高中數(shù)學(xué)第三講3.1二維形式的柯西不等式知識(shí)導(dǎo)學(xué)案新人教選修

2222一

二形的西等知梳1.維式的柯西不等式若a,b,c,d都實(shí),則(a+b)(c+d)__________,當(dāng)僅時(shí)等成.二維形式的柯西不等式的推論：(a+b)(c+d)≥__________(a,b,c,d為負(fù)實(shí));a

2

2

2

2

≥__________(a,b,c,d∈R);a22c22

≥__________(a,b,c,d∈R).2.柯不等式的向量形式設(shè),是個(gè)向量α·|__________,當(dāng)且僅當(dāng)β是__________在實(shí)數(shù)k，使=k時(shí)等成.3.二形式的三角不等式xyy12推

≥___________(x,y,x,y∈R)論：()y)(x)2)13

2

≥____,(x,x,x,y,y∈R).知導(dǎo)本節(jié)學(xué)習(xí)的是經(jīng)典不等式中的又一均值不等式已學(xué)過柯西不等式而維形式的柯西不等式是柯西不等式的最簡(jiǎn)單形式.柯西不等式的幾種形式間是等價(jià)的,但要注意結(jié)構(gòu)形式的變化對(duì)數(shù)值的要求柯西不等式與均值不等式作對(duì),柯西不等式中的字母、數(shù)較,不容易記憶這要求認(rèn)真理解代數(shù)推導(dǎo)過程和向量形式、三角形式的推導(dǎo)過,從數(shù)與形兩個(gè)方面來理解和記.對(duì)等號(hào)“=”取到的條件要從推過程中來理.疑突1.對(duì)西不等式的理解柯西不等式的幾種形式都及不等式的理解與記憶此二維形式的柯西不等式可以理解為有四個(gè)順序的數(shù)來對(duì)應(yīng)的一種不等關(guān)系構(gòu)造成一個(gè)不等式如基本不等式是由兩個(gè)數(shù)來構(gòu)造的，但怎樣構(gòu)造要仔細(xì)體.(a+b)(c+d)≥(ac+bd)+b)(d)≥(ad+bc),誰與誰組合、聯(lián),要有一定的認(rèn)識(shí)“二維”是由向量的個(gè)數(shù)來說在平面上一個(gè)向量有兩個(gè)量：橫縱坐,因此“二維”就要有四個(gè)量還以認(rèn)為是四個(gè)數(shù)組合成的一種不等關(guān).2.”取到的條件柯西不等式取“=”的條件記,們以多方面聯(lián)系來記憶,如(a+b)(c+d)≤(ac+bd)，取“”條件是“ad=bc”,點(diǎn)像a,b,c,d成等時(shí)，ad=bc的結(jié)論,a,b,c,d的順序不等式中是對(duì)排列序的,柯西不等式的向量形式中α·β≤α|||號(hào)=”的條件是β或存實(shí)數(shù)k,使=k.們可以從向量的數(shù)量積的角度來理解和記.典精【例1】解程

x

.

思分：用二維形式的柯西不等式把

x

變形后求最值取“=”號(hào)的x值為要求的方程的根，即是時(shí)的最值解：15=(

x

1x

)

≤［()+2

)+(

)］=6(2x+

3+1-2x)=6×=15.22其中等號(hào)成立的充要條件是22

32

1x2

,解得x=

13

.綠通用二維形式的柯西不等式(a+b)(c+d)≥(ac+bd)”的條件是ad=bc.因此在題時(shí)對(duì)柯西不等式必須弄清要求的問題中哪樣的數(shù)或代數(shù)式分別相當(dāng)于柯西不等式中的“a,b,c,d”否容易出.【變式訓(xùn)練】求函f(x)=

x12

的最大值及此時(shí)的x值思分：用二維形式的柯西不等式，可以先平方，再開.變形目的是為了能利用柯西不等式解：由柯西不等式，得（

x

）≤1+1)+()］=2(x-6+12-x)=12,即

x

≤

.故當(dāng)=12,即x=9時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值.【例2】設(shè)a,b∈R(i=1,2,?，且a+b=2.求證：

b22

≥2.思分：用柯西不等式前要觀察不等的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)題可以看作求

2b2的最小值因而需出現(xiàn)（a+b)(c+d)構(gòu)把另一部分可以是）+(2-b).證明：根據(jù)柯西不等式，有

2b2

視為其中的一個(gè)括號(hào)內(nèi)的部分，

2b2［(2-a)+(2-b)］(2=［)+(

)a2

)+(

)］≥(

2

·

a2

+

2

·)=(a+b)=4.b2∴≥=2.2(2)(2)∴原不等式成立.綠通：用柯西不等式證明某些不等式時(shí)，有時(shí)需要將數(shù)學(xué)表達(dá)式適當(dāng)?shù)淖?這種變形往往要求具有很高的技巧，必須善于分析題目的特征，根據(jù)題設(shè)條件，綜合地利用添、拆、分解、組合、配方、變量代換、數(shù)形結(jié)合等方法才能發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，找到突破.【變式訓(xùn)練】已知a>b>c,求證:

114a

.思分：不等式可變形(a-c)(

1a

)>4.又a-c=(a-b)+(b-c),利用柯西不等式即.證明：∵(a-c)(

1a

)=［(a-b)+(b-c)

11a

］=［

a

)+(b

)+()］≥(

a

+

b

)=4.∴原不等式成立.問探問題兩貨物需要從A城運(yùn)城市途中要經(jīng)過城市轉(zhuǎn)從A城到B城是公路運(yùn)輸兩批貨物的每噸運(yùn)價(jià)相從B城市運(yùn)往市需經(jīng)航運(yùn)兩批貨物的每噸運(yùn)價(jià)也相同，問總花費(fèi)最少是多少？導(dǎo)：分別設(shè)兩批貨物分別為x噸噸從噸運(yùn)價(jià)是aB到C每噸運(yùn)價(jià)是b，求x+y