數(shù)學(xué)建模習(xí)題集

虛擬實(shí)驗(yàn)1．一男孩和一女孩分別在離家2km和1km且方向相反的兩所學(xué)校上學(xué)，每天同時放學(xué)后分別以4km/h和2km/h的速度步行回家，一小狗以6km/h的速度由男孩處奔向女孩，又從女孩處奔向男孩，如此往返直至回到家中。問小狗奔波了多少路程。如果男孩和女孩上學(xué)時小狗也往返在他們之間，問當(dāng)他們到達(dá)學(xué)校時小狗在何處？2．老式的錄像機(jī)上都有計(jì)數(shù)器，而沒有計(jì)時器，一些錄音機(jī)也有類似的情況。這種計(jì)數(shù)器有什么用呢，讓我們從這樣一個問題開始：一盤標(biāo)明180分鐘的錄像帶從頭轉(zhuǎn)到尾，用時184分鐘，計(jì)數(shù)器讀書從0000變到6061。在某一次使用中錄像帶已經(jīng)轉(zhuǎn)過大半，計(jì)數(shù)器讀數(shù)為4450,問剩下的一段還能否錄下一小時的節(jié)目？3．討論以下雇員和雇主之間的協(xié)議關(guān)系：（1）以雇員一天的工作時間t和工資w分別為橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，線簇的示意圖。解釋曲線為什么是你畫的那種形狀。（2）如果雇主付計(jì)時工資，對不同的工資率（單位時間的畫出雇員無差別曲工資）畫出計(jì)時工資族。根據(jù)雇員的無差別曲線族和雇主的計(jì)時工資線族，討論雙方將在怎樣的一條曲線上達(dá)成協(xié)議。（3）雇員和雇主已經(jīng)達(dá)成了一的工作時間增加到t2,他有兩種辦法：一是提高計(jì)時工資率，在協(xié)議的另一點(diǎn)（t2,w2）達(dá)成新的協(xié)議；二是實(shí)行超時工資制，即對工時t1仍付原計(jì)時工資，對工時t2-t1付給更高的超時工資。試用作圖方法分析哪種辦法對雇主更有利，指出這個結(jié)果的條件。個協(xié)議（工作時間t1和工資w1）。如果雇主想使雇員4．要在雨中從一處否跑得越快，淋雨量越少。將人體簡化為一個長方體，高a=1.5m(頸部以下)，寬b=0.5m，厚c=0.2m，設(shè)跑步距離沿直線跑到另一處，若雨速為常數(shù)且方向不變，試建立數(shù)學(xué)模型討論是d=1000m,跑步最大速度為vm=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量w=2cm/h，記跑步速度為v,按以下步驟進(jìn)行討論：（1）不考慮雨的方向，雨量。（2）雨從迎面吹來，雨線與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為?，如圖1。建立總淋雨量與速度v及參數(shù)a,b,c,d,u,w,?之間的關(guān)系，問速度v為多大，總淋雨量最少。計(jì)算?=0,?=30時的總淋雨量。（3）雨從背面吹來，雨線方向與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為α，如圖2。建立總淋雨量與速度v及參數(shù)a,b,c,d,u,w,α之間的關(guān)系，問速度v多大，總淋設(shè)降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估計(jì)跑完全程的總淋0雨量最少。計(jì)算α＝30時的淋雨量。0（4）以總淋雨量為縱軸，速度v為橫軸，對（3）作圖（考慮α的影響），并解釋結(jié)果的實(shí)際意義。（5）若雨線方向與跑步方向不在同一平面內(nèi)，模型會有什么變化。圖1圖25．有4名同學(xué)到一家公司參加三個階段的面試：公司要求每個同學(xué)都必須首先找公司秘書初試，然后到部門主管處復(fù)試，最后到經(jīng)理處參加面試，并且不容許插隊(duì)（即在任何一個階段4名同學(xué)的順序是一樣的）。由于4名同學(xué)的專業(yè)背景不同，所以每個人在三個階段的面試時間也不同，如下表所示（單位：分鐘）：秘書初試主管復(fù)試15經(jīng)理面試20同學(xué)甲同學(xué)乙同學(xué)丙同學(xué)丁1310208201816101015這四名同學(xué)約定他們?nèi)棵嬖囃暌院笠黄痣x開公司。假定現(xiàn)在時間是早晨8：00，問他們最早何時能離開公司？6．魚塘中投放n0尾魚苗，隨著時間的增長，尾數(shù)將減少而每尾魚的重量將增加。（1）設(shè)尾數(shù)n(t)的（相對）減少率為常數(shù)由；于喂養(yǎng)引起的每尾魚重量的增加率與魚表面積成正比，由于消耗引起的每尾魚重量的減少率與重量本身成正比，分別建立尾數(shù)和每尾魚重的微分方程，并求解。（2）用控制網(wǎng)眼的辦法不捕小魚，到時刻T才開始捕撈，捕撈能力用尾數(shù)的相對減n少量表示，記做E,即單位時間捕獲量是En(t)。問如何選擇T和E，使從T開始的捕獲量n最大。7．大陸上物種數(shù)目可以看作常數(shù)，各物種獨(dú)立地從大陸向附近一島嶼遷移，島上物種數(shù)量的增加與尚未遷移的物種數(shù)目有關(guān)，而隨著遷移物種的增加又導(dǎo)致島上物種的減少，在適當(dāng)假設(shè)下建立島上物種數(shù)的模型，并討論穩(wěn)定狀況。8．設(shè)I＝（1，2，···，n）和A=(x,y,···)分別是選民和候選人集合，（p1,p2,p3,···pn）是I對A的一次投票（為簡單起見，不考慮兩候選人等同的情況）。選舉結(jié)果p不是對A的一個排序，而只是決定一名優(yōu)勝者（第一名）?，F(xiàn)舉出以下集幾種選舉規(guī)則：（1）（p1,p2,p3,···pn）中排在第一名最多的那位候選人為優(yōu)勝者。（2）若多于或等于半數(shù)的選民將x排在其他候選人之前，x為優(yōu)勝者。（3）若多于或等于半數(shù)的選民將x排在第一位，則x是優(yōu)勝者；把排在第一位最多的兩個候選人x,y進(jìn)行比較，當(dāng)多于或等于半數(shù)的選民將x排在y前面時，x是優(yōu)勝者。（4）得分（Borda數(shù)）居第一位的為優(yōu)勝者。若沒有這樣的x,就問這些規(guī)則都能確定優(yōu)勝者嗎？對于同一次投票這些規(guī)則決定的優(yōu)勝者相同嗎？你還能提出一些決定優(yōu)勝者的選舉規(guī)則嗎？9．某公司想用全行業(yè)的銷售額作為自變量來預(yù)測公司的銷售額，下表給出了1977－1981年公司銷售額和（1）畫出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，觀察用（2）建立公司銷售額對全行業(yè)銷售額的回歸模型，并用DW檢驗(yàn)診斷隨機(jī)誤差項(xiàng)的自相關(guān)性。（3）建立消行業(yè)銷售額的分季度數(shù)據(jù)（單位：百萬元）。線性回歸模型擬合是否合適。除隨機(jī)誤差自相關(guān)性后的回歸模型。公司銷售行業(yè)銷售t公司銷行業(yè)銷年季t額y額x年季售額y售額x19971120.9621.4021.9621.5222.3922.7623.4823.6624.1024.01127.3130.0132.7129.4135.0137.1141.2142.8145.5145.3197931124.5424.3025.0025.6426.3626.9527.5227.7828.2428.78148.3146.4150.2153.1157.3160.7164.2165.6168.7171.7234123412234567891041234123412131415161718192010.節(jié)水洗衣機(jī)（1996年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽B題）我國淡水資源有限，節(jié)約用水人人有責(zé)。洗衣在家庭用水中占有相當(dāng)大的份額，目前洗衣機(jī)已非常普及，節(jié)約洗衣機(jī)用水十分重要。假設(shè)在放入衣物和洗滌劑后洗衣機(jī)的運(yùn)行過程為：加水－漂洗－脫水－加水－漂洗－脫水······（稱“加水－漂洗－脫水”為運(yùn)行一輪）。請為洗衣機(jī)設(shè)計(jì)一種程序（包括運(yùn)行多少輪，每輪加水量等），使在滿足一定洗滌效果的條件下，總用水量最少，選用合理的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，對照目前常用的洗衣機(jī)的運(yùn)行情況，對你的模型作出評價。11．（1）制定一個完整的期限不超過20年，據(jù)央行1999年9月公布的商業(yè)貸款利率，一到五年期為5.31%，一年為到期一次還本付息，五年期以上者(不包括五年期)為5.58%，公積金貸款利率分別是4.14%和4.59%，表中應(yīng)包括借款年限、根據(jù)以上兩種貸款利率計(jì)算出的月利率、月還款額、總還個人購房貸款等額本息月均還款額表，初始貸款額為一萬元，借款期款額和利息負(fù)擔(dān)總額。（2）某一個借款期限(譬如兩年或三年)為例，將上述的逐月還款制改為逐年還款制，或者是每季度還款制，研究何種還款周期對貸款人更有利。12．推出一種與養(yǎng)老結(jié)合的人壽保險計(jì)劃，其中介紹的例子為：如果40歲的男性投保人每年交保險費(fèi)1,540元，交費(fèi)期20年至60歲，則在他生存時期，45歲時(投保滿5年)可獲返還補(bǔ)貼4,000元，50歲時(投保滿10年)可獲返還補(bǔ)貼5,000元，其后每隔5年可獲增幅為1,000元的返還補(bǔ)貼；另外，在投保人去世或殘廢時，其受益人可獲保險金20,000元。試分析：若該投保人的壽命為76歲，其交保險費(fèi)所獲得的實(shí)際年利率的多少？若該投保人的命為74歲，其交保險費(fèi)所獲得的實(shí)際年利率又是多少？13．Wyndor公司是一家生產(chǎn)高級玻璃制品的公司，其屬下有計(jì)劃在這三家工廠生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品每分鐘消耗的生產(chǎn)能力、各廠現(xiàn)有生產(chǎn)能力和生產(chǎn)各種產(chǎn)品每分鐘可獲利潤都示于表1。壽甲、乙、丙三家工廠，該公司表1問如何安排生產(chǎn)計(jì)劃，可以使該公司每分鐘獲得的利潤最大？工廠產(chǎn)品A產(chǎn)品B現(xiàn)有生產(chǎn)能力10302241218甲乙丙〖提示〗設(shè)x和x分別表示12每分鐘獲利3元5元兩種產(chǎn)品A和B每分鐘的產(chǎn)量(x1和x是決策變量)。顯然，我們的目標(biāo)是在不超過所有資源限量的條件下，如何確定產(chǎn)量x、2x以獲得最大利潤。用1z表示該公司每分鐘所獲利潤，那么，z=3x1+5x2。這樣，該計(jì)劃問2題可用數(shù)學(xué)模型表示為：目標(biāo)函數(shù)Maxz=3x1+5x2⑴約束條件x≤412x2≤12（2）3x1+2x2≤18x≥0，x≥012這是一個只含兩個變量的線性規(guī)劃模型(LinearProgrammingModel)，它是求一個線性函數(shù)在非負(fù)自變量受到線性不等式(或等式)約束解稱為線性規(guī)時的極值問題，所求極值問題的劃的最優(yōu)解。用Matlab的優(yōu)化工具箱解線性規(guī)劃問題在優(yōu)化工具箱中，linprog命令(或lp函數(shù))用于解線性規(guī)劃問題，該函數(shù)的x=linprog(c,A,b).用于解決下調(diào)用格式是：列形式的線性規(guī)劃問題：Minz=cxAxb⑹它返回符合約束條件⑹的最優(yōu)解x。linprog的其它使用方法如下：x=linprog(c,A,b,Aeq,beq)解決含額外等式約束Aeq*x=beq條件的線性規(guī)劃問題；x=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub)設(shè)置解向量x的上下界，即lb≤x≤ub,若無上下界限制，可用空矩陣替代lb或ub；x=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)設(shè)置x0為初始值。x=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)options為指定的優(yōu)化參數(shù)選項(xiàng)。當(dāng)其中某個參數(shù)缺省時，需用空矩陣[]占據(jù)其位置。值z=cx。[x,z]=linprog(c,A,b)返回最優(yōu)解x和目標(biāo)函數(shù)的14．Nori&Leets公司是公司高層決定進(jìn)行技術(shù)改造，以執(zhí)行新的更嚴(yán)格的空氣質(zhì)量標(biāo)據(jù)分析，空氣中的污染物主要有三種：懸浮微粒、氧化硫和碳?xì)浠衔铩０葱碌目諝赓|(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，這家企業(yè)應(yīng)該減少這些污染物每年的排放量，減少額由表2給出。一家大型鋼鐵企業(yè)。為解決該企業(yè)冶煉鋼鐵造成的空氣污染問題，準(zhǔn)。表2Nori&Leets公司降低污染物標(biāo)準(zhǔn)污染物每年應(yīng)減少的量(百萬磅)60150125懸浮微粒氧化硫碳?xì)浠衔餆掍摖t分為兩種：生產(chǎn)生鐵的鼓風(fēng)爐和將生鐵煉成鋼的轉(zhuǎn)爐。對于這兩種設(shè)備，工程師們決定采用三種有效降低其污染物的方法：⑴增加煙囪高度；⑵在煙囪內(nèi)加裝過濾器；⑶使用更清潔的優(yōu)質(zhì)燃料。這些措施降低污染物排放量的技術(shù)限額見表3。不過，這些措施可以只使用其部分的工作能力。而且由于它們的操作是獨(dú)立的，每一種措施的降污能力基本上并不受是否使用了其它措施的影響。表3三種降污措施減少污染物排放量的最大值(百萬磅/年)增高煙囪加裝過濾器使用優(yōu)質(zhì)燃料污染物鼓風(fēng)爐轉(zhuǎn)爐鼓風(fēng)爐轉(zhuǎn)爐鼓風(fēng)爐轉(zhuǎn)爐12懸浮微粒25201756291349209氧化硫1828312435374253碳?xì)浠衔锷鲜鋈N措施可以單獨(dú)使用，也可以聯(lián)合使用。單獨(dú)使用一種措施發(fā)揮的降污作用有限，但如果將三種措施合用并開足其全部馬力會使工作能力過于充分，造成生產(chǎn)成本升高導(dǎo)致產(chǎn)品價格失去競爭力。因此，工程師們在考慮成本的基礎(chǔ)上采用案并按某種比例只使用其部分工作能力。當(dāng)然，對鼓風(fēng)爐和轉(zhuǎn)爐不會采用相同的合用方案。人們通過分析估計(jì)出了每種降污措施每年的花費(fèi)，如果每一種降污措施都以滿額能力運(yùn)轉(zhuǎn)，就有如表4所列出的每年的花費(fèi)額。若只使用降污該表按比例確定所需的花費(fèi)。因此，若需計(jì)算使用某種降污部分工作能力所需的花費(fèi)，可以從表4中算出相應(yīng)的值。表4使用最大降污能力每年所需的花費(fèi)(百萬美元)合并措施的方措施的部分工作能力，也可用措施的降污措施增高煙囪鼓風(fēng)爐轉(zhuǎn)爐1068711加裝過濾器使用優(yōu)質(zhì)燃料9現(xiàn)在，我們的工作就是設(shè)計(jì)該公司的降污方何種降污措施，其降污工作能力應(yīng)取多少，才能使花費(fèi)的成本最小，最小成本是多少。建立線性規(guī)劃模型案。該方案應(yīng)該確定：對于鼓風(fēng)爐和轉(zhuǎn)爐使用對本問題可取6個決策變量x(j=1,2,…,6)，每個變量表示分別對于兩種煉鋼爐之一使j用某種降污措施按某種比例的降污能力，如表5所示。表5降污方案中的決策變量降污措施鼓風(fēng)爐轉(zhuǎn)爐增高煙囪加裝過濾器使用優(yōu)質(zhì)燃料x1x3x5x2x4x6我們的目的是在降低污染物排放量，環(huán)境空氣質(zhì)量達(dá)標(biāo)的前提下，使花費(fèi)的成本最少，就有了下面的模型：z8x10x7x6x11x9x6目標(biāo)函數(shù)Min12345約束條件12x9x25x20x17x13x6012345635x42x18x31x56x49x53x28x24x29x20x1251234560x1j1,2,,6j15．某牧場飼養(yǎng)一批動物，平均每頭動物至少需要700g蛋白質(zhì)、30g礦物質(zhì)和100g維生素。現(xiàn)有A、B、C、D、E五種飼料的營養(yǎng)成分(單位：g)與價格(單位：元/kg)如下表所示：料可供選用，每千克飼蛋白質(zhì)礦物質(zhì)維生素0.5價格0.41.40.81.61.6ABCDE31.00.50.22.00.5211.01.262.0120.8試求能滿足動物生長營養(yǎng)需求又最經(jīng)濟(jì)的選用飼料方案。16．在以色列，為分享農(nóng)業(yè)技術(shù)服務(wù)和協(xié)調(diào)農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，常常由幾個農(nóng)莊組成一個公共農(nóng)業(yè)社區(qū)。在本課題中的這個公共農(nóng)業(yè)社區(qū)由三個農(nóng)莊組成，我們稱之為南方農(nóng)莊聯(lián)盟。南方農(nóng)莊聯(lián)盟的全部種植計(jì)劃都由技術(shù)協(xié)調(diào)辦公室制訂。當(dāng)前，該辦公室正在制訂來年的農(nóng)業(yè)生產(chǎn)計(jì)劃。南方農(nóng)莊聯(lián)盟的農(nóng)業(yè)收成受到兩種資源的制約。一是可灌溉土地的面積，二是灌溉用水量。這些數(shù)據(jù)由下表給出。表6南方農(nóng)莊聯(lián)盟可用資源數(shù)據(jù)可灌溉耕地面積分配的用水量(英畝-英尺)600農(nóng)莊(英畝)400ABC600800300375注：英畝-英尺是水容積單位，1英畝-英尺就是面積為1英畝，深度為1英尺的體積；1英畝-英尺≈1233.48立方米。南方農(nóng)莊聯(lián)盟種植的作物是甜菜、棉花和高粱，這三種作物的純利潤及耗水量不同。農(nóng)業(yè)管理部門根據(jù)本地區(qū)資源的具體情況，對本聯(lián)盟農(nóng)田種植規(guī)劃制定的最高限額數(shù)據(jù)由下表給出。表7南方農(nóng)莊聯(lián)盟農(nóng)作物種植數(shù)據(jù)最大種植面積耗水量純利潤農(nóng)作物(英畝)(英畝-英尺/英畝)(美元/英畝)甜菜棉花高粱600500325321400300100三家農(nóng)莊達(dá)成協(xié)議：各家農(nóng)莊的播種面積與其可灌溉耕地面積之比相等；各家農(nóng)莊種植何種作物并無限制。所以，技術(shù)協(xié)調(diào)辦公室面對的任務(wù)是：根據(jù)現(xiàn)有的條件，制定適當(dāng)?shù)姆N植計(jì)劃幫助南方農(nóng)莊聯(lián)盟獲得最大的總