2022年高考理科數(shù)學(xué)《平面向量》題型歸納與訓(xùn)練

2022年高考理科數(shù)學(xué)：《平面向量》題型歸納與訓(xùn)練【題型歸納】題型一平面向量的線性運(yùn)算例1：記maxx，y＝x,x≥yA．min{a+C．maxa+b2,【答案】：D【解析】方法一：對(duì)于平面向量a,b,|a+b|與|a－b|表示以方法二：若a,b同向，令|a+b|＝5，|a－b|＝1，min{|a+b|，|a－b|}＝1，min{|a|，|b|}＝2；若令|a|＝2【易錯(cuò)點(diǎn)】平面向量加減法線性運(yùn)算性質(zhì)。【思維點(diǎn)撥】解題的關(guān)鍵是結(jié)合向量模的幾何意義，加減運(yùn)算的幾何意義，通過圖形分析得到正確選項(xiàng)；也可從選擇題的特點(diǎn)入手，通過對(duì)a,b特殊化，從而得到題型二共線向量定理、平面向量基本定理的應(yīng)用例1.△ABC中,AB邊的高為CD,若CB＝a,A.13a－13bB.【答案】D【解析】方法一：∵∴BD＝5方法二：如圖,以C為原點(diǎn)，CA,CB所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系．由已知得A2,0,B0，1.又因?yàn)镃D⊥AB，所以可求得D(25,45),于是AD【易錯(cuò)點(diǎn)】平面向量加減法線性運(yùn)算性質(zhì),平面向量的坐標(biāo)表示；【思維點(diǎn)撥】根據(jù)題設(shè)條件確定出A、B、D三點(diǎn)坐標(biāo)，再利用三點(diǎn)共線的性質(zhì)即可解決.例2.若點(diǎn)M是?ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),且滿足:設(shè)AM（1）求?ABM與?（2）若N為AB中點(diǎn),AM與CN交于點(diǎn)O,設(shè)BD=xBM【答案】見解析；【解析】（1）由AM＝34如圖令BM=λλ=14;（2）由BO=x由O、M、A三點(diǎn)共線及O、N、C三點(diǎn)共線?x+【易錯(cuò)點(diǎn)】面積比值與線段比值的關(guān)系，三點(diǎn)共線的性質(zhì)；【思維點(diǎn)撥】.利用共線性質(zhì)得出AB與AC的線段長(zhǎng)度之比，即可得到面積之比；第二問中利用O、M、A三點(diǎn)共線及O、N、C三點(diǎn)共線性質(zhì)進(jìn)行解決即可；例3.設(shè)雙曲線x2a2-y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F與x軸垂直的直線l交兩漸近線于A.BA．y=±34xB．y=±2【答案】B【解析】由題意可知A(c,bca),B(c,-bca),代入OP=mOA+nOB，得【易錯(cuò)點(diǎn)】A、B、P三點(diǎn)坐標(biāo)的確定，離心率的概念?！舅季S點(diǎn)撥】解析幾何中基本量的計(jì)算要注意方程思想的應(yīng)用和運(yùn)算的準(zhǔn)確性.題型三平面向量數(shù)量積的概念與計(jì)算例1.如圖,正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為1,則AD?A.3B.-3C.3D.【答案】D【解析】根據(jù)正六邊形性質(zhì),有∠ADB＝30°,于是向量AD與DB所成角為150°;且AD=2,|DB|=3,所以【易錯(cuò)點(diǎn)】正六邊形的性質(zhì)及平面向量的加減法運(yùn)算法則的應(yīng)用；【思維點(diǎn)撥】利用定義求兩個(gè)非零向量數(shù)量積,關(guān)鍵要搞清向量的數(shù)量積和模,尤其在求向量夾角時(shí),要判斷其起點(diǎn)是否共點(diǎn)．例2.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,sinC2=【答案】B【解析】過點(diǎn)C作CO⊥AB,垂足為O．如圖所示,C0,取點(diǎn)P靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)．則P63,0同理取點(diǎn)P靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)答案也是6．CP?【易錯(cuò)點(diǎn)】坐標(biāo)系的建立，點(diǎn)坐標(biāo)的確定；【思維點(diǎn)撥】用坐標(biāo)法求平面向量數(shù)量積可以簡(jiǎn)化解題過程,坐標(biāo)法思想能否靈活使用以及坐標(biāo)系建立的恰當(dāng)與否是解題關(guān)鍵．例3.如圖,BC,DE是半徑為1的圓O的兩條直徑,BF=2FOA．-34B．-89【答案】B【解析】∵BF【易錯(cuò)點(diǎn)】平面向量線性運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，共線性質(zhì)的應(yīng)用；【思維點(diǎn)撥】利用線性運(yùn)算將待求量轉(zhuǎn)化到利用B.O.C,D.O.E共線的向量表示,利用同向或是反向解決問題；題型四平面向量的夾角與模的計(jì)算例1.若非零向量a,b滿足|a|＝223|bA.π4B.π2C.【答案】A【解析】設(shè)b＝x,〈a,b∵(∴3∴2【易錯(cuò)點(diǎn)】垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，比例關(guān)系的應(yīng)用，夾角的范圍；【思維點(diǎn)撥】利用垂直得出a,b的等式關(guān)系，借助長(zhǎng)度關(guān)系建立關(guān)于夾角余弦值方程即可解決;題型五平面向量中的范圍、最值問題例1.在邊長(zhǎng)為2的等邊三角形?ABC中,D是AB的中點(diǎn),E為線段AC上一動(dòng)點(diǎn),則EB?【答案】見解析；【解析】由題意可得，AE與AB的夾角是60°，D是AB的中點(diǎn)，設(shè)∴EB=2|由于E為線段AC上的一動(dòng)點(diǎn)，故0≤x≤2，令f(x)=2-3∴當(dāng)x=34時(shí)，f(x)min=2316；當(dāng)x=2時(shí),【易錯(cuò)點(diǎn)】線性轉(zhuǎn)化，函數(shù)關(guān)系的構(gòu)造，取值范圍的確定；【思維點(diǎn)撥】將EB?ED用某個(gè)變量表示,轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題,其中例2.已知向量a,b,c滿足:a=4,b=22A.2+12B.2+【答案】D【解析】設(shè)OA=a,OB=b,OC∵a=4,b=22,a與b的夾角為π4∴x2+y2-6x-2y+9=0,即(x-3)2+(y-1)2=1表示以(3,1)為圓心，以1為半徑的圓,|c-a∴|c-a|的最大值為2【易錯(cuò)點(diǎn)】題干條件的轉(zhuǎn)化，幾何意義的應(yīng)用；【思維點(diǎn)撥】夾角已知向量模已知的情況下，即可將線性運(yùn)算轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算，將問題具體化.例3.已知向量OA與OB的夾角為θ,OA=2,OB=1,OP=tOAA.(0,π3)B.(π【答案】D【解析】由題意知,OA∴PQ25+4cosθt由二次函數(shù)圖像及其性質(zhì)知,當(dāng)上式取得最小值時(shí),t0由題意可得,0<1+2cosθ5+4cosθ<15【易錯(cuò)點(diǎn)】轉(zhuǎn)化方向的確定，函數(shù)關(guān)系的建立；【思維點(diǎn)撥】求變量的取值范圍、最值,往往要將目標(biāo)函數(shù)用某個(gè)變量表示,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題,期間要注意變量之間的關(guān)系,進(jìn)而得解.例4.已知a=λ,2,b=(-3,5),且a與【答案】λ<【解析】由于a與b的夾角為銳角,∴a?b>0,且a與b不共線同向,由a?b>0?-3λ+10>0,解得λ<103,當(dāng)向量a與b共線時(shí),得【易錯(cuò)點(diǎn)】忽略?shī)A角為銳角的條件及其需要滿足的條件；【思維點(diǎn)撥】注意向量夾角與三角形內(nèi)角的區(qū)別,向量夾角的范圍是[0,π],而三角形內(nèi)角范圍是(0,π),向量夾角是銳角,則cosθ>0且cosθ≠1,而三角形內(nèi)角為銳角,則題型六平面向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用例1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量m=(2①若m⊥n，求tanx的值；②若m與n的夾角為π3,求x【答案】見解析；【解析】①∵m=(22,-2∴m·n=22sinx-22②由題意知，m＝22m·n=而m·n＝又∵x∈0,π2，x-π4∈-【易錯(cuò)點(diǎn)】運(yùn)算出錯(cuò)，角度范圍不明確；【思維點(diǎn)撥】利用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)及垂直關(guān)系建立等式即可得出結(jié)果。

【鞏固訓(xùn)練】題型一平面向量的線性運(yùn)算1.設(shè)D,E分別是?ABC的邊AB,BC上的點(diǎn)，AD＝12AB，BE＝23【答案】：1【解析】：∵DE＝又∵DE＝2.已知A,B,C為圓O上的三點(diǎn)，若AO=12AB+【答案】：90°【解析】：由AO=12AB+AC可知O為BC的中點(diǎn)，即BC為圓O的直徑，又因?yàn)橹睆剿鶎?duì)的圓周角為直角，所以∠BAC=90°3.在△ABC中,點(diǎn)M,N滿足AM=2MC，BN=NC,若MN【答案】：1【解析】：如圖，在△ABC中，MN==12AB題型二共線向量定理、平面向量基本定理的應(yīng)用1.如圖,在平行四邊形ABCD中,AB＝a,AD＝b,A.14a-34bB.3【答案】D【解析】BN2.已知OA,OB是兩個(gè)單位向量,且OA?OB=0.若點(diǎn)C在∠AOB內(nèi),且A.13C.【答案】C【解析】以O(shè)原點(diǎn),向量OA,OB所在直線為軸,建立平面直角坐標(biāo)系,因?yàn)椤螦OC=30°,設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,33x),由OC=m3.直線l過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),且交拋物線于A,B兩點(diǎn),交其準(zhǔn)線于C點(diǎn),已知AF=4,CBB.43C.【答案】C【解析】過A,B分別作準(zhǔn)線的垂線交準(zhǔn)線于E,D.因?yàn)锳F=4,CB=3BF，所以AE=4,|CB|=3|BF|,且|BF|=|BD|,設(shè)BF=BD=a,4．在?ABC中,M為邊BC上任意一點(diǎn),N為AM中點(diǎn),AN=λABA.12B.1【答案】A【解析】∵M(jìn)為邊BC上任意一點(diǎn),∴可設(shè)AM=x∵N為AMAM中點(diǎn),∴AN=∴λ+μ=1題型三平面向量數(shù)量積的概念與計(jì)算1.若等腰?ABC底邊BC上的中線長(zhǎng)為1,底角B＞60°,則BA【答案】-1,-【解析】因?yàn)榈妊?ABC底邊BC上的中線長(zhǎng)為1,底角B＞60°,所以∠cos∠BAC∈12,1,∵AB+AC2∴2AB又∵cos∠BAC∈12,1,∴AB∴BA?故答案為：-1,-22.已知O是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A(-1,1),若點(diǎn)M(x,y)為平面區(qū)域x+y≥2x≤1y≤2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則A.[-1,0]B.[0,1]C.[0,2]D.[-1,2]【答案】C【解析】OA?OM=-x+y,作出不等式組x+y≥2x≤1y≤2表示的平面區(qū)域，如圖?ABC內(nèi)部(含邊界),作直線l:-x+y=0,平移直線l,直線過A(-1,1)時(shí),-x+y=0,過3.在邊長(zhǎng)為1的正?ABC中,BD=xBA,A.-58B-34【答案】D【解析】由題意：AB?ACBE∴CD?BE==-12x2+12x-1題型四平面向量的夾角與模的計(jì)算1.已知向量AB與AC的夾角為120°,且|AB|=3,AC=2.若AP=λ【答案】7【解析】∵AP⊥BC,∴AP?BC=0,∴λAB+AC?BC=0,即λ∴λ-1AB2.平面向量a＝1,2,b＝4,2,c＝ma+A．－2B．－1C．1D．2【答案】D【解析】:c＝ma+b＝m+4，2m+23.)在平行四邊形ABCD中,AD＝1,∠BAD＝60°，E為CD的中點(diǎn)．若AC?【答案】1【解析】方法一：由題意可知，AC=AB+AD，BE=-12AB+AD因此①式可化為1+14AB－12AB2=1方法二：以A為原點(diǎn)，AB為x軸建立如圖的直角坐標(biāo)系，過D作DM⊥AB于點(diǎn)M.由AD=1,∠BAD＝60°，可知AM=12,DM=32因?yàn)镋是CD的中點(diǎn)，所以Em2+由AC?BE=1，可得m+1212-m2+題型五平面向量中的范圍、最值問題1.已知AB⊥AC,AB=1t,ACA．13B．15C．19D．21【答案】A【解析】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示,則B1AP=1,0+40,1=(1,4),即P因此PB?PC=1-1t所以PB?PC的最大值等于13,當(dāng)1t2.已知a,b是平面內(nèi)互不相等的兩個(gè)非零向量,且a=1,a-A.(0,3]B.[1,3]C.(0,2]【答案】C【解析】如下圖所示,AB=a,AD=b,則AC=DB=a-b,∵a-b與∴∠ADB=30°，設(shè)∠DBA=θ，則0°<θ<150°,在?ABD中,由正弦定理得|a|sin30°=|b|sinθ,3.非零向量a,b滿足2ab=a2b2,a+【答案】【解析】由題意得a?b=12a2?整理得a2+cos<a,b>=a?b|a|?|b|=4.設(shè)向量e1,e2滿足：|e1|=2,|e2A．(-7,-12)C.[-7,-142)∪(-【答案】B【解析】由題可知：|e1|∴2te欲使夾角為鈍角,需2t2+15t+7<0,得-∴2t=λ且t=7λ，∴2t2=7,；∴t=-142,此時(shí)λ=-14，即t=-142題型六平面向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用1.已知a＝(1)若|a－b(2)設(shè)c＝(0,1)，若a＋b【答案】見解析；【解析】(1)證明：由題意得|a－b又因?yàn)閍2=b2=|a|2=(2)因?yàn)閍+所以cosα+cosβ=0sinα+sinβ=1由此得，cosα=cos(π－β)