

正確理解三角形的中線、角平分線、高；

C

利用它們的性質(zhì)解簡(jiǎn)單幾何計(jì)算題。

AD

課前知識(shí):

如右圖，頂點(diǎn)A的對(duì)邊是

頂點(diǎn)B、C的對(duì)邊分別是

ZBAC的對(duì)邊是

ZABC,NBCA的對(duì)邊分別是

新課導(dǎo)學(xué):

1、閱讀課本第4頁至第5頁，了解什么是三角形的高線、中線、角平分線;

2、請(qǐng)?jiān)谙聢D中分別畫出三角形的高AD、中線AE、角平分線八

畫角平分線AF

過點(diǎn)A作三角形的高AD畫三角形的中線AE

②AB=2=2

(2)三角形的角平分線(如圖二)：

YBE是AABC中NABC的角平分線

.,.①Nl=/2=ZABC②NABC=2/=2/

(3)三角形的高線(如圖三)：

;AD為AABC中BC邊上的高，

.,.①!②/=/=90°

四.鞏固練習(xí)：A組：

H

1、按要求畫出下列三角腌勺中線、高線、角平分線八

A/\

2、如圖1：NBAC=60°,AD是三角形ABC的角平分線，則/BAD=°,ZCAD=°；

3、如圖2,AD為△ABC中BC邊上的高，ZB=35°,ZC=45°，則NBDA=0

00

ZBAD=,ZCAD=o

4、如圖3,AABC的周長(zhǎng)為20,AB=6,AC=8,AD是BC邊上的中線，則BC=,

BD=,CD=o

5、下列三個(gè)圖中三個(gè)NB有什么不同？過點(diǎn)A作畫出下列三角形的高，這三個(gè)三角形

ABC的邊BC上的高AD在各自三角形的什么位置上？你能說出其中的規(guī)律？

圖一圖二圖一

圖三NB是角，這個(gè)三角形ABC的邊BC上的高AD在

B組:

6、在AABC中，AD是中線，AE是角平分線、AF是高，填空：

A

(1)BD==2；

NBAE=

(2)2

BDEFC

⑶ZBFA=__________=90°

⑷x

//\ZB=45°,

7、如圖，在AABC中，ZBAC=60°,

//\的度數(shù)。

AD是AABC的一條角平分線，求NADB/

BZ----------D-----------“

8、ZB=30°,ZC=70°,AD、AE分別為

BC邊上的角平分線、高,

DE

C組：

如圖，AABC中，AB=2,BC=4,△ABC的

高AD與CE的比是多少？

（提示：利用三角形的面積公式）

11.1.3三角形的穩(wěn)定性及復(fù)習(xí)

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、了解三角形的穩(wěn)定性

2、復(fù)習(xí)三角形有關(guān)線段

新課導(dǎo)學(xué)：

閱讀課本第6頁至第7頁回答下列問題

蓋房子時(shí)，在窗框未安裝好前，木工師傅常先在窗框上斜釘一根木條，為什0

下列的圖形中具有穩(wěn)定性的是

(1)⑵

三角形有關(guān)線段復(fù)習(xí)

一、知識(shí)點(diǎn):

三角形的分類:銳角三角形

按角別類

‘不等邊三角形：三角形三條邊

按邊分爬r底邊和腰不的等腰三角形

等腰三角卜

(有兩條邊相等)等邊三角形：三條邊都

三角形三邊的關(guān)系：

1、三角形的任意兩邊之和第三邊;

2、三角形的任意兩邊之差第三邊。

如圖一，+>；>

三角形的重要線段:

(1)三角形的高(2)三角形的中線(3)三角形的角平分線

A

如圖，在43c中,AD±BC,AE平分NBAC,F是BC邊上的中點(diǎn)，則有

(1)AD±BC,

/.N=Z90°

(2)VAE^^ZBAC,

?，.N=N=2/

(3)..1是BC邊上的中點(diǎn)，

]_

==2

(四)三角形的穩(wěn)定性：*—......1

蓋房子時(shí)，木工師傅常常先在窗框上斜釘一根木條，(如右圖)\

為什么要這樣做呢？?—X

答：

練習(xí)：要是四邊形木架不變形，至少要在釘幾根木條？五邊形木架和六邊形木架呢？

(請(qǐng)?jiān)趫D上畫出)A

△C>O

至少要釘根木條至少要釘根木條至少要釘根木條

二、練習(xí)：

k

(一)、選擇題：

B

1.如圖，共有三角形的個(gè)數(shù)是()

(A)3(B)4(C)5(D)6

2.以下列長(zhǎng)度(cm)的三條小木棒,若首尾順次連接，能釘成三角形的是()。

(A)10、14、24(B)12、16、32(C)16、6、4(D)8、10、12

(二)填空：

1、如圖：AD、AE分別是AM。的角平分線和中線，如果

ZBAD=50°,CE=5cm,那么NBAC=度，

BC=cm；

2、等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為10cm和5cm,它們的周長(zhǎng)是cm。

3、已知等腰三角形的一邊長(zhǎng)等于5cm,一邊長(zhǎng)等于6cm,則它的周長(zhǎng)為cm。

4、一個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是20cm,

（1）若一條邊長(zhǎng)為5cm,則另兩邊的長(zhǎng)分別為；

（2）若一條邊長(zhǎng)為6cm,則另兩邊的長(zhǎng)分別為。

5、如圖，在AABC中，ZBAC=90°,AD是BC邊上的高，/

DELAB于E,那么圖中共有個(gè)直角三角形。/R----------X

畫AC邊上高畫DE邊上高畫HG邊上高

11.2與三角形有關(guān)的角

11.2.1三角形的內(nèi)角

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

（1）學(xué)會(huì)利用已學(xué)的相交線與平行線等相關(guān)性質(zhì)證明三角形的內(nèi)角和定理；

（2）初步了解什么是幾何證明，并感受證明幾何問題的基本結(jié)構(gòu)和推導(dǎo)過程;

（3）基本學(xué)會(huì)利用三角形內(nèi)角和定理解決生活中的實(shí)際問題。

新課導(dǎo)學(xué):

如圖1（1）,已知：直線上有一點(diǎn)A,過點(diǎn)A作射線AM、AN；

1、若NDAM=30°,ZEAN=70°,則N1等于度。

2、若在AM上任取一點(diǎn)B,過點(diǎn)B作BC〃DE交AN于點(diǎn)C如圖1（2）,

則：（1）N2等于度，根據(jù)：

（2）N3等于度，根據(jù)：

（3）/1+N2+N3等于度。

（三）問題：任剪一個(gè)三角形，按下列要求進(jìn)行實(shí)驗(yàn)

（1）先剪下/B和NC（如圖2）,然后把它們與NA

拼合在一起，就得到一個(gè)平角.有多少種不同的拼合B圖2

方法？請(qǐng)你把這些不同的方法分別拼出來；這個(gè)實(shí)驗(yàn)說明什么？你會(huì)證明嗎？

實(shí)驗(yàn)說明：

（2）在（1）中你覺得哪幾種拼合的結(jié)果有助于發(fā)現(xiàn)證明三角形內(nèi)角和等于180度思路？

它們有什么共同的特點(diǎn)？

（四）證明三角形內(nèi)角和定理：三角形的三個(gè)內(nèi)角和等于180°；

A

已知：如圖3,三角形ABC入囪.

求證：ZA+ZB+ZC=180

BC

證明：（方法一）

（五）鞏固練習(xí)

Nl=Z2=N3=

（六）應(yīng)用舉例

如圖3,C島在A島的北偏東50度方向，B島在A島的北偏東80度方向，C島在B島

的北偏西40度方向，從C島看A、B兩島的視角NACB是多少度？

（七）練習(xí)A組

1.求出下列圖中x的值:

x=X二x=x=

2、求下列圖形中的Nl、N2的度數(shù)：不

(1)(2)y\(

ACD「

/CD

Zl=°Zl=°Nl=°

/2=°Z2=°Z2=°

c

3、如圖，從A處觀測(cè)C處時(shí)仰角/CAD=30°,從B處第3題

觀測(cè)C處時(shí)仰角為NCBD=45°,則NCBA是度，

D

從C處觀測(cè)A,B兩處時(shí)視角NACB是度。

B組

4、如圖，一種滑翔傘的形狀是左右對(duì)稱的四邊形ABCD,

其中NA=150度，NB=ND=40度，求NC的度數(shù)。

第4題

5、如圖，AD1BC,Z1=Z2,ZC=65°,求NBAC的度數(shù)。A\

BDC

第5題

6、在三角形ABC中NB=NA+10°,ZC=ZB+10°,求三角形ABC的各內(nèi)角的度數(shù);

7、如圖，AB〃CD,ZA=40°

三角形（一）一一三角形的外角

學(xué)習(xí)目標(biāo):

1、知道什么叫三角形的外角；理解三角形外角的兩條性質(zhì)定理；

2.能用三角形外角的有關(guān)定理解答問題。

復(fù)習(xí)回顧：_______________________

BCD

1、三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和等于

2、如圖，4ABC中ZA+ZB+ZC=

3、如圖，在AABC中若NA=60°,ZB=35°，則NACB=0,ZACD=

新課導(dǎo)入:

（一）認(rèn)識(shí)三角形的外角，閱讀課本第74頁，了解什么是三角形的外角，并回答下列問

題:

2、猜想：NBAD和NB、NC之間的關(guān)系是

證明：

歸納：①三角形的一個(gè)外角等于

②三角形的一個(gè)外角大于一個(gè)

幾何語言：Z1=Z+Z

ZABE=+

Z1>Z；Z1>Z

（三）三角形的外角和一一每一個(gè)三角形的內(nèi)角相應(yīng)地取其中一個(gè)外角相加的結(jié)果;

思考：如圖，Zl+Z2+Z3=°（你能證明得到的結(jié)論嗎？）

歸納：三角形的外角和等于

，Nl=工Z2=，Z3=

A

2、如圖,CE〃AB

.'.N2=BcD

?.ZCDE=0,ZE=°

3、NA,ZB,NC是AABC的三個(gè)內(nèi)角，ZA=90°,ZB=55°,則NC=°

4、ZA,ZB,NC是^ABC的三個(gè)內(nèi)角，ZA=90°,，ZB=55°,則與NC相鄰的外角

o

5、下列說法正確的是（）

A.三角形的一個(gè)外角大于它的一個(gè)內(nèi)角；

B.三角形的一個(gè)外角等于它的兩個(gè)內(nèi)角；

C.三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和；

D.以上答案都不對(duì)。

B組：

1、下列各圖中，表示/I是AABC的外角的是（)

ABuCD

2、如右圖，以下說法不正確的是（）

A

A、NEFD是ABFC的一個(gè)外角；￡/

BC

B、/DFC是ABFC的一個(gè)外角;

C、ZEFD+ZFBC+ZFCB=180°；

D、ZCDF=ZA+ZABD

3、如圖，D是AABC邊上的一點(diǎn)，E是BD上一點(diǎn),

ZEN2、NA之間的關(guān)系描述正確的是（）0

A、ZA<Zl>Z2B、Z2>Z1>ZA

C、Zl>Z2>ZAD、無法確定

4、填空:

（1）一個(gè)三角形最多有個(gè)直角，一個(gè)三角形最多有個(gè)鈍角;

（2）一個(gè)三角形的三個(gè)外角中，最多有個(gè)銳角，最多有個(gè)直角，最多有個(gè)

鈍角。

5,如右圖：D是AABC中BC邊上的一點(diǎn)，ZB=ZBAD,ZADC=80°,

ZBAC=70°