高等代數與解析幾何第七章習題7答案

A階下三（1

a(i,j1,2,nAiijj（2A

aaa，A不是11nnA

n

A的|A((1122

a(i,j1,2,niijj

n

nn個

（2

AB相A有相同的1

,2

n

的)11

n

a111

a

a

a

a

陣XEB而AX1111

設

n

V

s

,,V1si

i

(i1,2,,

（1

V12

（2

VVV12

V12

Vi,12sii

,,

s1s

122ss2

)

111

(0,0,,0)

,,1

111

B

(,,,),0)B(0,0,,),0)1s12

V12

V12（2)V,都V的子i

VVV1

可對角1

，一定可

n

V12s

VVV1s

VV1

(V1

取

V(is)i

i

,,i

id

i

is

其中

dn1s

進

基：

sss

,,

,,,,,,,d21

向量中的

n

Dn(D

1

(

2

(

1

,,2

VBMBDDB}n

F)n2dim12

2

BADDABDDBlF

(kAD)D)D(AD)()()()D(kA)

kAlBMn

c

知D

Bi

i

is

ij1n階方(1,j,c,j()j)ij11kkk

sss1E

ij

jc,j(),j)線性無關12k

Vkk

dim21

2

A

n階矩陣，(iii

m

1

2

(

A,,12s

(,m(1

A,,12s

h(

m1

m2

,m

因

(A

)

A

()可m()isAi

iAi

mi

(

i1,2,

hm(A

m(i

(

i,s

m)ii

h(A)i

()

A)s

((A

1，m(

(

m(1

m(2

（1

111

n

（2

A

011011

陣

A

1101

A|

(

A

)

(A)

11

)

A可對（2A的特

0

A

0

(

0

A

2)(

2

(A)(A)

110110

11

11012

A

2)(

A

階方A滿A

AEA可A2AE可A

A

f(

A

A

式，故

A

小多項只能為

f(

2)

A

（1A是冪（2

n

A

k(

)

A

A

n

mm

A

f(

A

(A

)f(

m

。又因的每m(

(

n

A

A

m

A

n

?，F(

|(

1

(

2

(

cn,,121

A的所1

,2

。否

A(A

)A一方面1s

（2）當

A

A

n

A

A

n

n

knAk可A的

f(

A

m(

A

(A

A

n

A

l

nnnnnn

mA)

l

nlAn

A

n

f(

g(

f()(A。(f((

h(

f()(A

h()f(Ag(A)，(

)A

A

n

F階n

AT

（1（2

的A，即

(A

AT

A)

T

A

A

A

A

（2

n

,E,

M，則E,,E)E,,,E)M22

2

(E,E,,E)(EE)M12

2

2

(E,E,E)(E,E)12n1n

(EE)M12

2

,,E)2

E

M的零

f(

M

(M

)

2f(

A

k

A

E

A

k，AE

A的

f(

l

llsink

l

f(

1

)

)

m(A

f(

A可以2

ee1

A

1維Re（12不（2-WW

（3

2

1())Ae)

()2e1

1)e(2e)(2k)e12（2設存-不2

dimR2

dimW

dimW

與W

R2

W

b的

BAA不（3）設

e

）

A

（2

A

n階nA為任階復，

C

,,1

n

則1

Aii1i2ni

n

i2,,n

可逆(

,1

,2

)n

b0b0b

bb

22

2n

n2

nn

0Q0Q00Q0Q00Q

QBQ

0

*

0Q

000QAQ

120b0b

bb0b

0

0Q

0

*

）

0

*

1nAPPAP

10

*

0

*

*

i

i1,2,,n，in階n

b2n0Qb2n0Q階

R的,1

,,2

n

中i2,n1i1i12ini

(

,1

,2

)n

b0b0b

bb

22

nA

n2

nn

QBQ2

0

*

Q

12000QAQ0Q020b

bb0b

0

0Q

0

*

WV的維-子中

為的一組，都

-子

，，

W

）W中任

，

W

子空

V

n

1

2

V

1

2

2

1

（10

1

0

2

（2

1

2

2

（3個11

(0

()()((((121212

12

(V

2

（2

2

V

0

，并0V(

(210

個

,2

n

1

,,2

n

()1ii

i

i,n

V

1

,,,1

n

1

i

V的不2i

(i,ni

,1

,,2

)ni

i

i

i1,2,,n

,212

n

k

k

k

（1(Ker)Ker

）

V

,12

V

2

wW(i1,2)ii

i

)w(ii

)(V)Ker

Ker

|

}

V)

V)Ker

V

()Ker

V

()Ker

[(

)()]

0

Ker

V)KerV)

（2

vw(jiii1iijj

klF

i

kvkwlwkvv)(i11i2iii

i

(iii

i

v)i

i

(v)

i

(w)(iii

i

i

(i

i

i

vi

))ww)iii1i

因為(iii

i

i

i

,

A

A

E

Nk

為屬于的根

H

n

|N

(0}

（1Hn

i

i

i

）tHt

t

mt（3

P,1

,,2

)n

P

AP

i

i)i

lFN(

N

k

kN

(lN

k

H

i

N

i

(

N

i

N(N

i

())N(0)0

i1,2,，ii

i

i1,2,

（2正整數

t

t

t

N

t

)0

N

t

(

m

m

p

p

t

N

t

(

N

t

(

t

N

p

(

N

t

p

t

N

p

(0

N

t

0

Nt0，H

t

有

m

t

（3

APP

),,12

)

,,,1

n

(A(A…(A21

n

(AiNiiii

i)A的i

,e4134022

3

（1的核的一在這（2

,1

,2

V個兩使